Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8

Inhoud Overgangsmatrices Inproductruimten Orthonormale bases 4 Projectie Gram-Schmidt J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8

Overgangsmatrices Laat S = {v, v,..., v n } en T = {w, w,..., w n } twee geordende bases zijn van een vectorruimte V. Dan is voor v V : c v = c w + c w + + c n w n, ofwel [v] T =. c c n [v] S = [c w + c w + + c n w n ] S = [c w ] S + [c w ] S + + [c n w n ] S = c [w ] S + c [w ] S + + c n [w n ] S Definitie De overgangsmatrix of transitiematrix van de basis T naar de basis S is de matrix P S T met als j-de kolom de vector [w j ] S. NB: dan dus [v] S = P S T [v] T J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8

Voorbeeld S = {e, e } en T = {w, w } met e = [ ] [, e = ] [, w = ] [, w = ] dan P S T = [[w ] S [w ] S ] = [ ] J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 4 / 8

Voorbeeld [vervolg] Laat nu [v] T = [ ] Dan is [v] S = P S T [v] T dus Inderdaad geldt [v] S = [ [ ] [ + ] [ ] [ = 7 ] = [ 7 ] ] [ + ] J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8

Voorbeeld S = {e, e } en T = {w, w } met e = [ ] [, e = ] [, w = ] [, w = dan Q T S de overgangsmatrix voor de overgang van S naar T : [ ] [ Q T S = [[e ] T [e ] T ] =, P S T = [[w ] S [w ] S ] = ] ] zodat P S T Q T S = [ ] [ ] = [ ] = I dus P en Q zijn elkaars inverse. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 6 / 8

Stelling Laat V een vectorruimte zijn, met bases S = {s, s,..., s n } en T. De overgangsmatrix P S T van T naar S is inverteerbaar, en de inverse is gelijk aan de overgangsmatrix Q T S van S naar T : Bewijs: er geldt voor v V dat P S T = Q T S [v] S = P[v] T en [v] T = Q[v] S dus [v] S = PQ[v] S Door v resp. gelijk te nemen aan s, s,..., s n volgt PQ = I n. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 7 / 8

Voorbeeld Bepaal P S T voor S = {v, v, v } en T = {w, w, w } met v = w = 6, v =, w = 4 de j-de kolom van P is [w j ] S, dus los op:, v =, w =, a v + a v + a v = w b v + b v + b v = w c v + c v + c v = w J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 8 / 8

Voorbeeld Dit geeft drie stelsels met dezelfde coëfficiëntenmatrix. Los tegelijk op: 6 4 [S T ] = Conclusie: P S T = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 9 / 8

Voorbeeld De matrix Q T S kan op twee manieren bepaald worden: Q = P dus veeg [P I ] = j-de kolom van Q T S is [v j ] T dus veeg [T S] = 6 4 We vinden op beide manieren: Q T S = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8

Voorbeeld Bepaal nu de coördinaatvectoren van de vector v = ten opzichte van de bases S en T. [S v] = 4 dus [v] S = 4 Dan is [v] T = Q T S [v] S = 4 = 7 9 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8

Voorbeeld Of andersom (eerst [v] T bepalen): [T v] = 6 4 7 9 dus [v] T = 7 9 En dan [v] S = P S T [v] T = 7 9 = 4 Controle van [v] T : 6 + 7 4 Op dezelfde manier controleer je [v] S. + 9 = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8

Inproductruimten Stelling Het standaard inproduct voor vectoren u, v in R is gedefinieerd als u v = u T v = [ ] [ ] v u u = u v v + u v en voldoet aan de volgende eigenschappen (a) u u voor alle u R en u u = dan en slechts dan als u = (b) u v = v u voor alle u, v R (c) (u + v) w = u w + v w voor alle u, v, w R (d) cu v = c(u v), voor alle c R en u, v R. Het standaard inproduct in R en algemener in R n voldoet aan dezelfde eigenschappen. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8

Definitie Laat V een reële vectorruimte zijn. Een inproduct op V is een functie die aan elk geordend paar vectoren u, v V een reëel getal (u, v) toekent, en die voldoet aan de volgende eigenschappen (a) (u, u) voor alle u V en (u, u) = dan en slechts dan als u = (b) (u, v) = (v, u) voor alle u, v V (c) ((u + v), w) = (u, w) + (v, w) voor alle u, v, w V (d) (cu, v) = c(u, v), voor alle c R en u, v V. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 4 / 8

Voorbeeld Voor elke eindig-dimensionale vectorruimte V van dimensie n kunnen we een inproduct definiëren in termen van het standaard inproduct in R n : laat S = {u, u,..., u n } een geordende basis zijn voor V. Twee vectoren v en w kunnen we schrijven op deze basis. Als a b a [v] S =. en [w] b S =. a n b n de coördinaatvectoren in R n zijn, dan kunnen we definiëren: (v, w) = [v] S [w] S = a b + a b + + a n b n J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8

