Rationale Punten op Elliptische Krommen

Transcriptie

1 Rationale Punten op Elliptische Krommen Bart Sevenster 20 juli 2011 Bachelorscriptie Begeleiding: Prof. Dr. G. van der Geer 2 P 1 Q P Q P Q 2 3 KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam

2 Samenvatting In deze scriptie wordt de stelling van Mordell behandeld. Deze stelt dat de groep van rationale punten op een elliptische kromme een eindig voortgebrachte groep is. Om dit te bewijzen worden er eerst enige eigenschappen van elliptische krommen bestudeerd. Vervolgens wordt de Afdaalstelling bewezen, een stelling die voldoende voorwaarden geeft voor een abelse groep om eindig voortgebracht te zijn. In het laatste hoofdstuk wordt de Afdaalstelling toegepast op elliptische krommen en wordt de stelling van Mordell bewezen. Gegevens Titel: Rationale Punten op Elliptische Krommen Auteur: Bart Sevenster, Begeleider: Prof. Dr. G. van der Geer Tweede beoordelaar: Dr. B.J.J. Moonen Einddatum: 20 juli 2011 Korteweg de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Science Park 904, 1098 XH Amsterdam

3 Inhoudsopgave 1

4 Hoofdstuk 1 Inleiding Elliptische krommen zijn gladde derdegraadskrommen met een gespecificeerd punt O. In het algemeen zijn derdegraadskrommen van de vorm E : ax 3 + bx 2 y + cxy 2 + dy 3 + ex 2 + fxy + gy 2 + hx + iy + j = 0. (1.1) We noemen een derdegraadskromme rationaal als alle coeficienten rationaal zijn. In het algemeen heet een polynoom rationaal als de coëfficienten rationaal zijn. In het bijzonder zijn we geinteresseerd in de rationale punten op de kromme E. Dat zijn punten (x 0, y 0 ) Q Q die aan (??) voldoen. Als we nu twee rationale punten a, b op een kromme E hebben kunnen we in het algemeen een derde rationaal punt c vinden. We trekken de lijn door a en b. Dit is een rationale lijn omdat a en b rationale punten zijn. Als we nu de vergelijking voor deze lijn in (??) substitueren krijgen we een rationale derdegraadsvergelijking met twee rationale nulpunten. Dan moet het derde nulpunt ook rationaal zijn. Dit geeft ons de x-coördinaat. Door deze in de vergelijking voor de lijn in te vullen krijgen we de y-coördinaat van het derde snijpunt. Deze moet dan ook weer rationaal zijn. Op deze manier kunnen we dus uit twee rationale punten a, b op een derdegraadskromme K een nieuw rationaal punt c op K vinden. 1.1 De groep van rationale punten op E Hierboven hebben we gezien dat er een gesloten bewerking is op de verzameling van rationale punten op een kromme E. Deze bewerking is niet de groepsoperatie waar we naar op zoek zijn. We definieren de optelling van rationale punten op E, waarbij O een vast rationaal punt op E is, als volgt 2

5 2 P 1 Q P Q P Q 2 3 Figuur 1.1: Het optellen van P en Q P Q is het derde snijpunt van de lijn door P en Q met de kromme E. Nu nemen we het derde snijpunt van de lijn door O en P Q met E en definieren dit als P + Q. Aangezien O en P Q rationale punten zijn is P +Q ook een rationaal punt op E. Om dus aan te tonen dat de verzameling van rationale punten op E met + een groep is moet de bewerking associatief zijn, inverteerbaar en een identeit hebben. Voor een bewijs van deze eigenschappen zie [J.H. Silverman en J. Tate, Rational Points on Elliptic Curves, pagina 18-21]. Het is duidelijk dat de operatie commutatief is, want P Q = Q P (zie fig. 1.1). Dus wordt de verzameling rationale punten op een derdegraadskromme E met de operatie + een abelse groep. De groep van rationale punten op een elliptische kromme E wordt ook wel genoteerd als E(Q) Opmerking. Aan de hand van figuur 1.1 moet men niet denken dat de groep van rationale punten op de kromme afhankelijk is van de positie in het vlak. De groep van rationale punten is namelijk invariant onder birationale transformaties. Dat houdt in dat de groepsstructuur niet verandert als de x of y coördinaat met een rationale waarde verschoven of vermenigvuldigd wordt. 3

