Complexe getallen: oefeningen

Complexe getallen: oefeningen

Hoofdstuk 2 Praktisch rekenen met complexe getallen 2.1 Optelling en aftrekking (modeloplossing) 1. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 2 + i en z 2 = 2 3i. Bereken de som z 1 + z 2 en schrijf het resultaat in de vorm a + bi. Modeloplossing: z 1 + z 2 = (2 + 1i) + (2 3i) z 1 + z 2 = (2 + 2) + (1 3)i z 1 + z 2 = 4 2i = a + bi 2. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 1 2i en z 2 = 3 4i. Bereken het verschil z 1 z 2 en schrijf het resultaat in de vorm a + bi. Modeloplossing: z 1 z 2 = (1 2i) (3 4i) z 1 z 2 = (1 3) + ( 2 ( 4))i z 1 z 2 = 2 + 2i = a + bi 1

HOOFDSTUK 2. PRAKTISCH REKENEN MET COMPLEXE GETALLEN2 2.2 Optelling en aftrekking 1. Bereken de som van z 1 = 4 + 8i en z 2 = 15 12i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 2. Bereken het verschil van z 1 = 2+4i en z 2 = 6 7i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 3. Bereken de som van z 1 = 2 + 3i en z 2 = 5 + i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 4. Bereken het verschil van z 1 = 2 + i en z 2 = 3 + i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 5. Bereken de som van z 1 = 4 + 3i en z 2 = 4 + i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 6. Los de vergelijking i 2 + z 7 in de vorm a + bi. = 2 + 3i op in C. Druk het resultaat uit 2.3 Vermenigvuldiging en deling (modeloplossing) 1. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 2 + i en z 2 = 2 3i. Bereken het product z 1 z 2 en schrijf het resultaat in de vorm a + bi. Modeloplossing: z 1 z 2 = (2 + i)(2 3i) z 1 z 2 = (2 (2 3i)) + (i (2 3i)) z 1 z 2 = (4 6i) + (2i 3i 2 ) z 1 z 2 = (4 3( 1)) + ( 6 + 2)i z 1 z 2 = 7 4i = a + bi 2. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 1 2i en z 2 = 3 4i. Bereken het quotiënt z 1 z 2 en schrijf het resultaat in de vorm a + bi.

HOOFDSTUK 2. PRAKTISCH REKENEN MET COMPLEXE GETALLEN3 Modeloplossing: z 1 = 1 2i z 2 3 4i z 1 = 1 2i z 2 3 4i 3 + 4i 3 + 4i z 1 (1 2i)(3 + 4i) = z 2 9 12i + 12i 16i 2 z 1 = (3 + 4i 6i 8i2 ) z 2 25 z 1 = 11 z 2 25 2 25 i = a + bi 2.4 Vermenigvuldiging en deling 1. Bereken het quotiënt van z 1 = 1+i en z 2 = 5+2i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 2. Bereken het product van z 1 = 1 i en z 2 = 1 + i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 3. Bereken het quotiënt van z 1 = 1+2i en z 2 = 3 4i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 4. Bereken het product van z 1 = 2+i en z 2 = 1+2i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 5. Bereken het quotiënt van z 1 = 5 6i en z 2 = 5i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 6. Los de vergelijking 5iz + 2 = 3i op in C. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 7. Los de vergelijking 7 vorm a + bi. z+i = 1 i op in C. Druk het resultaat uit in de 8. De getallen α en β zijn reële getallen. Bepaal α en β als je weet dat (α + i)(1 + 2i) + 7 + iβ = 0.

HOOFDSTUK 2. PRAKTISCH REKENEN MET COMPLEXE GETALLEN4 2.5 Modulus en complex toegevoegde (modeloplossing) Gegeven is het complexe getal z = 2 3i. Bereken de modulus z en bepaal zijn complex toegevoegde z. Modeloplossing: z = 2 2 + ( 3) 2 z = 4 + 9 z = 13 z = 2 3 ( 1)i z = 2 + 3i 2.6 Modulus en complex toegevoegde 1. Bereken de modulus van de som van z 1 = 1 i en z 2 = 5 + 2i. 2. Bereken de complex toegevoegde van z = 5 3i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 3. Bereken de modulus van het product van z = 1 + 2i en zijn complex toegevoegde z. 4. Bereken de complex toegevoegde van de som van z 1 = 5 6i en z 2 = 1 + 2i. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 5. Bereken de modulus van het quotiënt van z 1 = 4 3i en z 2 = 3 4i. 6. Los de vergelijking (2 + i)z = z + 4 op in C. Druk het resultaat uit in de vorm a + bi. 7. Bepaal de twee complexe getallen z 1 en z 2 waarvoor de modulus gelijk is aan 1 en waarvan het reëel deel gelijk is aan het imaginair deel.

