Hoofdstuk 1 Modelvorming 1.1 Blokkendiagrammen Een blokkendiagram geeft schematisch de regelkring of het ssteem weer. De blokken stellen fsische processen voor. Zulk een proces et bepaalde grootheden om in andere grootheden. (Bijvoorbeeld voor een lamp: electriciteit in licht). Elk proces heeft een aantal ingangsgrootheden, aangeduid met de aankomende pijlen en een aantal uitgangsgrootheden, aangeduid met de vertrekkende pijlen. (In dee cursus worden echter enkel processen beschouwd met één ingang en één uitgang; dit ijn SISOsstemen; Eng.: `Single Input Single Output'). Figuur 1.1 geeft de afonderlijke delen of bouwstenen van een blokkendiagram weer. De pijlen uit het blokkendiagram stellen bepaalde grootheden voor. Zij ijn in feite de signaallijnen en geven de connectie tussen de verschillende processen aan. Een sommatiepunt wor aangeduid met een cirkel en een kruis. Het teken dat bij de aankomende pijl in het sommatiepunt staat, geeft aan of het signaal moet opgeteld of afgetrokken worden van de andere aankomende signalen. Een aftakking geeft enkel aan dat hetelfde signaal naar verschillende punten wor geleid. e = Proces = TF. TF Blok Sommatiepunt ftakking Figuur 1.1 : Bouwstenen van een blokkendiagram of schema. In het blok dat het proces voorstelt, staat normaal de formule die het proces beschrijft. Dee formule is meestal een differentiaalvergelijking. Dit wil dan eggen dat het proces evolueert met de tijd of dus tijdafhankelijk is. Een voor de hand liggend voorbeeld is weerom de auto. De plaats van de auto is afhankelijk van de aangelegde kracht. Het geheel wor beschreven door een 2e orde differentiaal vergelijking. De kracht is immers evenredig met de versnelling, welke de tweede afgeleide is van de plaats. 1.1
utomatisering: Regeltechniek 1.2 De transfertfunctie Omdat formules waar differentialen instaan, onhandig ijn om mee te rekenen (men mag dee formules niet onder meer vermenigvuldigen of delen), al men overgaan naar de Laplacegetransformeerde. Het proces wor dan beschreven door de TransfertFunctie (TF) met p, de Laplacevariabele, als onafhankelijke variabele. De TF is per definitie de verhouding van het uitgangssignaal en het ingangssignaal, beide in functie van p. Transfertfunctie(p)= Uitgang(p) Ingang(p) Figuur 1.2 geeft dit verband nog eens schematisch weer. Merk hierbij op dat signalen of functies die afhangen van de Laplacevariabele p, meestal aangeduid worden met een grote letter, terwijl hun tegenhanger die functie is van de tijd t, aangeduid wor met de overeenkomstige kleine letter. Figuur 1.2 geeft eveneens de belangrijkste (vereenvoudigde) Laplacetransformatie formules. Voor een volledig overicht van de Laplacetransformatie en inverse Laplacetransformatie verwijen we naar appendi. X ( p) X ( p) TF ( p ) = Y ( p) Blok Y ( p) ( t) X ( p) d ( t) px ( p) ( t ) 1 p X ( p ) Transformatie regels Figuur 1.2 : De transfertfunctie en de (vereenvoudigde) Laplacetransformatieregels. De formules uit figuur 1.2 ijn enkel geldig indien de beginvoorwaarden gelijk ijn aan nul, m.a.w. indien (0) = 0. Dit wor in de regeltechniek bijna altijd stilwijgend verondersteld. De reden hiervoor is de volgende: de bedoeling van een regelkring is het ssteem te regelen naar ijn evenwichtstoestand of naar de gewenste toestand. Dit is het belangrijkste punt en het ssteem al ich eker indien de regeling goed werkt meestal in dit punt bevinden. Eventuele veranderingen of afwijkingen worden beschouwd t.o.v. dit punt of dee evenwichtswaarde. Het lijkt dan ook logisch om een nieuw assenkruis te definiëren met de oorsprong in dit punt. Dit is het dnamisch assenkruis. In dit dnamisch assenkruis is de beginwaarde van gemiddeld gelijk aan nul. lle berekeningen in het Laplacedomein ijn dus enkel geldig in dit dnamisch assenkruis. Men kan dan eveneens eggen dat de veranderingen van het ssteem gelden t.o.v. de begintoestand van het ssteem die als "nul" beschouwd wor. 1.2
