Uitwerkingen 1 Opgae 1 Een inertiaalstelsel is een referentiestelsel waarin de eerste wet an Newton geldt. Opgae Een gebeurtenis is een fysishe situatie of ooral op één bepaalde plaats en op één bepaald tijdstip. Een wereldlijn is een lijn in het tijd-plaats-diagram die het erband tussen tijd en plaats an een oorwerp (of iets anders) weergeeft. Opgae 3 Niet waar Waar. Niet waar Opgae 4 0 m/s 7/ m/s = 0,75 m/s. -9/3 m/s = -3 m/s d. (oneindig) Opgae 5 x = t 1 m = = 3 s 4 m/s t = s x = 4 s (zie de stippellijn in het onderstaande diagram) Opgae 6 x = x - t = 40-70 (0/60) = 17 km x = x + t = 6 + 70 (35/60) = 47 km Uitwerkingen Relatiiteit, Referentiestelsels; Galileï-transformatie, www.roelhendriks.eu 1
Opgae 7 en en. d. De oetbal en de shoen kruisen elkaar op x =,5 m (zie de stippellijn). Opgae 0 m Uitwerkingen Relatiiteit, Referentiestelsels; Galileï-transformatie, www.roelhendriks.eu
Uitwerkingen Opgae 1 s t = = x633 5 = 5,76 10 s 3,00 10 Opgae Eén omwenteling duurt 1 / 1,6 = 0,0794 s. Eén tand plus één opening duren 0,0794 / 70 = 0,000110 s. Eén tand duurt 0,000110 / = 5,51 10-5 s. s = = x633 = 3,13 10 m/s 5 t 5,51 10 Opgae 3 De wetten an de natuurkunde zijn in elk inertiaalstelsel dezelfde. De lihtsnelheid in auüm is in elk inertiaalstelsel gelijk. Opgae 4 Als persoon A met dezelfde snelheid als het liht an persoon B weggaat, zou het liht oor persoon A stilstaan. Opgae 5 1ls = 3,00 10 1ly = 3,00 10 m/s 1s = 3,00 10 m m/s 365 4 3600 s = 9,46 10 Opgae 6 9 s x140 10 = = =,1 10 m/s t 60 3,00,1 De afwijking met de orrete snelheid is: x 100% = 9%. 3,00 Opgae 7 Voor Jan legt het liht an L1 naar hem een een grote weg af als het liht an L naar hem. Voor Sjoerd legt het liht an L naar Jan een kortere weg af dan het liht an L1 naar Jan. 15 m Uitwerkingen Relatiiteit, Postulaten an de speiale relatiiteitstheorie, www.roelhendriks.eu 3
Opgae Voor Piet is de door het liht af te leggen afstand (zowel heen als terug) onafhankelijk an de treinsnelheid. De heenweg oor het liht wordt langer en de terugweg oor het liht wordt korter. De heenweg duurt dus langer en de terugweg korter. Uitwerkingen Relatiiteit, Postulaten an de speiale relatiiteitstheorie, www.roelhendriks.eu 4
Uitwerkingen 3 Opgae 1 Voor ons loopt de tijd an het erre sterrenstelsel langzamer. Opgae Voor de stilstaande waarnemer is de alsnelheid an de druppels ook kleiner dan oor de meebewegende waarnemer. Opgae 3 A en C. A en C. Voor Jan erlopen alle proessen an Jim langzamer en oor Jim erlopen alle proessen an Jan langzamer. De speiale relatiiteitstheorie gaat niet oor Jim op omdat zijn referentiestelsel geen inertiaalstelsel is. Hij ersnelt (ertraagt) aan het begin, halerwege en aan het eind an zijn reis. Opgae 4 De tweede methode erdient de oorkeur omdat de draagbare klok langzamer gaat lopen (ten opzihte an het stilstaande referentiestelsel) als hij een snelheid krijgt. Opgae 5 to t = = 55 0,0 = 9 s Opgae 6 Voor de stilstaande waarnemer geldt: s 0,50 t = = = 0,16 10 s 0,99x3,00 10 Voor de meebewegende waarnemer geldt: t o = t = 0,16 10 0,99 = 0,37 10 9 s Opgae 7 t 1 = wordt t o Hieruit olgt: 1 1 = 1,30 / = 0,64 dus 64% 1 1,30 =. Uitwerkingen Relatiiteit, Tijdsduurerlenging, www.roelhendriks.eu 5