HOOFDSTUK 2. PRAKTISCH REKENEN MET COMPLEXE GETALLEN5 2.7 Oplossingen 2.2 Optelling en aftrekking 1. 19 4i 2. 4 + 11i 3. 3 + 4i 4. 1 5. 4i 6. 28 + 14i 2.4 Vermenigvuldiging en deling 1. 7 29 + 3 29 i 2. 2 3. 5 25 + 10 25 i 4. 4 + 3i 5. 6 5 i 6. 3 5 + 2 5 i 7. 7 2 + 5 2 i 8. α = 5 β = 9 2.6 Modulus en complex toegevoegde 1. 37 2. 5 + 3i 3. 5 4. 4 + 4i 5. 1 6. 3 + i 7. z 1 = 2 2 2 2 i z 2 = 2 2 + 2 2 i

Hoofdstuk 3 Het complexe vlak 3.1 Som, verschil en complex toegevoegde 1. De onderstaande figuur toont de complexe getallen z 1 en z 2 in het complexe vlak met hun bijhorende argumenten θ 1 en θ 2. Waar ligt dan z 1 z 2? Antwoord met de letter die hoort bij het juiste vakje in de figuur. 2. De onderstaande figuur toont de complexe getallen z 1 en z 2 in het complexe vlak met hun bijhorende argumenten θ 1 en θ 2. Waar ligt dan z 2 + z 2? Antwoord met de letter die hoort bij het juiste vakje in de figuur. 3. De onderstaande figuur toont de complexe getallen z 1 en z 2 in het complexe vlak met hun bijhorende argumenten θ 1 en θ 2. Waar ligt dan iz 1? Antwoord met de letter die hoort bij het juiste vakje in de figuur. 3.2 Modulus 1. De onderstaande figuur toont de complexe getallen z 1 en z 2 in het complexe vlak met hun bijhorende argumenten θ 1 en θ 2. Beschouw het complex getal z 1. Duid de uitspraak aan die geldig is voor deze keuze van z 1 en z 2. Je kan meerdere antwoorden als juist aanduiden. (a) z 1 = z 1 (b) z 1 < z 1 (c) z 1 > z 1 (d) z 1 = z 2 6

HOOFDSTUK 3. HET COMPLEXE VLAK 7 (e) z 1 < z 2 (f) z 1 > z 2 2. De onderstaande figuur toont de complexe getallen z 1 en z 2 in het complexe vlak met hun bijhorende argumenten θ 1 en θ 2. Waar ligt dan z 2 + z 2? Antwoord met de letter die hoort bij het juiste vakje in de figuur. Beschouw het complex getal az 2, waarbij a > 1 een reëel getal is. Duid de uitspraak aan die geldig is voor deze keuze van z 1 en z 2. Je kan meerdere antwoorden als juist aanduiden. (a) az 2 = z 1 (b) az 2 < z 1 (c) az 2 > z 1 (d) az 2 = z 2 (e) az 2 < z 2 (f) az 2 > z 2 3. De onderstaande figuur toont de complexe getallen z 1 en z 2 in het complexe vlak met hun bijhorende argumenten θ 1 en θ 2. Beschouw het complex getal az 1 z 2, waarbij 0 < a < 1 een reëel getal is. Duid de uitspraak aan die geldig is voor deze keuze van z 1 en z 2. Je kan meerdere antwoorden als juist aanduiden. (a) az 1 z 2 z 2 (b) az 1 z 2 z 1 (c) az 1 z 2 z 1 (d) az 1 z 2 z 2 (e) az 1 z 2 = z 1 (f) az 1 z 2 = z 2 3.3 Argument 1. De onderstaande figuur toont de complexe getallen z 1 en z 2 in het complexe vlak met hun bijhorende argumenten θ 1 en θ 2. Beschouw het complex getal z 1 +z 2. Het argument van dit complex getal is θ. Duid de uitspraak aan die geldig is voor de waarde van θ 1,θ 2 en θ tussen 0 en 2π.

