Instapcursus. Wiskunde. Introductiecursus Wiskunde voor de opleiding Bachelor Grafische en Digitale Media. Frans Vander Meiren

Transcriptie

1 Instapcursus Wiskunde Introductiecursus Wiskunde voor de opleiding Bachelor Grafische en Digitale Media Frans Vander Meiren

2 Inhoud Machten omzetten van eenheden Grafische eenheden Omvormen van formules De stelling van Pythagoras Goniometrie Functies Integralen Matrices Oppervlakte en omtrek van rechthoeken en cirkels Stelsels Vergelijking van een rechte Bibliografie

3 Machten omzetten van eenheden SI-eenheden SI staat voor Système International. Het SI-stelsel of het Internationaal Stelsel van Eenheden is in 1960 ingevoerd om internationaal gemakkelijk gegevens uit te wisselen Grootheid SI-eenheid Symbool Lengte meter m Massa kilogram kg Tijd seconde s Elektrische stroomsterkte Ampère A Temperatuur Kelvin K Stofhoeveelheid mol mol Lichtsterkte candela cd

4 Machten omzetten van eenheden SI-eenheden Alle andere eenheden zijn afgeleid van deze basiseenheden: Grootheid Eenheid Oppervlakte m 2 Volume m 3 Snelheid mτs Kracht Newton = N = kg. ( m s 2) Helderheid (brightness) bij beeldschermen cd m²

5 Machten omzetten van eenheden SI-voorvoegsels Om de leesbaarheid van heel grote of heel kleine maatgetallen te verhogen gebruikt men voorvoegsels bij de eenheden: m = 1 nanometer = 1 nm m = 1 micrometer = 1 µm m = 1 millimeter = 1 mm m = 1 centimeter = 1 cm m = 1 decimeter = 1 dm m = 1 meter = 1 m m = 1 decameter = 1 dam m = 1 hectometer = 1 hm m = 1 kilometer = 1 km m = 1 Megameter = 1 Mm m = 1 Gigameter = 1 Gm m = 1 terameter = 1 Tm

6 Machten omzetten van eenheden Grootheden in de informatica 1 bit = 1b 8 bit = 1 byte = 1B 1 kilobyte = 1024 byte = 1KB 1 megabyte = byte = 1MB 1 miljoen byte 1 gigabyte = byte = 1GB 1 miljard byte 1 terabyte = byte = 1TB 1 biljoen byte

7 Machten omzetten van eenheden Rekenregels voor machten met grondtal 10 Vermenigvuldigen van machten van 10 optellen van de exponenten 10 m 10 n = 10 m+n Delen van machten van 10 aftrekken van de exponenten. De exponent in de noemer wordt afgetrokken van de exponent in de teller 10 m 10 n = 10m n = 1 10 n m macht van 10 verheven tot een macht vermenigvuldigen van de exponenten. 10 m n = 10 mn

9 Grafische eenheden Afmetingen In de grafische wereld worden voor de afmetingen van grafische objecten (foto s, fonts, lijntekeningen, ) vaak andere grootheden gebruikt dan de gebruikelijke SI-eenheden. Onder invloed van de computerwereld, in oorsprong vooral Angelsaksisch georiënteerd, zijn de inch en de picapunt heel populair. Ook worden afmetingen van foto s computertechnisch in pixels uitgedrukt.

10 Grafische eenheden Afmetingen De inch is vooral een alternatief voor de cm en mm om de afmetingen van afbeeldingen, documenten of ontwerpen uit te drukken: 1 inch = 2,54 cm = 25,4 mm De picapunt, of kortweg de punt, is de eenheid waarin het lettercorps (afmetingen van de letter) uitgedrukt wordt: 1 punt=1 pt=1 inch/72

11 Grafische eenheden Afmetingen Afmetingen van foto s (bitmapbeelden) worden computertechnisch altijd uitgedrukt in pixels (beeldpunten). Een afbeelding van 1800 x 1200 pixels betekent dat de afbeelding 1800 pixels breed is en 1200 pixels hoog. Om te weten wat de fysische dimensies van die afbeelding zijn (de afmetingen in m, cm, inch) moet je naast de afmetingen in pixels ook de resolutie kennen. De resolutie drukt het aantal beeldpunten uit per eenheid van afstand: Voorbeelden: 200 pixels per inch = 200 p/inch 200 pixels per cm = 200 p/cm In de praktijk hanteert men meestal een afwijkende notatie om de resolutie weer te geven: 200 p/inch = 200 ppi 200 p/cm = 200 ppcm

