5 Lineaire ifferentiaalvergelijkingen 00 50 00 50 0 5 0 5 0 5 30 t Een voorbeel van een continu eponentieel groeimoel, gegeven oor e ifferentiaalvergelijking y (t) = ay(t). Hier is y(0) = 0 en a = 0.075. 00 50 0-50 -00 0 5 0 5 0 5 30 t Een voorbeel van een geempte trilling bij een massa-veersysteem met als ifferentiaalvergelijking mu (t) + u (t) + ku(t) = 0. Hier is m =, = 0., k = 0 genomen met beginwaaren u(0) = 95 en u (0) =. 54 Jan van e Craats: Complee getallen voor wiskune D
Inleiing Inleiing Een vergelijking waarin naast een functie y(t) ook nog een of meer afgeleien van y(t) voorkomen, heet een ifferentiaalvergelijking. Een van e eenvouigste voorbeelen is e ifferentiaalvergelijking y (t) = ay(t) ie voor a > 0 continue eponentiële groei moelleert. Een oplossing is een functie y(t) ie voor alle t aan e ifferentiaalvergelijking voloet. In het algemeen zijn er oneinig veel oplossingen, ie in it geval allemaal van e vorm y(t) = A e at zijn. Een startwaare, bijvoorbeel y(0), legt e constante A vast. In it hoofstuk behanelen we zogenaame lineaire ifferentiaalvergelijkingen van e tweee ore, at wil zeggen at er naast y(t) ook nog e eerste afgeleie y t) en e tweee afgeleie y (t) in voorkomen. Een natuurkunig voorbeel waarin zo n ifferentiaalvergelijking gebruikt wort, is het zogenaame massaveersysteem. Stel at een puntmassa m bevestig is aan een veer met veerconstante k en k een emper met wrijvingsfactor. Oner u(t) verstaan we e uitwijking van m u(t) e massa vanuit e evenwichtsstan op tijstip t. De massa is an onerhevig aan twee terugrijvene krachten: e veerkracht ie evenreig is aan e uitwijking u(t) en e empingskracht ie evenreig is met e snelhei u (t). Volgens e wet van Newton is e som van ie krachten gelijk aan e massa m maal e versnelling u (t), us mu (t) = ku(t) u (t) oftewel mu (t) + u (t) + ku(t) = 0 Wanneer men zo n systeem op t = 0 een bepaale beginuitwijking u(0) en beginsnelhei u (0) geeft, zal het een geempte trilling gaan uitvoeren. Een aner voorbeel komt uit e electrotechniek. In een stroomkring zijn een weerstan R, een conensator met capaciteit C en een inuctiespoel met zelfinuctie L C L in serie geschakel. We meten het spanningsverschil v(t) over e conensator. R Men kan aantonen at v(t) an voloet aan e ifferentiaalvergelijking LCv (t) + RCv (t) + v(t) = 0 Ook hier is het zo at het systeem bij gegeven beginwaaren v(0) en v 0) een geempte trilling gaat uitvoeren. In it hoofstuk zullen we algemene formules afleien voor e oplossingsfuncties van it soort ifferentiaalvergelijkingen. v(t) 55 bron: www.science.uva.nl/ craats
5 Lineaire ifferentiaalvergelijkingen Hieroner zie je enige voorbeelen van grafieken van oplossingsfuncties van lineaire ifferentiaalvergelijkingen van e tweee ore van e vorm ay (t) + by (t) + cy(t) = 0 De grafieken geven een inruk van e grote verscheienhei aan verschijningsvormen van zulke oplossingsfuncties. Telkens zijn e waaren van a, b en c en e beginwaaren y(0) en y (0) gegeven. 00 00 50 50 00 00 50 50 0 5 0 5 0 5 30 t 0 5 0 5 0 5 30 t a =, b =., c = 0. y(0) = 80, y (0) = 40 a =, b = 0.9, c = 0. y(0) =, y (0) = 0 00 00 50 50 0 0-50 -50-00 0 5 0 5 0 5 30 t -00 0 5 0 5 0 5 30 t a =, b = 0.7, c = 0.5 y(0) = 50, y (0) = 40 a =, b = 0., c = 4 y(0) = 5, y (0) = 5 5. Bereken bij elk van e vier hierboven gegeven ifferentiaalvergelijkingen e wortels en e iscriminant van e karakteristieke vergelijking. 56 Jan van e Craats: Complee getallen voor wiskune D