6 1.2 Weierstrass Normaalvorm Om expliciete uitdrukkingen voor P + Q en 2P te vinden maken we gebruik van de Weierstrass normaalvorm. Dit is een manier om derdegraadskrommen op een vrij simpele manier uit te drukken. De Weierstrass normaalvorm heeft twee equivalente vormen. y 2 = x 3 + ax + b (1.2) y 2 = x 3 + a x 2 + b x + c (1.3) Dit tonen we hier niet aan. Het mag duidelijk zijn dat door een geschikte transformatie de eerste vorm direct uit de tweede verkregen kan worden. Voor een bewijs van deze beweringen zie [J.H. Silverman en J. Tate, Rational Points on Elliptic Curves, pagina 22-25]. 1.3 Expliciete formules Voor het bewijs van de stelling van Mordell zijn de expliciete uitdrukkingen voor P + Q en 2P nodig. Die zullen we hier dan ook afleiden. Vanaf hier nemen we aan dat de vergelijking voor een elliptische kromme in Weierstrass normaalvorm staat. Stel dat we de vergelijking y 2 = x 3 + ax + b. hebben. Deze schrijven we in homogene coördinaten als Y 2 Z = X 3 + axz 2 + bz 3. Als we Z = 0 stellen krijgen we X 3 = 0. De kromme heeft dus een drievoudig snijpunt met de lijn op oneindig. Een kromme in Weierstrass normaalvorm heeft het punt (0 : 1 : 0) op oneindig. Dit punt maken we het punt O. Hiermee is O een rationaal punt op de kromme. Dit betekent voor de optelling P + Q dat P Q nog steeds op dezelfde manier gedefinieerd is. Om P + Q te krijgen moeten we nu de lijn door O en P Q nemen. Dit is de verticale lijn door P Q. Door de symmetrie van E hoeven dus alleen maar het teken van de y-coördinaat van P Q te verwisselen om P + Q te krijgen. Lemma 1.1. Als twee punten P 1 = (x 1, y 1 ) en P 2 = (x 2, y 2 ) op de elliptische kromme E : y 2 = x 3 + ax 2 + bx + c gegeven zijn kunnen we de coördinaten van het punt P 1 + P 2 = P 3 expliciet uitdrukken als x 3 = λ 2 a x 1 x 2, met λ = y 2 y 1 x 2 x 1, (1.4) 4