12 Grafische eenheden Omrekeningen Afmeting metrisch = Afmeting pixels Resolutie Afmeting pixels = Afmeting metrisch Resolutie Resolutie = Afmeting pixels Afmeting metrisch

13 Grafische eenheden Voorbeelden: Een afbeelding heeft als afmetingen 1800 x 1200 pixels en een resolutie van 300ppi. Wat zijn de afmetingen van die afbeelding in cm? Oplossing: Afmeting metrisch = Afmeting pixels Resolutie Breedte = ppi = 6 inch = 15,24 cm Hoogte = ppi = 4 inch = 10,16 cm

15 Omvormen van formules Inleiding Een formule drukt altijd een wiskundig verband uit tussen grootheden. Voorbeeld: het verband tussen de temperatuur in graden Fahrenheit en Celsius F = C (C = de temperatuur in graden Celsius en F = de temperatuur in graden Fahrenheit.) Meer bepaald wordt in deze vergelijking F uitgedrukt in functie van C. Ken je de temperatuur in Celsius dan kan je gemakkelijk de temperatuur in Fahrenheit berekenen. Voor C = 20 wordt dat: F = = 68 fahrenheit 5 Ken je de temperatuur in Fahrenheit en moet je die in Celsius bepalen dan moet bovenstaande formule omgevormd worden tot een vergelijking waarin C uitgedrukt wordt in functie van F.

16 Omvormen van formules Elementaire regels voor het omvormen van formules 1. Wat je bij het LL (linker lid) optelt, moet je ook bij het RL (rechter lid) optellen. 2. Als je het LL met een factor vermenigvuldigt, dan moet je het RL met dezelfde factor vermenigvuldigen om de gelijkheid te kunnen behouden. 3. Je kan ook gebruik maken van het zogenaamde kruisproduct: a b = c d ad = bc

17 Omvormen van formules Voorbeeld De formule F = C zetten we om naar een uitdrukking waarbij C staat in functie van F Toepassing van regel 1: F 32 = 9 5 C Toepassing van regel 2: (F 32) 5 9 = C Of: C = (F 32) 5 9

19 Stelling van Pythagoras In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de twee rechthoekzijden Of als formule: Afleidingen: a 2 + b 2 = c 2 c = a 2 + b 2 a = c 2 b 2

20 Stelling van Pythagoras Voorbeeld Een post-it heeft de vorm van een vierkant en een diameter van 10 cm. Bereken de oppervlakte van een briefje. Oplossing: De oppervlakte van een vierkant is gelijk aan het kwadraat van de zijde z = z². Volgens de stelling van Pythagoras geldt: z 2 + z 2 = c 2 Hieruit volgt: 2z 2 = c 2 z c = 10cm z 2 = c2 2 = 100 cm² 2 = 50 cm² z

22 Goniometrie Goniometrische getallen sin α = a c = overstaande rechthoekszijde schuine zijde a c cos α = b c tan α = = aanliggende rechthoekszijde schuine zijde sin α cos α = a b cot α = 1 tan α = b a = overstaande rechthoekszijde aanliggende rechthoekszijde = aanliggende rechthoekszijde overstaande rechthoekszijde b

23 Goniometrie Goniometrische cirkel Cirkel met straal 1 en met middelpunt de oorsprong van een orthonormaal assenstelsel Op de goniometrische cirkel kunnen we de groottes van de sinus, cosinus en tangens aflezen: De cosinus van de georiënteerde hoek is de x-coördinaat van het beeldpunt. De sinus van de georiënteerde hoek is de y-coördinaat van het beeldpunt. De tangens is de y-coördinaat van het snijpunt van de drager van het eindbeen en de rechte met vergelijking x = 1.

24 Goniometrie Goniometrische cirkel (0, 1) sin B (cos, sin ) C (1, tan ) (-1, 0) cos (1, 0) (0, -1)

25 Goniometrie Goniometrische cirkel Hoek in het tweede kwadrant (0, 1) (cos, sin ) sin (-1, 0) cos (1, 0) (1, tan ) (0, -1)

26 Goniometrie Radialen Hoeken kunnen uitgedrukt worden in graden en in radialen. Eén radiaal (1 rad) is gedefinieerd als de grootte van een middelpuntshoek van een cirkel waarvan de lengte van de boog gelijk is aan de lengte van de straal. 360 = 6, rad = 2 * 3, rad = 2 rad of kortweg: 360 = 2 R 1 rad Booglengte gelijk aan de straal R

27 Goniometrie Omrekening Van graden naar radialen: Van radialen naar graden: α radialen = 2π 360 α graden α graden = 360 2π α radialen Voorbeeld: we berekenen het aantal graden waarmee een hoek van 1 rad overeenkomt: α graden = 360 2π 1 = 57,296