Lineaire ifferentiaalvergelijkingen van ore Lineaire ifferentiaalvergelijkingen van ore Een ifferentiaalvergelijking van e vorm ay (t) + by (t) + cy(t) = 0 waarbij a, b en c willekeurige gegeven reële constanten zijn met a = 0, heet een lineaire ifferentiaalvergelijking van e tweee ore. Eigenlijk is e volleige term: lineaire homogene ifferentiaalvergelijking van e tweee ore met constante coëfficiënten maar wij zullen ie uitgebreie terminologie hier niet gebruiken en ook niet toelichten. Omat a = 0 is, kunnen we e vergelijking elen oor a, met anere wooren, we kunnen veronerstellen at a =. Met het oog op e vele toepassingen waarin a, b en c vaak een specifieke fysische betekenis hebben, zullen we it hier echter niet oen. We zullen in it hoofstuk een algemene oplossingsmethoe presenteren, at wil zeggen een methoe waarmee je een formule kunt vinen voor y(t) in termen van a, b en c en zekere startwaaren, ie hier e vorm hebben van y(0) = y 0 en y (0) = m 0. Met anere wooren, op het tijstip t = 0 zijn e functiewaare y(0) en e afgeleie y (0) gegeven. We zullen zien at aaroor e oplossingsfunctie y(t) volleig wort bepaal. Het iee is als volgt. We laten e startwaaren voorlopig even terzije, en concentreren ons op e ifferentiaalvergelijking zelf. Geïnspireer oor het continue eponentiële groeimoel proberen we of er oplossingsfuncties zijn van e vorm y(t) = e λt (λ is e Griekse letter lamba ). Invullen in e ifferentiaalvergelijking geeft an aλ e λt + bλe λt + ce λt = 0, oftewel, na elen oor e λt, aλ + bλ + c = 0 Dit is e karakteristieke vergelijking van e ifferentiaalvergelijking. Elke wortel λ geeft een oplossing e λt. Je ziet at in e karakteristieke vergelijking e variabele t niet meer voorkomt! Het is een zuiver algebraïsche vergelijking. De aar van e oplossingen wort bepaal oor het teken van e iscriminant D = b 4ac. Als D > 0 is, zijn e twee wortels reëel, als D = 0 zijn ze reëel en vallen ze samen, en als D < 0 zijn ze toegevoeg comple. We behanelen e rie gevallen D > 0, D = 0 en D < 0 aan e han van voorbeelen. Maar eerst merken we op at voor lineaire ifferentiaalvergelijkingen ook weer het superpositiebeginsel gelt: als y (t) en y (t) allebei oplossingsfuncties zijn, an is voor elke keuze van A en A ook e lineaire combinatie z(t) = A y (t) + A y (t) een oplossingsfunctie. Je kunt it zelf gemakkelijk nagaan. 57 bron: www.science.uva.nl/ craats
5 Lineaire ifferentiaalvergelijkingen 5. Bepaal e oplossingsfunctie van elk van e volgene ifferentiaalvergelijkingen met e gegeven startwaaren. a. y (t) y (t) y(t) = 0, y(0) =, y (0) = b. y (t) + 3y (t) + y(t) = 0, y(0) =, y (0) = 0 c. y (t) + y (t) y(t) = 0, y(0) = 0, y (0) =. y (t) + 5y (t) + 6y(t) = 0, y(0) =, y (0) = e. 6y (t) + 5y (t) + y(t) = 0, y(0) = 0, y (0) = 5.3 Bepaal e oplossingsfunctie van elk van e volgene ifferentiaalvergelijkingen met e gegeven startwaaren. a. y (t) y (t) + 4 y(t) = 0, y(0) =, y (0) = b. y (t) + 6y (t) + 9y(t) = 0, y(0) =, y (0) = c. y (t) + y (t) + y(t) = 0, y(0) = 0, y (0) =. 