utomatisering: Regeltechniek Uitgang Gelineairiseerd verband Ye Werkelijk verband Dnamisch assenkruis Ye = Evenwichtswaarde uitgang bsoluut assenkruis Xe Ingang Xe = Evenwichtswaarde ingang Figuur 1.3 : bsoluut versus dnamisch assenkruis. Verder gel de Laplacetransformatie enkel voor invariante, lineaire sstemen. Dit ijn sstemen die beschreven worden door lineaire differentiaalvergelijkingen (met constante coëfficiënten). Indien het verband tussen de ingang en de uitgang niet lineair is, dan moeten we dit benaderen door een lineair verband. Dit gebeurt, oals figuur 1.3 aangeeft, door de raaklijn te nemen in het evenwichtspunt, dat in de oorsprong van het dnamisch assenkruis ligt. In figuur 1.3 moet de tijd geien worden als een derde dimensie en is de tijd eenvoudigheidshalve weggelaten. In paragraaf 1.5 wor dee werkwije in een voorbeeld toegepast. Hier kunnen we ook het onderscheid aangeven tussen een regulator en een volgssteem. Bij een regulatorssteem is de setwaarde steeds 'nul', d.w.. constant. De regelkring dient alle mogelijk fouten t.o.v. de constante gewenste waarde weg te werken. Bij een volgssteem verandert de setwaarde i.f.v. de tijd. De regelkring moet nu de uitgang van het ssteem de variabele ingangswaarde o goed mogelijk laten volgen. 1.3
utomatisering: Regeltechniek 1.3 Bewerkingen op blokkendiagrammen Meestal is het voordelig om het opgestelde blokkenschema te vereenvoudigen. Hierbij moeten de signalen deelfde blijven maar mag men voor de rest met de 'blokken spelen'. Figuren 1.4. en 1.5. geven een aantal equivalente blokkenschema's weer. B *B Figuur 1.4 : Equivalente blokkendiagrammen. 1/ 1/ Figuur 1.5 : Equivalente blokkendiagrammen. 1.4
utomatisering: Regeltechniek 1.4 lgemene werkwije Vooraleer men een ssteem kan gaan regelen, moet men het ssteem kennen. Zeker indien men een efficiënte regeling wil bekomen. Men moet dus een model opstellen van het ssteem. Concreet komt dit neer op het opmaken van het blokkenschema en het invullen van de blokken d.m.v. de verschillende transfertfuncties overeenkomstig de onderdelen van het ssteem. Voor het afleiden van dit beschrijvend model kan men op twee manieren te werk gaan: analtisch of d.m.v. identificatie. Bij de analtische methode worden de verschillende onderdelen in het ssteem beschreven door vergelijkingen (al dan niet differentiaalvergelijkingen) die de fsische wetten die optreden in het ssteem, vertalen. Dee vergelijkingen moeten (na linearisatie) met de Laplacetransformatie omgeet worden om de transfertfuncties te bepalen. De analtische methode is vooral invol bij eenvoudige, gekende sstemen. Bij de identificatiemethode probeert men aan de hand van eperimenteel opgenomen respons van het ssteem een wiskundig model op te stellen dat equivalent is aan het ssteem. Dee aanpak wor gebruikt bij ingewikkelde, niet eact gekende sstemen (die natuurlijk wel meetbaar moeten ijn). De eperimentele methode al in dee cursus niet aan bod komen. Wanneer tenslotte de transfertfunctie van het volledige ssteem gekend is, wor de regelaar gekoen en ingesteld volgens de vooropgestelde eisen. Figuur 1.6 geeft een overicht. Identificatie Studie van de regelkring naltisch Eperimentele proeven Lineaire diff. vgl Laplacetransf. model (TF) Bepaling Regelaar Figuur 1.6 : Methodische aanpak. 1.5
