Wiskunde onder spanning

Wiskunde onder spanning Ik bespreek hier de opgaven met een analysekarakter in het centraal examen Wiskunde B van 15 mei 17. 1iseenkalesom.De functies f en g zijn gegeven door f(x) =ln(x) en g(x) = 1 e x = 1 e x, ik neem aan met x in het domein IR + voor f en domein IR voor g, en dat de punt voor vermenigvuldigen staat. Die punt laat ik dus liever weg. Gevraagd wordt een exacte berekening die laat zien dat de grafieken van f en g elkaar raken. Dan moet er dus een x in het gemeenschappelijk domein IR + zijn waarvoor f(x )=g(x )enf(x) g(x) geentekenwisselingheeft in x. Bijgevolg heeft f(x) g(x) inx een lokaal extremum en geldt dat f (x ) g (x ) = omdat f(x) g(x) di erentieerbaarisinelkex IR +. We vinden zulke x door de vergelijkingen gezamenlijk op te lossen, dus f(x) =g(x) en f (x) =g (x) ln(x) = 1 e x en 1 x = 1 e x. De tweede vergelijking geeft x = e en heeft in IR + als enige oplossing x = p e. Als de gezochte x bestaat dan is dus x = p e. De eerste vergelijking reduceert dan tot ln p e = 1 e e ofwel 1 ln(e) = 1 e e en dus ln(e) =1. Omdate =exp(1)enlndeinversefunctievanexpis geldt ln(e) =1. Metx = p e is dus aan allebei de vergelijkingen voldaan. We moeten nog nagaan dat f(x) g(x) geentekenwisselingheeftin p e. Daartoe berekenen we f (x) g (x) = 1 x 1 e en dus is f ( p e) g ( p e)= e <. We concluderen dat f(x) g(x) in p e een strict lokaal maximum heeft (dat ook het globale maximum blijkt bij nadere inspectie maar dat werd niet gevraagd). Klaar in stappen: oplossen f (x) =g (x), enige oplossing voldoet aan f(x) =g(x) (diewasnietexactoptelossen)enf (x) 6= g (x). NB. Leuker was geweest: voor welke a> raken de grafieken van ln(x) en ax elkaar. Verder zal het laatste stuk van de uitwerking wellicht niet verwacht worden. 4

,,4 horen bij elkaar en zijn bepaald niet kaal. De eerste formule wordt nu niet met een functie in verband gebracht en is U(t) =5sin(1 t), zonder de drie vermenigvuldigingspunten in de notatie. De speciale waarden U =enu = zijn in de grafiek van U versus t aangegeven, alsmede het tweede positieve nulpunt t = 1 =,. Onduidelijk waarom de decimale 5 notatie wordt gebruikt. Nog voor je verder leest komt de al of niet wiskundige gedachte op om x =1 t te stellen lijkt me, en U door 5 te delen. Kortom, via x =1 t en U(t) 5 46 = u(x) =sin(x) en = {z 65} 5 dit dus oogt dit dus wat fijner. Vraag gaat nu over het meer dan afwijken van U(t) van,dus dat betreft de t-waarden waarvoor U(t) > of U(t) <. In termen van x is dat sin(x) > 46 46 of sin(x) <. Het eerste is op [, ] hetgeval 65 65 voor arcsin( 46 46 ) < x < arcsin( ), het tweede voor +arcsin(46 ) < 65 65 65 x< arcsin( 46 ). Deze twee intervallen hebben samen een lengte van 65 ( arcsin( 46 )), en dat is een fractie 65 ( arcsin( 46 65 )) =1 arcsin(46 65 ) van de lengte van het periodiciteits interval [, ], hetgeen je in een percentage kunt vertalen door intikken op een rekenmachine met een arcsin-knop en vermenigvuldigen met 1. Dat geeft 49.9 nog wat, zeg maar 5%, en dat is het bedoelde antwoord op de vraag hoeveel procent van de tijd de spanning meer dan volt van afwijkt. Want U was de spanning in volt, en U(t) niet als ik goed lees, dus ook niet maar toch weer wel. Storender: er staat niet bij welke tijd. De goede verstaander wordt geacht het inzicht te hebben dat het om een veelvoud van de periode gaat, en voor een veelvoud van een halve periode is het dan ook goed. Voor andere tijdspannen niet. 5

gaat verder met wat op grond van het verhaaltje verwacht kan worden en introduceert U e door middel van (daar is de punt weer wel) T U e = Z T U(t) dt, waarin T de periode is van de spanning U. Bedoeld wordt T = 1 5,hetgeen voor x = 1 t overeenkomt met periode. Storend:er staat niet bij dat U e > (alofnietinvolt).met U =5u, U(t) =5u(x) is U e =5u e en volgt zonder primitiveren natuurlijk dat (ik laat de punt weer weg) en dus u e = Z u(x) dx = Z u e = 1 p en U e = 5 p, sin(x) dx =, dat nog decimaal moet worden geschreven en afgerond de uit Opgave reproduceert. Het was echter niet de bedoeling om de integraal exact uit te rekenen, hetgeen ook zonder de schalling van t naar x en U, U e naar u, u e een fluitje van misschien twee cent was geweest, want de GRM moest gebruikt worden. 6