4y (t) + 4y (t) + y(t) = 0, y(0) =, y (0) = e. y (t) y (t) + y(t) = 0, y(0) =, y (0) = 0 5.4 In eze opgave leer je e achtergron van e op e tegenoverliggene blazije gegeven oplossingsmethoe voor het geval D = 0. Stel voor het gemak at e ifferentiaalvergelijking e volgene vorm heeft y (t) py (t) + p y(t) = 0 De karakteristieke vergelijking λ pλ + p = 0 heeft iscriminant D = 0. De enige wortel is λ = p. Stel nu z(t) = e pt y(t), met anere wooren, y(t) = e pt z(t). Dat lijkt een vreeme truc, maar we zullen laten zien at e oorspronkelijke ifferentiaalvergelijking voor e functie y(t) hieroor getransformeer wort in een zeer eenvouig oplosbare ifferentiaalvergelijking voor z(t). En hebben we z(t) gevonen, an hebben we ook y(t) te pakken! a. Bereken y (t) en y (t) oor ifferentiëren met e prouctregel en e kettingregel van y(t) = e pt z(t). b. Laat hiermee zien at y (t) py (t) + p y(t) = e pt z (t) c. Conclueer hieruit at z(t) voloet aan e ifferentiaalvergelijking z (t) = 0 (beenk at een e-macht nooit nul is!).. Lei hieruit af at z(t) = A + A t voor zekere constanten A en A. (Hint: twee maal integreren.) e. Conclueer hieruit at e algemene oplossingsfunctie van e oorspronkelijke ifferentiaalvergelijking gelijk is aan y(t) = (A + A t) e pt 58 Jan van e Craats: Complee getallen voor wiskune D
Positieve iscriminant Positieve iscriminant Als D = b 4ac > 0 is, zijn er twee verschillene reële oplossingen λ en λ van e karakteristieke vergelijking, en e algemene oplossing heeft an e geaante Merk op at y(t) = A e λ t + A e λ t y (t) = λ A e λ t + λ A e λ t en us gelt y(0) = A + A en y (0) = λ A + λ A. Neem bijvoorbeel e ifferentiaalvergelijking y (t) y (t) y(t) = 0 De wortels van e karakteristieke vergelijking λ λ = 0 zijn λ = en λ =. Wanneer hierbij e startwaaren y(0) = en y (0) = gegeven zijn, kun je A en A oplossen uit e vergelijkingen A + A = en A A =. De oplossing van it stelsel is A = 3 en A = 4 3. De oplossingsfunctie is us y(t) = 3 e t + 4 3 e t Discriminant nul Als D = b 4ac = 0 is, is er maar één oplossing, namelijk λ = b a. Naast e basisoplossingsfunctie y (t) = e λt is er an ook een basisoplossingsfunctie y (t) = te λt. De algemene oplossing is an y(t) = A e λt + A te λt = (A + ta ) e λt Neem bijvoorbeel e ifferentiaalvergelijking y (t) + 4y (t) + 4y(t) = 0 De enige oplossing van e karakteristieke vergelijking λ + 4λ + 4 = 0 is λ = en e algemene oplossingsfunctie is us y(t) = (A + ta ) e t Wanneer hierbij e startwaaren y(0) =, y (0) = 0 gegeven zijn, vinen we A = en A = (controleer!), us an is e gezochte oplossingsfunctie y(t) = ( t) e t 59 bron: www.science.uva.nl/ craats
5 Lineaire ifferentiaalvergelijkingen 5.5 Bepaal e oplossingsfunctie van elk van e volgene ifferentiaalvergelijkingen met e gegeven startwaaren. a. y (t) y (t) + 5y(t) = 0, y(0) =, y (0) = b. y (t) + y (t) + y(t) = 0, y(0) =, y (0) = 0 c. y (t) + 4y (t) + 5y(t) = 0, y(0) =, y (0) =. y (t) y (t) + 0y(t) = 0, y(0) =, y (0) = e. y (t) + 4y (t) + 8y(t) = 0, y(0) = 0, y (0) = 5.6 Schrijf alle oplossingsfuncties van e vorige opgave in e vorm y(t) = r e pt cos(qt + χ) 5.7 Op blazije 55 zijn voorbeelen gegeven van ifferentiaalvergelijkingen voor massaveersystemen en stroomkringen. Ga na at in het theoretische geval van wrijving nul ( = 