HOOFDSTUK 3. HET COMPLEXE VLAK 8 (a) θ 1 < θ < θ 2 (b) θ > θ 2 > θ 1 (c) θ > θ 1 > θ 2 (d) θ < θ 1 < θ 2 (e) θ 2 < θ < θ 1 2. De onderstaande figuur toont de complexe getallen z 1 en z 2 in het complexe vlak met hun bijhorende argumenten θ 1 en θ 2. Beschouw het complex getal z 1 z 2. Het argument van dit complex getal is θ. Duid de uitspraak aan die geldig is voor de waarde van θ 1,θ 2 en θ tussen 0 en 2π. (a) θ 1 < θ < θ 2 (b) θ > θ 2 > θ 1 (c) θ > θ 1 > θ 2 (d) θ < θ 1 < θ 2 (e) θ 2 < θ < θ 1 3. De onderstaande figuur toont de complexe getallen z 1 en z 2 in het complexe vlak met hun bijhorende argumenten θ 1 en θ 2. Beschouw het complex getal az 1 z 2, waarbij 0 < a < 1. Het argument van dit complex getal is θ. Duid de uitspraak aan die geldig is voor de waarde van θ 1,θ 2 en θ tussen 0 en 2π. (a) θ 1 < θ < θ 2 (b) θ > θ 2 > θ 1 (c) θ > θ 1 > θ 2 (d) θ < θ 1 < θ 2 (e) θ 2 < θ < θ 1

HOOFDSTUK 3. HET COMPLEXE VLAK 9 Figuur 3.1: Figuur bij secties 3.1, 3.2 en 3.3

HOOFDSTUK 3. HET COMPLEXE VLAK 10 3.4 Modulus en argument in het complexe vlak 1. Beschouw het complexe getal z met modulus z = 4 en argument θ = 2π/3. Duid z aan op onderstaande figuur. 2. Beschouw de complexe getallen z 1 en z 2 met z 1 = 2, z 2 = 2 2, θ 1 = 3π/4 en θ 2 = 3π/2. Duid z 1 + z 2 aan op onderstaande figuur. 3. Beschouw z 0 = 3 2 + 1 2 i. Beredeneer de plaats van z 1, z 2 en z 3 in het complexe vlak, waarbij z 1 = z 0 i, z 2 = 3iz 1 en z 3 = z 2 i. Duid z 3 aan op onderstaande figuur. Figuur 3.2: Figuur bij sectie 3.4 3.5 Grafisch redeneren 1. Indien z een complex getal is met modulus 1 ( z = 1) en argument θ tussen 0 en π 1+z2, dan geldt = z. Toon dit meetkundig aan. Je hoeft 4 1+z 2 hiervoor niet te rekenen. Teken z in het complexe vlak. Waar ligt dan z 2, 1 + z 2,...?

HOOFDSTUK 3. HET COMPLEXE VLAK 11 3.6 Oplossingen 3.1 1. C 2. D 3. A 3.2 1. A-F 2. F 3. D 3.3 1. B 2. B 3. A 3.4

HOOFDSTUK 3. HET COMPLEXE VLAK 12 3.5

Hoofdstuk 4 De polaire vorm en de exponentiële vorm 4.1 Omzetten naar cartesische vorm 1. Zet z = 3e 5i om van de exponentiële vorm naar de cartesische vorm a + bi. 2. Zet z = 2e i π 2 om van de exponentiële vorm naar de cartesische vorm a + bi. 3. Zet z = 7e i 7π 6 om van de exponentiële vorm naar de cartesische vorm a + bi. 4.2 Omzetten naar polaire en exponentiële vorm 1. Zet z = 1 + 3i om van de cartesische vorm naar de polaire vorm r(cos(θ) + i sin(θ)). 2. Zet z = 1+i om van de cartesische vorm naar de polaire vorm r(cos(θ)+ i sin(θ)). 3. Zet z = 2 + i om van de cartesische vorm naar de exponentiële vorm re iθ. 4. Zet z = 5i om van de cartesische vorm naar de polaire vorm r(cos(θ)+ i sin(θ)). 13