7 y 3 = λx 3 ν, met ν = y 1 λx 1 = y 2 λx 2. De lijn door P 1 en P 2 wordt gegeven door y = λx + ν met λ = y 2 y 1 x 2 x 1 en ν = y 1 λx 1 = y 2 λx 2. Om nu het derde snijpunt van y met de kromme E te vinden substitueren we de vergelijking voor y in de de vergelijking voor E y 2 = (λx + ν) 2 = x 3 + ax 2 + bx + c. (1.5) Als we nu alle termen van (??) naar een kant halen krijgen we een derdegraadsvergelijking met drie nulpunten x 1, x 2, x 3. Dit geeft x 3 + (a λ 2 )x 2 + (b 2λν)x + (c ν 2 ) = (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ). Hieruit volgt onmiddelijk dat x 1 + x 2 + x 3 = λ 2 a. Hieruit leiden we de vergelijking voor x 3 af en substitueren die in de uitdrukking voor de lijn door P 1 en P 2 en krijgen x 3 = λ 2 a x 1 x 3 en y 3 = λx 3 + ν. Dit zijn de coördinaten van P 1 P 2. Om nu de coördinaten van P 3 te krijgen hoeven we alleen maar het teken van y 3 te veranderen. De optelling van twee punten kan alleen maar expliciet worden uitgedrukt op de bovenstaande manier als P 1 P 2, omdat we voor P 1 = P 2 geen uitdrukking voor λ hebben. Toch willen we een expliciete uitdrukking voor P + P hebben. Lemma 1.2. Als een punt P 0 = (x 0, y 0 ) op de elliptische kromme E : y 2 = x 3 + ax 2 + bx + c = f(x) gegeven is kunnen we de x-coördinaat van het punt punt P 0 + P 0 uitdrukken als x(2p 0 ) = x4 0 2bx 2 0 8cx 0 + b 2 4ac. (1.6) 4x ax bx + 4c Dit bewijs is analoog aan het bewijs van lemma 1.1. Om de raaklijn aan E in P 0 te berekenen differentieren we de vergelijking voor E impliciet en krijgen λ = f (x) 2y Nu gebruiken we de uitdrukking x 3 = λ 2 a x 1 x 2 en substitueren de gevonden uitdrukking voor λ. In dit geval geldt uiteraard x 0 = x 1. Dan krijgen we x(2p 0 ) = x4 0 2bx 2 0 8cx 0 + b 2 4ac. 4x ax bx + 4c 5

8 Lemma 1.3. Als P een rationaal punt op de kromme is geldt voor zekere m, n, e Z. P = (x, y) = ( m e 2, n e 3 ) (1.7) We schrijven x = m en y = n waarbij we de breuken in laagste M N termen schrijven. Dit substitueren we in de vergelijking voor de kromme: n 2 N 2 = m3 M 3 + a m2 M 2 + b m M + c. Als we de noemers wegwerken krijgen we M 3 n 2 = N 2 m 3 + an 2 Mm 2 + bn 2 M 2 m + cn 2 M 3. N 2 deelt de rechterkant van de vergelijking, dus dan geldt ook N 2 M 3 n 2. Maar N n, dus N 2 M 3. Uit de vergelijking kunnen we afleiden dat M N 2 m 3, met ggd(m,m) = 1. Dus M N 2, waaruit we dan af kunnen leiden dat, omdat M 2 N 2 m 3, dus M N. Als laatste gebruiken we dat M 3 N 2 m 3, dus M 3 N 2. Aangezien M 3 N 2 en N 2 M 3 moet M 3 = N 2. We weten al dat M N, dus we schrijven e = M/N en krijgen e 2 = M 2 N 2 = M 3 M 2 = M en e3 = M 3 N 3 = N 3 Dus klopt de bewering dat x = m e 2 en y = n e 3. N 2 = N 6

9 Hoofdstuk 2 De Afdaalstelling De stelling van Mordell zegt iets over de groep van rationale punten op een elliptische kromme E, een algebraische eigenschap van de kromme E dus. Het is dan ook niet verwonderlijk dat we deze stelling met behulp van algebraische technieken moeten bewijzen. De volgende stelling geeft een aantal eigenschappen van een abelse groep Γ die voldoende zijn voor Γ om eindig voortgebracht te zijn. De stelling is puur algebraisch, dus zo bewijzen we deze ook. Pas in het volgende hoofdstuk gaan we deze toepassen op elliptische krommen. Stelling 2.1. Laat Γ een commutatieve groep zijn. Stel dat er een functie h : Γ R en een getal m 2is zodat er aan de volgende vier eigenschappen wordt voldaan: 1. Voor elk reëel getal M is de verzameling {P Γ : h(p ) M} eindig. 2. Voor elke Q Γ is er een constante C 1, voor alle P, zo dat h(p + Q) 2h(P ) + C Er is een constante C 2 zo dat voor alle P h(mp ) m 2 h(p ) C De deelgroep mγ heeft een eindige index in Γ. Dan wordt de groep Γ eindig voortgebracht. We gaan aantonen dat elk willekeurig punt P Γ geschreven kan worden als een lineaire combinatie van representanten van de nevenklassen van Γ/mΓ en een eindige verzameling A van elementen van Γ. De verzameling 7

