1 Symmetrieën van figuren

Transcriptie

1 1 Symmetrieën van figuren 1.1 Het mysterie van de hoge eik Als je door een met water gevulde reageerbuis heen de woorden DIE HOHE EICHE FÄLLT LANGSAM UM leest, waarbij de eerste drie woorden rood en de laatste drie groen zijn geschreven, heeft dit een merkwaardig effect. De eerste drie woorden zijn goed leesbaar, terwijl de laatste drie zich raar verdraaid tonen. a) Wat is er aan de hand? Wat voor rol spelen de kleuren van de letters? b) Geef een voorbeeld van een Nederlandse of een Engelse zin, die hetzelfde effect toont. 1. Symmetrieën van een regelmatige driehoek Tijdens het hoorcollege zijn de symmetrieën van een regelmatige driehoek besproken. Er bleek dat iedere symmetrie van zo n driehoek kan worden geschreven als een combinatie van een rotatie r en de spiegeling s 1 die de hoek 1 op zijn plaats laat, dus iedere symmetrie is een woord bestaand uit de letters r en s 1. Maar er zijn meer mogelijke keuzes voor een dergelijk tweetal letters. a) Laat zien dat iedere symmetrie van de regelmatige driehoek een combinatie is van s 1 en de spiegeling s die hoek op zijn plaats laat. b) Maak een tabel van alle symmetrieën van de regelmatige driehoek en druk deze uit als (zo kort mogelijke) woorden met de letters s 1 en s. Hoe blijkt er uit deze tabel dat de symmetriegroep niet commutatief is? c) Welke symmetrieën worden uitgedrukt door de woorden s 16 1 s897 s 1 s 3567 en s 15 1 s s s 1? 1.3 Symmetrieën van het regelmatige viervlak (schets) 4 (134) -> (134) 3 a) Wat zijn de symmetrieën van dit lichaam? Schrijf deze op als permutaties van de cijfers 1 t/m 4, en verifieer dat je werkelijk alle symmetrieën hebt. 1 1

2 b) Welke symmetrieën krijg je door de symmetrieën (134) (314) en (134) (134) met elkaar te combineren? Waarom? c) Kun je de tweede van deze symmetrieën zo door een andere symmetrie vervangen dat je alle symmetrieën door combineren van deze twee symmetrieën kunt realiseren? 1.4 Symmetrieën van de kubus Schrijf een stukje over de symmetrieën van de kubus. Volg daarbij de voorbeelden van de opgaven en 3, dus bepaal de symmetrieën en bepaal een minimaal aantal symmetrieën waaruit je de rest kunt combineren. Logica en Verzamelingen.1 Logica a) Hoe luidt de ontkenning van de volgende uitspraken? (i) = 5 (iii) er zijn minstens vier even getallen elk natuurlijk getal kan geschreven worden als een som van twee priemgetallen. b) Stel een waarheidstabel op van de volgende uitspraken. (i) (p q) (p (p q)) q c) Toon met een waarheidstabel aan dat p q hetzelfde uitdrukt als q p. d) Welke van de volgende uitspraken zijn waar en welke onwaar? (i) 0 = 1 + = 4 (iii) 0 = 1 + = 5 e) Toon aan met een waarheidstabel dat óf p, óf q (het uitsluitende óf) ook genoteerd kan worden als (p q). f) Welke van de volgende uitspraken zijn waar, welke onwaar? (i) x R (x > x )

