Studiehandleiding. Wiskunde en Natuurkunde september en oktober 2008

Transcriptie

1 Studiehandleiding Differentiëren en Integreren 1 Wiskunde en Natuurkunde september en oktober 2008 Docent: Bob Planqué kamer: R 2.48 rplanque@few.vu.nl tel:

2 Inhoudsopgave 1 Voorwoord 3 2 Algemene inleiding Calculus, wat is dat? Tijdsindeling Inleveropdrachten Tentaminering en Beoordeling Cursustijden De stof Algemeen De weekindeling Vertaling van enkele termen 12 2

3 1 Voorwoord Het doel van deze studiehandleiding is tweeledig. Enerzijds kun je er algemene informatie in vinden over het vak Differentiëren en Integreren 1. Anderzijds worden er per les beschreven welke stof er zal worden behandeld en welke opgaven je geacht wordt te maken. Aanbevolen wordt deze handleiding eenmaal in zijn geheel door te lezen. Daarna kun je je beperken tot het doorlezen van de relevante informatie per collegeweek. De boeken behorend bij dit vak zijn: 1) Robert A. Adams, Calculus, A Complete Course, 6th edition. Pearson Addison Wesley, 2006, ISBN ) Jan van de Craats en Rob Bosch, Basisboek Wiskunde, Pearson Prentice Hall, 2005, ISBN en zijn via de studievereniging STORM te verkrijgen voor aanvang van het eerste college. Daarnaast is er een aanvullend dictaat over Complexe Getallen. Het dictaat kan worden gedownload vanaf mijn website: Het Calculusboek van Adams heeft binnen de cursus een centrale rol. Hieruit wordt nieuwe theorie behandeld en worden vraagstukken gemaakt. Dit boek zal ook gebruikt worden bij de vervolgcursus Calculus 2. Het Basisboek Wiskunde is voornamelijk bedoeld als hulpmiddel bij het herhalen van vwo-stof en het oefenen van formulevaardigheden. Wat er precies uit beide boeken behandeld wordt, kun je in deze handleiding vinden in paragraaf 3.2. Studenten Wiskunde moeten in week 37 een cursus L A TEX volgen bij Freek van Schagen, en in week 38 t/m 40 een computerpracticum Maple bij René Swarttouw. Deze practica moet zijn afgerond voor het tentamen van 20 oktober! Bij het Maple practicum hoort een dictaat, dat op de website van Swarttouw te downloaden is (vanaf week 37), zie 2 Algemene inleiding 2.1 Calculus, wat is dat? Het woord calculus staat voor zoiets als manier om iets uit te rekenen, rekenmethode. In het Engels wordt het dikwijls gecombineerd met een aanduiding van het vakgebied waarop de rekenmethode van toepassing is, zoals differential calculus, vector calculus, lambda calculus,... De benaming Calculus (zonder meer) gaat terug op Newton die een nieuwe methode had ontworpen om de beweging van lichamen wiskundig te beschrijven en te berekenen. Deze methode die we nu de differentiaal- en integraalrekening noemen, noemde Newton vanwege de grote reikwijdte ervan The Calculus. Het leren berekenen van afgeleiden en integralen, en de toepassing daarvan op allerlei problemen, vormt dus het hart van de Calculus cursus. Omdat zowel de afgeleide als de integraal resultaat is van een limietproces (de ene bij een continue, de andere bij een discrete veranderlijke) voegt zich daar op een vanzelfsprekende manier bij het berekenen van limieten van functies en rijen. De begrippen limiet, afgeleide, integraal, behoren inhoudelijk tot het zeer uitgebreide gebied van de (Wiskundige) Analyse. Wat tegenwoordig als calculus wordt aangeduid, kun je eigenlijk geen vakgebied noemen. Het is meer een wiskundig apparaat dat overal wordt toegepast waar maar even wiskunde nodig is. Tegenwoordig wordt daarom van alle beta- en gamma studenten verwacht dat ze een zekere kennis van calculus hebben, waarbij diepgang en accent kunnen afhangen van de afnemer. 3