0), respectievelijk weerstan nul (R = 0), alle oplossingsfuncties zuivere sinusoïen zijn ( harmonische trillingen ). Wat is e frequentie in termen van m en k, respectievelijk L en C? (Beenk at ie constanten positief zijn op fysische gronen). Hoe hangt e amplitue af van e beginwaaren u(0) en u (0), respectievelijk v(0) en v (0)? (Bij e stanaarsinusoïe A cos(qt + χ) met A > 0 en q > 0 heet A e amplitue, e frequentie en χ e fasehoek.) q π 5.8 Toon aan at lim t u(t) = 0 voor een massaveersysteem met een positieve wrijving en at lim t v(t) = 0 voor een stroomkring met een positieve weerstan R. Onerschei hierbij e gevallen D > 0, D = 0 en D < 0 maar gebruik wel at alle fysische constanten (m, en k, respectievelijk L, C en R) positief zijn. 60 Jan van e Craats: Complee getallen voor wiskune D
Negatieve iscriminant Negatieve iscriminant We beginnen met een voorbeel, namelijk e ifferentiaalvergelijking y (t) y (t) + 5y(t) = 0 Deze heeft als karakteristieke vergelijking λ λ + 5 = 0 met iscriminant D = 4 0 = 6 < 0. De twee wortels zijn λ = + i en λ = i, en e algemene oplossing van e ifferentiaalvergelijking is us (vergelijk ook paragraaf op blazije 43) y(t) = A e λt + A e λt = A e (+ i )t ( i )t + A e = e t ( A e i t + A e i t) = e t( (A + A ) cos t + i (A A ) sin t ) = e t (C cos t + C sin t) Kies je voor C en C reële constanten, an is e oplossingsfunctie ook reëel. In at geval is A = (C i C ) en A = (C + i C ) (vergelijk blazije 45) us an zijn A en A toegevoeg comple. De oplossingsfunctie y(t) kun je an ook schrijven als het prouct van een e- macht en een stanaarsinusoïe. Dat is voor e toepassingen, waarin uit e stanaarvorm van een sinusoïe belangrijke constanten zoals e amplitue en e fasehoek kunnen woren gehaal, vaak van groot belang. Schrijf aartoe A = r e i χ en A = r e i χ (χ is e Griekse letter chi ). Dan is ( y(t) = e t A e i t + A e i t) ( = e t r e i χ e i t + r e i χ i e t) = r e t ( e i (t+χ) + e i (t+χ)) = r e t cos(t + χ) Voor een willekeurige ifferentiaalvergelijking met een karakteristieke vergelijking met een negatieve iscriminant met wortels λ, = p ± i q kan e algemene reële oplossing geschreven woren als y(t) = e pt (C cos qt + C sin qt) = r e pt cos(qt + χ) waarbij C i C = A = r e i χ. Bij gegeven startwaaren y(0) en y (0) gelt y(0) = C en y (0) = pc + qc us C = p q y(0) + q y (0). 6 bron: www.science.uva.nl/ craats
5 Lineaire ifferentiaalvergelijkingen Gemenge opgaven. 5.9 Bepaal e oplossingsfunctie van elk van e volgene ifferentiaalvergelijkingen met e gegeven startwaaren. a. y (t) + 4y (t) + 5y(t) = 0, y(0) =, y (0) = b. y (t) + y (t) + y(t) = 0, y(0) =, y (0) = 0 c. y (t) + 3y(t) = 0, y(0) =, y (0) = 3. y (t) y (t) y(t) = 0, y(0) = 0, y (0) = e. y (t) + 7y (t) + y(t) = 0, y(0) =, y (0) = 0 f. y (3) (t) y (t) = 0, y(0) =, y (0) =, y (0) = 0 g. y (3) (t) + 8y(t) = 0, y(0) = 0, y (0) = 0, y (0) = 6 Jan van e Craats: Complee getallen voor wiskune D