HOOFDSTUK 4. DE POLAIRE VORM EN DE EXPONENTIËLE VORM14 5. Zet z = 7 om van de cartesische vorm naar de polaire vorm r(cos(θ) + i sin(θ)). 6. Zet z = 3 + 4i om van de cartesische vorm naar de exponentiële vorm re iθ. 4.3 Oefeningen op de exponentiële vorm 1. Reken (1.1e 2i ) 10 uit en breng het resultaat naar de cartesische vorm a + bi. Indien nuttig zet je tussenresultaten om naar andere vormen. 2. Reken e 2i +e 3i uit en breng het resultaat naar de cartesische vorm a+bi. Indien nuttig zet je tussenresultaten om naar andere vormen. 4.4 Oefening op modulus 1. Bereken op een zo zuinig mogelijke manier de modulus van z = (3+4i)(12+5i) (2+3i) 2. 4.5 Omzetting op het juiste moment 1. Reken (i e i π 6 + 1)/e i π 6 uit en breng het resultaat naar de cartesische vorm a + bi. Indien nuttig zet je tussenresultaten om naar andere vormen. 2. Reken 2e i π 3 3e i π 6 uit en breng het resultaat naar de cartesische vorm a + bi. Indien nuttig zet je tussenresultaten om naar andere vormen. 3. Reken 2e i π 3 3e i π 6 uit en breng het resultaat naar de cartesische vorm a + bi. Indien nuttig zet je tussenresultaten om naar andere vormen. 4. Reken 2e i π 3 /(3e i π 6 ) uit en breng het resultaat naar de cartesische vorm a + bi. Indien nuttig zet je tussenresultaten om naar andere vormen. 5. Reken (1 + i) 50 uit en breng het resultaat naar de cartesische vorm a + bi. Indien nuttig zet je tussenresultaten om naar andere vormen. 6. Reken ( 1+ 3i) 20 uit en breng het resultaat naar de cartesische vorm a + bi. Indien nuttig zet je tussenresultaten om naar andere vormen.

HOOFDSTUK 4. DE POLAIRE VORM EN DE EXPONENTIËLE VORM15 4.6 Oplossingen 4.1 4.2 1. 3 cos(5) + 3 sin(5)i = 0, 852, 88i 2. 2 cos( π + 2 sin( π )i = 2i 2 2 3. 7 cos( 7π) + 7 sin( 7π )i = 6, 06 3, 5i 6 6 1. Modeloplossing: 2. r = 1 2 + 1 2 = 2 θ = π 4 (eerste kwadrant) 3. r = ( 2) 2 + 1 2 = 5 θ = π arctan( 1 ) (tweede kwadrant) 2 4. r = 0 2 + ( 5) 2 = 25 = 5 θ = π 2 (negatieve imaginaire as) 5. r = 7 2 + 0 2 = 49 = 7 θ = 0 (positieve reële as)

HOOFDSTUK 4. DE POLAIRE VORM EN DE EXPONENTIËLE VORM16 4.3 4.4 6. r = 3 2 + 4 2 = 25 = 5 θ = arctan( 4 ) (eerste kwadrant) 3 1. 1,06 + 2,37 i 2. -1,41 + 1,05i 1. Modeloplossing: z = (3 + 4i)(12 + 5i)/(2 + 3i) 2 z = (3 + 4i)(12 + 5i)/(2 + 3i) 2 = (3 + 4i) (12 + 5i / (2 + 3i) 2 z = 3 2 + 4 2 12 2 + 5 2 / 2 2 + 3 22 z = 5 13/ 13 2 z = 5 4.5 1. Modeloplossing: z = (i e i π 6 + 1)/e i π 6 z = (e i π 2 e i π 6 + 1)/e i π 6 (Product in exponentiële vorm) z = (e i( π 2 π 6 ) + 1)/e i π 6 z = (e i π 3 + 1)/e i π 6 z = (( 1 3 2 + 2 z = ( 3 3 2 + (Uitwerkingproduct) π i) + 1)/ei 6 (Somincartesischevorm) π 2 i)/ei z = ( 3e i π 6 )/e i π 6 z = 3 1 6 (U itwerkingsom) (Quotiënt in exponentiële vorm) (Uitwerking quotiënt) z = 3 a = 3 b = 0