Voorbeeld Laat V de (oneindig-dimensionale) vectorruimte zijn van alle continue reëelwaardige functies op het interval [, ]. Definieer op deze vectorruimte het inproduct voor functies f, g : [, ] R als volgt: (f, g) = f (t)g(t)dt J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 6 / 8

Definitie Een vectorruimte met daarop gedefinieerd een inproduct heet een inproductruimte. Een eindig-dimensionale inproductruimte heet een Euclidische ruimte. Definitie De lengte van een vector u in een inproductruimte wordt gedefinieerd als u = (u, u) Definitie De afstand tussen twee vectoren u, v in een inproductruimte wordt gedefinieerd als d(u, v) = u v J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 7 / 8

Definitie We definiëren de hoek tussen twee niet-nul vectoren u en v in een inproductruimte V als die hoek θ waarvoor cos θ = (u, v) u v en θ π NB: deze definitie is correct wegens de stelling van Cauchy-Schwarz die zegt dat (u, v) u v voor elk tweetal vectoren u en v in een inproductruimte V. Anders gezegd, als u, v : (u, v) u v Gevolg: er is precies één hoek θ met θ π zodat cos θ = NB: θ = π dan en slechts dan als (u, v) =. (u,v) u v. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 8 / 8

Definitie Twee vectoren u en v in een inproductruimte V heten orthogonaal als (u, v) =. Voorbeeld De twee functies f, g : [, ] R met f (t) = t en g(t) = t zijn orthogonale vectoren in de eerder gedefinieerde inproductruimte van continue functies op [, ], want (f, g) = t(t )dt = (t t)dt = [ t t ] = Definitie Een verzameling S van vectoren in een inproductruimte heet orthogonaal als elk tweetal vectoren uit S orthogonaal is. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 9 / 8

Orthonormale bases Definitie Een verzameling S van vectoren in een inproductruimte heet orthonormaal als S orthogonaal is en bovendien elke vector in S lengte heeft. Definitie Een vector van lengte in een inproductruimte heet een eenheidsvector Voor elke vector x in een inproductruimte kunnen we een eenheidsvector u vinden met dezelfde richting als x door x op te normeren: u = x x Zo vorm je een orthogonale verzameling gemakkelijk om tot een orthonormale verzameling J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8

Voorbeeld x = u =, x =, x = De verzameling {x, x, x } is orthogonaal. Er geldt dat x = x = en x =. De vectoren, u = zijn eenheidsvectoren in de richting van x respectievelijk x. De verzameling {u, u, x } is dus orthonormaal. NB: de orthogonale verzameling {x, x, x } is lineair onafhankelijk. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8

Stelling Als S = {u, u,..., u n } een eindige verzameling orthogonale niet-nul vectoren is in een inproductruimte V, dan is S lineair onafhankelijk. Bewijs: stel a u + a u + + a n u n = en neem aan beide kanten het inproduct met u i : dit geeft a i (u i, u i ) = dus a i = (want u i ). Gevolg: als je een orthogonale of orthonormale verzameling van n vectoren kunt vinden in een inproductruimte V van dimensie n, dan vormt deze verzameling een basis van V. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8

Definitie Een geordende basis S voor een Euclidische ruimte V die bestaat uit een orthonormale verzameling vectoren heet een orthonormale basis. Voorbeeld De standaardbasis in R n is een orthonormale basis. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8

Het gebruik van een orthonormale basis vermindert het rekenwerk: Stelling Laat S = {u, u,..., u n } een orthonormale basis voor een Euclidische ruimte V zijn. En laat v een willekeurige vector in V zijn. Dan v = c u + c u + + c n u n, met c i = (v, u i ), i =... n. Om de coördinaatvector [v] S = c c. te bepalen hoeft dus geen stelsel van n lineaire vergelijkingen in n onbekenden opgelost te worden, maar moeten slechts n inproducten uitgerekend worden. c n J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 4 / 8

Voorbeeld De verzameling S = {u, u, u } met u =, u = 4, u = 4 is een orthonormale basis voor R. Laat v =, dan heeft v t.o.v. de basis S de volgende coördinaten: Er geldt dus (v, u ) =, (v, u ) =, (v, u ) = 7. v = u u + 7 u J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8

Ook inproducten zijn erg makkelijk te bepalen voor vectoren geschreven op een orthonormale basis: Stelling Laat V een Euclidische ruimte zijn en S = {u, u,..., u n } een orthonormale basis voor V. Dan geldt voor vectoren v = a u + a u + + a n u n en w = b u + b u + + b n u n dat (v, w) = a b + a b + + a n b n ofwel het inproduct is gelijk aan het standaard inproduct van de coördinaatvectoren in R n : (v, w) = ([v] S, [w] S ). Bewijs: (u i, u j ) = { als i = j als i j J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 6 / 8

Tenslotte zijn ook lengtes van vectoren t.o.v. alle orthonormale bases gelijk. En dus ook afstanden tussen vectoren. Stelling Laat S een orthonormale basis zijn voor een inproductruimte V, zodat voor de vector v in V geldt dat a a [v] S =. Dan geldt voor de lengte van v: v = a + a + + a n Bewijs: v = (v, v) = ([v] S, [v] S ) = [v] S a n J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 7 / 8

Voorbeeld Neem v = [ ] een vector in R, met lengte v = + + =. Neem nu S gelijk aan de orthonormale basis { [ ], [ 4 ] }, [ 4 + ( ) + ( 7 ) = ] } Dan is [v]s = 7 = = v 7 en Echter, voor de basis T = { [ ], [ ] }, [ ] } is [v] T = en geeft + + = niet de lengte van v. De basis T is niet orthonormaal. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 8 / 8

Projectie Stelling Als V een inproductruimte is, en W is een lineaire deelruimte van V, dan kan elke vector u in V op eenduidige wijze geschreven worden als met w in W en v loodrecht op W. u = v + w Definitie de vector w in bovenstaande ontbinding heet de loodrechte projectie proj W u van u op W. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 9 / 8

Projectie op een deelruimte W is eenvoudig als je een orthogonale of orthonormale basis van W hebt: Stelling Als {w, w,..., w m } een orthogonale basis is van W, dan Stelling proj W u = (u, w ) (w, w ) w + (u, w ) (w, w ) w + + (u, w m) (w m, w m ) w m Als {w, w,..., w m } een orthonormale basis is van W, dan proj W u = (u, w )w + (u, w )w + + (u, w m )w m J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8

Stelling proj W u is de vector in W met minimale afstand tot u. NB: in de ontbinding u = v + w is de vector v die loodrecht staat op elke vector in W gelijk aan v = u proj W u De minimale afstand van u tot W is gelijk aan de lengte van deze vector v: afstand(u, W ) = u proj W u J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8

Gram-Schmidt procedure Stelling Laat V een inproductruimte zijn, en W {} een m-dimensionale deelruimte van V. Dan bestaat er een orthonormale basis T = {w, w,..., w m } voor W. Deze basis kan gevonden worden m.b.v. de zogenaamde Gram-Schmidt procedure uitgaande van een willekeurige basis S = {u, u,..., u m } voor W. Gevolg: elke Euclidische ruimte heeft een orthonormale basis J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8

Gram-Schmidt procedure Laat S = {u, u,..., u m } een basis van W zijn.. Kies v = u. {v } is een (orthogonale) basis voor W =span {u }.. Zoek een vector v loodrecht op v in de deelruimte W = span {u, u } = span {v, u }. v = u proj W u = u (u, v ) (v, v ) v. Nu is {v, v } een orthogonale basis van W J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8

. Zoek nu v in W = span {u, u, u } =span {v, v, u } loodrecht op v en v. v = u proj W u = u (u, v ) (v, v ) v (u, v ) (v, v ) v. Nu is {v, v, v } een orthogonale basis van W 4. Zoek nu v 4 in W 4 =span {u, u, u, u 4 } = span {v, v, v, u 4 } loodrecht op W. v 4 = u 4 proj W u 4 = u 4 (u 4, v ) (v, v ) v (u 4, v ) (v, v ) v (u 4, v ) (v, v ) v. Nu is {v, v, v, v 4 } een orthogonale basis van W 4 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 4 / 8

. Zo doorgaand vinden we een orthogonale basis (want m orthogonale dus lineair onafhankelijke vectoren) van W. T = {v, v,..., v m } 6. Een orthonormale basis T van W vinden we door elke vector in T te normeren: T = {w, w,..., w m }, met w i = v i v i J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8

Voorbeeld Laat S = {u, u, u } met u =. Neem v = u =., u = v = u (u, v ) (v, v ) v =, u = = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 6 / 8

Voorbeeld. = v = u (u, v ) (v, v ) v (u, v ) (v, v ) v = 6. Een orthonormale basis voor R is {w, w, w } met w = v =, w = v = 6 6 6 6, w = v = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 7 / 8

Voorbeeld Laat W het vlak met vergelijking x + y z = in R zijn. Een basis van W is {u, u } =, Een orthonormale basis vinden we met Gram-Schmidt: v = v = u (u, v ) (v, v ) v = w = 6, w = 7 = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 8 / 8 6 6