Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09 1
Lichaam: Een verzameling F waarop een somoperatie + en een productoperatie zijn gedefinieerd heet een lichaam als aan de onderstaande condities (A), (B), en (C) is voldaan: (A) (optelling): Voor α, β, γ F geldt (i) (commutatief) α + β = β + α, (ii) (associatief) α + (β + γ) = (α + β) + γ (iii) (nulelement) 0 F : α + 0 = α (iv) (tegengestelde) α F, β F : α + β = 0 2
(B) (vermenigvuldiging) Voor alle α, β, γ F geldt (i) (commutatief) αβ = βα (ii) (associatief) α(βγ) = (αβ)γ (iii) (eenheidselement) 1 F : 1 α = α (iv) (inverse) α F, α 0, β F : αβ = 1 (C) (distributieve eigenschap): Voor alle α, β, γ F geldt: α(β + γ) = αβ + αγ. 3
Voorbeelden: De volgende verzamelingen zijn ringen (maar geen lichaam): Z, R[s]. De volgende verzamelingen zijn lichamen: Q, R, C, R(s). R n n is geen lichaam en ook geen ring; vermenigvuldiging niet commutatief, en existentie van inverse is niet verzekerd. Z mod6 is wel een ring, maar heeft nuldelers: 2 3 = 0. Daarom is Z mod6 zeker geen lichaam. 4
Vectorruimte: Zij F en lichaam. Een vectorruimte over F is een verzameling V, waarop een optelling is gedefinieerd, en een scalaire vermenigvuldiging met elementen uit F. Voor twee vectoren x, y V wordt de som aangeduid door x + y, en voor α F en x V het scalaire veelvoud met αx. V is een vectorruimte over F indien optelling en scalaire vermenigvuldiging de volgende eigenschappen hebben: (1) Voor alle x, y V : x + y V (V is gesloten onder optelling). (2) Voor alle α F en x V : αx V (V is gesloten onder scalaire vermenigvuldiging). 5
(3) x + y = y + x voor alle x, y V (optelling is commutatief). (4) (x + y) + z = x + (y + z) voor alle x, y, z V (optelling is associatief). (5) Er is een vector 0 V zó dat x + 0 = x = 0 + x voor elke vector x V (existentie nulvector). (6) Voor alle x V is er een vector x V zó dat x + ( x) = 0 = ( x) + x (existentie van inverse ten aanzien van de optelling). 6
(7) α(x + y) = αx + αy en (α + β)x = αx + βx voor alle vectoren x, y V en scalairen α, β F (scalaire vermenigvuldiging is distributief). (8) (αβ)x = α(βx) voor elke vector x V en scalairen α, β F (scalaire vermenigvuldiging is associatief). (9) 1x = x voor elke vector x V (het eenheidselement van F is neutraal element ten aanzien van de scalaire vermenigvuldiging). 7
Voorbeelden: R, C R n, C n, in het algemeen: F n P, de verzameling van alle polynomen P n, de verzameling van alle polynomen van graad n {p P p(3) = 0}, de verzameling van alle polynomen met een nulpunt in 3, C[0, 1], alle continue functies op [0, 1]. De volgende verzamelingen zijn echter geen vectorruimte: alle polynomen met p(3) = 2 alle polynomen van graad 3 8
Eigenschappen van vectorruimten: Zij V een vectorruimte over F. Dan geldt: Als 0 een vector is met de eigenschap dat 0 + x = x voor alle x V, dan 0 = 0 (eenduidigheid van de nulvector). Als x + y = 0, dan y = x (eenduidigheid van de tegengestelde). Als z = z + z, dan z = 0. Voor elke vector x V geldt dat 0x = 0 en voor elke scalar α F geldt α0 = 0. 9
Voor elke vector x V en scalar α F geldt: α( x) = (αx) = ( α)x Voor elke vector x V geldt dat x = ( 1)x. Voor elke vector x V en scalar α F geldt αx = 0 dan en slechts dan als x = 0 of α = 0. 10
Lineaire combinaties: Een vector x V is een lineaire combinatie van vectoren x 1,..., x n V als er scalairen α 1,..., α n F bestaan zó dat x = n i=1 α i x i. De verzameling van alle lineaire combinaties van {x 1,..., x n } heet het lineair opspansel van {x 1,..., x n }, en wordt aangeduid met x 1,..., x n Als x x 1,..., x n dan heet x lineair afhankelijk van {x 1,..., x n }. Als S een verzameling vectoren uit V is, dan x S als er een eindig aantal vectoren x 1,..., x n S is zó dat x = n i=1 α ix i. 11
