Numerical Methods College 5: Numerieke Integratie (Hoofdstuk 5) A.A.N. Ridder Department EOR Vrije Universiteit Amsterdam Huispagina: http://personal.vu.nl/a.a.n.ridder/numprog/default.htm 4 oktober 2016 c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 1 / 59
Numerical Integration (Hoofdstuk 5 in Ed. 7) Stof Editie 7: 1. 5.1 Trapezoid Method > Niet: bewijs van Theorem 1. 2. 5.3 Simpson s Rules and Newton-Cotes Rules > Alles tot Newton-Cotes Rules 3. 5.4 Gaussian Quadrature Formulas > Niet: Legendre Polynomials, Integrals with Singularities. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 2 / 59
Numerical Integration (Hoofdstukken 5 en 6 in Ed. 6) Stof Editie 6: 1. 5.2 Trapezoid Method > Niet: bewijs van Theorem 1. 2. 6.1 Simpson s Rules and Newton-Cotes Rules > Niet: Newton-Cotes Rules 3. 6.2 Gaussian Quadrature Formulas > Niet: Legendre Polynomials, Integrals with Singularities. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 3 / 59
Probleemschets Gegeven f : [a, b] R, continu. Bekend uit de Analyse: dan is f Riemann integreerbaar. Probleem Bereken de bepaalde integraal b I(f ) = f (x) dx a a b c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 4 / 59
5.1 Kwadratuur c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 5 / 59
Oppervlakte De integraal kan geïnterpreteerd worden als de oppervlakte tussen de grafiek van f en de x-as (tussen a en b). Numerieke methoden zijn gebaseerd op het benaderen van deze oppervlakte door eenvoudige (meetkundige) figuren: kwadratuurregels. Historie: kwadratuur is het construeren van een vierkant met dezelfde oppervlakte als een gegeven meetkundige figuur, bv driehoek, cirkel,... c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 6 / 59
Numerieke Integratie Methoden Numerieke integratiemethoden woren ook wel kwadratuurregels genoemd; Reflecterend aan klassieke technieken van de kwadratuur van een meetkundig object. A. Rechthoeksregel (of Middelpuntregel); B. Trapeziumregel; C. Simpson s regel; D. Gauss kwadratuur. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 7 / 59
Middelpuntregel c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 8 / 59
Middelpuntregel (I) Verdeel [a, b] in n gelijke deelintervallen van lengte h = (b a)/n; Het i-de deelinterval is [x i, x i+1 ] met x i = a + ih (i = 0,..., n; x 0 = a); Noem m i = (x i + x i+1 )/2 het middelpunt van het i-de deelinterval; Beschouw de rechthoek R i met basis [x i, x i+1 ] en hoogte f (m i ), de functiewaarde in het middelpunt (zie volgende slide); Bepaal de oppervlakte van R i. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 9 / 59
Middelpuntregel (II) functie f (x) rechthoek R i Oppervlakte R i = (x i+1 x i )f (m i ) x i m i x i+1 c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 10 / 59
Middelpuntregel (III) De benadering van de integraal is de som van de oppervlaktes van de rechthoeken: n 1 n 1 I(f ) M n (f ) = (x i+1 x i ) f (m i ) = h f i=0 n 1 ( = h f a + (b a) 2i + 1 ) 2n i=0 i=0 ( a + h 2i + 1 ) 2 c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 11 / 59
Middelpuntregel (IV) x 0 x 1 x 2 x 3 c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 12 / 59
5.1 Trapeziumregel c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 13 / 59