3 x R (x = 4) (iii) ( x R x = 4) (iv) (v) x R y R (x = xy) y R x R (x = xy) Hoe luidt de ontkenning van elk van deze uitspraken?. Afbeeldingen en verzamelingen a) Gegeven is de afbeelding f : X Y van een verzameling X naar een verzameling Y. Ga in elk van de onderstaande gevallen na of f injectief, surjectief, bijectief is. Bepaal ook het beeld f(x). Als f bijectief is, bepaal dan ook f 1. (i) X = R, Y = R, f(x) = x 3 (iii) (iv) (v) X = R, Y = (0, ), f(x) = x X = R, Y = R, f(x) = sin x X = C, Y = R, f(z) = z X = C, Y = R, f(z) = (Re(z), z ) b) Verzin een bijectie f : X Y voor de volgende keuzen. (i) X = [0, 1], Y = [0, ] X = N, Y = Z c) Als A een eindige verzameling is, dan is A het aantal elementen van A. Toon aan dat A B = A + B A B. Stel een analoge formule op voor A B C. En eveneens voor A 1 A... A n. d) Een vaas bevat n briefjes genummerd 1 tot en met n. Er zijn n personen, eveneens genummerd 1 tot en met n, die elk een briefje uit de vaas trekken. Wat is de kans dat minstens een persoon zijn eigen nummer trekt? Hint: Zij A i de verzameling van alle permutaties van {1,,..., n} die het getal i op zijn plaats laten. Bereken dan A 1 A... A n. 3

4 3 Groepen Tijdens het hoorcollege is uitgelegd wat een groep is. Voor de volledigheid geven we hier nogmaals de definitie. Definitie: Een groep is een niet-lege verzameling G waarin voor ieder tweetal elementen a, b G een element a b in G is gedefinieerd, zodanig dat aan de volgende eisen is voldaan: (G1) G bevat een element e waarvoor geldt dat a e = e a = a voor alle a uit G. Zo n element heet een eenheidselement. (G) Voor ieder element a G is er een inverse element a 1 zodanig dat a a 1 = a 1 a = e. (G3) Voor ieder drietal elementen a, b, c G geldt dat (a b) c = a (b c). 3.1 Opgave 1 a) Welke van de volgende verzamelingen vormen met de gegeven bewerking een groep? Bewijs je antwoord. (i) De natuurlijke getallen N met de optelling, De gehele getallen Z met de bewerking x y = x + y + voor alle x, y Z, (iii) De complexe vlak minus de oorsprong, C \ {0}, met de vermenigvuldiging, (iv) De reële getallen R met de bewerking x y = (x+y) voor alle x, y R, (v) De symmetrieën van een gelijkzijdige driehoek. (vi) De verzameling G = {0, 1,..., 11} met als samenstelling n m is het element uit G dat gelijk is aan n + m modulo 1. b) Zij G een groep met eenheidselement e. Bewijs de volgende beweringen. (i) a G : (a 1 ) 1 = a, a G b G : (ab) 1 = b 1 a 1, (iii) a G : (a 17 = a 7 = e a = e), (iv) Voor alle a, b G is er precies één x G waarvoor ax = b en precies één y G waarvoor ya = b, (v) Als voor iedere a G geldt dat a = e, dan is G Abels. c) Stel dat G = {e, a, b} een groep van orde 3 is (dat wil zeggen: 3 elementen heeft), met eenheidselement e. Maak een vermenigvuldigingstabel voor G en laat zien dat je hierbij geen keus hebt. 4

5 3. Ondergroepen Definitie: Zij G een groep met eenheidselement e. Een deelverzameling H G heet een ondergroep van G als: (H1) H bevat het eenheidselement van G. (H) Voor alle a, b H geldt: ab H. (H3) Voor alle a H geldt: a 1 H. a) Ga na dat H inderdaad een groep is met de van G geërfde samenstelling. b) Laat zien dat alle even getallen een ondergroep van Z vormen. Laat zien dat Z oneindig veel ondergroepen heeft. c) Laat zien dat {0, 6} een ondergroep is van de cyclische groep {0, 1,,, 11} uit vraag 1a.vi). Geef ook alle andere ondergroepen. d) Bewijs dat axioma H1 volgt uit de andere twee, en bewijs ook dat we H1, H en H3 samen kunnen vervangen door: a H b H : ab 1 H. e) Bewijs dat elke groep G de ondergroepen {e} en G heeft. f) Bewijs dat als H 1 en H ondergroepen zijn van G, dan is ook H 1 H een ondergroep. g) Bewijs dat als a G, dan is de verzameling a n : n Z van machten van a een ondergroep van G. h) Bewijs dat het centrum van G: Z(G) = {a G met x G : ax = xa} een Abelse ondergroep is van G. Bepaal het centrum van de groep van symmetrieën van de gelijkzijdige driehoek. 3.3 Homomorfismen Definitie: Laat G 1 en G groepen zijn met eenheidselementen respectievelijk e 1 en e. Een afbeelding f : G 1 G heet een homomorfisme als a G 1 b G 1 : f(a b) = f(a) f(b). Een bijectief homomorfisme heet een isomorfisme. Merk op dat de samenstelling links de samenstelling in G 1 is en de samenstelling rechts die in G. a) Bewijs dat de volgende afbeeldingen homomorfismen zijn. (i) De tekenafbeelding sgn : R { 1, 1} gegeven door: sgn(x) = x x. exp : R R gegeven door: x e x voor alle x R. 5