28 Goniometrie Van decimale graden naar graden-minuten-seconden Uit het voorgaande voorbeeld blijkt dat 1 rad = 57,296. Dit is een decimale voorstelling van een aantal graden. Om het aantal minuten te kennen waarmee de decimale fractie overeenkomt, moeten we deze vermenigvuldigen met 60. 0,296 * 60 = 17,76 Op dezelfde manier berekenen we het aantal seconden waarmee 0,76 overeenkomt: Conclusie: 0,76 * 60 = 45,6 57,296 =

29 Goniometrie Van decimale graden naar graden-minuten-seconden Elke wetenschappelijke rekenmachine voorziet in de mogelijkheid voor een omzetting. Hiervoor is een DMS-functie voorzien, maar de wijze waarop die moet gebruikt worden is niet eenduidig en afhankelijk van de rekenmachine in kwestie. Bij een Windows-rekenmachine maak je de omrekening door achtereenvolgens de knoppen en dms in te drukken. Het resultaat is een getal waarvan de eerste twee decimalen de minuten zijn en de volgende twee de seconden. Eventuele bijkomende cijfers vormen dan de decimale fractie van de seconden.

30 Goniometrie Elementaire goniometrische vergelijkingen Met behulp van de goniometrische cirkel kunnen een aantal elementaire vergelijkingen opgesteld worden sin = sin = sin ( - ) cos = cos = cos - sin = sin ( - ) = - cos = cos - = -

31 Goniometrie Elementaire goniometrische vergelijkingen (vervolg) tan = tan = tan ( + ) = tan ( - ) tan = tan ( + ) = tan ( - ) = + = -

33 Functies Inleiding In de wiskunde drukt een functie een verband uit van een grootheid met een andere grootheid. Dit verband kan vastgelegd worden: In een tabel In een grafiek Via een functievoorschrift x y y = f(x) = x²

34 Functies Voorbeeld Na een zware bui in Aalst wordt de brandweer opgeroepen om een kelder leeg te pompen. De kelder is 5 op 8 meter groot en het water staat anderhalve meter hoog. De brandweer kan met de pomp die ze bij hebben liter water per uur wegpompen. Zet het verloop uit van het water in de kelder in functie van de tijd tijdens het wegpompen. X (uur) Y (m³) y = f(x) = -10.x + 60

35 Functies Kwadratische functie f x = 1 2 x2 2x + 4 x y , , , ,5 8 20

36 Functies Sinusfunctie f x = sin(x) x (rad) y 0 0,00 1 0,84 2 0,91 3 0,14 4-0,76 5-0,96 6-0,28 7 0,66 8 0,99

38 Integralen Inleiding Integralen worden gebruikt in de analytische meetkunde, onder andere bij het berekenen van oppervlakten. In zijn eenvoudigste betekenis gaat het om het berekenen van een oppervlakte begrensd door de grafiek van de functie en de x-as, tussen 2 verticale lijnen of grenzen. Voorbeeld: 7 7 න f x dx = න 1 1 (x 2 +10) dx

39 Integralen Praktische betekenis Het is bekend dat de arbeid of energie E door een motor geleverd gelijk is aan het vermogen P dat de motor afgeeft vermenigvuldigd met de tijd t dat die actief is: E = P. t We kunnen dit ook grafisch voorstellen. Het vermogen in functie van de tijd is constant en dus is dit een horizontale lijn. De energie geleverd tussen een tijd 0 en t vinden we in de grafiek als de oppervlakte van een rechthoek met zijden P en t.

40 Integralen Praktische betekenis Als P niet constant is dan kan bovenstaande uitdrukking niet meer gebruikt worden. Voor het eenvoudig geval dat P lineair toeneemt met de tijd is de vermogensgrafiek te vinden in de volgende figuur. De energie geleverd is dan de oppervlakte van de driehoek onder de functie, binnen het tijdsinterval [0, t]. Conclusie: het bereken van de energie voor een gegeven functie P(t) binnen een tijdsinterval komt dus neer op het bepalen van de oppervlakte onder de curve binnen het gegeven tijdsinterval.

41 Integralen Praktische betekenis Zolang de oppervlakte onder de grafiek een eenvoudige meetkundige figuur is, is het berekenen van de oppervlakte (en dus de energie) relatief eenvoudig. Anders wordt het wanneer de grafiek van de functie een niet zo eenvoudige vorm heeft. In dat geval moeten we terugvallen op de integraalrekening om de oppervlakte te berekenen. De notatie hiervan is: t E = න P t. dt 0

42 Integralen Het berekenen van een integraal We kunnen integralen heel precies berekenen, maar hiervoor hebben we integratiemethodes nodig. Deze vallen buiten het bestek van deze cursus. Er bestaan echter ook manieren om integralen benaderend te berekenen. Zo kunnen we het interval [1, 7] opsplitsen in 6 gelijke deelintervallen. Met elk van die deelintervallen associëren we een rechthoek waarvan de hoogte gelijk is aan de y-waarde van het midden van het interval.

