I- I- 38 lok 3 IT - eetkundige pltsen met Geoger ldzijde 8 H Het spoor vn lijkt een irkel te zijn. De irkel is de meetkundige plts vn een onstnte hoek. Het ewijs komt voor ij de stelling vn Thles. Gegeven: een rehthoekige driehoek met = 90. Te ewijzen: ligt op de irkel met middellijn. ewijs: onstrueer het midden vn. Trek lijn m door en en onstrueer punt D op m met D =. unt D is puntsmmetrish met ten opzihte vn D = 90 en D zijn lihmsdigonlen vn rehthoek D = = = D er is een irkel met middelpunt en strl die door, en gt. Geruik de knop Veelhoek voor het tekenen vn. Geruik de knop irkel door drie punten om de irkel door,, en te tekenen. Geruik de pijl (de knop Verpltsen) om, en/of nr een ndere plts te slepen en te zien hoe de driehoek en de irkel vernderen. Kies de knop idden of middelpunt en klik de irkel om het middelpunt vn de irkel te tekenen. Verplts weer,, en/of en kijk hoe het middelpunt meeverpltst. ij een sherpe driehoek zijn lle hoeken kleiner dn 90 en ligt ltijd innen de driehoek. ij een rehthoekige driehoek is een hoek 90 en ligt ltijd op een driehoekszijde. ij een stompe driehoek is een hoek groter dn 90 en ligt ltijd uiten de driehoek. oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel m D
I-3 I- D O E lok 3 IT - eetkundige pltsen met Geoger Geruik de knop idden of middelpunt om in het midden vn D te tekenen. De meetkundige plts vn punten is het lijnstuk E evenwijdig n dt het midden vn O en het midden vn O verindt. OD = O = 90 OD is een rehthoek nr OE = O D en O zijn digonlen vn rehthoek OD = D nr O = O nr O ~ OE E // op O ~ OE op E 7 5 3 E 70 O 3 5 7 8 9 Het middelpunt vn de ingeshreven irkel ligt op de het snijpunt vn de deellijnen (issetries). Teken de issetrie door met de knop issetries. Seleteer de lijn en de hlve lijn. GeoGer tekent twee issetries. Verwijder de issetrie die niet door de driehoek gt. De strl vn de irkel is dus de fstnd vn het middelpunt E tot is. Trek een prllelle lijn oven op fstnd. Het snijpunt vn de prllelle lijn met de issetrie is het middelpunt E vn de irkel. onstrueer voor de prllelle lijn eerst een loodlijn op en ps hier een lijnstuk op f vn (zet de optie Vstzetten op Rooster n. egin het lijnstuk op het snijpunt vn de loodlijn met. Dri het eindpunt nr oven tot het smenvlt met de loodlijn.) Trek de prllelle lijn met de knop Evenwijdige rehte door dit eindpunt. Geruik de knop Snijpunt(en) vn ojeten en klik op het snijpunt vn de prllelle lijn en de issetrie. Teken tenslotte de irkel met de knop irkel met middelpunt en strl. oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel 39
0 lok 3 IT - eetkundige pltsen met Geoger nier : et de knop Rklijnen wordt de zijde ls rklijn vn de ingeshreven irkel getekend die door punt gt. nier : Trek issetrie E en verduel hoek E door middel vn een loodlijn en een spiegeling vn nr ' in de issetrie vi de knop Lijnspiegeling. Hoek is '. Opmerking: G n, door te vershuiven, dt het ene snijpunt vn de issetrie vn met de irkel niet smenvlt met het rkpunt vn de rklijn die door gt en slehts op het oog zo lijkt ij de gegeven fmetingen in de opgve. 7 5 3 O ldzijde 83 E 70 3 5 7 8 9 I-5 Door de onstrutie met de irkel zorg je ervoor dt Q = 8. Zet het Rooster n en trek horizontle lijn door twee punten. Teken drn een loodlijn op. Geruik het hulppunt om de loodlijn te trekken niet ls middelpunt vn de irkel nders vershuift de loodlijn tijdens het verpltsen vn Q. Geruik de knop Snijpunt(en) met ojeten om snijpunt te reëren. Trek met de knop Lijnstuk tussen punten een lijnstuk tussen en Q. reëer het punt met de knop idden of middelpunt en klik de lijn Q. d Q O De irkel heeft het snijpunt O vn en ls middelpunt. ls Q nr O gt vlt O smen met Q. De strl is Q = Q =. Trek lijn O. is het midden vn Q de loodlijn op OQ door deelt OQ middendoor OQ is gelijkenig O = OQ. O = Q = onstnt = strl vn irkel met O ls middelpunt ligt op de irkel met O ls middelpunt en strl Q. O verdeelt de irkel in vieren. De ldder (= het lijnstuk Q) ligt in het e kwdrnt hiervn. op Q ligt ltijd in het e kwdrnt doorloopt een kwrtirkel. oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel
I- d I-7 D H G Q E lok 3 IT - eetkundige pltsen met Geoger De figuur lt zien dt punt H het lijnstuk Q ls n doorloopt. ls D nr gt dn gn GD en E nr de hoogtelijn door en H nr het midden vn de hoogtelijn. ls D nr gt dn gt DE nr en H nr het midden Q vn. In is de zwrtelijn uit de lijn Q. DE en heen gemeen het midden vn DE doorloopt de zwrtelijn Q. De zwrtelijn is een rehte. Het snijpunt H vn EG en D is het midden vn rehthoek GED H heeft dezelfde horizontle plts ls en de hlve fstnd tot de lijn H ligt op de rehte met eindpunten en Q. is S S G is S 3 S Een punt dt even ver vn lijn ls lijn ligt evindt zih op de issetrie tussen eide lijnen. onstrueer met de knop issetries en nklikken vn lijn en de innen- en uitenissetries is en is. Een punt dt op een fstnd vn lijn ligt evindt zih op een prllelle lijn hiern n die rkt n de irkel met strl en middelpunt op heeft. onstrueer met de knop irkel met middelpunt en strl een irkel op met strl. onstrueer met de knop Loodlijn een loodlijn door het middelpunt vn de irkel en door het het middelpunt en n te klikken. onstrueer de snijpunten vn de loodlijn met de irkel door middel vn de knop Snijpunt(en) vn ojeten. onstrueer twee prllelle lijnen n met de knop Evenwijdige rehte en nklikken vn en een snijpunt. onstrueer met de knop Snijpunt(en) vn ojeten de vier snijpunten S, S, S 3 en S tussen de twee issetries en de twee prllelle lijnen. Er zijn dus vier punten die even ver vn lijn ls lijn liggen en die op een fstnd vn lijn liggen. oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel
lok 3 IT - eetkundige pltsen met Geoger In het lgemene gevl zijn er vier snijpunten. Zie de figuur ij opdrht. In het gevl dt de prllelle lijnen prllel zijn n een issetrie zijn er slehts twee snijpunten: is is S S G is In het gevl G een fstnd vn tot heeft (een vn de prllelle lijnen gt door G) vllen twee snijpunten smen en zijn er drie snijpunten: is S S G S 3 S is is is G S S S 3 oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel is G S S 3 S
lok 3 rktishe opdrht - Gewogen entr ldzijde 87 m h g f e d R s r q p k fstnd = 3 en h is de e irkel rond, dus de fstnd tussen de irkels is. ls Op lijn m ligt punt op het snijpunt vn irkel f met strl en irkel p met strl. m h g f e d R s r q p k Verleng m en reid de irkels rond uit met een irkel die door gt. Voor het snijpunt Q met m geldt =. d unt R voldoet n de formule R = R wnt R = 3 en R =. m h g f ed s r R q p k Q Q reid het ntl irkels uit en zoek de snijpunten wr de strlen een verhouding : heen. Je vindt 8 snijpunten, inlusief en Q die op lijn m liggen. De geshetste lijn lijkt op de grijze irkel met middellijn Q te liggen. Een endering vn de ligging kun je op het oog ngeven: ligt tussen. ls = 3 dn = 3 ( ), dus een hlve lengte moet 3 keer pssen in. Q ligt voorij. ls Q = 3 Q dn Q = 3 ( Q ), dus een hlve lengte Q moet 3 keer pssen in Q. oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel 3
lok 3 rktishe opdrht - Gewogen entr Kies = 3 en = om n = 3 te voldoen. Dn volgt = 3 + = 5, mr lengte moet zijn volgens opdrht, dus vergroot en met. 5 Dt geeft = 3 = =, en =, =,. 5 5 Kies Q = 3 en Q = om n Q = 3 Q te voldoen. Q = Q + = Q Q = 3 =, mr lengte moet zijn volgens opdrht, dus vergroot Q en Q met. Dt geeft Q = en Q = 8. Voor een punt R op de grens geldt R = 3 R R = R. Teken irkels rond met strlen,, en 8 en irkels rond met strlen die keer groter zijn, dus 3,, 9, en. Teken de snijpunten op de irkels die voldoen n R = 3 R en shets de verinding tussen de snijpunten. In de tekening is de grenslijn de vette irkel. d e 9 3 9 3 O 3 9 R 3 R 3 9 R 5 R ls entrum gewiht heeft en entrum gewiht dn geldt voor de grenslijn per definitie = =. Op lijn geldt = + = + =. Invullen geeft = = = = + = + = + = + = +. De hoeken zijn R en R zijn gelijk. Hetzelfde geldt voor de hoeken ij R en R 3. 0 R R 3 R 0,9 0,9 R R 5, 5, 0 8 0 Q 8 0 Q oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel R 3 0 R 0,3 R 3 0,3 R 8 0 Q