6 (iii) De complexe conjungatie op C gegeven door: x + iy = x iy voor alle x + iy C. (iv) De afbeelding f van Z naar de restklassen modulo 10, gegeven door f(n) = n modulo 10. Laat f : G 1 G een homomorfisme van G 1 naar G zijn. b) Bewijs dat f(e 1 ) = f(e ) en f(a 1 ) = f(a) 1 voor alle a G 1. c) Bewijs dat het beeld f[g 1 ] = {f(a) : a G 1 } een ondergroep van G is. Geef in de voorbeelden bij vraag a) aan wat het beeld is. d) Bewijs dat de kern van f: ker(f) = {a G 1 : f(a) = e } een ondergroep van G 1 is. Geef in de voorbeelden bij vraag a) aan wat de kern is. e) Bewijs: f is injectief ker(f) = {e 1 }. Welke afbeeldingen in vraag a) zijn injectief? 4 Opgaven Opgave 1 Geef van de onderstaande figuren aan wat de symmetriegroep is. 6

7 4. Opgave In het college is de diëdergroep D ingevoerd. Bekijk nu eens de volgende werking van D op R, (we noteren een punt x R als x = (x 1, x )) r : (x 1, x ) ( x 1, x ) s 1 : (x 1, x ) ( x 1, x ) s : (x 1, x ) (x 1, x ) a) Ga na (met behulp van de vermenigvuldigingstabel) dat dit inderdaad een groepswerking geeft. Beschrijf de verschillende banen. De cyclische groep C 4 werkt op R door middel van r : (x 1, x ) (x, x 1 ) r : (x 1, x ) ( x 1, x ) r 3 : (x 1, x ) ( x, x 1 ) b) Laat zien dat ook dit een groepswerking is. Hoe zien de banen er ditmaal uit? 4.3 Opgave 3 In deze opgave bekijken we het volgende rooster in R : L = {(n 1, n ), n 1, n Z} a) Laat zien dat L met de vectoriële som, (n 1, n ) + (m 1, m ) = (n 1 + m 1, n + m ), een abelse groep vormt. Voor elk roosterpunt n = (n 1, n ) L voeren we nu de transformatie t n : R R, in door t n : (x 1, x ) (x 1 + n 1, x + n ). b) Laat zien dat dit een actie van L op R definiëert. c) Laat zien dat deze transformaties afstandsbehoudend zijn, dus t n (x) t n (y) = x y, x, y R, waar de euclidische norm gegeven wordt door x = x 1 + x d) Laat zien dat elke baan onder deze actie van L minstens één punt in het eenheidsvierkant [0, 1] [0, 1] bevat. We zouden dus kunnen proberen elke baan [G x] te representeren met een x [0, 1] [0, 1]. Voor welke banen is deze representatie niet uniek? 7