43 Integralen Het berekenen van een integraal Berekenen we de oppervlakte van elk deelinterval en tellen we die samen dan krijgen we benaderend de totale oppervlakte onder de curve voor het interval [1, 7]. De uitwerking vind je in onderstaande tabel terug. We vinden als uitkomst 173,5 terwijl het correcte resultaat, gevonden via integraalrekening, gelijk is aan 174. breedte interval: 1 interval i x-waarde y-waardeoppervlakte 1 1,5 12,25 12,25 2 2,5 16,25 16,25 3 3,5 22,25 22,25 4 4,5 30,25 30,25 5 5,5 40,25 40,25 6 Totale oppervlakte 6,5 52,25 52,25 173,5

44 Integralen Het berekenen van een integraal Via de benaderde methode kunnen we een nog nauwkeuriger resultaat bekomen als we de deelintervallen nog kleiner maken. In de volgende figuur werken we met deelintervallen van 0,5. Uitwerking levert nu een resultaat van 173,875. breedte interval: 0,5 interval i x-waarde y-waarde oppervlakte 1 1,25 11,5625 5, ,75 13,0625 6, ,25 15,0625 7, ,75 17,5625 8, ,25 20, , ,75 24, , ,25 28, , ,75 32, , ,25 37, , ,75 43, , ,25 49, , ,75 55, ,78125 Totale oppervlakte 173,875

45 Integralen Oefening 1 Gegeven: de functie f x = x Bereken de volgende integraal benaderend: 1 5 f x dx (werkelijke oplossing = 6,787)

46 Integralen Oefening 1, oplossing 4 deelintervallen breedte interval: 1 interval i x-waarde y-waarde opp 1 1,5 1,225 1, ,5 1,581 1, ,5 1,871 1, ,5 2,121 2,121 Totale oppervlakte 6,798

47 Integralen Oefening 1, oplossing 8 deelintervallen breedte interval: 0,5 interval i x-waarde y-waarde opp 1 1,25 1,118 0, ,75 1,323 0, ,25 1,500 0, ,75 1,658 0, ,25 1,803 0, ,75 1,936 0, ,25 2,062 1, ,75 2,179 1,090 Totale oppervlakte 6,790

48 Integralen Oefening 2 Bereken de volgende integraal 0 2 x 2 + 2x dx benaderend met 10 deelintegralen.

49 Integralen Oefening 2, oplossing Werkelijke oplossing = 1,3333 breedte interval: 0,2 interval i x-waarde y-waarde oppervlakte 1 0,1 0,190 0, ,3 0,510 0, ,5 0,750 0, ,7 0,910 0, ,9 0,990 0, ,1 0,990 0, ,3 0,910 0, ,5 0,750 0, ,7 0,510 0, ,9 0,190 0,038 Totale oppervlakte 1,340

51 Matrices Inleiding Een matrix is een rechthoekig getallenschema waarbij de getallen geordend zijn in rijen en kolommen, en genoteerd wordt als: A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn waarbij a ij de elementen zijn van de matrix. Het element a ij staat in de i-de rij en de j-de kolom. De eerste index duidt dus de rij aan, de tweede de kolom. Met m het aantal rijen en n het aantal kolommen spreken we van een m x n matrix. Als het aantal rijen gelijk is aan het aantal kolommen, dus als m = n, hebben we het over een vierkante matrix.

52 Matrices Inleiding Als het aantal rijen gelijk is aan 1, dan hebben we een rijmatrix; en is het aantal kolommen gelijk aan 1, dan spreken we over een kolommatrix. B is een voorbeeld van een 1 x 3 rijmatrix, C van een 3 x 1 kolommatrix: 38 B = C =

53 Matrices Toepassingen Matrices zijn belangrijke instrumenten in de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, dat zijn toepassing vindt in vele domeinen van de wetenschappen, technologie en informatica. In de grafische technologie worden matrices o.a. gebruikt voor de geometrische transformatie (translatie, rotatie, schaling, ) van grafische objecten (letters, symbolen, foto s, ) en ook voor kleurentransformaties.