Lineaire ifferentiaalvergelijkingen van hogere ore Lineaire ifferentiaalvergelijkingen van hogere ore Wat we voor lineaire ifferentiaalvergelijkingen van e tweee ore hebben geaan, kunnen we ook voor lineaire ifferentiaalvergelijkingen van hogere ore oen. Zo n vergelijking heeft e vorm a n y (n) (t) + a n y (n ) (t) + + a y (t) + a y (t) + a 0 y(t) = 0 Een oplossingsfunctie y(t) wort vastgeleg oor n beginvoorwaaren y(0), y (0),..., y (n ) (0) en e karakteristieke vergelijking is nu van e graa n, namelijk a n λ n + a n λ n + + a λ + a 0 = 0 Wanneer eze vergelijking n verschillene (reële of complee) wortels heeft, leveren ie n basisoplossingsfuncties, waaruit oor lineaire combinaties e algemene oplossing kan woren gevorm. Wanneer een wortel λ multipliciteit m heeft met m >, an zijn e volgene m functies basisoplossingsfuncties: e λt, t e λt,..., t m e λt Op eze manier leveren e oplossingen van e karakteristieke vergelijking us in alle gevallen n basisoplossingen waarmee e algemene oplossing kan woren gevorm. Realistische moellen Wanneer een lineaire ifferentiaalvergelijking een wiskunig moel is van een proces waarin e evolutie in e tij van een groothei y gemoelleer wort als een ifferentieerbare functie y(t) ie op elk tijstip t aan e ifferentiaalvergelijking voloet, wort ie evolutie volleig bepaal oor e ifferentiaalvergelijking en e n beginvoorwaaren. In zulke situaties zal het systeem op en uur naar e ruststan terugkeren, at wil zeggen at lim t y(t) = 0. Dit is het geval als alle wortels λ van e karakteristieke vergelijking, reëel of comple, voloen aan Re(λ) < 0, met anere wooren, als ze in het linkerhalfvlak liggen. In realistische moellen zal it altij het geval zijn. Bij massa-veersystemen en bij stroomkringen met een weerstan, conensator en inuctiespoel is at altij het geval als e empingsfactor, respectievelijk e weerstan, positief is. In e geïealiseere toestan zoner emping of weerstan blijft het systeem eeuwig oscilleren volgens een sinusoïe (harmonische trilling). 63 bron: www.science.uva.nl/ craats
5 Lineaire ifferentiaalvergelijkingen Samenvatting Een homogene lineaire ifferentiaalvergelijking van e tweee ore met constante (reële) coëfficiënten a, b en c (waarbij a = 0) voor een functie y(t) kan geschreven woren als ay (t) + by (t) + cy(t) = 0 Karakteristieke vergelijking: aλ + bλ + c = 0. Oplossingen via e abc-formule: Discriminant D = b 4ac. Drie gevallen: λ, = b ± b 4ac. a. D > 0. Dan heeft e karakteristieke vergelijking twee verschillene reële oplossingen λ en λ. Basisoplossingen van e ifferentiaalvergelijking zijn an e λ t en e λ t. De algemene oplossing is y(t) = A e λ t + A e λ t Bij gegeven startwaaren y(0) en y (0) kun je A en A vinen met behulp van e afgeleie y (t) = A λ e λ t + A λ e λ t oor t = 0 in te vullen in e uitrukkingen voor y(t) en y (t). Dit geeft twee vergelijkingen voor e twee onbekenen A en A en aaruit kun je A en A oplossen.. D = 0. Dan heeft e karakteristieke vergelijking één oplossing λ = b a. Basisoplossingen van e ifferentiaalvergelijking zijn an e λt en t e λt. De algemene oplossing is y(t) = A e λt + A t e λt Bij gegeven startwaaren y(0) en y (0) kun je A en A vinen met behulp van e afgeleie oor t = 0 in te vullen in y(t) en y (t). Dit geeft twee vergelijkingen voor e twee onbekenen A en A en aaruit kun je A en A oplossen. 3. D < 0. Dan heeft e karakteristieke vergelijking twee toegevoeg complee oplossingen λ = p + i q en λ = p i q. Basisoplossingen van e ifferentiaalvergelijking zijn e λ t = e pt e i qt en e λ t = e pt e i qt. De algemene oplossing kan an met behulp van e formules van Euler woren geschreven als y(t) = e pt (C cos qt + C sin qt) = r e pt cos(qt + χ) Bij gegeven startwaaren y(0) en y (0) kun je C en C vinen met behulp van e afgeleie oor t = 0 in te vullen in y(t) en y (t). Dit geeft twee vergelijkingen voor e twee onbekenen C en C. Desgewenst kun je aarna ook r en χ berekenen via e betrekking C i C = r e i χ. 64 Jan van e Craats: Complee getallen voor wiskune D