8 e) Laat zien dat de quotientruimte R /L (= de verzameling van alle banen) verkregen kan worden door in het eenheidsvierkant [0, 1] [0, 1] de tegenoverliggende randen aan elkaar te plakken. f) Hoe ziet het bij e) verkregen oppervlak er uit? 4.4 Opgave 4 Bekijk het onderstaande schuifpuzzeltje 1 3 Het bestaat uit drie vierkantjes die op de gebruikelijke wijze op en neer en van links naar rechts verschoven kunnen worden. 1. Geef alle mogelijke configuraties van het puzzeltje.. Laat zien hoe door een vierkantje te verschuiven je van de ene naar de andere configuratie kan gaan. 3. Laat zien dat de symmetriegroep die op dit probleem werkt de cyclische groep C 1 is. 5 Rotaties en Matrices 5.1 De groepen SO() en O() ( ) cos θ sin θ Voor iedere θ R is R θ := de -matrix van de rotatie sin θ cos θ ( ) 1 0 over de hoek θ mod π, en S 0 := is de matrix van de spiegeling 0 1 in de horizontale as. a) Bereken door een matrixvermenigvuldiging de matrix van S θ := R θ S 0. (Er zitten een aantal typefouten in het collegedictaat, ondermeer deze matrix klopt daar niet). b) Laat met behulp van een matrixvermenigvuldiging zien dat de identiteit R θ1 +θ = R θ1 R θ dan en slechts dan geldt als de identiteiten en gelden. cos(θ 1 + θ ) = cos θ 1 cos θ sin θ 1 sin θ sin(θ 1 + θ ) = cos θ 1 sin θ + sin θ 1 cos θ 8

9 c) Bereken met behulp van een matrixvermenigvuldiging het product S θ1 S θ voor willekeurige reële θ 1 en θ. Het resultaat is een rotatie. Bepaal de hoek van deze rotatie. d) Gebruik de resultaten van b) en c) om te laten zien dat SO() wel en O() niet abels is. e) Bereken de matrices (i) R θ1 S θ, θ 1, θ R; S θ1 R θ, θ 1, θ R; (iii) S 0 R θ S 0, θ R. Gebruik het resultaat van (iii) om ook (iv) S θ1 R θ S θ1, θ 1, θ R te bepalen. 5. Complexe getallen en lineaire afbeeldingen a) Welke van de volgende afbeeldingen van R naar R zijn lineair? Bepaal de matrices van de lineaire afbeeldingen. (i) (x, y) (x cos α, y sin α) voor α R; (x, y) ( x, y π); (iii) (x, y) (x, y 3 ); (iv) (x, y) (x cos α + y cos α, x sin α + x sin α) voor α R; (v) (vi) (x, y) (cos x sin y, sin x + cos y); (x, y) ( x, y). b) (i) Door (x, y) x + iy is een bijectie van R naar C gedefiniëerd. Laat zien dat deze afbeelding lineair is. De inverse afbeelding van de in (i) beschouwde afbeelding is z (Re z, Im z) =: ρ(z). Laat zien dat ook deze afbeelding een R- lineaire afbeelding is, d.w.z. dat ρ(az 1 + bz ) = a ρ(z 1 ) + b ρ(z ) a, b R, z 1, z C. Laat zien dat voor iedere ζ C de afbeelding (x, y) ρ(ζ (x + iy)) lineair is en bepaal de matrix en de determinant. ζ C is deze afbeelding een rotatie? Voor welke 9

10 (iii) Laat zien dat de afbeelding (x, y) ρ(x iy) (iv) lineair is en bepaal de matrix en de determinant. Voor willekeurige a, b, c, d R schrijven we α = 1 (a + d + i(c b)), β = 1 (a d + i(b + c)). Laat zien dat de afbeelding (x, y) ρ(α (x + iy) + β (x iy)), lineair is, en bepaal de matrix. 6 Veelvlakken 6.1 Een voetbal Een voetbal heeft 1 vijfhoeken en 0 zeshoeken als zijvlakken. Bereken het aantal hoekpunten (V ), lijnstukken (E) en zijvlakken (F ), en controleer de formule van Euler: V E + F =. 6. De n-dimensionale kubus De n-kubus is de deelverzameling C n = {x R n : x i 1 voor i = 1,..., n} van de R n. 10