10 A vult het gat tussen de lineaire combinatie van representanten en P op. Om aan te tonen dat A eindig is gebruiken we eigenschap (1). De crux van het bewijs is aantonen dat A voor elk punt P Γ gelijk is. Kies elementen Q 1,..., Q r Γ die het eindig aantal nevenklassen van Γ/mΓ representeren. Allereerst schrijven we door deling met rest P = mp 1 + Q i1 voor een zekere 1 i 1 r. Nu doen we hetzelfde voor de punten P 1 tot en met P n 1 P 1 = mp 2 + Q i2. P n 1 = mp n + Q in. We schrijven eigenschap (3), voor k {1,.., n}, om tot h(p k ) 1/m 2 (h(mp k ) + C 2 ) Verder gebruiken we Om te concluderen dat P k 1 Q ik = mp k. h(p k ) 1/m 2 (h(mp k ) + C 2 ) = 1/m 2 (h((p k 1 Q ik ) + C 2 ) 1/m 2 (2h(P k 1 ) + C + C 2 ). Waarbij we voor de laatste ongelijkheid eigenschap (2) gebruiken. De specifieke Q i kennen we niet, maar voor de ongelijkheid is het genoeg om voor C het maximum te kiezen van de constanten C 1 van eigenschap (2) met Q { Q 1,..., Q r }. Hiermee hangen C en C 2 niet van P af, omdat eigenschap (2) onafhankelijk is van de keuze van P. Nu gaan we deze ongelijkheid herhaaldelijk toepassen op P n om een uitdrukking voor P te vinden. Dit geeft ( ) n ( 2 1 h(p n ) h(p ) + m 2 m m + 4 ) 2n (C + C 2 m2 m 2 2 ) ( ) n 2 < h(p ) + C + C 2 m 2 m 2 2 ( ) n 2 h(p ) + C + C ( ) 1 = h(p ) + C + C 2. 2 n 2 8

11 Omdat h(p ) R kunnen we n groot genoeg kiezen zodat h(p n ) (C + C 2). Als we nu alle uitdrukkingen voor P i in elkaar schuiven hebben we P uitgedrukt als de lineaire combinatie P = m n P n + n m j 1 Q ij van P n en Q 1,..., Q r. Hier gebruiken we dat de groep Γ abels is: in een abelse groep geldt dat m(p + Q) = mp + mq. Nu weten we dus dat elke P Γ te schrijven is als lineaire combinatie van punten uit de verzameling j=1 {Q 1,..., Q r } {Q Γ : h(q) (C + C 2)}. We weten dat dit een eindige verzameling moet zijn i.v.m. eigenschap (1) van de functie h. Dus is Γ een eindig voortgebrachte groep. 9

12 Hoofdstuk 3 De stelling van Mordell In dit hoofdstuk gaan we de stelling van Mordell bewijzen. Deze stelling werd door Mordell in het jaar 1922 bewezen. De stelling van Mordell, zoals we al eerder hebben gezien, luidt als volgt. Stelling 3.1. Laat E een elliptische kromme zijn, dan wordt de groep E(Q) eindig voortgebracht. Definitie 3.2. Neem P = (t 1, t 2 ) E(Q) en schrijf t 1 = p/q zonder gemeenschappelijke termen. Dan is de hoogte H(P ) van P gedefinieerd als H(P ) = max{ p, q } Een equivalente definitie is de logaritmische hoogte van een punt op E(Q). De logaritmische hoogte van een punt P E(Q) is gedefinieerd als h x (P ) = log(h(p )) Met h x (O) = 0. Deze is soms handig door de eigenschappen van de logaritme. 3.1 De Afdaalstelling toepassen Om de Afdaalstelling toe te kunnen passen op een elliptische krommen in de Weierstrass normaalvorm y 2 = x 3 + Ax + B zullen we, analoog aan de Afdaalstelling, een aantal lemma s moeten bewijzen. 10