utomatisering: Regeltechniek 1.5 Voorbeeld Stel dat we een watertoren gaan automatiseren. We willen een regelkring bouwen die het waterniveau in de toren op een constant peil hou om eveneens de druk constant te houden en dit onafhankelijk van het afgenomen of gevraagde debiet. Zie figuur 1.7. Debiet (ingang) Niveau (uitgang) Watervat Kraan K Niet gekende afname (storing) Figuur 1.7 : Het te regelen ssteem. De ingangsgrootheid is het inkomend waterdebiet. Om het inkomend debiet te regelen gebruiken we een voedingspomp. Het toerental van dee pomp is evenredig met het geleverde debiet. De voedingspomp is de actuator. De uitgangsgrootheid is natuurlijk het waterniveau in de toren. Om een terugkoppeling te kunnen toepassen is het noodakelijk dit niveau automatisch te kunnen meten. Hiervoor orgt een vlotter die via een hefboommechanisme de uitgangsspanning van een potentiometer bepaalt. De gemeten spanning is evenredig met het waterniveau. Het vlotterhefboompotentiometer ssteem doet dus dienst als sensor. Tenslotte is er een variabele afname van het water die als stoorgrootheid beschouwd moet worden. Figuur 1.8 geeft dan het volledige ssteem met regelaar en terugkoppeling weer. ctuator Voedingspomp Hefboom 10V Spanningsdeler 10V Sensor Watervat Kraan K Stuursignaal Regelaar Vergelijkingselement Te regelen ssteem Verschil e (V) Gemeten waarde (V) Gewenste waarde (V) Figuur 1.8 : Ssteem met regelaar. 1.6
utomatisering: Regeltechniek Figuur 1.9 geeft het (nog niet ingevulde) blokkenschema van het volledige ssteem met regelaar. Gewenste waarde Werkelijke waarde Vergelijkingselement Verschil Regelaar ctuator pomp Stuursignaal Spanning die de pomp aandrijft watervat Inkomend debiet Storing = Uitstromend debiet Niveau Sensor vlotter/pot. Spanning volgens Niveau Figuur 1.9 : lgemeen blokkenschema van het ssteem. Vooraleer we de regelaar kunnen bepalen, moeten we nu nog de blokken 'actuator', 'Watervat' en 'Sensor' invullen met de overeenstemmende transfertfunctie. Dee ullen we voor het watervat bij wije van voorbeeld afleiden. We moeten dus het verband vinden tussen de uitgang en de ingang van het watervat. Dit is het verband tussen het waterniveau en het instromend debiet. Hierbij maken we gebruik van fsische wetten die het geheel beschrijven. Het uitgaand debiet is afhankelijk van de druk onderaan in het watervat, in de veronderstelling dat de kraan in een vaste positie staat. Dit wor dan ook verondersteld. De statische druk is in dit punt gelijk aan de dnamische druk. P stat =ρgh = P Dn = ρv u 2 2 en φ u = u v u hierbij is h het waterniveau [m], v u de uitgangssnelheid [m/s], φ u het uitgangsdebiet [m 3 /s] en u de uitgangssectie [m 2 ]. We vinden hieruit: φ u = u 2gh = C 1 h Hierbij is C 1 een constante bepaald door de dimensie van het ssteem. Verder kunnen we de massabalans van het ssteem opstellen die egt dat het verschil tussen instromend en uitstromend debiet orgt voor een massaverandering in het ssteem: φ i φ u = v dh De combinatie van de twee laatste vergelijkingen levert: φ i = v dh C 1 h Dee vergelijking is niet lineair. We moeten e derhalve lineariseren rond het werkingspunt. Het werkingspunt is in dit geval de gewenste hoogte h. φ i = v dh C 2h offset dh(t) of φ i (t)= v C 2 h(t)offset (1) 1.7