4 De afgelopen jaren zijn veel calculus-technieken opgenomen in zogenaamde computer-algebra programma s, zoals Maple en Mathematica. Menige afgeleide of integraal is zo via een druk-opde-knop te verkrijgen. Dit ontslaat de gebruiker van de calculus dus van moeizaam rekenwerk. De toepassing van de calculus in de praktijk bestaat echter niet uit het simpelweg uitrekenen van integralen enz.; het gaat ook om het verkrijgen van het inzicht dat zekere integraal werkelijk de oplossing van het probleem is, om te weten wat te doen als Maple geen (bevredigend) antwoord geeft, enz. Daarvoor moet men meer weten van de achtergronden van het begrippen- en methoden apparaat van de Calculus. Naast de rekentrucs is dit het belangrijkste doel van de cursus. Vandaar ook dat, met respect voor Maple/Mathematica en de vaak zo handige grafische rekenmachine, van de studenten zal worden gevraagd de opgaven met hand en hoofd uit te werken, wat overigens niet wegneemt dat men via de genoemde technische hulpmiddelen op een goed idee gebracht kan worden. 2.2 Tijdsindeling Het vak Differentiëren en Integreren 1 wordt gedurende periode 1 gedoceerd aan studenten Wiskunde en Natuurkunde. Een periode bestaat uit 8 weken. In de eerste 7 weken van een periode zijn er 10 contacturen op de VU ingeroosterd. Daarvan zijn zes uur ingeroosterd als college (maandag, donderdag en vrijdag). De overige vier uur zijn doorgaans bedoeld als werkcollege (vraagstukkenpracticum), maar ook hier kan incidenteel nieuwe stof behandeld worden. In de laatste week van de periode is er een tentamen van uur over de behandelde stof. Voor het behalen van het vak krijgen de Natuurkundestudenten 5 studiepunten, en de Wiskundestudenten 6 studiepunten, wegens de computerpractica met L A TEX en Maple. Even uitgaande van vijf studiepunten komt dat neer op een studielast van 140 uur. Hiervan zijn er al 73 ingeruimd voor de bovengenoemde activiteiten. Per week blijft er dus nog zo n 10 uur over, die je geacht wordt thuis aan het vak te besteden. Doe dat ook!! Dit vak leer je pas echt door het te doen: veel oefenen dus!! 2.3 Inleveropdrachten Vóór het tentamen krijg je 7 inleveropdrachten, elke week 1. Als je deze minimaal 6 keer met voldoende resultaat hebt uitgevoerd, wordt je tentamencijfer met 0.5 verhoogd (tot een maximum van 10.0). Opdrachten zullen op vrijdag aan het eind van het werkcollege uitgedeeld worden, en dienen op maandag op het hoorcollege weer ingeleverd te worden. 2.4 Tentaminering en Beoordeling Je kunt voor het vak Differentiëren en Integreren 1 slagen via het doen van een schriftelijk tentamen. Je bent geslaagd als het tentamencijfer + eventuele bonus van 0.5 punt voor de inleveropdrachten groter dan of gelijk is aan 5.5. Het eindcijfer wordt afgerond op een heel punt of half punt nauwkeurig. Cijfers tussen de 5.0 en 6.0 worden echter afgerond op een heel punt. De tentamens vinden plaats op Tentamen: maandag 20 oktober 2008, uur, Herkansingstentamen: 05 januari 2009, uur. Bij alle tentamens geldt: meld je tijdig aan via TIS! De vraagstukken die aan de orde komen tijdens het werkcollege zijn representatief voor de vraagstukken die zullen worden gesteld tijdens de tentamens. 4

5 2.5 Cursustijden De roosterindeling van de colleges en de werkcolleges/vraagstukkenpractica is als volgt (voor de juiste zalen raadpleeg je het rooster op internet: Wiskunde en Natuurkunde: College: maandag uur, zaal S 201. woensdag uur, zaal C 121. vrijdag uur, zaal F 647. (in week 42: zaal 07A06) Werkcollege: donderdag uur, zaal F 647, C648. vrijdag uur, zaal F640, F637 (in week 42: zaal F640 en P046). 3 De stof 3.1 Algemeen In de komende paragraaf kun je het programma van elke week lezen. Je vindt daar o.a. - Welke stof door de docent op het college wordt behandeld; - Huiswerkopgaven die door de studenten tussen het college en het eerstvolgende werkcollege van die week moeten worden gemaakt; - Oefenvraagstukken over de stof uit het Basisboek Wiskunde die je thuis moet maken. 3.2 De weekindeling Wat nu volgt is per week een opsomming van de paragrafen en de vraagstukken die worden behandeld. Zorg dat je steeds goed voorbereid op een college of werkcollege verschijnt!! 5