Trapeziumregel (I) Verdeel [a, b] in n gelijke deelintervallen van lengte h = (b a)/n; Het i-de deelinterval is [x i, x i+1 ] met x i = a + ih (i = 0,..., n; x 0 = a); Bepaal de lineaire interpolatie tussen de grafiekpunten (x i, f (x i )) en (x i+1, f (x i+1 )); Dat geeft een functie l i (x) (rechte lijn); Bepaal de oppervlakte tussen de x-as en de grafiek van l i (x) op [x i, x i+1 ]. Merk op dat de figuur een trapezium is. Zie Figure 5.1 en volgende slide. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 14 / 59
Trapeziumregel (II) functie f (x) lineair polynoom l i (x) xi+1 l i (x) dx x i = 1 ( ) xi+1 x i 2 ( f (x i ) + f (x i+1 ) ) x i x i+1 c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 15 / 59
Trapeziumregel (III) De benadering van de integraal is de som van de oppervlaktes van de trapezia: n 1 I(f ) T n(f ) = (x i+1 x i ) 1 ( f (xi ) + f (x i+1 ) ) 2 i=0 = h ( ) f (x 0 ) + 2f (x 1 ) + 2f (x 2 ) + + 2f (x n 1 ) + f (x n ) 2 = h ( f (x0 ) + f (x ) n 1 n) + h f (x i ) (1) 2 i=1 = h ( n 1 ) f (a) + 2 f (a + ih) + f (b) 2 i=1 Zie Figure 5.2 en volgende slide. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 16 / 59
Trapeziumregel (IV) x 0 x 1 x 2 x 3 c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 17 / 59
Integratiefout van Trapeziumregel Theorem 1 Veronderstel dat f tweemaal continu differentieerbaar is op [a, b]. Splits [a, b] op in n gelijke intervallen van lengte h = (b a)/n. Dan is er een ζ [a, b] zodat Bewijs. I(f ) T n (f ) = 1 12 nh3 f (ζ) = 1 12 (b a)h2 f (ζ) = O(h 2 ) Beschouw eerst n = 1; dwz één trapezium op [a, b]. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 18 / 59
Bewijs Integratiefout bij één Trapezium (I) (1). Schrijf T 1 (f ) als een integraal: T 1 (f ) = b a l(x) dx. Hierin is l( ) de lijn door (a, f (a)) en (b, f (b)) (lineaire interpolatie). (2). Pas stelling over interpolatiefout toe (zie boek op pag. 181): voor alle x [a, b] bestaat een ξ(x) [a, b] zodat (3). Dus f (x) l(x) = 1 2 (x a)(x b)f (ξ(x)). b ( ) b 1 I(f ) T 1 (f ) = f (x) l(x) dx = 2 (x a)(x b)f (ξ(x)) dx. a a (4). Pas middelwaardestelling voor integralen toe (zie volgende slide). c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 19 / 59
Middelwaardestelling voor Integralen Stelling Veronderstel twee functies g 1 en g 2 op [a, b] met de eigenschappen (i). g 1 is continu op [a, b]; (ii). g 2 is Riemann integreerbaar op [a, b]; (iii). g 2 wisselt niet van teken op [a, b]. Dan is er een η [a, b] zodat b b g 1 (x)g 2 (x) dx = g 1 (η) g 2 (x) dx. a a c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 20 / 59
Bewijs Integratiefout bij één Trapezium (II) (4). Pas middelwaardestelling voor integralen toe met g 1 (x) = f (ξ(x)), g 2 (x) = 1 (x a)(x b). 2 Dan krijgen we b b I(f ) T 1 (f ) = g 1 (η) g 2 (x) dx = f 1 (ξ(η)) (x a)(x b) dx 2 a a ( ) 1 = f (ζ) (b a)3 = 1 12 12 h3 f (ζ) (5) c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 21 / 59
Bewijs Integratiefout bij n Trapezia Beschouw nu weer de trapeziumregel bij een opsplitsing van [a, b] in n deelintervallen van lengte h = (b a)/n; Pas op elk deelinterval de integratiefout toe van één trapezium: n 1 ( x i+1 ) I(f ) T n (f ) = f (x) dx T 1 (f [xi,x i+1 ]) i=0 x i met ζ i [x i, x i+1 ], i = 0,..., n 1; n 1 = i=0 1 12 h3 f (ζ i ), (7) Er geldt min f (ζ i ) i i f (ζ i )/n max i f (ζ i ) Pas de tussenwaardestelling van continue functies toe: er bestaat een ζ [ζ 0, ξ n 1 ] [a, b] zodat f (ζ) = n 1 i=0 f (ζ i )/n; Conclusie: I(f ) T n(f ) = 1 n 1 12 h3 f (ζ i ) = 1 12 nh3 f (ζ) i=0 c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 22 / 59