Voorkennis Hoekmeting Hoeken meten we in graen of in raialen. Hiernaast zie je e eenheiscirkel in het vlak (e cirkel met straal en e oorsprong O als mielpunt) waarop e beie verelingen zijn aangegeven. Een volleige rongang telt 360 graen, oftewel π raialen. Ook raaiingshoeken kunnen we in graen of in raialen meten. De raaiingsrichting is an wel van belang: volgens afspraak geven we raaiingen in het vlak tegen e klok in met een plusteken aan, en raaiingen met e klok mee met een minteken. 50 o 80 o 0 o 90 o O 60 o 30 o 0 o 360 o Bij raaiingen kan e raaiingshoek natuurlijk ook groter an 360 zijn. Voor het resultaat maakt het niets uit of je er gehele veelvouen van 360 (of π raialen) bij optelt of van aftrekt. 0 o π 40 o π 3π 70 o 300 o 0 π 330 o De term raiaal komt van raius, hetgeen straal betekent. Wanneer je op een cirkel met straal r een boog tekent ie vanuit het mielpunt oner een hoek van α raialen wort gezien, is e lengte van ie boog α r. De hoekmaat in raialen geeft us e verhouing tussen e booglengte en e straal, vanaar e naam raiaal. Een hoek van raiaal is iets kleiner an 60 graen, namelijk, in acht ecimalen nauwkeurig, 57.9577950 graen. De eacte waare is 360/(π). r α raialen r α r Bij een cirkel met straal r = is e booglengte precies gelijk aan e mielpuntshoek α in raialen. Bij een volleige rongang langs een cirkel hoort een raaiingshoek van π raialen. De omtrek van e eenheiscirkel is us ook gelijk aan π. De omtrek van een cirkel met een straal r is πr. 65 bron: www.science.uva.nl/ craats
Voorkennis De sinus, e cosinus en e tangens y Bij elke raaiingshoek α hoort een raaiing in het vlak om e oorsprong over ie hoek. Een positieve raaiingshoek corresponeert met een raaiing tegen e klok in, een negatieve hoek hoort bij een raaiing met e klok mee. We kunnen zo n raaiing aangeven via een boog van e eenheiscirkel ie in (, 0) begint en mielpuntshoek α heeft. De coörinaten (, y) van het einpunt zijn an respectievelijk e cosinus en e sinus van α, us = cos α en y = sin α. sin α O α (cos α, sin α) cos α (,0) Omat (, y) op e eenheiscirkel ligt, gelt + y =, us cos α + sin α = Let hierbij op e notatie: cos α betekent (cos α) en sin α betekent (sin α). Deze notatievormen zijn algemeen gebruikelijk. De tangens van α is het quotiënt van e sinus en e cosinus, in formule: tan α = sin α cos α Er zijn enige hoeken α met bijzonere waaren voor e sinus, e cosinus en e tangens. Voor 0 α π (in raialen) geven we ze in e vorm van een tabel. Uit e beie tekeningen kun je ie waaren afleien. Beenk aarbij at e linkerriehoek e vorm heeft van een georiehoek met een schuine zije van lengte en rechthoekszijen van lengte (stelling van Pythagoras). De rechterriehoek is gelijkzijig met zijen van lengte. De verticale lijn vanuit e top eelt e basis mienoor, en volgens Pythagoras is e lengte ervan us gelijk aan y ( ) = 3 4 = 3. y α 0 6 π 4 π 3 π π sin α 0 3 3 O π 4 cos α 3 0 tan α 0 3 3 3 O π 3 66 Jan van e Craats: Complee getallen voor wiskune D