Opgae 6 s = t = 3,00 10, 10 = 6,6 10 m to, µ s t = = = 49, µ s 0,999. Gemakshale stellen we de snelheid an een muon op 100% an de lihtsnelheid. 6 s = t = 3,00 10 49, 10 = 14 10 m = 14, km Geen probleem dus om de dampkring te doorlopen. Opgae 9 Een tijdsduur an 1 s oor het atoom orrespondeert met een tijdsduur an to 1s t = = = 1,51s oor waarnemer W. 0,75 1,0 10 15 15 De door W waargenomen frequentie is dan = 0,66 10 Hz. 1,51 Uitwerkingen Relatiiteit, Tijdsduurerlenging, www.roelhendriks.eu 6
Uitwerkingen 4 Opgae 1 L = Lo = 50 0,40 = 46 m = L wordt 40 50 L o Opgae =. Hieruit olgt: = 0,60. L = Lo = (10 km) 0,999 = 447 m Stel de snelheid an het muon gemakshale gelijk aan. Dan geldt: 6 s = t = 3,00 10, 10 = 660 m Het aardopperlak kan dus gemakkelijk bereikt worden. Opgae 3 Omdat de liegsnelheid (15 km/h = 599,4 m/s) eel kleiner is dan de lihtsnelheid, geldt: 1 L = Lo 1 De erkorting ΔL is dan: 1 1 599,4 L = Lo L = L = (5576 km) = 11,1μm o 3,00 10 Opgae 4 Het zit m in het feit dat gelijktijdigheid geen absoluut begrip is. Voor waarnemer W zijn de deuren dus niet op hetzelfde moment gesloten. Eerst wordt de oordeur eentjes gesloten en daarna de ahterdeur. Opgae 5 Er indt alleen lengtekrimp in de rijrihting plaats, niet in de breedte of in de hoogte. Er geldt dan: L = Lo = (1m) 0,90 = 0,44 m Het olume is dan dus 0,44 m 3. Uitwerkingen Relatiiteit, Lengtekrimp, www.roelhendriks.eu 7
Opgae 6 Pi wordt kleiner omdat de omtrek kleiner wordt. Opgae 7 rahtwagen tunnel wel geen Uitwerkingen Relatiiteit, Lengtekrimp, www.roelhendriks.eu
Uitwerkingen 5 Opgae 1 en Bij opgae a: raket A: 0,5 en raket B: 0,5. Opgae 3 Opgae 4 Doordat de hoeken gelijk zijn, allen de diagonalen an de ruitjes samen met wereldlijnen an fotonen (dus onder een hoek an 45 ). Zodoende blijft de lihtsnelheid gelijk oor de stilstaande en de bewegende waarnemer. Uitwerkingen Relatiiteit, Minkowskidiagram, www.roelhendriks.eu 9
Opgae 5 Volgens waarnemer W: eerst P en dan Q. Volgens waarnemer W : eerst Q en dan P. Opgae 6 en Voor waarnemer W knalt eerst rotje A, daarna rotje B en tot slot rotje C.. De tijdsolgorde is oor de hond en oor waarnemer W gelijk. De hond heeft namelijk hetzelfde referentiestelsel als waarnemer W. Hooguit is de plaatsas (x-as) ershoen maar dat maakt niet uit. Opgae 7 Uit de stippellijnen behorend bij opgae. olgt dat oor waarnemer W de oorste shuurdeur eerst een dihtgaat en de ahterste shuurdeur daarn Uitwerkingen Relatiiteit, Minkowskidiagram, www.roelhendriks.eu 10
Uitwerkingen 6 Opgae 1 Als waarnemer W oor waarnemer W in de positiee x-rihting beweegt, beweegt waarnemer W oor waarnemer W in de negatiee x -rihting. Stel bijoorbeeld dat W en W ieder in een rijdende trein zitten en dat de trein an W de trein an W inhaalt. Voor W beweegt de trein an W dan ooruit en oor W beweegt de trein an W dan ahteruit. Opgae De hoek is 31. / = tan(31 ) = 0,60 dus het proton gaat met 60% an de lihtsnelheid. 1 1 γ = = = 1,5 0,60. x = γ x' + γ β t' = 1,5 4 + 1,5 0,60 9 = 11,75 t = γ t' + γ β x' = 1,5 9 + 1,5 0,60 4 = 14,5 Klopt met het diagram (zie hieronder). Opgae 3 Iets meer dan 11 miljard jaar Iets meer dan 11 miljard jaar Uitwerkingen Relatiiteit, Lorentztransformatie, www.roelhendriks.eu 11
