Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert. Licht antwoorden bondig toe! Geen toelichting = geen punten. Binnen een opgave is elke deelopgave evenveel punten waard. Er zijn in totaal 90 punten te behalen. Een voldoende is 45 punten of meer. Opgave [0 punten]: Gegeven is de matrix waar h R een parameter is. A = h h, a) Stel h = 0. Los op A x = 9 8 6 Uitwerking: De gereduceerde trapvorm van de geäugmenteerde matrix is: 0 0 7 0 0 0 0
7 De oplossing van het stelsel is dus x = b) Voor welke waarden van h is A inverteerbaar? (Bereken de inverse niet!) Uitwerking: De matrix kan worden gereduceerd tot 0 5 0 (h ) h We zien dat deze matrix minder dan volle rang heeft als h = en dus zeker niet inverteerbaar is als h =. Als we aannemen dat h, dan kunnen we de matrix verder reduceren tot I. Dus is de matrix inverteerbaar d.e.s.d.a. h. c) Bepaal de rang van A als functie van h. Uitwerking: Als h =, dan is de gereduceerde trapvorm: 4 0 5 0 5 0 0 0 en dus is de rang van A gelijk aan. Als h, dan is de A inverteerbaar en dus is de rang. d) Bepaal de basis van het beeld van A voor h = 0 en voor h =. Uitwerking: Als h = 0 dan is de matrix inverteerbaar en is het beeld R ; een mogelijke basis is e, e en e. Als h =, dan is de rang van A gelijk aan twee en is het beeld een twee-dimensionale deelruimte van R. De gereduceerde trapvorm van A is: 4 0 5 0 5 0 0 0
Hieruit volgt dat de eerste en tweede kolom van A een basis van het beeld van A vormen, d.w.z. en e) Bepaal de basis van de kern van A voor h = 0 en voor h =. Uitwerking: Als h = 0, dan is de matrix inverteerbaar en de kern heeft dimensie nul. Als 4 h =, dan wordt de kern opgespannen door (zie de gereduceerde trapvorm in de uitwerking van de vorige deelopgave). 5 Opgave [8 punten]: Gegeven is het punt P = (,, 0) en het vlak V : n x = 0, waar n = a) Onder welke hoek snijdt OP het vlak V? Uitwerking: Stel p = OP. De hoek waaronder de normaalvector van V de lijn snijdt: cos θ = n p n p = = θ = 4 π. De lijn snijdt het vlak dus met hoek π 4 π = 4 π. b) Geef de projectie van OP op V. Uitwerking: De projectie van p op de normaalvector is: ( ) n p proj n p = n = n n
De projectie op het vlak is dan: proj V p = p proj n p = c) Wat is de afstand tussen P en V? Uitwerking: De afstand tussen P en V is de lengte van de projectie van OP op de normaalvector van V : = Opgave [4 punten]: De lineaire transformatie P is een projectie van R naar het vlak V opgespannen door v en v. Met v wordt een vector aangeduid die loodrecht op zowel v als v staat. a) Wat is de dimensie van de kern van P? Uitwerking: Het beeld van P is V en de dimensie van V is. Uit de dimensiestelling volgt direct dat de dimensie van de kern één is. b) Neem als basis B = ( v, v, v ) Laat zien dat: B = [P ] B = 0 0 0 0 0 0 0 Uitwerking: Merk op dat P v = v en P v = v. De normaalvector van V is v. Er geldt dat P v = 0. In de nieuwe basis: B e = e, B e = e en B e = 0.
Zij v = 0 en v = 0 gegeven. c) In de standaardbasis, wat is de matrix bijbehorend P? Uitwerking: Om te beginnen v = v v = Laat S = [ v v v ]. Daaruit volgt: Dan is S = A = SBS = Opgave 4 [8 punten]: Geef een kort bewijs van de volgende stellingen. a) Als A en B matrices van dezelfde grootte zijn, dan hoeft rang(a + B) niet gelijk te zijn aan rang(a) + rang(b) Uitwerking: Neem bv. A = I en B = I. De rang van A is, de rang van B is. Maar rang(a + B) = rang(o ) = 0. b) Stel A en B zijn gelijksoortig met B = S AS. Als x ker B, dan S x ker A. Uitwerking: Merk op dat SB = AS. Stel x ker B. Dan: B x = 0 = SB x = 0 = AS x = 0 = S x ker A. c) Als A inverteerbaar is, dan is ook A inverteerbaar. Uitwerking: Er zijn legio manieren om dit te bewijzen:
(a) Bewijs uit het ongerijmde. Stel A is niet inverteerbaar. Dan bevat de kern van A een element x 0. Maar als A x = 0, dan is ook A x = 0. Dit is strijdig met de aanname dat A inverteerbaar is. Ergo, A is inverteerbaar. (b) Stel A is inverteerbaar. Dan geldt A (A ) = I = A(A(A ) ) = I. Dit houdt in dat A(A ) een inverse is van A en dus is A inverteerbaar. (c) Merk op dat ker A ker A (want A x = 0 = A x = 0). Aangezien A inverteerbaar is, ker A = { 0} en daarom ker A = { 0}. Hieruit volgt dat A inverteerbaar is. (d) Merk op dat im A im A. Stel y im A. Dan is er een x zodanig dat A x = y. Maar dat betekent dat er ook een z is zodanig dat A z = y, nml. z = A x. Dus y im A. Aangezien A inverteerbaar is, geldt im A = R n en dus im A = R n. Dit impliceert dat A inverteerbaar is. Einde van het tentamen