college 2: partiële integratie

39 college 2: partiële integratie Zoals de substitutieregel voor integratie de inverse van de kettingregel voor differentiatie genoemd zou kunnen worden, zo is partiële integratie de inverse van de productregel: (f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x). Uit de productregel volgt namelijk direct f(x) g (x) = (f(x) g(x)) f (x) g(x), en door links en rechts te integreren de regel voor partiële integratie: f(x) g (x) dx = f(x) g(x) f (x) g(x) dx.

40 partiële integratie college 2 De regel f(x) g (x) dx = f(x) g(x) f (x) g(x) dx kunnen we ook zo formuleren: f(x) dg(x) = f(x) g(x) g(x) df(x), of F (x) g(x) dx = F (x) G(x) G(x) f(x) dx, of zo: F (x) dg(x) = F (x) G(x) G(x) df (x).

41 partiële integratie college 2 f(x) g (x) dx = f(x) g(x) f (x) g(x) dx Het toepassen van deze regel komt meestal neer op het herkennen van een integrand als het product van een functie f (met een eenvoudige afgeleide f ) en de afgeleide g (van een functie g).

partiële integratie college 2 f(x) g (x) dx = f(x) g(x) f (x) g(x) dx Opgave Bereken x n e x dx, voor een natuurlijk getal n. 42

43 partiële integratie college 2 f(x) g (x) dx = f(x) g(x) f (x) g(x) dx Oplossing x n e x dx = x n (e x ) dx = x n e x e x (x n ) dx = x n e x n x n 1 e x dx. Dit heeft het probleem teruggebracht tot een eenvoudiger geval.

44 wanneer partiële integratie? college 2 Wanneer helpt partiële integratie voor het berekenen van h(x) dx? Probeer h(x) te herkennen als product h(x) = F (x) g(x) van functies met F (x) = f(x) en g(x) = G (x) zodanig dat: f(x) eenvoudiger is dan F (x), en G(x) van hetzelfde type is als g(x); want dan is h(x) = F (x) g(x) dx = F (x) G(x) G(x) f(x) dx met rechts een eenvoudiger integraal dan links.

45 partiële integratie (voorbeeld) college 2 Opgave Bereken x 2 e 3x dx. Oplossing x 2 e 3x dx = 1 3 x 2 de 3x = 1 3 x2 e 3x 1 3 = 1 3 x2 e 3x 2 3 e 3x dx 2 x e 3x dx Dit heeft het probleem teruggebracht tot een eenvoudiger geval.

46 partiële integratie (voorbeeld vervolg) college 2 Het eenvoudigere geval gaat net zo: x e 3x dx = 1 x de 3x 3 = 1 3 x e3x 1 3 e 3x dx = 1 3 x e3x 1 9 e3x.

47 partiële integratie (voorbeeld slot) college 2 Al met al: x 2 e 3x dx = 1 3 x2 e 3x 2 3 x e 3x dx en x e 3x dx = 1 3 x e3x 1 9 e3x, zodat x 2 e 3x dx = 1 3 x2 e 3x 2 9 x e3x + 2 27 e3x.

48 partiële integratie (nog een voorbeeld) college 2 Opgave Bereken x sin x dx. Oplossing x sin x dx = x d cos x = x cos x + 1 cos x dx = x cos x + sin x.

49 partiële integratie (typisch voorbeeld) college 2 Opgave Bereken e x sin x dx. Oplossing e x sin x dx = sin x de x = e x sin x = e x sin x e x d sin x e x cos x dx

50 partiële integratie (typisch voorbeeld) college 2 Dit heeft het probleem e x sin x dx teruggebracht tot een vergelijkbaar geval: e x cos x dx en e x cos x dx = cos x de x = e x cos x + e x sin x dx, maar met de rechtse integraal begonnen we! We krijgen e x sin x dx = e x sin x (e x cos x + e x sin x dx), oftewel 2 e x sin x dx = e x sin x e x cos x.

51 een nuttige toepassing college 2 Als f(x) = y een inverse g(y) = x heeft, dan kun je f bepalen als je g kunt bepalen, want f(x) dx = x f(x) G(f(x)), waar G de primitieve van g is en g de inverse van f.

