Studiehandleiding. Calculus I+ Wiskunde en Natuurkunde september en oktober 2007

Transcriptie

1 Studiehandleiding Calculus I+ Wiskunde en Natuurkunde september en oktober 2007 Docent: R. Planqué kamer: S 2.48 rplanque@few.vu.nl tel:

2 Inhoudsopgave 1 Voorwoord 3 2 Algemene inleiding Calculus, wat is dat? Tijdsindeling Inleveropdrachten Tentaminering en Beoordeling Cursustijden De stof Algemeen De weekindeling Vertaling van enkele termen 11 2

3 1 Voorwoord Het doel van deze studiehandleiding is tweeledig. Enerzijds kun je er algemene informatie in vinden over het vak Calculus I+. Anderzijds wordt er per les beschreven welke stof er zal worden behandeld en welke opgaven je geacht wordt te maken. Aanbevolen wordt deze handleiding eenmaal in zijn geheel door te lezen. Daarna kun je je beperken tot het doorlezen van de relevante informatie per collegeweek. Het boek behorend bij dit vak is: Robert A. Adams, Calculus, A Complete Course, 6th edition. Pearson Addison Wesley, 2006, ISBN en is via de studievereniging STORM te verkrijgen voor aanvang van de eerste les. Wat er precies uit behandeld wordt kun je in deze handleiding vinden in paragraaf Algemene inleiding 2.1 Calculus, wat is dat? Het woord calculus staat voor zoiets als manier om iets uit te rekenen, rekenmethode. In het Engels wordt het dikwijls gecombineerd met een aanduiding van het vakgebied waarop de rekenmethode van toepassing is, zoals differential calculus, vector calculus, lambda calculus,... De benaming Calculus (zonder meer) gaat terug op Newton die een nieuwe methode had ontworpen om de beweging van lichamen wiskundig te beschrijven en te berekenen. Deze methode die we nu de differentiaal- en integraalrekening noemen, noemde Newton vanwege de grote reikwijdte ervan The Calculus. Het leren berekenen van afgeleiden en integralen, en de toepassing daarvan op allerlei problemen, vormt dus het hart van de Calculus cursus. Omdat zowel de afgeleide als de integraal het resultaat is van een limietproces (de ene bij een continue, de andere bij een discrete veranderlijke) voegt zich daar op een vanzelfsprekende manier bij het berekenen van limieten van functies en rijen. De begrippen limiet, afgeleide, integraal, behoren inhoudelijk tot het zeer uitgebreide gebied van de (Wiskundige) Analyse. Wat tegenwoordig als calculus wordt aangeduid, kun je eigenlijk geen vakgebied noemen. Het is meer een wiskundig apparaat dat overal wordt toegepast waar maar even wiskunde nodig is. Tegenwoordig wordt daarom van alle beta- en gamma studenten verwacht dat ze een zekere kennis van calculus hebben, waarbij diepgang en accent kunnen afhangen van de afnemer. De afgelopen jaren zijn veel calculus-technieken opgenomen in zogenaamde computer-algebra programma s, zoals Maple en Mathematica. Menige afgeleide of integraal is zo via een druk-opde-knop te verkrijgen. Dit ontslaat de gebruiker van de calculus dus van moeizaam rekenwerk. De toepassing van de calculus in de praktijk bestaat echter niet uit het simpelweg uitrekenen van integralen enz.; het gaat ook om het verkrijgen van het inzicht dat een zekere integraal werkelijk de oplossing van het probleem is, om te weten wat te doen als Maple geen (bevredigend) antwoord geeft, enz. Daarvoor moet men meer weten van de achtergronden van het begrippen- en methoden apparaat van de Calculus. Naast de rekentrucs is dit het belangrijkste doel van de cursus. Vandaar ook dat, met respect voor Maple/Mathematica en de vaak zo handige grafische rekenmachine, van de studenten zal worden gevraagd de opgaven met hand en hoofd uit te werken, wat overigens niet wegneemt dat men via de genoemde technische hulpmiddelen op een goed idee gebracht kan worden. 3