HOOFDSTUK 4. DE POLAIRE VORM EN DE EXPONENTIËLE VORM17 2. 2e i π 3 3e i π 6 = 6e i( π 3 + π 6 ) a = 6 cos( π 3 + π 6 ) b = 6 sin( π 3 + π 6 ) 3. 2e i π 3 3e i π 6 = 6e i( π 3 π 6 ) a = 6 cos( π 3 π 6 ) b = 6 sin( π 3 π 6 ) 4. 2e i π 3 /3e i π 6 = 2 3 ei( π 3 π 6 ) a = 2 3 cos( π 3 π 6 ) b = 2 3 sin( π 3 π 6 ) 5. (1 + i) 50 = ( 2e i π 4 ) 50 a = ( 2) 50 cos( 50π 4 ) = 0 b = ( 2) 50 sin( 50π 4 ) = 225 6. ( 1 + 3i) 20 = (2e i 2π 3 ) 20 a = 2 20 cos( 40π 3 ) b = 220 sin( 40π 3 )

Hoofdstuk 5 Veeltermvergelijkingen en complexe getallen 5.1 Tweedegraadsvergelijkingen 1. Bepaal de nulpunten van 7x 2 6x + 2 = 0. Ontbind de veeltermen in factoren. Modeloplossing: p(x) = 7x 2 6x + 2 D = ( 6) 2 4.7.2 = 36 56 = 20 D = 20i = 2 5i x 1 = ( 6) + 2 5i 2.7 x 2 = ( 6) 2 5i 2.7 = 3 7 + 5 2 i = 3 7 5 2 i p(x) = 7(x x 1 )(x x 2 ) = 7(x 3 7 5 2 i)(x 3 7 + 5 2 i) 2. Bepaal de nulpunten van x 2 + x + 1 = 0. Ontbind de veelterm in factoren. 3. Bepaal de nulpunten van 5x 2 + 12x + 8 = 0. Ontbind de veelterm in factoren. 4. Bepaal de nulpunten van 5x 2 + 2x 1 = 0. Ontbind de veelterm in factoren. 18

HOOFDSTUK 5. VEELTERMVERGELIJKINGEN EN COMPLEXE GETALLEN19 5.2 n-de machtswortels 1. Los de vergelijking x 5 = 1 op. Bepaal alle wortels en duid ze aan in het complexe vlak. Modeloplossing: x 5 = 1 x 5 = 1e i0 r = 5 1 = 1 θ 1 = 0 5 ; θ 2 = 0 + 2π 5 ; θ 3 = 0 + 4π 5 ; θ 4 = 0 + 6π 5 ; θ 5 = 0 + 8π 5 Wortels: x 1 = 1; x 2 = e i 2π 5 ; x3 = e i 4π 5 ; x4 = e i 6π 5 ; x5 = e i 8π 5. 2. Los de vergelijking x 4 1 = 0 op. Bepaal alle wortels en duid ze aan in het complexe vlak. Hoe kan je deze vergelijking ook puur analytisch oplossen? 3. Los de vergelijking x 3 = 3i op. Bepaal alle wortels en duid ze aan in het complexe vlak.

HOOFDSTUK 5. VEELTERMVERGELIJKINGEN EN COMPLEXE GETALLEN20 4. Los de vergelijking x 4 = 1 op. Bepaal alle wortels en duid ze aan in het complexe vlak. 5. Los de vergelijking x 2 = 2 + i op. Bepaal alle wortels en duid ze aan in het complexe vlak. 6. Hieronder vind je een reeks uitspraken met betrekking tot de n-demachtswortels van een complex getal. Duid alle juiste uitspraken aan. (a) De niet-reële wortels van een zuiver reëel getal bestaan altijd uit complex toegevoegde paren. (b) De vijfdemachtswortel van een complex getal heeft steeds een kleinere modulus dan de derdemachtswortel van datzelfde getal. (c) Alle wortels van een complex getal hebben dezelfde modulus. (d) Een zuiver reëel getal heeft altijd minstens één reële vijfdemachtswortel. (e) Een zuiver imaginair getal kan een zuiver reële wortel hebben. (f) Een zuiver reëel getal kan een zuiver imaginaire wortel hebben. 5.3 Ontbinden in factoren 1. Beschouw de veelterm p(x) = 5x 3 3x 2 x 1. x = 1 is een wortel van de veelterm. Bepaal de andere wortels en ontbind de veelterm in factoren. 5.4 Tweedegraadsvergelijkingen met complexe coëfficiënten 1. Los de vergelijking ix 2 + (5 + 3i)x + 3 4i = 0 op. Bepaal alle wortels en ontbind de veelterm uit de vergelijking in factoren. 2. Los de vergelijking e i π 4 x 2 + 2e i π 3 x e i π 4 = 0 op. Bepaal alle wortels en ontbind de veelterm uit de vergelijking in factoren. 3. Los de vergelijking x 2 + (2 + i)x + i = 0 op. Bepaal alle wortels en ontbind de veelterm uit de vergelijking in factoren.

