Voorblad bij tentamen

Voorblad bij tentamen (in te vullen door de examinator) Vaknaam: Inleiding Quantumfysica Vakcode: 3BQX Datum: -6-6 Begintijd: 8. uur Eindtijd: 9. uur Aantal pagina s: Aantal vragen: vellen A4 Opgave Aantal te behalen punten/normering per vraag: zie de Opgave Wijze van vaststellen eindcijfer: Zie vakspecifiek voorblad op volgende pagina Wijze van beantwoording vragen: formulering, ordening, onderbouwing, multiple choice: Notebook / Mathematica Inzage: volgens de OER Overige opmerkingen: Zie vakspecifiek voorblad op volgende pagina Instructies voor studenten en surveillanten Toegestane hulpmiddelen (mee te nemen door student): Notebook Rekenmachine Grafische rekenmachine Dictaat/boek A4-tje met aantekeningen Woordenboek(en). Zo ja, welke: Let op: toiletbezoek is alleen onder begeleiding toegestaan binnen 5 minuten na aanvang en 5 minuten voor het einde mag de tentamenruimte niet worden verlaten, tenzij anders aangegeven er dient altijd tentamenwerk (volledig ingevuld tentamenpapier: naam, studentnummer e.d.) te worden ingeleverd tijdens het tentamen dienen de huisregels in acht te worden genomen aanwijzingen van examinatoren en surveillanten dienen opgevolgd te worden etui ligt niet op tafel onderling worden geen hulpmiddelen geleend/uitgewisseld Tijdens het maken van schriftelijke tentamens wordt onder (poging tot) fraude in ieder geval verstaan: gebruik van andermans ID-bewijs/campuskaart mobiele telefoon of enige andere media dragende devices liggen op tafel of zijn opgeborgen in de kleding (poging tot) gebruik van ongeoorloofde bronnen en hulpmiddelen, zoals internet, mobiele telefoon e.d. het gebruik van een clicker die niet je eigen clicker is ander papier voor handen hebben dan door de TU/e is verstrekt, tenzij anders aangegeven toiletbezoek (of naar buiten lopen) zonder toestemming of begeleiding Behorende bij Regeling centrale tentamenafname TU/e

EINDTOETS 3BQX -6-6 DEEL I - Mathematica (opgave ) 8-9 uur Deel I wordt via email ingeleverd als Mathematica notebook, procedure: - 5 minuten voor aanvang: Student krijgt een mail vanaf het e-mail adres Inleiding.Quantumfysica@tue.nl met daarin het Mathematica overzichtsnotebook + leeg notebook waarin de opgave moet worden gemaakt, beide met kleurcodering. Student slaat deze documenten lokaal op. Dit zijn de enige documenten die student open mag hebben bij Deel I. Student geeft naam + id.nummer aan in dit notebook. vlak voor aanvang: Internet & bluetooth van laptops en telefoons moet afgesloten worden. Student is zelf verantwoordelijk om te weten hoe dit op eigen apparaten moet. Surveillanten controleren dit met speciale sniffers. bij aanvangstijd (8. uur): De Mathematica opgave wordt uitgedeeld. minuten voor eindtijd (wordt aangegeven door surveillant): De student slaat de file op en sluit Mathematica af. Internet mag nu aan en student stuurt een Reply op de eerdere mail, met het Mathematica notebook met uitgewerkte opgave in de Attachment. Iedere student krijgt een Autoreply ter bevestiging (er wordt gecheckt of de mail een attachment heeft). bij de eindtijd (9. uur): Student sluit het notebook en bergt dit op. Het volgende zal aangemerkt worden als fraude: Gebruikmaking van andere programma s dan Mathematica Gebruik van andere Mathematica notebooks dan verkregen via e-mail Ingeschakeld Internet of Bluetooth tijdens het Mathematica deel Raadplegen van op de eigen laptop opgeslagen informatie Gebruik van een rekenmachine, hulp- en/of communicatiemiddelen Studenten met dyslexie krijgen minuten extra inlevertijd. Het nakijken zal gebeuren door het sequentieel uitvoeren van de Mathematica commando s in het ingeleverde notebook met de meest recente versie van Mathematica. Het oordeel zal gebaseerd zijn op het resultaat hiervan en het door de student toegevoegde commentaar. Bij ieder onderdeel wordt aangegeven wat de maximale score is op een schaal van punten voor deze Mathematica opgave (totale score 3BQX = 6 punten eindtoets + 4 punten tussentoetsen). De antwoorden worden na afloop van het tentamen op OASE geplaatst.