utomatisering: Regeltechniek Verder weten we uit paragraaf 1.3 dat we de verschillende veranderlijken moeten beschouwen in het dnamisch assenkruis, vooraleer we de Laplacetransformatie toepassen. Voluit geschreven ou dit geven: φ igem φ idn (t)= v d[h gem h dn (t)] C 2[H gem h dn (t)] offset Hierbij ijn H gem en φ gem constanten die de evenwichtswaarden of de gemiddelde werkingswaarden aangeven. Indien het ssteem in evenwicht is, dan komt het gemiddeld instromend debiet φ igem overeen met het gemiddeld uitstromend debiet φ ugem. De hoogte in het vat blijft dan constant en is gelijk aan H gem of: φ igem =φ ugem = C 2 H gem offset in evenwicht. De dnamische formule die overblijft is de volgende: φ idn (t)= v dh dn (t) C 2 h dn (t) De inde 'dn' wor meestal eenvoudigheidshalve weggelaten. Zo constateren we dat dit deelfde vergelijking is als formule (1). De grootheden geven nu echter de veranderingen aan t.o.v. de evenwichtspositie en de beginwaarde van elke grootheid mag beschouwd worden als ijnde nul!! Op dee laatste vergelijking passen we de Laplacetransformatie toe: φ i (p)= v ph(p)c 2 H(p) De transfertfunctie wor uiteindelijk (ie ook figuur 1.10): TF(p)= H(p) φ i (p) = 1 v p C 2 Watervat φ ( p) 1 H ( p) p C v 2 Figuur 1.10 :Transfertfunctie van het watervat. De transfertfunctie van de sensor is heel eenvoudig. Het vlotterhefboompotentiometer ssteem beit immers geen vertragingen, of m.a.w. een verandering van het waterniveau, al onmiddellijk weergegeven worden in een verandering van de gemeten spanning V h. Verder gedragen ich alle onderdelen in dit mechanisme lineair odat ook het verband tussen de gemeten spanning en het waterniveau lineair is. De evenredigheidsconstante is afhankelijk van de dimensies van het mechanisme en wor voorgesteld door C 3. Zie figuur 1.11. Er rest ons dan nog enkel de afleiding van de transferfunctie van de actuator of het ingrijpend orgaan nl. de voedingspomp. De ingangsgrootheid voor de pomp is de spanning V p. De pomp al gaan draaien met een toerental evenredig met dee spanning. Het doorstromend debiet φ i is weerom evenredig met het toerental. 1.8
utomatisering: Regeltechniek Sensor H ( p) C 3 V h ( p ) Figuur 1.11 : Transfertfunctie van de sensor. We ullen de vergelijkingen van de pomp niet in detail afleiden. Nochtans mogen we verwachten dat de pomp beschreven wor door een eerste orde differentiaalvergelijking. De rotatiesnelheid van de pomp kan immers niet ogenblikkelijk veranderen als de spanning verandert. De pomp beit dus een ekere traagheid. Dit komt er op neer dat de pomp (benaderend) beschreven kan worden door een eerste orde ssteem (ie volgend hoofdstuk). De parameters van dit eerste orde ssteem ijn afhankelijk van de dimensie van de pomp en worden gegeven door de constanten C 4 en C 5. Zie figuur 1.12. Het blokkendiagram iet er dan uit als in figuur 1.13. ctuator V p ( p C 4 φ p C p 5 1 Figuur 1.12 : Transfertfunctie van de pomp. Gewenste waarde Werkelijke waarde Verschil ctuator Watervat Regelaar V p ( p C 4 C 5 p 1 φ ( p) 1 v p C2 Stuursignaal = Spanning die de pomp aandrijft H ( p) Sensor C3 V h ( p ) Figuur 1.13 : Blokkendiagram van ssteem met regelaar. Figuur 1.14 geeft uiteindelijk het model van het ssteem en geeft ook aan hoe we de regelaar erbij etten. De keue en instelling van de regelaar al hier nog niet gebeuren. Set Te bepalen Regelaar C. C 4 3 ( C 5 p 1 )( v p C2 ) Ssteem Figuur 1.14 :Vereenvoudigd blokkenschema. 1.9