4 2.2 Tijdsindeling Het vak Calculus I+ wordt gedurende blok I gedoceerd aan eerstejaars studenten Natuurkunde en Wiskunde. [Studenten BWI en Econometrie volgen het vak Calculus I, dat vanaf de zesde collegeweek afwijkt van Calculus I+].Een blok bestaat uit 8 weken. In de eerste 7 weken van een blok zijn er 6 contacturen op de VU ingeroosterd. Daarvan zijn de eerste twee uur college. De overige vier uur zijn doorgaans een combinatie van college en werkcollege (vraagstukkenpracticum). In de laatste week van het blok is er een tentamen van 2 uur over de in dat blok behandelde stof. Voor het behalen van het vak krijg je 3 studiepunten, wat staat voor een tijdsbesteding van circa 84 uur. Hiervan zijn er al 44 ingeruimd voor de bovengenoemde activiteiten. Aangeraden wordt de overige tijd als volgt te besteden: Vóór het college: - Doorlezen stof: 7 2 = 14 uur. - Maken oefenopgaven: 7 1 = 7 uur. Vóór het werkcollege/vraagstukkenpracticum: - Herlezen delen stof: = 3.5 uur. - Maken (overgebleven) huiswerkopgaven: 7 1 = 7 uur. Tijdens/direct na werkcollege/vraagstukkenpracticum: - Maken inleveropdrachten: = 3.5 uur. Voorbereiding tentamen: 5 uur. 2.3 Inleveropdrachten Vóór het tentamen krijg je 7 inleveropdrachten, elke week 1. Als je deze minimaal 6 keer met voldoende resultaat hebt uitgevoerd, wordt je tentamencijfer met 0.5 verhoogd (tot een maximum van 10.0). Inleveropdrachten moeten elke week voor vrijdag middag 12:00 worden ingeleverd in het postvakje van de studentassistente Lisette Bruins (koffiekamer, derde verdieping). 2.4 Tentaminering en Beoordeling Je kunt voor het vak Calculus I+ slagen via het doen van een schriftelijk tentamen. Je bent geslaagd als het tentamencijfer + eventuele bonus van 0.5 punt voor de inleveropdrachten groter dan of gelijk is aan 5.5. Het eindcijfer wordt afgerond op een heel punt of half punt nauwkeurig. Cijfers tussen de 5.0 en 6.0 worden echter afgerond op een heel punt. Tijdens het tentamen mag geen rekenmachine worden gebruikt. De tentamens vinden plaats op Tentamen: woensdag 24 oktober 2007, uur, Herkansingstentamen: dinsdag 15 januari 2008, uur. Bij alle tentamens geldt: meld je tijdig aan via TIS! De vraagstukken die aan de orde komen tijdens het werkcollege zijn representatief voor de vraagstukken die zullen worden gesteld tijdens de tentamens. 2.5 Cursustijden De roosterindeling van de colleges en de werkcolleges/vraagstukkenpractica is als volgt (voor de juiste zalen raadpleeg je het rooster op internet: 4

5 Natuurkunde en Wiskunde: College: maandag, uur. College/Werkcollege: dinsdag, uur. Werkcollege: woensdag, uur. 3 De stof 3.1 Algemeen In de komende paragraaf kun je het programma van elke week uit het eerste blok lezen. Je vindt daar o.a. - Welke stof door de docent op het college wordt behandeld en door studenten vooraf, d.w.z vóór het college, moet worden bestudeerd. - Oefenopgaven die vóór het college moeten worden gemaakt. - Huiswerkopgaven die door de studenten tussen het college en het werkcollege/practicum van die week moeten worden gemaakt. - Practicumvraagstukken, waaruit een keus wordt gemaakt om tijdens het werkcollege te worden gemaakt. [Tijdens het werkcollege worden aan iedereen enkele vraagstukken opgegeven om ter correctie in te leveren.] 3.2 De weekindeling Wat nu volgt is per week een opsomming van de paragrafen en de vraagstukken die worden behandeld. Zorg dat je steeds goed voorbereid op een college of werkcollege verschijnt!! Week 1 1. Section P.1: Real numbers and the real line. 2. Section P.5: Combining functions to make new functions. 3. Section P.6: Polynomials and rational functions. De overige P-secties dien je zelf door te lezen. Vragen hierover kun je stellen tijdens het eerstvolgende college of werkcollege. 1. Section 1.2: Limits of functions. 5

6 Opgaven week 1: section P.1 19, 25, 37 20, 38, 45 section P.5 7, 25, 27, 31 6, 8, 30, 32 section P.6 13, 17 14, 18 section , 17, 33, 57, 75 14, 18, 36, 58, 76, 78 Week 2 1. Section 1.3: Limits at infinity and infinite limits. 2. Section 1.4: Continuity. 3. Section 1.5: The formal definition of limit. 1. Section 2.1: Tangent lines and their slopes. 2. Scetion 2.2: The derivative. Opgaven week 2: section 1.3 7, 17, 23 19, 29, 31, 47 6, 20, 24, 52 section 1.4 1, 7, 13 11, 17, 29 16, 18, 30 section 1.5 section 2.1 3, 17 7, 23 8, 22 section , 25 17,29 14, 42 Week 3 1. Section 2.3: Differentiation rules. 2. Section 2.4: The chain rule. 3. Section 2.5: Derivatives of trigonometric functions. 4. Section 2.6: The Mean-value theorem. 6