OPGAVE. Harmonische oscillator (Mathematica) De Hamiltoniaan van de eendimensionale harmonische oscillator met hoekfrequentie ω voor een deeltje met massa m is ( ) H = p + mω x m, met d p =. We introduceren de i dx + mω + operatoren a ( ip mω x) mω + + en a ( ip mω x). De eigentoestanden van de Hamiltoniaan worden gegeven door ψn ( + ) ψ mω n x ( x) = a ( x), met ψ ( x) = αe. n! /4.. Laat zien dat ψ ( x) genormeerd is met de keuze mω α = π.. Laat aan de hand van de gegeven formule voor ψ ( x ) zien dat ξ / α ξ ψ( x) = αξe, ψ ( x) = ( ξ ) e /, met (3 punten) n. (3 punten) ξ πα x..3. Laat voor n =,, zien dat ψ ( x ) voldoet aan Hψ ( x) = Eψ ( x) met n ( ) E = n+ ω. (4 punten) n n n n.4. Maak plots van ψ, ( x) ψ ( x) en ψ ( x) op het interval 3< x < 3. Stel daarbij α =. Geef een fysische interpretatie van ψ ( x ) n. (4 punten).5. Laat zien dat ψ ( x) en ψ ( x) orthogonaal zijn. ( punten).6. ψ n( x ) kan ook geschreven worden als α ξ / ψn( x) = Hn( ξ) e, met n n! n ( ) ( ) n ξ d Hn ξ = e e dξ ξ. Laat zien dat hiermee dezelfde uitdrukkingen voor ψ ( x) en ψ ( x) gevonden worden als bij onderdeel.. (4 punten)

Voorblad bij tentamen (in te vullen door de examinator) Vaknaam: Inleiding Quantumfysica Vakcode: 3BQX Datum: -6-6 Begintijd: 9. uur Eindtijd:. uur Aantal pagina s: Aantal vragen: 4 vellen A4 Opgaven Aantal te behalen punten/normering per vraag: zie de Opgaven Wijze van vaststellen eindcijfer: zie vakspecifiek voorblad op volgende pagina Wijze van beantwoording vragen: formulering, ordening, onderbouwing, multiple choice: schriftelijk Inzage: volgens de OER Overige opmerkingen: zie vakspecifiek voorblad op volgende pagina Instructies voor studenten en surveillanten Toegestane hulpmiddelen (mee te nemen door student): Notebook Rekenmachine Grafische rekenmachine Dictaat/boek A4-tje met aantekeningen Woordenboek(en). Zo ja, welke: Let op: toiletbezoek is alleen onder begeleiding toegestaan binnen 5 minuten na aanvang en 5 minuten voor het einde mag de tentamenruimte niet worden verlaten, tenzij anders aangegeven er dient altijd tentamenwerk (volledig ingevuld tentamenpapier: naam, studentnummer e.d.) te worden ingeleverd tijdens het tentamen dienen de huisregels in acht te worden genomen aanwijzingen van examinatoren en surveillanten dienen opgevolgd te worden etui ligt niet op tafel onderling worden geen hulpmiddelen geleend/uitgewisseld Tijdens het maken van schriftelijke tentamens wordt onder (poging tot) fraude in ieder geval verstaan: gebruik van andermans ID-bewijs/campuskaart mobiele telefoon of enige andere media dragende devices liggen op tafel of zijn opgeborgen in de kleding (poging tot) gebruik van ongeoorloofde bronnen en hulpmiddelen, zoals internet, mobiele telefoon e.d. het gebruik van een clicker die niet je eigen clicker is ander papier voor handen hebben dan door de TU/e is verstrekt, tenzij anders aangegeven toiletbezoek (of naar buiten lopen) zonder toestemming of begeleiding Behorende bij Regeling centrale tentamenafname TU/e