11 a) Teken C n voor n = 1,, 3 en 4! b) Bepaal het aantal hoekpunten V n van C n. Geef ook de coördinaten van de hoekpunten. c) Hoeveel lijnstukken E n heeft C n? Hint: ga na dat E n+1 = E n + V n en E 1 = 1 d) Hoeveel lijnstukken komen er in elk hoekpunt van de n-kubus samen? Gebruik dit resultaat om nogmaals E n te berekenen. e) Wat zijn de coördinaten van de middelpunten van de zijvlakken van de 3-kubus? Laat in een figuur zien dat dit de hoekpunten zijn van een octaëder. 6.3 De n-simplex De n-simplex n is de deelverzameling van de R n+1 gegeven door: n = {(x 1,..., x n+1 ) R n+1 met x x n+1 = 1, x i 0 voor alle i} a) Teken n voor n = 0, 1,. b) Laat zien dat de basisvectoren e 1,..., e n+1 in n liggen. c) Gegeven twee punten x, y n, laat zien dat alle punten van de vorm tx + (1 t)y met t [0, 1] in n liggen (dit is het lijnstuk met eindpunten x en y). In het bijzonder liggen de lijnstukken met eindpunten e i en e j in n. Hoeveel lijnstukken zijn dit? d) Bekijk een permutatie g van de verzameling {1,,..., n + 1}. Laat g werken op een vector x = (x 1,..., x n+1 ) door de coördinaten te permuteren, dus g(x) = (x g(1),..., x g(n+1) ). Laat zien dat g de punten van n permuteert en in het bijzonder hoekpunten op hoekpunten afbeeldt. e) Laat g de permutatie g = ( 1 ) zijn. Geef de 3x3-matrix die bij de werking van g op R 3 hoort. 11

12 7 Opgave 7.1 Opgave 1 Beschouw de ruimte R 1,1 met inproduct x y = x 1 y 1 x y (1) voor x, y R 1,1. Het inproduct van een vector x met zichzelf noteren we kort als x x = x. a) Teken de verzamelingen {x = 0}, {x = 1} en {x = 1} in R 1,1. Hoe zien deze verzamelingen er in de Euclidische ruimte R (dus met het Euclidische inproduct!) uit? b) Geef (formule en schets!) de verzameling van vectoren die loodrecht staan op v R 1,1, d.w.z. {x R 1,1, x v = 0}, voor v = ( 1 0 ), ( 1 ) ( 1, en 1 In het college is de Lorentzgroep ingevoerd als de transformatiegroep die het inproduct (1) behoudt. Als onderdeel daarvan, beschouw de Lorentztransformatie ( ) cosh θ sinh θ L θ =, < θ < sinh θ cosh θ met de gebruikelijke definities c) Bewijs L θ1 L θ = L θ1 +θ. sinh θ = eθ e θ, cosh θ = eθ + e θ d) Bereken en teken de baan {L θ x} voor ( ) ( ) ( ) x =,,, (Geef ook de richting van de stroming aan.) ( 1 1 ) ) en ( 1 1 De rest van de opgave willen we een driehoeksongelijkheid gaan afleiden. Als x > 0, dan definieren we de lengte van x als x = x. e) Stel x, y R 1,1 hebben de eigenschap x, y > 0 en x 1, y 1 > 0. Neem nu z = x + y en laat zien dat z > 0. ) 1

13 f) Kies als een speciaal geval x = ( λ 0 ), λ > 0 en y een willekeurig. Bewijs dat voor deze vectoren geldt g) Bewijs nu dat voor deze vectoren geldt (Hint: Kwadrateer (3) en gebruik opgave f).) x y x y. () z x + y. (3) h) Laat zien, door gebruik te maken van opgave d), dat de ongelijkheid (3) geldt voor willekeurige vectoren x, y met x, y > 0 en x 1, y 1 > 0. 13