4 gaat verder met drie U-tjes waarvan er (daar zijn de punten weer weg) twee gegeven worden, U 1 (t) =5sin(1 t) en U (t) =5sin(1 t ), in x en u u 1 (t) = sin(x) en u (t) = sin(x ), en vraagt naar de exacte maximale waarde van (de 5 wordt voor de zekerheid maar vast naar buitengehaald) U kracht (t) =U 1 (t) U (t) =5(sin(1 t) sin(1 t ). Dat is natuurlijk 5 keer de maximale waarde van (mag de functie of formule nu weer f heten?) f(x) =u kracht (x) =u 1 (x) u (x) = sin(x) sin(x waarvoor geldt dat ), f (x) =cos(x) cos(x )=cos(x) cos(x)cos( ) sin(x)sin( ) =(1+ 1 )cos(x) 1p sin(x) = cos(x) 1p sin(x), hetgeen is als tan(x) = p. Dat is voor x = modulo en de maximale waarde van f(x) isf( ) = sin( ) sin( )=sin( )+sin( )=p. De maximizer x = ligt precies midden tussen de twee nulpunten en dat was wel te raden geweest. Voor U kracht is het maximum dus 5 p endatmag je zo laten staan voor deze ene keer. Waar waren alle getallen en verhaaltjes nu voor nodig? Joost mag het weten. Maar de wiskunde die getoetst wordt in de eerste vier opgaven is minimaal. Veel veredeld rekenen, dat wel. In Opgave 5 en 6 wordt dat vast goed gemaakt. We gaan verder met 7

7, 8, 9, 1, allemaal bijna kaal en weer zonder vermenigvuldigingspunten. De eerste gaat over f(x) = 1 sin(x ) 1p en g(x) =sin(x 4 )) en vraagt om het maximum van f(x) g(x) waarbij x varieert tussen en. Alleen heet x even p vanwege de nodeloos ingewikkeld uitleg. Dat lijkt dus heel erg op wat er net in Opgave 4 langs kwam. Eigenlijk wordt het maximum van f(x) g(x) gevraagd maar omdat de grafieken er zoals altijd al bijstaan betreft het het maximum van f(x) g(x). Via f (x) g (x) =cos(x ) cos(x )) gaat het nu wel anders verder dan in Opgave 4. Om f (x) g (x) =te krijgen moeten twee cosinussen aan elkaar gelijk zijn. Dat gaat hier alleen maar als x = x of x = (x ), allebei modulo, dus x = mod of x = 4 mod. In het gegeven interval is dat alleen x = p = 4 9 8

8 gaat over een functie die voor het eerst een domein heeft: voor x [, ]wordtdefunctief gegeven door f(x) =sin(x) sin (x) =sin(x) (sin(x)), een functie van sin(x) eigenlijk.mets =sin(x) gaathetover g(s) =s s = f(x) maar voor de vraagstelling is dat misschien niet handig als we verder lezen. Er staat weer een plaatje bij waaruit blijkt dat f(x) een lokaal minimum 1 heeft precies in het midden, dus in x = (ofwel s =1)envoortweeandere x-waarden ook gelijk is aan 1. In termen van s =sin(x) gaathetdusomde s-waarden waarvoor s s =1ofwels s +1=enomdats =1 een oplossing is factoriseert dit, te weten als (s 1)(s 1) dus de andere oplossing is s = 1. De bijbehorende x-waarden voldoen dus aan sin(x) = 1 en dat zijn x = en in [, ]. De afstand tussen de andere snijpunten 6 6 van y = f(x) eny =1isdus.Endatwerdexactgevraagd,duss =sin(x) was wel handig (niet voor afstanden natuurlijk, maar het ging ook niet over afstanden eigenlijk). 9 vraagt vervolgens om Z f(x) dx = Z Z sin(x) dx sin (x) dx =6, de eerste via primitiveren, de tweede via cos (x) +sin (x) =1(netalsin Opgave, maar nu mag het zonder GR). 1 introduceert dan een functie g met g(x) =ax + bx die voldoet aan f() = g(), f () = g( ), f( ) =g( ), f ( ) =g ( ), en vraagt om a en b. Betergeweestwasdevraagnaareenkwadratischefunctie met die eigenschap, want die moet natuurlijk een veelvoud zijn van x( x) omdat g() = f() = = f( ) = g( ). Met f () = wordt dat dus g(x) = x( x) =x x en het antwoord volgt want in klopt het ook. Iets vrolijker geworden, maar nu komen de bosbranden. 9