13 Lemma 3.3. Laat E een elliptische kromme, gegeven door y 2 = x 3 +Ax+B, zijn. 1. Neem een willekeurige P 0 E(Q). Dan is er een constante C 1, afhankelijk van P 0, zo dat voor alle P E(Q). 2. Er is een constante C 2 zo dat: h x (P + P 0 ) 2h x (P ) + C 1 voor alle P E(Q). 3. Voor elke constante C 3 is h x (2P ) 4h x (P ) C 2 een eindige verzameling. P E(Q) : h x (P ) C 3 4. De index van 2E(Q) is eindig in E(Q). We bewijzen alle eigenschappen in afzonderlijke lemma s. Lemma 3.4. Neem een willekeurige P 0 E(Q). Dan is er een constante C 1, afhankelijk van P 0 zo dat: voor alle P E(Q). h x (P + P 0 ) 2h x (P ) + C 1 Allereerst kiezen we C 1 > max{h x (P 0 ), h x (P 0 +P 0 )}, want dan geldt het lemma voor P 0 = O of P {O, ±P 0 }. Uit (??) weten we dat voor zekere a, b, d, a 0, b 0, d 0 Z P = (x, y) = ( a d, b ) 2 d 3 en P 0 = (x 0, y 0 ) = ( a0, b ) 0 d 2 0 d 3 0 (3.1) met alle breuken in laagste termen. Nu gaan we naar de x-coördinaat van P + P 0 kijken. Deze noteren we als x(p + P 0 ). Uit de optelformule (??) weten we dat x(p + P 0 ) = ( y y 0 x x 0 ) 2 x x 0 11

14 Als we dit uitwerken krijgen we x(p + P 0 ) = (xx 0 + A)(x + x 0 ) + 2B 2yy 0 (x x 0 ) 2 = (aa 0 + Ad 2 d 2 0)(ad a 0 d 2 ) + 2Bd 4 d 4 0 2bdb 0 d 0 (ad 2 0 a 0 d 2 ) 2. Als we gemeenschappelijke factoren van de noemer en teller voor de breuk halen maakt dat de hoogte van een breuk alleen maar lager omdat dan termen tegen elkaar kunnen wegvallen. Dus H(x(P + P 0 )) C 1 max{ a 2, d 4, bd } met C 1 een constante die afhangt van A, B, a 0, b 0 en d 0. Nu zitten we alleen nog met de bd term. We weten dat de coördinaten aan de vergelijking voor de kromme voldoen, dus uit (??) weten we dat b 2 = a 3 + Aad 4 + Bd 6 Dus door worteltrekken en toepassen van de driehoeksongelijkheid geldt nu b 0 C 1 max{ a 3/2, d 3 }. Als nu d 4 a 2, dan is ook d a 1/2. Dus dan weten we dat Hier uit volgt dat H(x(P + P 0 )) = C 1 max{ a 2, C 1 d a 3/2 } C 1 a 2 of H(x(P + P 0 )) = C 1 max{ d 4, C 1 d 4 } = C 1 d 4. H(x(P + P 0 )) C 1 max{ a 2, d 4 } = C 1 H(x(P )) 2. En als we nu de logaritme nemen krijgen we waarbij log(c 1 ) = c 1. h x (x(p + P 0 ) c 1 + 2h x (x(p )). Lemma 3.5. Er is een constante C 2 zo dat: voor alle P E(Q). h x (2P ) 4h x (P ) C 2 12