Toepassing van Integratiefout (I) Numerieke integratie van I = 6 1 1 dx volgens trapeziumregel Tn met n trapezia; x Vind het aantal trapezia n en intervalbreedte h zodat gegarandeerd I T n < 10 8 is; Relatie: nh = 5; De integrand f (x) = 1/x heeft f (x) = 2/x 3 ; Merk op dat f (x) positief is en monotoon dalend is op [1, 6]; Dus voor alle x [1, 6] is f (x) f (1) = 2; c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 23 / 59
Toepassing van Integratiefout (II) Dus I T n = 1 12 nh3 f (ξ) 1 6 5 3 n 2. Dus n 2 > (125/6) 10 8 geeft n 45644. Bij n = 45644 is h = 5/n = 0.000109544511501033. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 24 / 59
5.3 Simpson s Regel c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 25 / 59
Simpson s Regel (I) Verdeel [a, b] in n gelijke deelintervallen van lengte h = (b a)/n; Aanname: n is even! Het i-de deelinterval is [x i, x i+1 ] met x i = a + ih (i = 0,..., n; x 0 = a); Beschouw achtereenvolgens het i 1-ste en het i-de interval tezamen voor i = 1, 3, 5,...; Bepaal de kwadratische interpolatie tussen de grafiekpunten (x i 1, f (x i 1 )), (x i, f (x i )) en (x i+1, f (x i+1 )); Dat geeft een functie (parabool) q i (x); Bepaal de oppervlakte tussen de x-as en de grafiek van q i (x) op [x i 1, x i+1 ]; Zie Figure 5.5 en volgende slide; c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 26 / 59
Simpson s Regel (II) functie f (x) kwadratisch polynoom q i (x) xi+1 x i 1 q i (x) dx = 1 6 (x i+1 x i 1 ) ( f (x i 1 ) + 4f (x i ) + f (x i+1 ) ) x i 1 x i x i+1 c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 27 / 59
Simpson s Regel (III) De benadering van de integraal is de som van deze oppervlaktes: x2i n/2 I(f ) = f (x) dx i=1 x 2i 2 n/2 1 S n(f ) = 6 (x 2i x 2i 2 ) ( f (x 2i 2 ) + 4f (x 2i 1 ) + f (x 2i ) ) i=1 = h ( ) f (x 0 ) + 4f (x 1 ) + 2f (x 2 ) + 4f (x 3 ) + + 2f (x n 2 ) + 4f (x n 1 ) + f (x n ) 3 = h ( n/2 f (x 0 ) + 4 3 i=1 = h ( n/2 f (a) + 4 3 i=1 n/2 1 f (x 2i 1 ) + 2 i=1 ) f (x 2i ) + f (x n ) n/2 1 f (a + (2i 1)h) + 2 i=1 ) f (a + 2ih) + f (b) c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 28 / 59
Simpson s Regel (IV) x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 29 / 59
Simpson s Regel (V) De samengestelde Simpson s formule op slide 28 kan worden herschreven: S n (f ) = h 3 ( ) f (x 0 ) + 2f (x 2 ) + 2f (x 4 ) + + 2f (x n 2 ) + f (x n ) + 4 ) (f 3 h (x 1 ) + f (x 3 ) + + f (x n 1 ) = 1 3 T n/2(f ) + 2 3 M n/2(f ) Dat geeft de relatie tussen trapezium, middelpunt en Simpson s regel. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 30 / 59
Integratiefout bij Simpson s Regel Stelling Veronderstel dat f viermaal continu differentieerbaar is op [a, b]. Splits [a, b] op in n gelijke intervallen van lengte h = (b a)/n. Dan is er een ξ [a, b] zodat I(f ) S n(f ) = 1 180 nh5 f (4) (ξ) = 1 180 (b a)h4 f (4) (ξ) = O(h 4 ) (8) Bewijs: Aanaloog als voor de trapeziumregelfout (slides 18 22); iets complexer. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 31 / 59
Grote Oh Symbool Fouten worden meestal slechts aangegeven in termen van orde van grootte; Trapeziumregel: > per deelinterval van lengte h: I(f ) T 1(f ) = O(h 3 ); > n deelintervallen van lengte h = (b a)/n: I(f ) T n(f ) = no(h 3 ) = O(h 2 ); Simpson s regel: > per deelinterval van lengte h: I(f ) S 1 (f ) = O(h 5 ); > n deelintervallen van lengte h = (b a)/n: I(f ) S n f ) = no(h 5 ) = O(h 4 ); c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 32 / 59