EINDTOETS 3BQX -6-6 9.. uur DEEL II Schriftelijk (opgave +3) Opgave +3 van dit tentamen dienen geheel schriftelijk ingeleverd te worden op het uitgereikte TU/e papier. Het gebruik van een laptop en rekenmachine (en/of andere hulp- of communicatiemiddelen) is niet toegestaan. Gebruik hiervan wordt als fraude beschouwd. Dit deel van de eindtoets volgt na het afronden van de Mathematicaopgave. De door de student gemaakte schriftelijke uitwerkingen worden na twee uur opgehaald. Studenten met dyslexie krijgen minuten extra inlevertijd (totaal 3 minuten extra voor het hele tentamen). Het formuleblad is bijgevoegd ná de opgaven. Denk er aan een eventuele bijlage ook in te leveren! Bij ieder onderdeel wordt aangegeven wat de maximale score is op een schaal van punten voor elk van deze opgaven (totale score 3BQX = 6 punten eindtoets + 4 punten tussentoetsen). De antwoorden worden na afloop van het tentamen op OASE geplaatst.

OPGAVE. Verstrooiing aan een -dimensionale potentiaal Een van links invallende constante stroom van kwantum-deeltjes met massa m en energie E verstrooit aan een abrupte stap in een -dimensionale potentiaal. Deze wordt gegeven door: V( x) x < = V x> met V een positieve constante; bovendien geldt er dat E > V (zie de tekening). We gaan transmissie- en reflectiecoëfficiënten (T en R ) berekenen aan deze stapvormige potentiaal voor de situatie waarbij E > V... Geef de algemene oplossing van de tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking in de twee gebieden x < en x >. ( punten).. Geef uitdrukkingen voor de groepssnelheid van de deeltjes in de twee gebieden x < en x > in termen van EV, en m. ( punten).3. Geef de randvoorwaarden waaraan voldaan moet worden bij x = en pas deze randvoorwaarden toe op de oplossingen van onderdeel.. ( punten).4. Toon door berekening aan dat voor de transmissiecoëfficiënt T geldt: 4k q me T = met k = en q = ( k q) + me ( V ). (3 punten).5. Bereken de reflectiecoëfficiënt R in termen van k en q. (3 punten)

.6. Maak in de tekening in de bijlage een duidelijke schets van T en R als functie van EV en doe dit ook voor het gebied < E < V. (3 punten), We kijken nu naar een -dimensionale rechthoekige potentiaal met hoogte V en breedte L. Deze wordt gegeven door: V( x) x< x> L = V < x< L met V en L positieve constanten (zie de tekening). We laten nu weer een van links invallende constante stroom van kwantum-deeltjes met massa m en energie E aan deze potentiaal verstrooien en beschouwen wederom de transmissie en reflectie van deeltjes met een energie E > V. Uit een berekening (die niet uitgevoerd hoeft te worden!) blijkt dat de transmissie oscillaties vertoont als functie van de energie van de kwantum-deeltjes..7. Geef kort en duidelijk aan waarom deze oscillaties optreden. ( punten).8. Maak in de tekening in de bijlage een schets van T voor E > V, en daarnaast ook voor < E < V. Bij het tekenen van de oscillaties dient speciaal aandacht te worden besteed aan de grootte van de maxima en minima en aan de afstand tussen de maxima. (3 punten) 3

