Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Kunnen we elke integraal oplossen? Z e x x dx Z e x2 dx Z p C x 3 dx Z sin.x 2 / dx Bovenstaande integralen kunnen niet in elementaire functies worden uitgedrukt. 2/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Numerieke integratie Als we een integraal niet exact kunnen uitrekenen moeten we een benadering bepalen: 3/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8 -.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 4/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8 -.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8 -.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8 -.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 7/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Nauwkeurigheid Voor de laatste benadering geldt dat de fout E M voldoet aan: met je M j 6 K.b a/3 24n 2 K zodanig dat jf 00.x/j 6 K voor alle x. b a lengte van het integratieinterval. n aantal rechthoeken. 8/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8 -.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 9/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Nauwkeurigheid Voor de laatste benadering geldt dat de fout E T voldoet aan: met je T j 6 K.b a/3 2n 2 K zodanig dat jf 00.x/j 6 K voor alle x. b a lengte van het integratieinterval. n aantal trapezia. 0/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Oneigenlijke integralen We definiëren: Z a Z t f.x/ dx D lim t! a f.x/ dx Z b f.x/ dx D Z b lim s! s f.x/ dx Z f.x/ dx D Z t lim s! t! s f.x/ dx /46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Voorbeeld Z x 2 dx 2/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Z x 2 dx lim t! x t lim t! t C 3/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Voorbeeld Z x dx 4/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Z lim t! x dx ln jxj t lim t! ln t ln lim ln t t! 5/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Voorbeeld Z 0 xe x dx 6/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Z 0 ƒ x ƒ dx e x v.x/ u 0.x/ lim s! 2 4 ƒ x ƒ e x 5 v.x/ u.x/ 3 0 s Z 0 s ƒ ƒ dx e x v 0.x/ u.x/ lim s! ses e x 0 s lim s! ses e s 7/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Voorbeeld Z C x 2 dx 8/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Z C x 2 dx lim arctan x t! s! t s lim arctan t t! s! arctan s 2 C 2 9/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Als de functie discontinu is of een ander probleem heeft in x D a dan definiëren we: Z b a Z b f.x/ dx D lim t#a t f.x/ dx Als de functie discontinu is of een ander probleem heeft in x D b dan definiëren we: Z b a f.x/ dx D lim s"b Z s a f.x/ dx 20/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Als de functie discontinu is of een ander probleem heeft in x D c 2 Œa; b dan definiëren we: Z b Z s Z b a f.x/ dx D lim s"c a f.x/ dx C lim t#c t f.x/ dx 2/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Voorbeeld Z 5 2 p x 2 dx 22/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Z 5 2 p x 2 dx lim c#2 lim c#2 Z 5 c p x h 2 p x 2 2 dx i 5 c lim c#2 2 p 3 2 p c 2 2 p 3 23/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Voorbeeld Z 0 x dx 24/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Z 0 x dx lim c" lim c" Z c 0 x ln jx dx j c 0 lim c" ln jc j ln j j 25/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Voorbeeld Z ln x dx 0 26/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Z ln x dx lim c#0 2 Z lim c#0 c 0 4 ƒ x ƒ ln x 5 u.x/ v.x/ ƒ ƒ ln x dx u 0.x/ 3 c v.x/ Z c x dx ƒ ƒ u.x/ lim 0 c ln c. c/ c#0 x v 0.x/ 27/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Voorbeeld Z x dx 28/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Het volgende klopt niet!!! Z ln jxj x dx ln ln 0 29/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Het volgende klopt wel!!! Z x dx lim a"0 lim a"0 Z a x ln jxj dx C lim b#0 a Z b C lim b#0 x dx ln jxj b 30/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

lim a"0 ln jxj a C lim b#0 ln jxj b lim Πln jaj a"0 ln C lim Πln b#0 ln jbj lim ln jaj a"0 lim ln jbj b#0 en die limieten bestaan niet en dus is de integraal niet gedefinieerd. 3/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Complexe getallen z D a C bi met i D p. We hebben i 2 D. 32/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Optelling.a C bi/ C.c C di/ D.a C c/ C.b C d/i.3 C 2i/ C. C 3i/ D 2 C 5i. C i/.2 3i/ D C 4i 33/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Vermenigvuldiging.a C bi/.c C di/ D.ac bd/ C.ad C bc/i.3 C 2i/. C 3i/ D 3 2i C 9i C 6i 2 D 9 C 7i. C i/.2 3i/ D 2 3i C 2i 3i 2 D 5 i 34/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Deling a C bi c C di D a C bi c C di c c di di ac C bd D c 2 C d 2 C bc ad c 2 C d 2 i 3 C 2i C 3i D.3 C 2i/. 3i/. C 3i/. 3i/ 3 9i 2i 6i2 D 0 D 3 i 0 D 3 0 0 i 35/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

C i 2 3i D. C i/.2 C 3i/.2 3i/.2 C 3i/ D D D 2 C 3i C 2i C 3i2 3 C 5i 3 3 C 5 3 i 36/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

We definiëren de complex toegevoegde: z D a bi. We hebben de volgende eigenschappen:.z C z 2 / D z C z 2 ;.z z 2 / D z z 2 ; z D z z 2 z 2.3 C i/ D 3 i. 2i/ D C 2i 37/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Formule van Euler e i' D cos ' C i sin ' 38/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Taylor polynoom e x C x C 2 x2 C 6 x3 C 24 x4 C 20 x5 C 720 x6 cos x 2 x2 C 24 x4 720 x6 sin x x 6 x3 C 20 x5 39/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

ϕ a b a + bi = e iϕ 40/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Modulus en argument Elk complex getal kan worden geschreven als (poolcoördinaten): z D re i' D r cos ' C ir sin ' r heet de absolute waarde of modulus van z, ' heet het argument van z. 4/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

r ϕ a b a + bi = re iϕ 42/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Modulus en argument Elk complex getal kan worden geschreven als (poolcoördinaten): z D re i' D r cos ' C ir sin ' r > 0 en uniek bepaald. ' is voor z 0 uniek bepaald op een geheel veelvoud van 2 na. Voor z D 0 is ' vrij te kiezen. We gebruiken de notatie: ' D arg.z/, r D jzj. 43/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Vermenigvuldigen en delen van complexe getallen veel eenvoudiger in poolcoördinaten: r e i' r 2 e i' 2 D r r 2 e i.' C' 2 / r e i' r 2 e i' 2 D r r 2 e i.' ' 2 / 44/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Polynoom ax 2 C bx C c D 0 x D b pb 2 4ac 2a 45/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

x 2 C 2x C 5 D 0.x C / 2 C 4 D 0 x D C 2i of x D 2i 46/46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI