Tentamen: Kwantitatieve methoden 1.2(wiskundige methoden) Opleiding: Bacheloropleiding Economie Vakcode:

Transcriptie

1 Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie Tentamen: Kwantitatieve methoden.2(wiskundige methoden) Opleiding: Bacheloropleiding Economie Vakcode: 62 Datum: 8 december 27 Aanvang: 8.5 uur Tijdsduur: 2 uur Opmerkingen:. Alle 6 opgaven zijn open vragen. Dittentamen teltin totaal pagina s. Op de pagina staan enige formules, waarvan u bij de uitwerking van de opgaven gebruik kunt maken. 2. Bij de beantwoording van de vragen moet er voldoende toelichting of uitwerking worden verstrekt. Alleen een uitkomst is beslist niet voldoende.. Het gebruik van een grafische rekenmachine van een goedgekeurd type is toegestaan.. Dit tentamen zal behoudens calamiteiten op 5 januari 28 zijn nagekeken. Op maandag februari 28 zal van 2:5 - :2 uur gelegenheid tot inzage worden gegeven. De precieze organisatie van de inzage zal middels een mededeling op de monitoren in de buurt van de studentenbalie op de tweede etage bekend worden gemaakt en via Blackboard. 5. De normering van de vraagstukken is als volgt: opgave a b 2a 2b a b 5 6a 6b cadeau punten

2 opgave (a) Bepaal alle afgeleiden van de eerste orde van f(x,y)=yln(yx+x ). (b) Losxopuit =e 6x2. opgave 2 Gegeven zijn de matrices en A= a 2 2 B= b 2 c 2 2. (a) BerekenA 2. (b) Zijnua=. VoorwelkewaardenvanbencisBdeinversematrixvanA? opgave Gegevenisdefunctie f(x,y)=x y 2, voorx,y>. BepaalmetbehulpvandeLagrangemethodehetmaximumvandezefunctieonderdenevenvoorwaardex+y=2. 2

3 opgave De vraagfunctie(demand curve) zij f(q) = 62 2Q en de aanbodfunctie (supplycurve)zijg(q)=q+2. (a) Bepaal het marktevenwicht. (b) Berekenhetconsumentensurplus(CS= Q (f(q) P )dq). opgave 5 Gebruik de methode van de impliciete differentiatie om van de kromme y +2x+y 2 =2 dy dx tebepaleninhetpunt(,). opgave 6 Gegeven zij de functie f(x,y)=x 2 +(+2y) 2 +xy. (a) Bepaalindienmogelijkhetmaximumvandefunctie. Geefookdex-waardeende y-waarde waar het eventuele maximum wordt aangenomen. (b) Berekeneenlineairebenaderingvang(x)=f(x,2)indeomgevingvanx=.

4 Formulas Mathematics December, 27 Logarithms: a x =e xlna Function Derivatives Remarks A constant function Af(x) Af (x) x a ax a onlyvalidifa f(x)+g(x) f +g sumrule f(x) g(x) f g+fg productrule u(x) u v v u quotientrule v(x) v 2 y(u(x)) y (u(x)) u (x) chainrule dy of: du chain rule dx dudx e x e x exponentialfunction ln( x ) x, logarithmic function x Effective interest rate: ( R= + n) r n R=e r Limits: lim n ( + n) n =lim x (+x) x =e lim (+ a ) n=e a n n Taylor: N ak n =a kn k n= f(x) f(a)+ f (a)! Extremum: ( )( ) 2 f 2 f x 2 y 2 Matrices: (k ) (x a)+ f (a) 2! ( ) 2 2 f > xy n= ak n = a k (x a) f(n) (a) n! ( k <) (x a) n (AB) =B A (AB) =B A abc formula: ax 2 +bx+c= x,2 = b± b 2 ac 2a Elasticity: El x f(x)= x f(x) f (x)

5 Uitwerking opgave : Voor(a) gebruiken we de kettingregel en de productregel: x yln(yx+x )=y )= y2 +x 2 y yx+x (y+x2 yx+x. y yln(yx+x )=y )= y ). yx+x x+ln(yx+x y+x 2+ln(yx+x Voor(b): =e 6x2 ln()=6x 2 ln() ln() 6 =x2 x=±. Uitwerking opgave 2: (a) +a: :5a+: :6+2a: A 2 = 7 6+a 5 +a 7 (b)ermoetgeldendatab=i datwilzeggen 2 2 b 2 c = 2 2 Als we het matrixproduct AB uitrekenen, vinden we 2 2 b 2 c 2 = 2. b+ b 2c+ 2 b c DezelaatstematrixmoetdusgelijkzijnaandeeeheidsmatrixI.Omdatalleelementen opdehoofddiagonaalgelijkaanmoetenzijn,vindenweb+=en2c+ =. Deze 2 vergelijkingenlatenzichmakkelijkoplossen: b=ena=. Numoetnoggecontroleerd worden of de matrixelementen buiten de hoofddiagonaal allemaal precies te zijn. Dit blijktinderdaadhetgeval,zodatgeldt: AB=I. Uitwerking opgave : L(x,y)=x y 2 λ(x+y 2) L(x,y) = x y 2 λ x y L(x,y) = 2x y 2 λ λ L(x,y) = (x+y 2) 5

6 Nul stellen en oplossen. Uit de eerste twee vergelijkingen volgt x y 2 =2x y 2 y=2x. Invullenin derde vergelijkinggeeftx+2x=2oftewelx=2/ eny =/. Ditis het unieke stationaire punt van de Lagrangefunctie en dus de oplossing. Uitwerking opgave : (a) 6=Q 62 2Q=Q+2 2=Q. HetmarktevenwichtisQ =2enP =22. Onderdeel(b) CS= Q (f(q) P )dq = Het consumer surplus is (CS=). = 2 2 (62 2Q 22)dQ ( 2Q)dQ = 2 (Q Q2 ) = 8 =. Uitwerking opgave 5: Dit is wezenlijk anders dan partieel differentieren. Hier is y geen onafhankelijke variabele, maar een functie van x. Schrijf daarom eerst y = f(x) (f(x)) +2x+(f(x)) 2 =2 Differentieernuzowelhetlinkeralshetrechterlidnaarx: (f(x)) 2 f (x)+2+2(f(x))f (x)=. Vulnuinhetpunt(,),datwilzeggenx=eny=f()= f ()+2+2f ()= f ()= 2 5 = dy dx (,) 6

7 Uitwerking opgave 6: [a] x f(x,y)=2x+y y f(x,y)=+8y+x Berekenen van stationaire punten: +8y+x=en2x+y=. Vermenigvuldig de eerste vergelijking met 2 en trek de tweede ervan af: 8+5y= Wevindeny= 8/5enalsweditinvullenindetweedevergelijkingvindenwex=/5. Dus(/5, 8/5) is het enige stationaire punt. Aard van dit stationaire punt: 2 x 2f(x,y)=2 2 y 2f(x,y)=8 2 yx f(x,y)= ( )( ) 2 f 2 f x 2 y 2 ( ) 2 2 f =2 8 2 =5> xy erbestaateenextremum. Uit 2 x 2 f(x,y)>volgtdathetpunteenminimumis. [b]g(x)=f(x,2)=x 2 +2x+25,dusg()=28. Differentierenleertonsdatg (x)=2x+2, zodatg ()=2+2=. Debenaderinginhetpuntx=wordtdan g(+h)=g()+g ()h=28+h. 7