Als Aantal Deelintervallen Tweemacht is (I) Bijzonder geval: n = 2 k een tweemacht. Bv k = 3. 1 2 2 2 2 2 2 2 1 x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 h h h h h h h h 2h 2h 2h 2h c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 33 / 59
Als Aantal Deelintervallen Tweemacht is (II) Trapeziumregel: Zie Theorem 2; Recursieve formule: T n(f ) = h ( ) f (x 0 ) + 2f (x 2 ) + 2f (x 4 ) + + 2f (x n 2 ) + f (x n) 2 + h ( ) 2f (x 1 ) + 2f (x 3 ) + + 2f (x n 1 ) 2 = 1 ( ) 2 T n/2(f ) + h f (x 1 ) + f (x 3 ) + + f (x n 1 ) = 1 2 T n/2(f ) + 1 2 M n/2(f ) Geeft T n/2 (f ) + M n/2 (f ) = 2T n(f ); c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 34 / 59
Als Aantal Deelintervallen Tweemacht is (III) Simpson s regel: Vorige slide: T n/2 (f ) + M n/2 (f ) = 2T n (f ); Slide 30: S n (f ) = 1 3 T n/2(f ) + 2 3 M n/2(f ) Combineer: S n(f ) = 1 3 T n/2(f ) + 2 3 M n/2(f ) = 2 ( Tn/2 (f ) + M n/2 (f ) ) 1 3 3 T n/2(f ) = 4 3 T n(f ) 1 3 T n/2(f ) = T n (f ) + 1 ( Tn (f ) T n/2 (f ) ) 3 Simpson s regel kan met trapeziumregel worden uitgerekend! [in geval van tweemachten]. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 35 / 59
5.4 Gauss Regels c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 36 / 59
Gauss Kwadratuurregels (I) Herinner: I(f ) = b a f (x) dx; Kies n + 1 knooppunten in [a, b]: a x 0 < x 1 < < x n b. Kies n + 1 gewichten A 0, A 1,..., A n R. De benadering van I(f ) is de bijbehorende kwadratuur: I(f ) G n (f ) = n A i f (x i ). (1) Interpretatie: benader oppervlak onder de grafiek van f door oppervlak van een aantal rechthoeken. NB: rechthoeken hoeven niet aan te sluiten! i=0 c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 37 / 59
Gauss Kwadratuurregels (II) De knoopunten en gewichten worden op een speciale manier geconstrueerd en gebruikt. Constructie De benadering is exact (dwz G n (f ) = I(f )) voor alle polynomen f op [a, b] t/m graad 2n + 1. Eigenschap De knooppunten en gewichten hangen alleen af van n, a, b. Gebruik Dezelfde knooppunten en gewichten worden voor alle integreerbare functies op [a, b] gebruikt. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 38 / 59
Voorbeeld A n = 2, a = 0, b = 7; De knooppunten zijn (x 0, x 1, x 2 ) = (0.7889, 3.5000, 6.2111) en de gewichten zijn (A 0, A 1, A 2 ) = (1.9444, 3.1111, 1.9444); Pas toe op f (x) = 30 + 64x 56x 2 + 14x 3 x 4 ; (vierde graadspolynoom); Eenvoudig: I(f ) = 7 0 f (x) dx = 417.433333; Ook eenvoudig: G 3 (f ) = 2 i=0 A if (x i ) = 417.433333. Dwz, exact. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 39 / 59
Voorbeeld A in Figuren A 2 A 0 f (x 0 ) A 1 0 7 Een vierde graads polynoom f (x) op [0, 7]. x 0 x 1 x 0 2 7 Drie rechthoeken met breedtes A 0, A 1, A 2 en hoogtes f (x 0 ), f (x 1 ), f (x 2 ). c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 40 / 59
Voorbeeld B Nog steeds n = 2, a = 0, b = 7; En nog steeds knooppunten (x 0, x 1, x 2 ) = (0.7889, 3.5000, 6.2111) en gewichten (A 0, A 1, A 2 ) = (1.9444, 3.1111, 1.9444); Pas nu toe op f (x) = x 4 e x + 1 x+0.5 1 2 ; Exact: I(f ) = 7 0 f (x) dx 19.056252 (via trapeziumregel met 106 trapezia); Mbv 3-punts Gausskwadratuur: G 3 (f ) = 3 i=1 w if (x i ) = 19.324277. Relatieve fout van 1.4%. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 41 / 59
