college 2 - en het uitwendig collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 2 30 mei 207 30 2 3 4 5 Hoeken Orthogonaliteit en projecties Toepassing: magnetische velden.6-7[2] vandaag
meetkundig Section 2.3 F n P θ F F a Stel een punt P beweegt langs een lijn l, en ondervindt daarbij een constante kracht F. Ontbind de kracht F in twee componenten F a in de richting van l en F n loodrecht op l. De richting en lengte van F a hangt af van de lengte van F en de hoek θ tussen F en l volgens de volgende relatie: F a = cos θ F v waarbij v de eenheidsvector is in de richting van l. Het getal cos θ F heet de scalaire component van F in de richting v. v l.6-7[2] 2 ip/ meetkundig Definitie Stel u en v zijn twee vectoren in R n. u v van u en v is gedefinieerd als u v = u v cos θ, waarbij θ de hoek tussen u en v is. wordt ook wel in genoemd. In het Engels heet het inwendig het dot. In de vorige slide is het inwendig gelijk aan F v = F v cos θ = F cos θ, omdat v een eenheidsvector is..6-7[2] 3 ip/2
algebraïsch Definitie Stel u en v zijn twee standaardvectoren in R n : u = u,..., u n en v = v,..., v n u v van u en v is gedefinieerd als u v = u v + u 2 v 2 + + u n v n. Stelling Het meetkundige en het algebraïsche inwendig zijn gelijk. Het bewijs voor n = 3 maakt gebruik van de cosinusregel. Zie ook Thomas Calculus, bladzijde 693..6-7[2] 4 ip/3 Inwendig en lengte Stelling Voor alle vectoren u geldt u u = u 2. Bewijs Stel u = u,..., u n, dan u u = u 2 + u 2 2 + + u 2 n = u 2. In R 2 geldt voor de basisvectoren i en j: i = j =. In R 3 geldt voor de basisvectoren i, j en k: i = j = k =..6-7[2] 5 ip/4
Rekenregels Stelling Blz. 695 Voor alle u, v, w = R n en c R geldt. u v = v u 2. (cu) v = u (cv) = c(u v) 3. u (v + w) = u v + u w 4. u u = u 2. 5. u 0 = 0. Eigenschappen 2 en 3 kunnen worden gecombineerd: (c u + + c p u p ) w = c u w + + c p u p w. Uit eigenschappen 2 en 3 volgt de bananenformule: (u + v) (w + x) = u w + u x + v w + v x..6-7[2] 6 ip/5 De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz Stelling Cauchy-Schwarz Voor alle vectoren u en v geldt u v u v. Het bewijs volgt uit cos θ voor alle θ R. Een algebraïsch bewijs is ook mogelijk, maar is een stuk lastiger. Uit de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz volgt: u v u v als u 0 en v 0..6-7[2] 7 ip/6
Hoeken Stelling De hoek tussen twee vectoren u 0 en v 0 is gelijk aan ( ) u arccos v. u v Uit de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz volgt u v u v, arccos y π dus de arccosinus van u v u v is goed gedefinieerd en geeft een waarde tussen 0 en π. π 2 x.6-7[2] 8 ip/7 Hoeken Voorbeeld Example 2 Bereken de hoek tussen de vectoren u =, 2, 2 en v = 6, 3, 2. u = 2 + ( 2) 2 + ( 2) 2 = 3. v = 6 2 + 3 2 + 2 2 = 36 + 9 + 4 = 49 = 7. u v = 6 + ( 2) 3 + ( 2) 2 = 6 6 4 = 4. Hiermee leid je af u v u v = 4 3 7 = 4 2. De hoek θ tussen ( u en v ) is u θ = arccos v = arccos u v In graden: θ 0.8. ( 4 ).7624. 2.6-7[2] 9 ip/8
Orthogonaliteit Definitie Twee vectoren u en v staan loodrecht op elkaar als u v = 0. Notatie: u v. Als u 0 en v 0 dan is de hoek tussen u en v gelijk aan arccos 0 = π/2 = 90. We zeggen ook: u en v zijn orthogonaal. 0 v = 0, dus de nulvector staat loodrecht op iedere vector. Als u v dan v u. In R 2 geldt voor de basisvectoren i en j: i j. In R 3 geldt voor de basisvectoren i, j en k: i j, i k en j k..6-7[2] 0 ip/9 Basisvectoren y z j O i x x k O i j y Stelling De basisvectoren hebben lengte en staan onderling loodrecht op elkaar..6-7[2] ip/0