HOOFDSTUK 5. VEELTERMVERGELIJKINGEN EN COMPLEXE GETALLEN21 5.5 Oplossingen 6.1 6.2 6.3 5.4 1. 7(x 3 7 5 2 i)(x 3 7 + 5 2 i) 2. (x + 1 2 + 3 2 i)(x + 1 2 3 2 i) 3. 5(x + 6 5 + 2 5 i)(x + 6 5 2 5 i) 4. 5(x 1 5 + 2 5 i)(x 1 5 2 5 i) 1. {x 1 = 1; x 2 = e i 2π 5 ; x 3 = e i 4π 5 ; x 4 = e i 6π 5 ; x 5 = e i 8π 5 } 2. {1, 1, i, i} 3. { 3 3e i π 6, 3 3e i 5π 6, 3 3e i 9π 6 } 4. {e i π 4, e i 3π 4, e i 5π 4, e i 7π 4 } 5. { 4 5e i( 1 2 arctan( 1 2 )), 4 5e i(π+ 1 2 arctan( 1 2 )) } 6. Juiste uitspraken: a-c-d-f 1. Modeloplossing: 5x 3 3x 2 x 1 = (x 1)(ax 2 + bx + c) Bepalen van a, b en c levert: p(x) = (x 1)(5x 2 + 2x + 1) Wortels zoeken van 5x 2 + 2x + 1 : D = 2 2 4.5.1 = 16 D = 4i 2 + 4i x 2 = = 1 2.5 5 + 2 5 i 2 4i x 3 = = 1 2.5 5 2 5 i Volledige ontbinding van p(x) : p(x) = (x 1)(x + 1 5 + 2 5 i)(x + 1 5 2 5 i) 1. x 1 = i en x 2 = 3 + 4i 2. x 1 = 2 2 (1 3) en x 2 = 2 2 ( 1 3)i 3. x 1 = 1 2 ( 3 + 2 + i) en x 2 = 1 2 ( 3 + 2 + i)

Hoofdstuk 6 De hoofdstelling van de algebra en het veld van de complexe getallen 6.1 Factoriseren van veeltermen 1. Een reële veelterm q(x) met hoogstegraadsterm 5x 5 heeft als nulpunten 2, 1 + 3i, 2 2i en 2 + 2i. Schrijf de veelterm als een product van veeltermen met reële coëfficiënten van maximale graad 2 Modeloplossing: Gegeven: Oplossing: q(x) = 5x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 q(x) heeft nulpunten x 1 = 2, x 2 = 1 + 3i, x 3 = 1 3i, x 4 = 2 2i, x 5 = 2 + 2i q(x) = 5(x x 1 )(x x 2 )(x x 3 )(x x 4 )(x x 5 ) q(x) = 5(x 2)(x 1 3i)(x 1 + 3i)(x 2 + 2i)(x 2 2i) q(x) = 5(x 2)(x 2 2x + 10)(x 2 4x + 8) 2. Gegeven een veelterm p(x) met reële coëfficiënten en hoogstegraadsterm x 3, waarvan 2 en 2 + i nulpunten zijn. Bepaal overige nulpunten en de ontbinding in factoren. 22