15 We nemen aan dat 2P O. Dit kunnen we uitsluiten omdat het aantal elementen met orde twee eindig is. We kunnen de afschatting dus altijd nog aanpassen zodat deze ook klopt voor de punten van orde twee. Nu weten we uit de verdubbelingsformule (??) dat voor de x-coördinaat van 2P geldt x(2p ) = x4 2Ax 2 8Bx + A 2. 4x 3 + 4Ax + 4B Nu gaan we deze twee polynomen in homogene coördinaten omschrijven. Dan komen we tot F (X, Z) = X 4 2AX 2 Z 2 8BXZ 3 + A 2 Z 4, G(X, Z) = 4X 3 Z + 4AXZ 3 + 4BZ 4. We weten dat x(p ) rationaal is, dus kunnen we x schrijven als x(p ) = a/b. Omdat x = a/b krijgen we x(2p ) = F (a, b) G(a, b). Nu noteren we ggd(f (a, b), G(a, b)) = δ. Dit is dus het deel dat uit de breuk wegvalt en dus geen bijdrage levert aan de hoogte. Voor de polynomen F en G gelden de relaties f 1 (a, b)f (a, b) g 1 (a, b)g(a, b) = 4 b 7, f 2 (a, b)f (a, b) g 2 (a, b)g(a, b) = 4 a 7. Waarbij f 1, f 2, g 1, g 2 derdegraads homogene polynomen zijn en = 4A B 2. Dit is niet verwonderlijk omdat F en G relatief priem zijn, dus dan bestaan er uitdrukkingen van deze vorm. Omdat δ nu 4 b 7 en 4 a 7 deelt en a en b geen gemeenschappelijke termen hebben, moet δ wel 4 delen. Dus is δ 4. Dan H(x(2P )) = max{ F (a, b), G(a, b) } δ max{ F (a, b), G(a, b) }. 4 Omdat de f 1, f 2, g 1, g 2 allemaal in homogene coördinaten zijn geldt max{ f 1 (a, b), f 2 (a, b), g 1 (a, b), g 2 (a, b) } Cmax{ a 3, b 3 }. Ook kunnen we, middels een grove afschatting, gemakkelijk inzien dat 4 b 7 2max{ f 1 (a, b), g 1 (a, b) }max{ F (a, b), G(a, b) }, 13

16 4 a 7 2max{ f 2 (a, b), g 2 (a, b) }max{ F (a, b), G(a, b) }. Als we de laatste twee ongelijkheden combineren krijgen we max{ 4 a 7, 4 b 7 } 2Cmax{ a 3, b 3 }max{ F (a, b), G(a, b) }. Omdat de 4 term aan de linkerkant in beide termen voorkomt schrijven we max{ 4 a 7, 4 b 7 } = 4 max{ a 7, b 7 }. Als we nu aan beide kanten door max{ a 3, b 3 } delen krijgen we max{ F (a, b), G(a, b) } 4δ max{ a 4, b 4 }. 2C Uit max{ a, b } = H(x(P )) volgt dat max{ a 4, b 4 } = H(x(P )) 4, waaruit volgt dat H(x(P ))4 H(x(2P )). 2C Door de logaritmes aan beide kanten nemen krijgen we h x (2P ) 4h x (P ) C 2. Met C 2 = log(1/2c). Het is duidelijk dat C 2 van A en B afhangt, omdat de afschatting die we maken alleen van A en B afhangt. Lemma 3.6. Voor elke constante C 3 is een eindige verzameling. {P E(Q) : h x (P ) C 3 } Voor een rationaal getal p/q met ggd(p, q) = 1, geldt H(p/q) = max{ p, q } = D. Dus is het aantal elementen t waarvoor geldt H(t) D gelijk aan (2D + 1) 2, is dus eindig. Uiteraard geldt dit dan ook voor de logaritmes. Dus {P E(Q) : h x (P ) C 3 } is een eindige verzameling. Lemma 3.7. De index van 2E(Q) is eindig in E(Q). In deze scriptie bewijzen we het laatste lemma alleen voor het geval dat het polynoom x 3 + Ax + B een rationaal nulpunt x 0 heeft. Onder deze aanname kunnen we de coördinaten zo aanpassen dat de kromme de vorm E : y 2 = x 3 + ax 2 + bx krijgt. Omdat het polynoom geen dubbele nulpunten heeft weten we dat de discriminant D = b 2 (a 2 4b) 0. Nu definieren we twee krommen Ē : y 2 = x 3 + āx 2 + bx met ā = 2a en b = a 2 4b, 14