Orthogonaliteit Voorbeeld Example 4 (a) Toon aan dat u = 3, 2 loodrecht staat op v = 4, 6. (b) Toon aan dat u = 3i 2j+k en v=2j+4k orthogonaal zijn. (a) u v = 3 4 + ( 2)6 = 2 2 = 0. (b) Dit kan op twee manieren. Gebruik de rekenregels en de van de basisvectoren i, j en k: u v = (3i 2j + k) (2j + 4k) = (3i) (2j) + ( 2j) (2j) + k (2j) +(3i) (4k) + ( 2j) (4k) + k (4k) = 6i j 4j j + 2k j + 2i k 8j k + 4k k = 6 0 4 + 2 0 + 2 0 8 0 + 4 = 4 + 4 = 0. Schrijf u en v als standaardvectoren u v = 3, 2, 0, 2, 4 = 3 0 + ( 2)2 + 4 = 0..6-7[2] 2 ip/ Projectie op een vector Q u P θ w R Stel u = #» PQ en v zijn twee vectoren met v 0. v De lijn l gaat door P en heeft de richting van v, en θ is de hoek tussen u en v. Stel dat voor het punt R op l geldt: PR #» RQ, #» dan geldt w = #» PR = cos θ u v = cos θ u l v v cos θ u v = v 2 v = u v v v v. De vector w heet de projectie van u op v..6-7[2] 3 ip/2
Projectie op een vector Definitie Blz. 696 Stel u en v zijn twee vectoren met v 0. De projectie van u op v is gedefinieerd als proj v u = u v v v v. Voorbeeld Example 5 Bereken de projectie van u = 6i + 3j + 2k op de vector v = i 2j 2k. Schrijf u = 6, 3, 2 en v =, 2, 2. u v = 6 + 3( 2) + 2( 2) = 4. v v = 2 + ( 2) 2 + ( 2) 2 = 9. Hieruit volgt proj v u = 4 9 v = 4 9, 8 9, 8 = 4 9 9 i + 8 9 j + 8 9 k..6-7[2] 4 ip/3 De scalaire component Definitie Stel u en v zijn twee vectoren met v 0. De scalaire component van u in de richting v is gedefinieerd als cos θ u, met θ de hoek tussen u en v. De vector v hoeft geen eenheidsvector te zijn. De scalaire component in richting v is gelijk aan u v v. Als u v dan is de scalaire component 0. Voorbeeld Example 5 Bereken de scalaire component van u = 6i + 3j + 2k in de richting van v = i 2j 2k. Schrijf u = 6, 3, 2 en v =, 2, 2. u v = 6 + 3( 2) + 2( 2) = 4. v v = 2 + ( 2) 2 + ( 2) 2 = 9, dus v = 3. Hieruit volgt dat de scalaire component gelijk is aan 4 3..6-7[2] 5 ip/4
Orthogonale ontbinding h u w v Definitie Stel u en v zijn twee vectoren met v 0. De orthogonale ontbinding van u langs v is een paar vectoren w en h zodat u = w + h, 2 w heeft dezelfde richting als v, 3 h staat loodrecht op v. Er geldt w = proj v u en h = u proj v u..6-7[2] 6 ip/5 Orthogonale ontbinding Voorbeeld Zie ook example 5 Bereken de orthogonale ontbinding van u = 6i + 3j + 2k langs v = i 2j 2k. We hebben al berekend (zie slide 4) dat de projectie van u op v gelijk is aan w = proj v u = 4 9 i + 8 9 j + 8 9 k. Uit u = w + h leiden we af dat h = u w = (6i + 3j + 2k) ( 4 9 i + 8 9 j + 8 ) 9 k = 58 9 i + 9 9 j + 0 9 k. Controle: staat w loodrecht op h? w h= ( 4)58+8 9+8 0 9 9 = 232+52+80 8 = 0..6-7[2] 7 ip/6
inleiding Section 2.4 Definitie Alleen in R 3! Stel u = u, u 2, u 3 en v = v, v 2, v 3 zijn twee standaardvectoren in R 3. van u en v is gedefinieerd als u v = u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v u v 3, u v 2 u 2 v. wordt ook wel uit of kruis genoemd. In het Engels heet het uitwensig het cross. kan met een trucje comfortabel worden berekend: ( ) u u u 2 u 3 u u 2 a b = ad bc v v v 2 v 3 v v 2 c d.6-7[2] 8 cp/ Rekenregels en eigenschappen Stelling Blz. 700 Voor alle u, v, w = R n en r, s R geldt. (ru) (sv) = (rs)(u v) 2. u (v + w) = u v + u w 3. u v = (v u) 4. (v + w) u = v u + w u 5. 0 u = u 0 = 0 6. u (v w) = (u w)v (u v)w De rekenregels bewijs je door de formules uit te schrijven. Regel 4 kan worden bewezen met behulp van 2 en 3. Uit regel 3 volgt: u v v u. Uit regel 6 volgt: (u v) w u (v w)..6-7[2] 9 cp/2