7 1. Section 2.8: Higher-order derivatives. 2. Section 2.9: Implicit differentiation. Opgaven week 3: section , 21, 41 19, 23, 33 8, 22, 36 section 2.4 7, 25 9, 29 16, 30 section , 39 29, 45, 53 34, 42, 58 section 2.6 3, 9 5, 13 4, 6, 18 section 2.8 7, 11 9, 13 12, 28 section 2.9 3, 9 5, 15 12, 20 Week 4 1. Section 3.1: Inverse functions. 2. Section 3.2: Exponential and logarithmic functions. 3. Section 3.3: The natural logarithm and exponential. 4. Section 3.4: Growth and decay (t/m blz 181). 1. Section 3.5: The inverse trigonometric functions. 2. Section 3.6: Hyperbolic functions. Opgaven week 4: section 3.1 3, 21 11, 23, 29 12, 22, 34 section 3.2 5, 15 11, 25, 27 14, 26, 28 section , 21, 35, 55 17, 33, 55, 59 18, 46, 58, 62 section 3.4 1, 5 3, 7 4, 8 section 3.5 7, 19, 23 17, 29, 45 14, 30, 47 section 3.6 2, 3 7 7

8 Week 5 1. Section 4.2: Extreme values. 2. Section 4.3: Concavity and inflections. 3. Section 4.7: Linear approximations. 4. Section 4.8: Taylor Polynomials. 1. Section 4.9: Indeterminate forms. Opgaven week 5: section 4.2 5, 21, 29 9, 35, 43 14, 26, 34, 44 section 4.3 5, 27, 29 13, 31, 35 20, 34, 42 section 4.7 3, 15 7, 17 10, 18 section 4.8 3, 9, 15, 23 5, 13, 19, 27 6, 10, 22, 26 section 4.9 5, 15, 23 9, 27, 29 8, 14, 26, 28 Week 6 1. Section 2.10: Antiderivatives and initial-value problems. 2. Section 5.6: The method of substitution. 3. Section 6.1: Integration by parts. 4. Section 6.2: Inverse substitutions. [In secties 5.6, 6.1 en 6.2 worden de onderwerpen over bepaalde integratie overgeslagen.] 1. Section 6.3: Integrals of rational functions. 8

9 Opgaven week 6: section , 9, 27 17, 33, 43 16, 28, 40, 42 section 5.6 9, 15, 25 5, 11, 35 6, 12, 16, 36 section 6.1 5, 21, 31 3, 7, 19, 33 6, 8, 14, 18 section 6.2 3, 7, 29 9, 17, 27 10, 30, 36 section 6.3 5, 17, 25 9, 15, 21 8, 12, 22, 40 Week 7 Te behandelen stof 1. Section 3.7: Second-order linear DEs with constant coefficients. 2. Section 7.9: First-order differential equations. 3. Section 17.1: Classifying differential equations. 4. Section 17.2: Solving first-order equations (uitgezonderd Exact equations en Integrating factors ). 1. Section 17.4: Differential equations of second order. 2. Section 17.5: Linear differential equations with constant coefficients. Opgaven week 7: section 3.7 1, 3, 5, 7 11, 25 8, 28 section 7.9 1, 3, 13 7, 9, 11, 17 2, 6, 10, 12, 18 section , 7, 11 5, 9, 15, 17 6, 8, 12, 16 section , 5 3, 9 4, 6, 10 section , 3 5 section , 7, 9 2, 8, 10 Week 8 In week 8 is er een tentamen over alle behandelde stof. Het tentamen vindt plaats op woensdag 24 oktober 2007 van uur. In welke zalen het tentamen zal plaatsvinden wordt tijdig bekend gemaakt. Meld je tijdig aan via TIS! 9

10 Tentamenregels Het gebruik van het boek, aantekeningen, formulebladen of een (grafische) rekenmachine bij het tentamen is niet toegestaan. 10

11 4 Vertaling van enkele termen antiderivative antidifferentiate approximation bounded chain rule composition concave downward concave upward curve decreasing denominator derivative difference error fraction fractional exponent identity image increasing increment independent indeterminate infinite inflection point initial condition initial value problem interior point intermediate value theorem jump discontinuity left-hand limit linear approximation lower bound lowerlimit mean value theorem neighborhood numerator perpendicular radius reciprocal removable discontinuity right-hand limit secant line sequence slant asymptote slope square root squeeze law tangent line upper bound upperlimit primitieve primitiveren benadering begrensd kettingregel samenstelling/compositie concaaf convex kromme dalend noemer v.e.breuk afgeleide verschil fout breuk gebroken exponent gelijkheid beeld stijgend toename onafhankelijk onbepaald oneindig buigpunt beginvoorwaarde beginwaardeprobleem inwendig punt tussenwaardestelling sprongdiscontinuïteit linkerlimiet lineaire benadering ondergrens ondergrens v.e. integraal middelwaardestelling omgeving teller v.e. breuk loodrecht straal omgekeerde ophefbare discontinuïteit rechterlimiet koorde rij scheve asymptoot helling vierkantswortel insluitstelling raaklijn bovengrens bovengrens v.e. integraal 11