OPGAVE 3. De 3-dimensionale Schrödingervergelijking De stationaire toestanden van een deeltje dat zich in een /r potentiaal bevindt worden aangeduid door ψ nlm(, r θφ, ), met eigenenergieën En = E / n, E = me / (3 πε ). 4 De genormeerde hoekafhankelijke golffuncties worden gegeven door de zogenaamde m l sferische harmonische (bol)functies: Y ( θφ, ). Twee van deze genormeerde functies worden gegeven door: 3 8π ± i ( θφ, ) = sin( θ) e ± φ. Y 3.. Toon aan dat ± Y ( θφ, ) voldoet aan de hoekafhankelijke Schrödingervergelijking: Y Y sin( θ) sin( θ) + ll ( ) sin ( θ) Y θ θ = +. (3 punten) φ Ladderoperatoren voor het impulsmoment L ± zijn geschikt om oplossingen te vinden voor de driedimensionale Schrödinger-vergelijking. Met name is het aan te tonen dat: m l m ( )( ) LY ± = l m l± m+ Y ± ± iφ met L± = ± e ± icot ( θ ) θ φ. l 3.. Toon door berekening via deze ladderoperatoren aan dat: (3 punten) 3 Y ( θφ, ) = cos( θ). 4π 3.3. Toon door berekening aan dat (3 punten) Y ( θφ, ) en Y ( θφ, ) onderling orthogonaal zijn. 4

Op tijdstip t = wordt de (genormeerde) golffunctie van een deeltje gegeven door: ( t ) N ( r a ) r ( a ) Ψ = = sin( θ) cos( φ) / exp /, met a = 4 πε /( me ), de straal van Bohr. 3.4. Druk Ψ ( t = ) uit in de bolfuncties ix ix vergelijking: x ( e e ) ± Y ( θφ, ) door gebruik te maken van de cos( ) = + /. Toon door berekening aan dat de normeringsconstante 3/ N = a / 3π. (3 punten) 3.5. Beargumenteer kort en duidelijk dat het straalafhankelijke deel van Ψ ( t = ) correspondeert met het quantumgetal n =. ( punten) 3.6. Bereken de verwachtingswaarde van de straal r in de toestand ( t ) bereken de meest waarschijnlijke straal max,prob. (3 punten) Ψ = en r in de toestand ( t ) Ψ =. 3.7. Bij een meting van het impulsmoment van het deeltje in de toestand ( t ) Ψ =, bepaal de waarde(n) die er gemeten kunnen worden en hun kans, voor de grootte van het impulsmoment en voor de z - component van het impulsmoment (respectievelijk L en L z ). En daarnaast, bepaal de waarde(n) die er gemeten kunnen worden en hun kans voor de totale energie. (3 punten) 5

QUANTUM FYSICA - formuleblad goniometrie sin( a± b) = sin acosb± cos asin b cos( a± b) = cos acosb sin asin b cosinusregel c = a + b abcosθ standaard integralen x xsin( ax) dx = sin( ax) cos( ax) a a x x cos( ax) dx = cos( ax) + sin( ax) a a n xa / n+ x e dx = n! a n! x e dx = a ( n) n x/ a! a x e dx = π n! n+ x/ a n+ b a partiële integratie dg b df f dx = fg g dx a dx dx b a n+ natuurconstanten (afgerond) massa elektron me = 9. -3 kg massa proton mp =.67-7 kg elementaire lading e =.6-9 C constante van Planck ħ =.5-34 J s constante van Boltzmann kb =.38-3 J K - lichtsnelheid c = 3. 8 m s - permittiviteit vacuüm ε = 8.85 - C J - m - gravitatieconstante G = 6.67 - Nm kg - 6

Naam:................................. Identiteitsnr. :................................. Onderdeel.6 Onderdeel.8 7