17 Ē : y 2 = x 3 + āx 2 + bx met ā = 4a en b = ā 2 4 b = 16b. Omdat D 0 zijn zowel de discriminant van Ē als de discrimant van Ē ongelijk aan nul en zijn zowel Ē als Ē elliptische krommen. Als op de kromme Ē : y 2 = x 3 + 4ax bx de transformatie (x, y) (4x, 8y) uitvoeren en dan de vergelijking door 64 delen krijgen we E. Hieruit volgt onmiddelijk dat een punt (x, y) Ē d.e.s.d.a. (1/4x, 1/8y) E. Nu definieren we de afbeelding φ : E Ē als x = x + a + b x = y2 x 2 en ȳ = y(1 b x 2 ). waarbij zowel (0, 0) als O naar Ō worden gestuurd. De afbeelding φ wordt op dezelfde manier gedefinieerd als een afbeelding van Ē Ē. Nu definieren we de afbeelding ψ als samenstelling van φ en (x, y) (1/4x, 1/8y). Dan is de samenstelling van φ en ψ de afbeelding van E E met P 2P. Het bewijs hiervan is een uitschrijfwerk en staat in [J.H. Silverman en J. Tate, Rational Points on Elliptic Curves, pagina 79-82] Als we nu aan kunnen tonen dat φe(q) een eindige index heeft in Ē(Q) heeft ψē(q) ook een eindige index in E(Q) op grond van symmetrie. Daar volgt dan onmiddelijk uit dat 2E(Q) een eindige index heeft in E(Q). Van φe(q) weten we dat Ō φe(q). Ook weten we dat x = 0 d.e.s.d.a. y = 0. Dus x 2 + ax + b = 0 voor een zeker rationaal punt met x 0 op E. Dat gebeurt als a 2 4b een kwadraat is. Dus (0, 0) φe(q) d.e.s.d.a. b = a 2 4b een kwadraat is. Verder geldt dat als x = r 2, dan wordt het punt x = 1 2 (r2 a + ȳ ) en y = xr r op E naar ( x, ȳ) gestuurd. Dus ( x, ȳ) φe(q) met x 0 d.e.s.d.a. x een kwadraat is in Q. Nu gaan we naar de deelgroep van kwadraten Q 2 van Q kijken. We definieren de afbeelding α : E(Q) Q /Q 2 als α(x, y) = x met (0, 0) b, O 1. Nu moeten we aantonen dat α een homomorfisme is. Stel nu dat P 1 + P 2 + P 3 = O, als dan α(p 1 )α(p 2 )α(p 3 ) = 1 is α een homomorfisme. Allereerst geldt dat α(o) = 1. Stel nu dat P 1 + P 2 + P 3 = O. Dan liggen de P i op een lijn y = λx + µ waarbij x 1, x 2, x 3 de nulpunten zijn van de vergelijking (λx + µ) 2 = x 3 + ax 2 + bx. 15