52 een nuttige toepassing (vervolg) college 2 f(x) dx = x f(x) G(f(x)) Immers: f(x) dx = f(g(y)) dg(y) = y dg(y) = y g(y) g(y) dy = f(x) x G(f(x)).

een nuttige toepassing (voorbeeld) college 2 f(x) dx = x f(x) G(f(x)) Opgave Bereken cos 1 x dx Oplossing Neem f(x) = cos 1 x, dan is g(y) = f 1 (y) = cos y, en dus G(y) = sin y. 53

54 een nuttige toepassing (voorbeeld vervolg) college 2 f(x) dx = x f(x) G(f(x)) Bereken cos 1 x dx Met f = cos 1 x, en g = cos y, dus G = sin y: cos 1 x dx = x cos 1 x G(cos 1 (x)) omdat sin = 1 cos 2. = x cos 1 x sin(cos 1 (x)) = x cos 1 x 1 x 2,

55 een nuttige toepassing (voorbeeld 2) college 2 f(x) dx = x f(x) G(f(x)) Opgave Bereken 3 x + 2 dx Oplossing Neem f(x) = y = 3 x + 2, dan is y 3 = x + 2, en dus x = (y 3 2) 2 = g(y), oftewel g(y) = y 6 4y 3 + 4. Dan is 3 x 1 x + 2 dx = x y ( 7 y7 y 4 + 4y), met y = 3 + 2.

56 partiële integratie (moeilijker voorbeeld) college 2 Terug naar algemene voorbeelden van partiële integratie. Opgave Bereken x sin 1 x dx. Oplossing Probeer hier te gebruiken dat (sin 1 x) = 1 1 x 2, en dat de functie rechts eenvoudiger is dan sin 1 ; terwijl de functies in x = ( 1 2 x2 ), links en rechts van hetzelfde type zijn.

57 partiële integratie (moeilijker voorbeeld vervolg) college 2 Dus x sin 1 x dx = 1 2 sin 1 x dx 2 = 1 2 x2 sin 1 x 1 2 x 2 1 x 2 dx. In de integraal rechts proberen we de substitutie x = sin t. Dan is 1 x2 = cos t en dx = d sin t = cos t dt: Maar x 2 1 x 2 dx = sin 2 t cos t cos t dt = sin 2 t dt. sin 2 t dt = ( 1 2 1 2 cos(2t)) dt = 1 2 t 1 4 sin(2t), zodat x 2 1 x 2 dx = 1 2 sin 1 x 1 4 sin(2 sin 1 x).

58 partiële integratie (moeilijker voorbeeld vervolg) college 2 Tenslotte is dus sin(2u) = 2 sin u cos u, en cos v = 1 sin 2 v, sin(2 sin 1 x) = 2 sin(sin 1 x) cos(sin 1 x) = 2x 1 x 2. De gevraagde integraal is x sin 1 x dx = 1 2 x2 sin 1 x 1 4 sin 1 x + 1 4 x 1 x 2.

59 hyperbolische functies college 2 Definitie hyperbolische functies cosh t = et + e t 2 sinh t = et e t. 2 Deze lijken in eigenschappen sterk op de goniometrische functies cos t = eit + e it 2 sin t = eit e it. 2 (omdat e it = cos t + i sin t en e it = cos t i sin t).

60 eigenschap hyperbolische functies college 2 Zoals cos 2 t + sin 2 t = 1 hebben we cosh 2 t sinh 2 t = 1, omdat (e t + e t ) 2 (e t e t ) 2 = 4e t e t = 4. Meetkundig: de paren (cos t, sin t) liggen op de cirkel x 2 + y 2 = 1 in het x, y-vlak, terwijl de paren (cosh t, sinh t) op de hyperbool x 2 y 2 = 1 liggen.

61 verdere eigenschappen hyperbolische functies college 2 Zoals (sin t) = cos t (cos t) = sin t geldt (sinh t) = cosh t (cosh t) = sinh t. En met tanh t = sinh t cosh t krijgen we (tanh t) = 1 cosh 2 t.

62 nog meer eigenschappen hyperbolische functies college 2 Ook volgen direct uit de eigenschappen van de exponentiële functie dat Daaruit volgt weer en dan sinh(u + v) = sinh u cosh v + sinh v cosh u, cosh(u + v) = cosh u cosh v + sinh u sinh v. sinh(2t) = 2 sinh t cosh t cosh(2t) = cosh 2 t + sinh 2 t, cosh 2 t = 1 (cosh(2t) + 1) 2 sinh 2 t = 1 (cosh(2t) 1). 2

63 toepassing hyperbolische functies college 2 Bij integralen waarin 1 + x 2 voorkomt kunnen we nu nuttig gebruik maken van de substitutie x = sinh t; dan wordt 1 + x 2 = cosh t en dx = d sinh t = cosh t. Opgave Bereken 1 1 + x 2 dx.

64 toepassing hyperbolische functies college 2 Bereken 1 1 + x 2 dx. Met x = sinh t: 1 dx = 1 + x 2 1 cosh t cosh t dt = t = sinh 1 (x). Noem sinh 1 (x) = y, dan x = sinh y, en uit x = ey e y 2 volgt dat 2e y x + (e y ) 2 1 = 0, dus e y = 2x ± 4x 2 + 4 2 = x ± x 2 + 1.

65 We moeten hier het + teken hebben omdat e y > 0. Dus y = sinh 1 x = log(x + x 2 + 1), en we vinden 1 dx = 1 + x 2 sinh 1 x = log(x + x 2 + 1) + C.