Opgave. $Assumptions = {ω >, ħ >, m > } {ω >, ħ >, m > } ψ[x_] = α Exp -m ω x^ ħ e - m x ω ħ α norm = Integrate ψ[x] ^, {x, -Infinity, Infinity} π α ħ m ω ħ alpharule = α -> (m ω / (π ħ))^ 4 α m ω ħ /4 π /4 norm /. alpharule // Simplify Dus ψ[x] is genormeerd met deze keuze van α.. poperator = (ħ / I) D[#, x] & xoperator = x # & ħ x # i x # & & aplus = (-I poperator[#] + m ω xoperator[#]) Sqrt[ ħ m ω] & ħ m ω -i poperator[#] + m ω xoperator[#] & ψ[x_] = Sqrt[!] aplus[ψ[x]] // Simplify e - m x ω ħ x α m ω ħ ϕ[ξ_] = ψ[x] /. x Sqrt[π] ((m ω / (π ħ)))^ ξ // Simplify e - ξ α ξ ψ[x_] = Sqrt[!] aplus[aplus[ψ[x]]] // Simplify m x ω - e- ħ α - m x ω + ħ ħ ϕ[ξ_] = ψ[x] /. x Sqrt[π] ((m ω / (π ħ)))^ ξ // Simplify e - ξ α - + ξ

Opgave uitwerking.nb Dit zijn de gevraagde uitdrukkingen..3 Hoperator = poperator[poperator[#]] m + m ω^ xoperator[xoperator[#]] & poperator[poperator[#]] + m m ω xoperator[xoperator[#]] & Hoperator[ψ[x]] ħ ω ψ[x] // Simplify True Hoperator[ψ[x]] 3 ħ ω ψ[x] // Simplify True Hoperator[ψ[x]] 5 ħ ω ψ[x] // Simplify True In overeenstemming met het gevraagde..4 ϕ[ξ_] = ψ[x] /. x Sqrt[π] ((m ω / (π ħ)))^ ξ // Simplify e - ξ α alphavalue = {α } {α } Plot ϕ[sqrt[pi] x] /. alphavalue ^, ϕ[sqrt[pi] x] /. alphavalue ^, ϕ[sqrt[pi] x] /. alphavalue ^, {x, -3, 3}..8.6.4. -3 - - 3 Dit zijn de gevraagde plots. ψn[x] ^ dx is de kansdichtheid dat bij meting van de plaats van een deeltje dat zich in toestand ψn[x] bevindt een waarde tussen x en x+dx gevonden wordt..5 Integrate[ψ[x] ψ[x], {x, - Infinity, Infinity}] En dus zijn ψ[x] en ψ[x] orthogonaal..6

Opgave uitwerking.nb 3 H[ξ_] = - ^ Exp[ξ^] D[Exp[-ξ^], {ξ, }] // Simplify ξ H[ξ_] = - ^ Exp[ξ^] D[Exp[-ξ^], {ξ, }] // Simplify - + 4 ξ α = m ω Pi ħ m ω ħ /4 π /4 /4 ψbis[ξ_] = α Sqrt[^!] H[ξ] Exp -ξ^ e - ξ ξ m ω ħ /4 π /4 ψbis[ξ_] = α Sqrt[^!] H[ξ] Exp -ξ^ e - ξ - + 4 ξ m ω ħ /4 π /4 ψbis[ξ] == ψ[x] /. x Sqrt[ħ / (m ω )] ξ // Simplify True ψbis[ξ] == ψ[x] /. x Sqrt[ħ / (m ω )] ξ // Simplify True Dus beide uitdrukkingen zijn gelijk.