Voorkennis Grafieken van goniometrische functies π π 0 - sin π π 3 tan cos π π 0 - π π π π 0 - π π - -3 Hierboven zijn e grafieken geteken van e functies sin, cos en tan, met in raialen. Die functies zijn perioiek: e sinus en e cosinus met perioe π, e tangens met perioe π. De tangens heeft verticale asymptoten voor = π + kπ met k geheel, want voor ie waaren van is e cosinus nul, en an is tan = (sin )/(cos ) us niet geefinieer. Uit e efinitie van e sinus, e cosinus en e tangens met behulp van e eenheiscirkel (zie blazije 66) volgen irect e volgene eigenschappen, ie je ook in e grafieken terugziet: sin( ) = sin, cos( ) = cos, tan( ) = tan Optelformules en ubbele-hoekformules Naast e basisformule sin α + cos α = en e symmetrieformules van hierboven zijn er nog twee belangrijke gonioformules: cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β Als je in eze optelformules β vervangt oor β krijg je cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β sin(α β) = sin α cos β cos α sin β Als je in e optelformules α = β neemt, krijg je e ubbele-hoekformules: cos α = cos α sin α sin α = sin α cos α Met behulp van cos α + sin α = kun je e formule voor cos α uitbreien tot cos α = cos α sin α = cos α = sin α 67 bron: www.science.uva.nl/ craats
Voorkennis Eponentiële functies en e e-macht Functies van e vorm f() = a voor a > 0 heten eponentiële functies. Hieroner is voor enige waaren van a e grafiek van a geteken. Al ie grafieken gaan oor het punt (0, ) want voor elke a gelt a 0 =. Zo n grafiek is stijgen als a >, en alen als 0 < a <. Voor a = is e grafiek e horizontale lijn y = want = voor elke waare van. De grafieken van a en (/a) zijn elkaars spiegelbeel in e y-as. Er gelt namelijk ( (/a) = a ) = a y = (/3) y = (5/6) y = (/) -3 - y = (/4) y 4-3 y = 4 y = O 3 y = (3/) y = (6/5) y = De belangrijkste eigenschappen van eponentiële functies zijn a a y = a +y a : a y = a y (a ) y = a y (a b) = a b (a : b) = a : b De grafieken van e eponentiële functies van e vorm f() = a met a > 0 snijen e y-as allemaal in het punt (0, ). Alle grafieken hebben in at punt een raaklijn. Al ie raaklijnen zijn verschillen, en allemaal hebben ze een vergelijking van e vorm y = + m voor een zekere m. Er is precies één waare van a waarvoor gelt m =, at wil zeggen y y = e at e lijn y = + e raaklijn is aan e grafiek van f() = a 4 in (0, ). Dat getal wort e genoem, 3 en e bijbehorene functie f() = y = + e speelt een belangrijke rol in e ifferentiaal- en integraalrekening. 45 o y = Hiernaast is e grafiek ervan geteken. Men kan bewijzen at het getal e, net als het getal π of het getal -3 - - O 3, een irrationaal getal is. Er gelt e =.78888459.... Voor kleine waaren van vallen e grafiek van f() = e en e raaklijn y = + vrijwel samen, us voor kleine gelt e +. Zelfs gelt at e voor 0, of, nog preciezer uitgerukt met behulp van een limiet e lim = 0 68 Jan van e Craats: Complee getallen voor wiskune D