Voorbeeld B in Figuren A 1 A 2 A 0 0 7 f (x 0 ) x 0 x 1 x 0 2 7 Een integreerbare f (x) op [0, 7]. Drie rechthoeken met breedtes A 0, A 1 en A 2, en met hoogtes f (x 0 ), f (x 1 ), f (x 2 ). c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 42 / 59
Gauss Kwadratuurregels (III) Uitwerking van de eis van slide 38. 2n + 2 onbekende variabelen x 0, x 1,..., x n, A 0,..., A n ; Construeer 2n + 2 vergelijkingen in die variabelen; Vergelijking k is G n (f ) = I(f ) voor f = x k ; Hierin is G n (f ) = n A i xi k ; i=0 I(f ) = b De vergelijkingen zijn: voor k = 0, 1,..., 2n + 1 a x k dx = bk+1 a k+1. k + 1 n i=0 A i x k i = bk+1 a k+1 k + 1 (1) c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 43 / 59
Gauss Kwadratuurregels (IV) Wegens lineariteit van is dan voor elk polynoom f (x) = p 0 + p 1 x + + p 2n+1 x 2n+1 van graad 2n + 1 (ga na): G n (f ) = I(f ). Stelsel (1) is een stelsel van 2n + 2 niet-lineaire vergelijkingen in de 2n + 2 onbekenden x 0,..., x n en A 0,..., A n ; In principe oplosbaar. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 44 / 59
Terug naar Voorbeelden A en B n = 2, a = 0, b = 7; Stelsel van 6 vergelijkingen: k = 0 : A 0 + A 1 + A 2 = 7 k = 1 : A 0 x 0 + A 1 x 1 + A 2 x 2 = 7 2 /2 k = 2 : A 0 x0 2 + A 1x1 2 + A 2x2 2 = 73 /3 k = 3 : A 0 x0 3 + A 1x1 3 + A 2x2 3 = 74 /4 k = 4 : A 0 x0 4 + A 1x1 4 + A 2x2 4 = 75 /5 k = 5 : A 0 x0 5 + A 1x1 5 + A 2x2 5 = 76 /6 Oplossing x = (0.7889, 3.5000, 6.2111) A = (1.9444, 3.1111, 1.9444) c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 45 / 59
Gauss Kwadratuurregels (V) Niet-lineair stelsel is lastig; Alternatieve procedure; 1. Bepaal (of probeer) eerst knooppunten x 0,..., x n; 2. Bepaal dan gewichten zo dat voor k = 0, 1,..., n n i=0 3. Dit is een lineair staelsel (in de gewichten A i ); A ix k i = bk+1 a k+1 ; k + 1 Dan is voor elk polynoom f (x) = p 0 + p 1 x + + p n x n van graad n (ga na): G n (f ) = I(f ) c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 46 / 59
Gauss Kwadratuurregels (VI) Stelsel (2) is een stelsel van n + 1 lineaire vergelijkingen in de n + 1 onbekenden A 0,..., A n ; In matrix/vector notatie XA = y met 1 1 1 1 x 0 x 1 x 1 x n x X = 2 0 x1 2 x2 2 xn 2 x 3 0 x1 3 x2 3 xn 3..................... x0 n x1 n x2 n xn n y = b a (b 2 a 2 )/2 (b 3 a 3 )/3 (b 4 a 4 )/4. (b n+1 a n+1 )/(n + 1) c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 47 / 59
Voorbeelden A en B weer n = 2 Gauss kwadratuur proberen met x 0 = 1, x 1 = 3.5, x 2 = 6; Stelsel van 3 vergelijkingen: A 0 + A 1 + A 2 = 7 Oplossing A = (2.2867, 2.4267, 2.2867); A 0 x 0 + A 1 x 1 + A 2 x 2 = 7 2 /2 A 0 x 2 0 + A 1x 2 1 + A 2x 2 2 = 73 /3 Voorbeeld I: > Benadering G 3 (f ) = 2 i=0 A if (x i ) = 448.875000; exact I(f ) = 417.433333; > Relatieve fout 7.5 %. Voorbeeld II: > Benadering G 3 (f ) = 3 i=0 A if (x i ) = 18.166383; exact I(f ) = 19.056252; > Relatieve fout 4.7 %. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 48 / 59
Gauss Kwadratuurregels (VII) In plaats van voor elk interval [a, b] en elke n een niet-lineair stelsel op te lossen, Doen we dit alleen voor het interval [ 1, 1] (wel voor elke n), Op een speciale manier. De knooppunten oplossing x en gewichten oplossing A kunnen worden opgeslagen in een tabel; Namelijk n = 1, 2,... en bij elke n twee vectoren van lengte n + 1. Zie Table 5.1; De knooppunten en gewichten bij [a, b] volgen door translatie en substitutie, zie slide 51. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 49 / 59