HOOFDSTUK 6. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN 23 3. Gegeven een veelterm p(x) met reële coëfficiënten en hoogstegraadsterm 3x 4, waarvan 3 i en 4 + 2i nulpunten zijn. Bepaal overige nulpunten en de ontbinding in factoren. 4. Gegeven een veelterm p(x) met reële coëfficiënten en hoogstegraadsterm 2x 5, waarvan 3, 3i en i 2 nulpunten zijn. Bepaal overige nulpunten en de ontbinding in factoren. 6.2 Stelsels van vergelijkingen 1. Karel lost een stelsel op van twee vergelijkingen in de onbekenden x en y: { 2x + 3y = 5 3x + y = 7 Om een vergelijking met alleen de onbekende y te bekomen, bekijkt hij de coëfficiënten van x in beide vergelijkingen. Hij besluit dde eerste vergelijking met 3 te vermenigvuldigen, de tweede met 2 en maakt het verschil. Hij bekomt de vergelijking: 7y = 1 met als oplossing y = 1/7. Uit een van de originele vergelijkingen vindt Karel dan ook x = 48/21. Anna heeft een gelijkaardig stelsel met complexe getallen { (2 + i)x + (3 2i)y = 5 i (3 i)x + (1 i)y = i Pas Karels methode toe op Anna s stelsel en druk de oplossing uit in de cartesische vorm. Modeloplossing: Vermenigvuldig vergelijking 1 met 3 i en vergelijking 2 met 2 + i: { (3 i)((2 + i)x + (3 2i)y) = (3 i)(5 i) (2 + i)((3 i)x + (1 i)y) = (2 + i)i

HOOFDSTUK 6. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN 24 Uitwerken geeft { (7 + i)x + (7 9i)y = 14 8i (7 + i)x + (3 i)y = 1 + 2i Vergelijking (1) - vergelijking (2): (7 9i 3 + i)y = (14 8i + 1 2i) (4 8i)y = (15 10i) y = y invullen in vergelijking (1): 15 10i 4 8i = 7 4 + i (2 + i)x + (3 2i)y = 5 i (2 + i)x + (3 2i)(7/4 + i) = 5 i (2 + i)x + (29/4 1/2i) = 5 i (2 + i)x = (5 i 29/4 + 1/2i) (2 + i)x = ( 9/4 1/2i) x = 2. Los onderstaand stelsel op. 9/4 1/2i 2 + i = 4/5 13/20i { (3 + 3i)x + 4iy = 10 + i 6ix + (4 + 4i)y = 11 + 5i 3. Los onderstaand stelsel op. { (2 i)x + (4 + 3i)y = 2 i ( 1 2i)x + (3 i)y = 7i 4. Los onderstaand stelsel op. { x + y = 9 + i (2 i)x + (2 + i)y = 5 i 6.3 Eigenschappen van een veld 1. Hieronder volgt de oplossing van de vergelijking a(z + 1) = z voor a = 3 + i en met alle tussenstappen zoals toegelaten in een willekeurig

HOOFDSTUK 6. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN 25 veld. Kies voor elke stap de bijhorende eigenschap van een veld die werd toegepast (zie theorie). (1) a (z + 1) = z (2) a z + a = z (3) (a z + a) a = z a (4) a z + (a a) = z a (5) a z + o = z a (6) a z = z a (7) z + a z = z + (z a) (8) z + a z = ( z + z) a (9) z + a z = o a (10) z + a z = a (11) ( 1 + a) z = a (12) ( 1 + a) 1 (( 1 + a) z) = ( 1 + a) 1 ( a) (13) (( 1 + a) 1 ( 1 + a)) z = ( 1 + a) 1 ( a) (14) 1 z = ( 1 + a) 1 ( a) (15) z = ( 1 + a) 1 ( a)

HOOFDSTUK 6. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN 26 6.4 Oplossingen 6.1 6.2 6.3 1. 5(x 2)(x 2 2x + 10)(x 2 4x + 8) 2. (x + 2)(x 2 i)(x 2 + i) 3. 3(x 3 i)(x 3 + i)(x 4 2i)(x 4 + 2i) 4. 2(x 3)(x + 2 i)(x + 2 + i)(x 3i)(x + 3i) 1. x = 4/5 13/20i, y = 7/4 + i 2. x = 2/3 3i, y = 2 + 1/4i 3. x = 2 + 11/3i, y = 5/3 1/3i 4. x = 6 6i, y = 3 + 7i 1. (2) Distributiviteit van. ten opzichte van + (3) In beide leden werd het tegengestelde van a opgeteld (4) Associativiteit van + (5) Eigenschap van tegengestelde element (6) 0 is neutraal element voor + (7) In beide leden werd het tegengestelde van z opgeteld (8) Associativiteit van + (9) Eigenschap van tegengestelde element (10) 0 is neutraal element voor + (11) Distributiviteit van. ten opzichte van + (12) Beide leden vermenigvuldigd met het inverse element (13) Associativiteit van. (14) Eigenscshap van het inverse element (15) 1 is neutraal element voor.