6 Week 1 1. Adams, Section P.1: Real numbers and the real line. 2. Adams, Section P.2: Cartesian coordinates in the plane. 1. Adams, Section P4: Functions and their graphs. 2. Adams, Section P5: Combining Functions to make new functions. 1. Adams, Section P6: Polynomials and rational functions. 2. Complex, H1: Invoering complexe getallen. 3. Complex, H2: Rekenen met complexe getallen. Zelf te bestuderen stof: a) Vóór college van woensdag: 1. vdcraats/bosch, Hoofdstuk 1: Rekenen met gehele getallen. 2. vdcraats/bosch, Hoofdstuk 2: Rekenen met breuken. 3. vdcraats/bosch, Hoofdstuk 3: Machten en wortels. b) Vóór werkcollege van woensdag: 1. vdcraats/bosch, Hoofdstuk 4: Rekenen met letters. 2. vdcraats/bosch, Hoofdstuk 5: Merkwaardige producten. 3. vdcraats/bosch, Hoofdstuk 6: Breuken met letters. c) Vóór werkcollege van vrijdag: 1. vdcraats/bosch, Hoofdstuk 9: Eerstegraadsvergelijkingen. 2. vdcraats/bosch, Hoofdstuk 10: Tweedegraadsvergelijkingen. Vraagstukken week 1: section P.1 19, 25, 37, 45 section P.2 3, 15, 23, 31 section P.4 5, 6, 7, 13, 17 section P.5 6, 7, 23, 27, 31 section P.6 2, 6, 13, 14 complex H1 1.1, 1.2 complex H2 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 6

7 Thuis oefenen week 1: Theorie Af vóór werkcollege donderdag Af vóór werkcollege vrijdag vdc+b 1.7, 1.11, 1.25, 2.5, 2.15, 2.20, 2.25, 3.12, 3.23, 3.29, 3.41, 3.50 vdc+b 4.20, 4.31, 4.40, 4.45, 4.52, 5.11, 5.18, 5.24, 6.5, 6.9 vdc+b 9.10, 9.18, 9.22, 9.28, 10.2, 10.12, 10.15,10.24 Opmerking: Het is mogelijk dat je de vraagstukken uit het Basisboek Wiskunde vrij simpel vindt. In dat geval raden we aan slechts de eerste paar onderdelen per vraagstuk te maken. Toch raden we iedereen aan regelmatig te blijven oefenen (er staan genoeg vraagstukken in het boek!) en je formulevaardigheid te trainen. Niet alleen deze eerste weken, maar gedurende de hele cursus. Week 2 1. Adams, Section P.7: The trigonometric functions. 2. vdcraats/bosch, Hoofdstuk 17: Goniometrie. 1. Complex, H3: Het complexe vlak, poolcoördinaten, modulus en argument. 2. Complex, H4: Vermenigvuldigen en delen in termen van modulus en argument. 3. Complex, H5: De Moivre s stelling. 1. vdcraats/bosch, Hoofdstuk 7: Faculteiten en binomiaalcoëfficiënten. 2. Complex, H6: Oplossen van vergelijkingen. Vraagstukken week 2: section P.7 1, 4, 13, 15, 25, 30 vdc+b H , 17.17, 17.20, complex H3 3.1a-d, 3.2a-d, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7 complex H4 4.1, 4.2, 4.3, 4.4 complex H5 5.1a-d, 5.2 vdc+b H7 7.5, 7.14, 7.22, 7.23, 7.25 complex H6 6.1, 6.2 7

8 Week 3 1. Adams, Section 1.2: Limits of functions. 1. Adams, Section 1.3: Limits at infinity and infinite limits. 2. Adams, Section 1.4: Continuity. 3. Adams, Section 1.5: The formal definition of limit. 1. Adams, Section 2.1: Tangent lines and their slopes. 2. Adams, Section 2.2: The derivative. Vraagstukken week 3: section , 14, 17, 18, 33, 36, 57, 58, 75, 76, 78 section 1.3 6, 7, 17, 19, 20, 23, 24, 29, 31, 47, 52 section 1.4 1, 7, 11, 13, 16, 17, 18, 29, 30 section 1.5 section 2.1 3, 7, 8, 17, 22, 23 section , 15, 17, 25, 29, 42 Week 4 1. Adams, Section 2.3: Differentiation rules. 2. Adams, Section 2.4: The chain rule. 3. Adams, Section 2.5: Derivatives of trigonometric functions. 1. Adams, Section 2.6: The Mean-value theorem. 1. Adams, Section 2.8: Higher-order derivatives. 2. Adams, Section 2.9: Implicit differentiation. 8