Voorkennis Raaklijn en afgeleie (De voorkennis in eze paragraaf wort alleen in hoofstuk 5 gebruikt.) De grafieken van veel functies hebben in alle of bijna alle punten een gla verloop: als je stees sterker op zo n punt inzoomt, gaat e grafiek stees meer op een rechte lijn lijken. Die lijn is e raaklijn aan e grafiek in at punt. Hiernaast is e grafiek van zo n functie f() geteken, met aarbij ook e raaklijn in het punt (a, f(a)). Vlak in e buurt van at punt zijn grafiek en raaklijn ineraa nauwelijks van elkaar te onerscheien. Als e raaklijn niet verticaal is, kan e vergelijking ervan geschreven woren als y = f(a) + m( a) voor een zekere m, e richtingscoëfficiënt van e raaklijn. f(a) O y y = f(a) + m( - a) a y = f() Die richtingscoëfficiënt m kan an oor miel van een limiet in termen van e functie f() en het punt a woren uitgerukt: m = lim a f() f(a) a Men noemt m e afgeleie van f() in a, en gebruikt aarvoor e notatie f (a). Als eze limiet bestaat (als einig getal), heet e functie f() ifferentieerbaar in a. Wanneer een functie f() ifferentieerbaar is in alle punten van een interval, is e afgeleie us in elk punt van at interval geefinieer, en aarmee is e afgeleie op at interval zelf een functie geworen, e afgeleie functie. Veel gebruikte notaties voor e afgeleie functie van f() zijn f () en f(). De afgeleie functies van enige veel gebruikte functies zijn: (p ) = p p voor elke p (e ) = e (cos ) = sin (sin ) = cos De e-machtfunctie is us gelijk aan zijn eigen afgeleie! Let ook op e tekens bij e afgeleien van e sinus en e cosinus. Wanneer een functie f() ifferentieerbaar is in alle punten van een interval, kan e afgeleie functie ook weer een ifferentieerbare functie zijn. De afgeleie van e afgeleie heet an e tweee afgeleie. Notatie: f () of f(). Zo kun je oorgaan en e n-e afgeleie efiniëren voor elke n >. Gebruikelijke notaties zijn in at geval f (n) () (let op n e haakjes om e n) of n f(). 69 bron: www.science.uva.nl/ craats
Gonio gemakkelijk gemaakt Eulers gemakkelijk te onthouen formule e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ maakt het makkelijk alle gonioformules te onthouen, of snel af te leien als je ze vergeten bent. Bijvoorbeel e somformules van blazije 67: Beenk hiervoor at e i (α+β) = e i α e i β us cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) + i sin(α + β) = e i (α+β) = e i α e i β = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β) = (cos α cos β sin α sin β) + i (sin α cos β + cos α sin β) Gelijkstellen van e reële elen levert e somformule voor e cosinus, en gelijkstellen van e imaginaire elen e somformule voor e sinus. Deze formules gelen overigens niet alleen maar voor e reële cosinus- en sinusfuncties, maar net zo goe voor e op blazije geefinieere complee uitbreiingen van eze functies: cos(z + z ) = cos z cos z sin z sin z sin(z + z ) = sin z cos z + cos z sin z Probeer zelf maar eens een bewijs te geven! Ook e formules voor e afgeleien van e sinus- en cosinusfuncties zijn gemakkelijk snel af te leien via e complee e-machtfunctie, ie, net als e reële e-machtfunctie, gelijk is aan zijn eigen afgeleie. Beenk aarvoor at op gron van e kettingregel gelt at e i = i e i, en us is (cos + i sin ) = e i = i e i = i (cos + i sin ) = sin + i cos Gelijkstellen van reële elen geeft elen geeft sin = cos. cos = sin en gelijkstellen van e imaginaire 70 Jan van e Craats: Complee getallen voor wiskune D