Opgae 4 6,5 + 6,0 = 1,5 jaar. 1 1 γ = = β 0,50 = 1,15. x' = γ x γ β t = 1,15 6,0 1,15 0,50 6,5 = 3, ly d. t' = γ t γ β x = 1,15 6,5 1,15 0,50 6,0 = 4,0 ly Dus 4,0 jaar. Opgae 5 1 γ = = β 1 0,30 = 1,05 t = γ t' + γ β x' = 1,05 4,0 + 1,05 0,30 3,0 = 5,1 Dus het heeft 5,1 jaar geduurd. x = γ x' + γ β t' = 1,05 3,0 + 1,05 0,30 4,0 = 4,4 Dus 4,4 lihtjaar erwijderd. Opgae 6 Afgelegde afstand is 0,64 x 14 = 9,0 miljard lihtjaar. 9 9 t ' = t = 14 10 0,64 = 10, 10 jaar. Zie diagram d. Lijnstuk PQ is 0,614 keer zo lang als lijnstuk PR (zie het onderstaande diagram). Het sterrenstelsel is dus 0,614 x 10, = 6,6 miljard jaar oud. Uitwerkingen Relatiiteit, Lorentztransformatie, www.roelhendriks.eu 1
Opgae 7 De fator γ is afkomstig an de tijdsduurerlenging. Bekijk alles anuit waarnemer W. In γ seonde erplaatst de bron zih oer een afstand Δx = β γ lihtseonde. Het liht doet er erolgens β γ seonde oer om terug te komen bij W.. γ + βγ = γ ( β ) = β β = β = ( β )( β ) β β Uitwerkingen Relatiiteit, Lorentztransformatie, www.roelhendriks.eu 13
Uitwerkingen 7 Opgae 1 Neem de raket als waarnemer W en de aarde als waarnemer W. t x = t' x' 100 x = 10 00 Δx = 19 ls. Het kwadraat an het ruimtetijdinteral is negatief dus er kan geen oorzakelijk erband tussen beide ontploffingen zijn. Opgae t x = t' x' 0 0 = t' 30 t' = 30 0 = 500 Δt = s. Opgae 3 t x = t' x' 1 0 = x' Δx = 1,7 ls x' 1,7 ls = = = 0,5 t ',0 s Opgae 4 t x = t' x' 60 40 = t' 0 t' = 60 40 = 000 t' = 44,7 nls x 40 nls = = = 0,667. Bedenk daarbij dat t 60 ns Dus geldt β = 0,667. 1 1 γ = = = 1,34 β 0,667 t 60 t ' = = = 44,7 nls γ 1,34 1 ls 1 nls = =. 1 s 1 ns Uitwerkingen Relatiiteit, Ruimtetijdinteral, www.roelhendriks.eu 14
Opgae 5 Positief; ja Negatief; nee. Als de erbindingslijn tussen de twee gebeurtenissen steiler loopt dan de wereldlijn an een foton, kan er wel een ausaal erband zijn. Bij minder steil kan het niet. Uitwerkingen Relatiiteit, Ruimtetijdinteral, www.roelhendriks.eu 15
Uitwerkingen Opgae 1 + u' 0,4 + 0,5 u = = = 0, 75 u' 0,4 0,5 Opgae = 0,333 u = 0,6. De twee getekende pijlen in de onderstaande figuur hebben een lengteerhouding an 1 staat tot. Dus u = 0,333. d. + u' 0,333 + 0,333 u = = = 0, 60. u' 0,333 0,333 Dit antwoord klopt met Opgae 3 Bekijk het anuit kogel B. + u' 0,6 + 0,7 u = = = 0, 9 u' 0,6 0,7 Uitwerkingen Relatiiteit, Relatiistish optellen an snelheden, www.roelhendriks.eu 16
Opgae 4 + u' 0,40 + u' u = wordt 0,0 = u' 0,40 u' Vereenoudiging an de noemer geeft: 0,40 + u' 0,0 = 0,40 u' Dit geeft: 0,0 + 0,0 0,40 u' = 0,40 + u' Hieruit olgt: 0,40 = 0,6 u' Uiteindelijk inden we: u = 0,59. Opgae 5 Hieronder wordt niet op het teken an de snelheden gelet. De snelheid an A1 ten opzihte an M is: + u' 0,50 + 0,50 u = = = 0, 0 u' 0,50 0,50 De snelheid an M ten opzihte an A1 is dus ook 0,0. De snelheid an B ten opzihte an M is ook 0,0. De snelheid an B ten opzihte an A1 is dus: + u' 0,0 + 0,0 u = = = 0, 97 u' 0,0 0,0 Uitwerkingen Relatiiteit, Relatiistish optellen an snelheden, www.roelhendriks.eu 17