18 Nu geldt dat het product van de nulpunten x 1 x 2 x 3 = µ 2 voor x i 0. Dus α(p 1 )α(p 2 )α(p 3 ) = µ 2 = 1. Als P 1 = 0 geldt dat µ = 0 dus dan zijn 0, x 2, x 3 de nulpunten van de vergelijking λ 2 x = x 2 + ax + b. en dan α(p 1 )α(p 2 )α(p 3 ) = bx 2 x 3 = b 2 = 1. Het laatste geval is P 1 = O, dan moet P 2 = P 3 en dus x 2 = x 3. Dan geldt dat α(p 1 )α(p 2 )α(p 3 ) = x 2 x 3 = 1. Dit toont aan dat α een homomorfisme is. Nu gaan we aantonen dat het beeld van α eindig is. Neem een punt P = (x, y) = (m/e 2, n/e 3 ) op E. Dan geldt dat α(p ) = m/e 2 = m. Uit de uitdrukking voor E weten we dat n 2 = m(m 2 + ame 2 + be 4 ). Omdat n 2 een kwadraat is, moet elke priemdeler p van m een even aantal maal voorkomen in m tenzij p ook in m 2 + ame 2 + be 4 voorkomt. Dan komt p ook in be 4 voor en dus in b. Dus het beeld van α is een deler van b. Dit zijn er uiteraard maar eindig veel. Uit de omschrijving van het beeld van φ weten we dat de kern van α het beeld is van ψ. Daarom geeft α een isomorfisme van E(Q)/ψ(Ē(Q)) naar een deelverzameling van Q /Q 2 bevat in de verzameling van delers van b. Uiteraard is dan E(Q)/ψ(Ē(Q)) = E(Q)/2E(Q) eindig. 3.2 De stelling van Mordell Hier bewijzen we daadwerkelijk de stelling van Mordell Stelling 3.8. Laat E een elliptische kromme zijn, dan wordt de abelse groep E(Q) eindig voortgebracht. In hoofdstuk 2 hebben we de afdaalstelling bewezen. Deze geeft een aantal voorwaarden die voldoende zijn voor een groep om eindig voortgebracht te zijn. Deze voorwaarden hebben we in hoofdstuk 3 zo aangepast dat ze op elliptische krommen van toepassing zijn en hebben ook aangetoond dat deze beweringen waar zijn. Dit bewijst de stelling. 16

19 Populaire samenvatting In deze scriptie zijn we op zoek naar de rationale punten op een elliptische kromme E. Een elliptische kromme is een gladde kromme die aan de vergelijking E : y 2 = x 3 + ax 2 + bx + c voldoet. Waarbij a, b, c gehele getallen zijn. De rationale punten op zo n kromme zijn de punten (x 0, y 0 ) (Q, Q) die aan de vergelijking voor E voldoen. Dat E glad is houdt in dat de vergelijking x 3 + ax 2 + bx + c geen dubbele nulpunten heeft. Nu blijkt er een groepsoperatie op de verzameling van rationale punten op een elliptische kromme E te zijn. De operatie is het makkelijkst aan de hand van een figuur uit te leggen. Als we twee rationale Figuur 3.1: optelling punten P en Q op de kromme E hebben definieren we het punt P Q als het derde snijpunt met de kromme E van de lijn door P en Q. Om nu het punt P + Q te krijgen hoeven we alleen maar het teken van de y-coördinaat van P Q te verwisselen. Als we nu een rationaal punt op de kromme E hebben kunnen we kijken naar P, de ondergroep voortgebracht door P. Als we nu de lijn door P en P willen nemen, nemen we de raaklijn aan E in het 17

20 Figuur 3.2: 2P punt P. Voor een verduidelijking, zie het figuur hieronder. Nu gaan we naar het stuk {P, 2P, 3P,..} van P kijken. Dus we krijgen 3P door P bij 2P op te tellen enzovoort enzovoort. Als we nu bijvoorbeeld naar de verzameling {P, 2P,..., 8P } kijken krijgen we het volgende figuur. Figuur 3.3: Een aantal optellingen Zoals je kunt zien hebben we hier al een aardig aantal rationale punten op de kromme gevonden. De vraag is alleen of we op deze manier alle rationale punten op E kunnen vinden. Het blijkt nu dat voor elke elliptische kromme E er een eindige verzameling rationale punten op E is zodat de groep 18

21 voortgebracht door deze verzameling de gehele groep van rationale punten is. Dit is de stelling van Mordell en die wordt in het derde hoofdstuk van deze scriptie bewezen. 19

22 Bibliografie [1] J.H. Silverman en J. Tate, Rational Points on Elliptic Curves, 1ste druk, Springer-Verlag, [2] A.W. Knapp, Elliptic Curves, 1ste druk, Princeton University Press, [3] H. McKean en V. Moll, Elliptic Curves, 1ste druk, Cambridge University Press, [4] J.H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, 2de druk, Springer,