9 Vraagstukken week 4: section 2.3 8, 11, 19, 21, 22, 23, 33, 36, 41 section 2.4 7, 9, 16, 25, 29, 30 section , 29, 34, 42, 45, 53, 58 section 2.6 3, 4, 5, 6, 9, 13, 18 section 2.8 7, 9, 11, 12, 13, 28 section 2.9 3, 5, 9, 12, 15, 20 Week 5 1. Adams, Section 3.1: Inverse functions. 2. Adams, Section 3.2: Exponential and logarithmic functions. 3. Adams, Section 3.3: The natural logarithm and exponential. 4. Adams, Section 3.4: Growth and decay (t/m blz 181). 1. Adams, Section 3.5: The inverse trigonometric functions. 2. Adams, Section 3.6: Hyperbolic functions. 1. Adams, Section 4.2: Extreme values. 2. Adams, Section 4.3: Concavity and Inflections. Vraagstukken week 5: section 3.1 3, 11, 12, 21, 22, 23, 29, 34 section 3.2 5, 11, 14, 15, 25, 26, 27, 28 section , 17, 18, 21, 33, 35, 46, 55, 58, 59, 62 section 3.4 1, 3, 4, 5, 7, 8 section 3.5 7, 14, 17, 19, 23, 29, 30, 45, 47 section 3.6 2, 3, 7 section 4.2 5, 9, 14, 21, 26, 29, 34, 35, 43, 44 section 4.3 5, 13, 20, 27, 29, 31, 34, 35, 42 9

10 Week 6 1. Adams, Section 4.7: Linear approximations. 2. Adams, Section 4.8: Taylor Polynomials. 1. Adams, Section 4.9: Indeterminate forms. 1. Adams, Section 2.10: Antiderivatives and initial-value problems. 2. Adams, Section 5.6: The method of substitution. Vraagstukken week 6: section 4.7 3, 7, 10, 15, 17, 18 section 4.8 3, 5, 6, 9, 10, 13, 19, 22, 23, 26, 27 section 4.9 5, 8, 9, 14, 15, 23, 26, 27, 28, 29 section , 9, 16, 17, 27, 28, 33, 40, 42, 43 section 5.6 5, 6, 9, 11, 12, 15, 16, 25, 35, 36 Week 7 1. Adams, Section 6.1: Integration by parts. 2. Adams, Section 6.3: Integral of rational functions. 1. Adams, Section 3.7: Second-order linear DEs with constant coefficients. 2. Adams, Section 7.9: First-order differential equations. 3. Adams, Section 17.1: Classifying differential equations. 4. Adams, Section 17.2: Solving first-order equations. 1. Adams, Section 17.4: Differential equations of second order. 2. Adams, Section 17.5: Linear differential equations with constant coefficients. 10

11 Vraagstukken week 7: section 6.1 3, 5, 6, 7, 8, 14, 18, 19, 21, 33 section 6.3 5, 8, 9, 12, 15, 17, 21, 22, 25, 40 section 3.7 1, 3, 5, 7, 8, 11, 25, 28 section 7.9 1, 2, 3, 6, 9, 10, 11 12, 17, 18 section , 5, 6, 7, 8, 11, 12, 15, 16, 17 section , 3, 4, 5, 6, 9, 10 section , 3, 5 section , 2, 3, 7, 8, 9, 10 Week 8 In week 8 is er een tentamen over alle behandelde stof. Het tentamen vindt plaats op maandag 20 oktober 2008 van uur. In welke zalen het tentamen zal plaatsvinden wordt later bekend gemaakt. Meld je tijdig aan via TIS! Tentamenregels Het gebruik van het boek, aantekeningen, formulebladen of een (grafische) rekenmachine bij het tentamen is niet toegestaan. 11

12 4 Vertaling van enkele termen antiderivative antidifferentiate approximation bounded chain rule composition concave downward concave upward curve decreasing denominator derivative difference error fraction fractional exponent identity image increasing increment independent indeterminate infinite inflection point initial condition initial value problem interior point intermediate value theorem jump discontinuity left-hand limit linear approximation lower bound lowerlimit mean value theorem neighborhood numerator perpendicular radius reciprocal removable discontinuity right-hand limit secant line sequence slant asymptote slope square root squeeze law tangent line upper bound upperlimit primitieve primitiveren benadering begrensd kettingregel samenstelling/compositie concaaf convex kromme dalend noemer v.e.breuk afgeleide verschil fout breuk gebroken exponent gelijkheid beeld stijgend toename onafhankelijk onbepaald oneindig buigpunt beginvoorwaarde beginwaardeprobleem inwendig punt tussenwaardestelling sprongdiscontinuïteit linkerlimiet lineaire benadering ondergrens ondergrens v.e. integraal middelwaardestelling omgeving teller v.e. breuk loodrecht straal omgekeerde ophefbare discontinuïteit rechterlimiet koorde rij scheve asymptoot helling vierkantswortel insluitstelling raaklijn bovengrens bovengrens v.e. integraal 12