Gauss Kwadratuurregels (VIII) Afspraken (A). Beschouw alleen interval [ 1, 1]; dwz a = 1 en b = 1; (B). Knooppunten x 0,..., x n zijn de nulpunten van een speciaal polynoom (zogenaamde n + 1-ste graads Legendre polynoom); (C). Gewichten A 0,..., A n zijn oplossing van lineair stelsel (2). c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 50 / 59
Gauss Kwadratuurregels (IX) Van afspraak naar algemeen; Gegeven f : [a, b] R; Bereken knooppunten 1 x 0 < x 1 < < x n 1 en gewichten A 0,..., A n volgens de afspraken; Gebruik de substitutieregel van integratie b a f (x) dx = b a 2 1 ( ) b + a + x(b a) f dx 1 2 Concludeer G n (f ) = n i=0 b a A i f 2 ( ) b + a + xi (b a) 2 c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 51 / 59
Meerdimensionale Integratie (I) Numeriek mogelijk voor integratie op een rechthoekige ruimte [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ], Bijvoorbeeld twee-dimensionaal: b2 b1 a 2 a 1 f (x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 Middelpuntregel, Simpson s regel, Gauss kwadratuur zijn eenvoudig naar hogere dimensies uit te breiden; Bijvoorbeeld Gauss kwadratuur in 2-D: n 1 n 2 i 1 =0 i 2 =0 A i1 A i2 f ( x i1, x i2 ) c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 52 / 59
Meerdimensionale Integratie (II) Slechte prestatie bij veel dimensies; Zoals in Bayesiaanse statistiek; financiële modellen; Moeilijk toepasbaar bij niet-rechthoekige integratiegevieden; Alternatief: simulatie; Dat heet Monte Carlo integratie en zal onderwerp zijn in latere colleges; c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 53 / 59
Python c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 54 / 59
Integratiefuncties in Python De trapeziumregel is beschikbaar in NumPy (en in SciPy). De andere kwadratuurregels (Simpson, Romberg, Gauss) zijn beschikbaar in het subpackage integrate van SciPy. functie numpy.trapz scipy.integrate.trapz scipy.integrate.quad scipy.integrate.quadrature beschrijving samengestelde trapeziumregel idem adaptieve Simpson s regel Gauss kwadratuur Er zijn nog veel andere functies. Zie de reference guide. Zie ook http://personal.vu.nl/a.a.n.ridder/numprog/python/scp.pdf c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 55 / 59
Numeriek Voorbeeld Bereken: 3 cx 1 sin(dx 1 ) dx. 1 Plot bij c = 100 en d = 10. 60 30 0 30 60 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 56 / 59
Python Code def func(x,c,d): return c*np.sin(d/x)/x def main(): a,b,c,d,n = 1.,3.,100.,10.,500 x = np.linspace(a,b,n) y = func(x,c,d) q1 = np.trapz(y,x) q2 = integrate.quad(func,a,b,args=(c,d)) q3 = integrate.quadrature(func,a,b,args=(c,d)) print(q1, \n,q2[0], \n,q3[0]) c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 57 / 59
Algoritme in Quad Herinner de recursieve relatie tussen de Simpson s en trapezium regels op slide 35: S n (f ) = T n (f ) + 1 ( Tn (f ) T n/2 (f ) ) 3 Zo is er ook een recursieve relatie door met 4-de graads polynomen te interpoleren als kwadratuurregel: Q n (f ) = S n (f ) + 1 15 ( Sn (f ) S n/2 (f ) ) Het algoritme in quad verdubbelt aantal deelintervallen voor Simpson totdat Sn(f ) S n/2 (f ) /15 < ϵ; Bovendien, adaptief, wat betekent dat deze verdubbeling per deelinterval wel of niet uitgevoerd wordt. c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 58 / 59
Illustratie van Adaptieve Methode meer intervallen minder intervallen c Ad Ridder (VU) Numerical Methods Periode 1 (2016-2017) 59 / 59