Deelruimten: Definitie: Een niet-lege deelverzameling M van een vectorruimte V over F is een deelruimte van V als M zelf vectorruimte over F is. Stelling: Een niet-lege deelverzameling M van een vectorruimte V is een deelruimte van V dan en slechts dan als aan de volgende twee eisen is voldaan: Als x, y M dan ook x + y M, Als α F en x M dan ook αx M. 12
Stelling: De doorsnede van een willekeurige collectie van deelruimten van een vectorruimte is zelf wederom een deelruimte. Gevolg: De doorsnede van twee deelruimten M en N is de grootste lineaire deelruimte, bevat in zowel M als N. Zij S V een deelverzameling van de vectorruimte V. De doorsnede van alle deelruimten die S bevatten heet de deelruimte opgespannen door S oftewel het opspansel van S. Stelling: Zij M V het opspansel van een verzameling S. Dan is M gelijk aan de verzameling van alle lineaire combinaties van elementen van S. 13
N.B. Als M 1 en M 2 deelruimten van V. Dan is M 1 M 2 niet noodzakelijkerwijs een deelruimte. Definitie: Zij M 1 en M 2 deelruimten van de vectorruimte V. Dan is de som van M 1 en M 2 gedefinieerd als M 1 + M 2 = {x 1 + x 2 x 1 M 1, x 2 M 2 }. Stelling: De som van twee deelruimten M 1 en M 2 van V is zelf weer een deelruimte van V, en M 1 + M 2 = M 1 M 2. In het bijzonder is M 1 + M 2 de kleinste deelruimte van V die zowel M 1 als M 2 bevat. 14
Modulaire regel: Zij M, N en P deelruimtes van vectorruimte V, en veronderstel dat M P. Dan geldt: P (M + N) = M + (P N) 15
Productruimte: Zij U en V vectorruimten over hetzelfde lichaam F. Dan is de productruimte W, notatie U V, de vectorruimte bestaande uit alle paren (x, y) met x U, y V met de volgende vectorruimte structuur: α 1 (x 1, y 1 ) + α 2 (x 2, y 2 ) = (α 1 x 1 + α 2 x 2, α 1 y 1 + α 2 y 2 ) 16
Zij U en V deelruimten van een vectorruimte W zo dat U V = {0} en U + V = W. Dan kan iedere w W op precies één manier geschreven worden als w = x + y met x U en y V. In dit geval heet W de directe som van U en V ; notatie W = U V. 17
Zij V = V 1 V 2 de product vectorruimte. Definieer M 1 = { (x 1, 0) x 1 V 1 } M 2 = { (0, x 2 ) x 2 V 2 } V is de directe som van de deelruimten M 1 en M 2, dat wil zeggen V = M 1 M 2. 18
Lineaire afbeeldingen: Definitie: Beschouw twee vectorruimten V en W over hetzelfde lichaam F. Een afbeelding T : V W heet lineair als voor alle u, v V en voor alle α, β F geldt: T (αu + βv) = αt u + βt v. Gevolg: T (0) = 0. De verzameling van alle lineaire afbeeldingen van V naar W wordt aangeduid met L(V, W ), en met L(V ) als W = V. 19
Stelling: Laat V, W vectorruimten zijn over F, en T : V W een lineaire afbeelding. Dan geldt: Als M een lineaire deelruimte is van V, dan is T (M) := {T v v M} een lineaire deelruimte van W. Als N een lineaire deelruimte is van W, dan is T 1 (N) := {v V T v N}. een lineaire deelruimte van V. 20
Beeldruimte en Nulruimte Definitie: Zij T : V W een lineaire afbeelding. De beeldruimte R(T ) van T wordt gedefinieerd door R(T ) = { T x x V }. De nulruimte N (T ) van T wordt gedefinieerd door: N (T ) = { x V T x = 0 }. Gevolg: R(T ) is een lineaire deelruimte van W, N (T ) is een lineaire deelruimte van V. 21
Lemma: Zij x 1, x 2 V, en T een lineaire afbeelding T : V W. Dan T x 1 = T x 2 dan en slechts dan als x 1 x 2 N (T ). Gevolg T injectief N (T ) = {0}. 22
Lemma: Zij T : V W een lineaire afbeelding. Voor y W is de vergelijking T x = y oplosbaar dan en slechts dan als y R(T ). Indien y R(T ), dan wordt de oplossingsverzameling van de vergelijking T x = y gegeven door: x p + N (T ) waarbij x p een (particuliere) oplossing is van T x = y. 23