meetkundig Stelling Stel u en v zijn twee vectoren. Definieer θ als de niet gestrekte, positieve hoek tussen u en v, dan geldt u v = u v sin θ. v θ θ u Niet gestrekt betekent: θ π, dus sin θ 0. Het bewijs volgt uit de gelijkheid u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2..6-7[2] 20 cp/3 meetkundig Stelling Voor alle vectoren u en v geldt u v u en u v v. Vector u v ligt op de loodlijn op het vlak door u env. De lengte van u v is u v sin θ. De rechterhandregel bepaalt de richting van u v..6-7[2] 2 cp/4
De oppervlakte van een parallellogram Stelling Neem aan dat de standaardvectoren u R 3 en v R 3 de zijden vormen van een parallellogram P. Dan is de oppervlakte van P gelijk aan u v. h v θ h P u Merk op dat sin θ = h, dus h = v sin θ. v De oppervlakte van P is gelijk aan u h = u v sin θ = u v..6-7[2] 22 cp/5 De oppervlakte van een parallellogram Voorbeeld Section 2.4, example 3 Bepaal de oppervlakte van de driehoek D met hoekpunten P = (,, 0), Q = (2,, ) en R = (,, 2). De driehoek is de helft van een parallellogram met zijden PQ #» en PR, #» dus de oppervlakte van D is gelijk aan PQ #» PR #». 2 Voor het uitwendig geldt #» PQ PR #» =, 2, 2, 2, 2 = 6, 0, 6. Voor de oppervlakte geldt opp(d) = 2 PQ #» PR #» = 2 36 + 36 = 3 2..6-7[2] 23 cp/6
Orthogonale vectoren Voorbeeld Section 2.4, example 4 Bepaal een eenheidsvector die loodrecht staat op het vlak V door de punten P = (,, 0), Q = (2,, ) en R = (,, 2). De vector w = PQ #» PR #» staat loodrecht op de vectoren PQ #» en PR, #» dus loodrecht op V. Zie voorbeeld 3: w =, 2, 2, 2, 2 = 6, 0, 6. Een eenheidsvector loodrecht op V is bijvoorbeeld ŵ = w w = 6 2 6, 0, 6 = 2 2, 0, 2 2. De andere eenheidsvector is ŵ = 2 2, 0, 2 2..6-7[2] 24 cp/7 Volume van een parallellepipedum zelfstudie Definitie Stel u, v en w zijn drie vectoren in R 3. Het parallellepipedum opgespannen door u, v en w is het veelvlak met hoekpunten 0, u, v en w, v + w, u + w, u + v en u + v + w. z v + w y u + v + w O w v u u + w u + v x.6-7[2] 25 cp/8
Volume van een parallellepipedum zelfstudie Stelling De inhoud van het parallellepipedum opgespannen door u, v en w is gelijk aan (u v) w. De inhoud is gelijk aan: hoogte oppervlakte grondvlak = h u v = w cos θ u v = (u v) w..6-7[2] 26 cp/9 Volume van een parallellepipedum zelfstudie Voorbeeld Example 6 Bepaal het volume van het parallellepipedum E opgespannen door u = (, 2, ), v = ( 2, 0, 3) en w = (0, 7, 4). Bereken u v: u v = (, 2, ) ( 2, 0, 3) = (6,, 4). Bereken (u v) w: (u v) w = (6,, 4) (0, 7, 4) = 23. Het volume van E is 23 = 23..6-7[2] 27 cp/0
Lorentz krachten toepassing De wet van Lorentz Hendrik Antoon Lorentz (853-928) Stel een deeltje met lading q beweegt door een electromagnetisch veld met snelheid v. De kracht op q is gelijk aan F = q(e + v B) waarbij E het electrisch veld, en B het magnetisch veld is. In een magnetisch veld geldt B F = q v B. F q v.6-7[2] 28 em/ Magnetische dipool toepassing Magnetische dipool Een magnetische dipool is een object met twee uiteinden (noordpool en zuidpool genaamd) dat een magnetisch veld opwekt waarbij de veldlijnen van de noordpool naar de zuidpool lopen. Een magnetische dipool kun je opvatten als een microscopsch kleine staafmagneet. Het magnetisch veld hangt af van de richting van de dipool en heeft een bepaalde sterkte, en is dus weer te geven als een vector: het magnetisch moment. S N Het magnetisch moment wordt genoteerd als µ. µ.6-7[2] 29 em/2
Magnetisch moment toepassing B θ µ M S N In een magnetisch veld B wordt het (kracht)moment M dat op een dipool wordt uitgeoefend gegeven door M = µ B. Het moment M draait de dipool totdat M = 0, dus totdat µ en B dezelfde richting hebben. Op dit verschijnsel berust de werking van het kompas..6-7[2] 30 em/3