Uitwerkingen.. Verstrooiing van links, dus geen deeltjes van rechts: ikx ikx Ae + Be x < ψ ( x) = iqx Fe x >.. Groepssnelheden: v v dω de k E = = = = dk dk m m l l l g ( E V ) dω de q = = = = dq dq m m r r r g.3. ψ moet continu zijn: A+ B= F ψ moet continu zijn: ik ( A B) = iqf.4. uit.3 volgt: q q B= A F A= + F k k 4kq T = Q.E.D. k+ q.5. ( ) Fluxbehoud! 4kq R= T = = ( k+ q) k+ q of: B R = A Uit.3 volgt: ( k q) ( ) 8

k F = ( A B) ( k q) A= ( k+ q) B q R =.6. ( k q) ( k+ q) altijd R+ T = R = en T = voor E V < (snel) asymptotisch tegen R = en T = voor geen oscillaties E V >.7. De oscillaties treden op door de destructieve interferentie van de aan beide potentiaalstappen gereflecteerde materiegolven (optisch analogon: Fabry-Perot). Bij bepaalde energieën wordt daardoor de transmissie T =..8. voor E V < T > maar T ; exponentieel stijgend voor bepaalde E V > : T = : destructieve interferentie conditie E afstand tussen transmissie maxima stijgt met V 9

E transmissie minima nemen af met V E asymptotisch naar T = voor V 3.. 3 ( ) Y sinθ sinθ = sinθ sin θ e θ θ Y ± iφ + = sinθ e φ 3θ ± iφ ll ( + ) sin θ Y= sin e QED 3.. ( )( ) ± iφ LY = + + Y = Y iφ 3 iφ 3 Y = LY = ( ) e icot ( θ) sinθ e cosθ θ φ = 8π 4π QED Omgekeerd is het ook mogelijk om vanuit het gegeven antwoord voor gegeven Y voldoet aan = LY + Y : Y te bewijzen dat de

3 3 LY + e i e ( )( ) Y Y θ φ 4π 4π iφ iφ = + cot ( θ) cosθ = sinθ + + = Y = 3 sin θ e 8π iφ 3.3. * 3 iφ Y Y sinθdθdφ = sin θcosθe dθdφ = 4 π 3.4. ( ) ( ) N sin( θ) cos( φ) r / a exp r / a sinθ + iφ sinθ iφ = N e + e ( r / a) exp / ( ) r a N 8π 3 8π 3 = + 3 8π 3 8π N 8π = ( Y + Y )( r / a) exp r / ( a) 3 ( ) ( ) + iφ iφ sinθe sin θe r / a exp r / a 8π + ( ) [ ] N Y Y r / a exp r / a r sinθdrdθdφ 4 3 N 8π = Y Y + sin θdθdφ ( r / a) exp [ r / a] r dr 4 3 4π 3 = N 4! a 3 N = a / 3π 3.5. 3/ De radiale functie heeft, naast de functiewaarde bij r =, geen knooppunten, en is daarmee de grondtoestand bij de l = potentiaal. En dus is het (hoofd-) quantumgetal n =. 3.6. We kunnen schrijven: ( ) Ψ ( t = ) = Y + Y R Dus:

r = R r dr R r dr R r dr a + = = 3 3 3 5 Pr () ( rr) = = r = 4a r r 3.7. ( ) max.prob. Ψ ( t = ) = Y + Y R, een superpositietoestand met n=, l = voor twee waarden voor m=+, m=. Bij een meting wordt dus gevonden: L = ll ( + ) =, kans % L =, +, kans ieder 5% (daarmee is L = ) z E = E = E /4, kans %. Dit zou ook kunnen volgen uit onderstaande berekeningen (niet gevraagd): ( ) ( ) * * * * ( ) sinθ * * * H = Y + Y R E Y + Y R r sinθdrdθdφ = E Y Y R R + Y Y RR r drdθdφ = E = E /4 ( ) ( ) ( Y Y RR Y Y RR) r sinθdrdθdφ * * * = + + L Y Y R Y Y R r sinθdrdθdφ = * * * * = + ( ) ( ) * * * Lz = Y + Y R Y Y Rr sinθdrdθdφ * * * = Y Y Y Y RRr sinθdrdθdφ + = ( + ) = z