11,1,1 gaan over branden en daar zijn de punten weer. Waar de context in,,4 wel OK was betreft het in 11 een bepaald soort natuurlijke brand beschreven door het model T nat (t) =+15 e ln (t)+6 ln(t) 9, wie verzint dit vraagt een mens zich dan af. Een formule als model, je ziet het vaker in het modelleren, maar meestal is het onzin. Zo ook hier is mijn nulhypothese. De formule zelf ziet er vervaarlijk uit. De zal wel kamertemperatuur zijn. Haal die er maar van af en deel dan ook maar door die uit de duim gezogen 15. Dan blijft, zonder die punt, e ln (t)+6 ln(t) 9 = e ln (t) e 6ln(t) e 9 = e ln(t)ln(t) t 6 e 9 over en haal die e 9 1 81 dan ook maar weg. Het gaat dan nog om e ln(t)ln(t) t 6 = t 6 ln(t), je moet er maar opkomen. Omdat met het eigenlijk gaat om x =ln(t) en T nat (t) =+15e x +6x 9 e (x ) hadden de makers (Nederlandse uitspraak hanteren hier) iets anders in gedachten. De natuurlijke brand heeft kennelijk een tijdsverloop waarin de Gauss curve is te herkennen als je de tijd op een logaritmische schaal uitzet. Nou misschien dat daar nog wel een kansmodel achter zit dan, ik zal het eens aan Ronald vragen. Hoe het ook zij, het maximum ligt bij x =en dat geeft voor de maximale temperatuur exact en zonder rekenmachine + 15 = 17. 4

1 gaat over de brand in het lab: T lab (t) =+45 log(8t +1) met log ipv ln, formule schijnt authentiek te zijn hoor ik van Gerard, al is onduidelijk waarvoor. Is dat de 1 log, of een andere a log? Gevraagd wordt algebraïsch (ja ja) naar de oplossing van dat betreft dus de t waarvoor + 45 log(8t +1)=, log(8t +1)= 45 = 8 45 = 56 69, een rationaal getal (of was het nu een breuk, mental note: navragen bij Jan Bergstra) met noemer 69. De gevraagde t-waarde is dus t = 1 56 (a 69 1) 8 met een a die je niet kunt weten. Ik gok op e of 1 en kijk naar de grafiek om mijn keus te maken. Maar die gaat over iets anders. Ik zie wel iets met,69. Met a =1volgtt =,68558 nog wat. Dus het was de 1-log, hoe haal je het in je hoofd denk ik dan altijd. 1 gaat over de deur: alsikhetgoedziegaathetomtweeintegralendie vergeleken moeten worden, om wat voor reden dan ook. De ene integraal is I lab = Z t (T lab (t) ) dt = Z t (45 1 log(8t +1) en die is exact uit te rekenen maar niet gelijk aan I lab = 65 8 1 56 69 + 8145 8 ln (41) 1565 8 8) dt 5 1 56 69 ln (1) en dat is ongeveer 816 maar het moest 119 zijn, dank Gerard. Maple slikt immers de 1-log niet zomaar en moet via Z t (45 ln(8t +1) ln 1 8) dt gedwongen worden om het goed te doen en factoriseert om terug te pesten dan ln(1) = ln() + ln(5) om het antwoord zo onoverzichtelijk mogelijk te maken, maar er komt uiteindelijk afgerond 119 uit. 41

Moet vergeleken worden met die andere integraal, en die is I nat = Z Z (T nat (t) ) dt = (15 e ln (t)+6 ln(t) 9 t 8) dt met de waarde van t in het eerste snijpunt van de grafiek van T nat met T =. Daarvoormoetdee-macht zelf gelijk zijn aan 4 en dat geeft voor 15 x =ln(t) dat r x =± ln( 15 4 ) en kennelijk is p = e ln( 15 4 ) want je moet de kleinste van de twee hebben. De integraal herschrijft met t = e x en dt = e x dx als I nat = Z ln() p ln( 15 4 ) (15 e (x ) 8) e x dx en dat wordt iets met errorfuncties, ongeveer gelijk aan 144 en minder dan die 816, het zal wel (maar meer dan die 119, die Gerard en ik nu allebei hebben). Blijft de vraag: wat hierboven was wel en wat was niet de bedoeling? Over branden ging het echt niet en de wiskunde zit verstopt onder een dikke laag van wat tegenwoordig gecijferdheid heet. 4