lok 3 rktishe opdrht - Gewogen entr 3 ewijs vn de issetriestelling: Gegeven: : = R : R = : Te ewijzen: R is issetrie vn R ewijs: neem n dt de stelling wr is, dn moet ewezen worden dt R = R. R // E R = RE (Z-hoeken) () R E R = E () Uit (), () en het eweerde volgt RE = E RE heeft twee gelijke hoeken RE is gelijkenig te ewijzen R = RE. Noem =, =, R = k en R = k wrin k een vergrotingsftor is in overeenstemming met het gegeven, dn R E RE = = RE = R = k = k RE = R, R dus de ewering is wr. ldzijde 88 E R k k Q Gegeven: Q : Q = R : R = : Te ewijzen: RQ is issetrie vn QR ewijs: neem n dt de stelling wr is, dn moet ewezen worden dt RQ = RQ. E // RQ RQ = ER (Z-hoeken) en RQ = RE (-hoeken), ER = RQ ER is gelijkenig te ewijzen RE = R E RQ E = R Q = k = k E = = ( k k ) = k k RE = R E = ( ) = RE = R klopt, dus de ewering is wr. RQ is 90. ewijs: ER = R = α, RQ = RQ = β RQ = α+ β R = 80 = α+ β= ( α+ β) α+ β= 90 RQ = 90 De hoek RQ is onstnt 90 in RQ, dus volgens de stelling vn Thles ligt R op de irkel met middellijn Q. oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel 5
5 lok 3 rktishe opdrht - Gewogen entr K Q geied vn 3 X Y Q Q Q 3 geied vn 3 =, dn = : = 3: gewiht : = 3 :. 3 7 3 7 3 3 entrum is het midden vnq, dus Q : Q = : gewiht : = :. Zie de irkel met middellijn Q en ls middelpunt. Kies =, dn volgt uit : = : dt =. Uit : = 3 : volgt = 3 : 3 =. Werk de in de verhouding weg door met te vermenigvuldigen: : : = : 3 :. d X: ligt in irkel k voor : wint het vn, ligt in irkel r voor : wint het vn, ligt in irkel q voor : wint het vn, mr wint het weer vn. Uiteindelijk wint steeds, dus de gsten uit geied X gn nr. Y: ligt uiten irkel k voor : wint vn, ligt in irkel r voor : wint vn, mr wint het weer vn, ligt in irkel q voor : wint vn. Uiteindelijk wint steeds, dus de gsten uit geied Y gn nr. 7 ldzijde 89 Verleng de lijn in de rihting vn. Het snijpunt met de irkelrnd tot entrum is iets groter dn de fstnd, dus ls gewiht zou krijgen (zie het ntwoord op vrg 5) gt de irkel rond door het snijpunt met de rnd en steekt de irkel iets uiten het geied vn entrum. Rehte grenslijnen zijn te zien ij en een ntl ngrenzende entr. De gewihten zijn dn gelijk: de fstnd tot ieder entrum is gelijk, dus de grenslijn is de middelloodlijn op de verindingss. J, mr er kunnen ook meer entr zijn uiten de tekening. entrum D heeft met 7 het grootste gewiht vn lle entr dus heeft ten opzihte vn deze entr geen grensirkel. oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel
lok 3 rktishe opdrht - Gewogen entr ij drie entr met gelijk gewiht ( : : ) zijn de grenslijnen de middelloodlijnen op het lijnstuk tussen de entr. ij entr op één lijn heen de middelloodlijnen geen snijpunt met elkr. ij entr die de hoekpunten vn een driehoek vormen snijden de middelloodlijnen elkr in een punt dt het entrum is vn de omgeshreven driehoek. De dikke lijn is de grenslijn tussen en, de dunne lijn tussen en en de gestreepte lijn tussen en. 5 3 O 3 3 3 5 De gewihten vn de entr, en verhouden zih ls : :. De dikke lijn is de grenslijn tussen en, de onderste irkel tussen en en de ovenste irkel tussen en. De gewihten vn de entr, en verhouden zih ls : 0 : 50. De linker irkel is de grenslijn tussen en en de rehter irkel tussen en. Hoe groter de gewihtsverhouding is hoe kleiner de irkel is rond het entrum met het kleinste gewiht. 8 oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel 7