54 Matrices Bewerkingen Optelling De som van twee m n matrices A en B is de matrix A + B waarvoor geldt: A + B is een m n -matrix i, j M N : A + B ij =(A) ij +(B) ij (met M={1,2,...,m} en N={1,2,...n})

55 Matrices Bewerkingen Optelling Voorbeeld: A = B = A + B = =

56 Matrices Bewerkingen Scalaire vermenigvuldiging Het product van een scalair r R met een (m n)-matrix is de matrix r.a of ra, bepaald door: De matrix ra is een m n matrix i, j M N : ra ij = r. A ij (met M={1,2,...,m} en N={1,2,...n})

57 Matrices Bewerkingen Scalaire vermenigvuldiging Voorbeeld: 3. A = = =

58 Matrices Bewerkingen Vermenigvuldiging van twee matrices Het product van een (m n) matrix met een (n p) matrix B is de matrix, genoteerd A. B, bepaald door: A. B is een m p matrix i, j M x P : A. B ij = A i1 B 1j + + A in B nj n = k=1 A ik B kj (met M = {1,2,..., m} en N = {1,2,... n})

59 Matrices Bewerkingen Vermenigvuldiging van twee matrices Voorbeeld 1: A = en B = A. B = = =

60 Matrices Bewerkingen Vermenigvuldiging van twee matrices Voorbeeld 2: A = en B = A. B = = =

61 Matrices Bewerkingen Transponeren van een matrix De getransponeerde matrix van een m n matrix A is de n m matrix B die men verkrijgt door de rijen van A als kolommen van de matrix B te schrijven en dit met behoud van de volgorde. De getransponeerde matrix van A schrijven we als A t. Voorbeeld: A = At =

63 Matrices Oppervlakte en omtrek van rechthoek, driehoek en cirkel Rechthoek omtrek = 2 l + b Oppervlakte = l. b l b Driehoek Oppervlakte = h. b 2 h b Cirkel omtrek = d. π = 2r. π Oppervlakte = d 2. π 4 = r2. π r d

65 Stelsels Combinatiemethode Bij de combinatiemethode zullen we telkens een vergelijking vervangen door een gepaste combinatie (som van veelvouden) van deze vergelijking en één of meerdere andere vergelijkingen. De bedoeling hierbij is dat in de resulterende vergelijking minder onbekenden voorkomen dan in de oorspronkelijke vergelijking.

66 Stelsels Combinatiemethode Voorbeeld: bepaal x en y in het volgende stelsel: 9x + 3y = 15 (1) ቊ 2x + y = 2 (2) Oplossing: we vermenigvuldigen vergelijking 2 met -3. Dit stelt ons in staat om y te elimineren. 9x + 3y = 15 (1) ቊ 6x 3y = 6 3 = 2 3 Vergelijking 1 en 3 tellen we bij elkaar op: + 9x + 3y = 15 6x 3y = 6 3x = 9 Hieruit volgt dat x = 3. Vul je die waarde in in 1 (of 2) dan bekom je y = -4

67 Stelsels Substitutiemethode Bij de substitutiemethode wordt een vergelijking gebruikt om één onbekende in functie van de overige onbekenden uit te drukken. In de andere vergelijkingen van het stelsel wordt deze onbekende dan vervangen door de gevonden uitdrukking.

68 Stelsels Substitutiemethode Voorbeeld: bepaal x en y in het volgende stelsel: x = 2y (1) ቊ 3y + 3x = 20 (2) Oplossing: uit vergelijking 2 halen we x: 3x = 20 3y x = 20 y (3) 3 Vergelijking 3 brengen we in 1: y = 2y 7y = 2y ,667 = 9y y = 1,852

70 Vergelijking van een rechte Algemeen Elke rechte in het vlak kunnen we voorstellen door een vergelijking. Afhankelijk van wat we gegeven krijgen, bestaan er verschillende formules om zo een vergelijking op te stellen. Er bestaat een cartesische vergelijking voor een rechte waarvan 2 punten gegeven zijn: y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 )

71 Vergelijking van een rechte Voorbeeld We zoeken de vergelijking van de rechte die hier wordt afgebeeld met de punten A x 1, y 1 = A 1, 2 en B x 2, y 2 = B 6, 5. B(6, 5) A(1, 2)

72 Vergelijking van een rechte Voorbeeld Met A x 1, y 1 = A 1, 2 en B x 2, y 2 = B 6, 5 bekomen we: y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 x x 1 y 2 = x 1 y = 3 5 x y = 3 5 x + 7 5

73 Vergelijking van een rechte Voorbeeld De richtingscoëfficiënt (rico) van een rechte is een maat voor de helling van de rechte en wordt gedefinieerd als de tangens van de hellingshoek rico = tan = y 2 y 1 x 2 x 1