Relativiteitstheorie van Einstein: Differentiaal Meetkunde Relativiteitstheorie van Einstein: Differentiaal Meetkunde... 1 1. Inleiding.... Meetkunde en gekromde oppervlakken....1 Gekromde oppervlakken betekent een andere geometrie... 3. Lijnelement... 4..1 Euclidische geometrie in een vlak... 5.. Ilustratie van de techniek op een niet-euclidische geometrie... 5.3 Embedding in Euclidische ruimte... 7 3. Manifolds... 9 1
1. Inleiding Als een deeltje onderworpen is aan een versnelling, dan is de wereldlijn niet lineair is maar krom. Deze wereldlijnen kunnen worden gezien als een set van nieuwe coordinaatassen die een gekromde ruimte opspannen waar dezelfde beweging nu gezien moet worden als een vrije beweging (zonder invloed van versnelling) die plaats vindt op dit oppervlak en die gedicteerd wordt door de kromming. Op die manier is het gelijkheidsbeginsel toegepast en is er een (globale) kracht weggetoverd door een waarnemer te laten meebewegen met het deeltje. In het vorige hoofdstuk over uniforme versnelling waren deze krommen hyperbolen die toevallig nog steeds in een vlak lagen. Maar voor andere transformaties is dit niet zo en we hebben dus een meer algemene ruimtelijke aanpak nodig. Daarbij is het volgende belangrijk in niet-vlakke meetkunde gelden andere wetten dan de bekende Euclidische wetten zoals de som van de hoeken van een driehoek is 180 en de omtrek van een cirkel is πr tensorrekening als een manier om los te komen van coordinaten. Meetkunde en gekromde oppervlakken Het zal niet verbazen dat in deze context meetkunde plots belangrijk wordt. Euclidische meetkunde maakt gebruik van elementen zoals punten, lijnen, vlakken en is gebaseerd op axiomas waar van het bekendste is dat er één en slechts één evenwijdige mogelijk is aan een rechte door een punt buiten die rechte. Descartes maakte de link met algebra waarbij punten voorgesteld werden door Cartesiaanse coordinaten met lineaire assenstelsels. De SRT gebruikt Lorentz frames om een situatie zonder zwaartekracht te beschrijven waarin deeltjes die eenmaal evenwijdig bewegen, dat ook blijven doen. Als zwaartekracht aanwezig is dan gaan ze echter naar elkaar toe bewegen of zich van elkaar verwijderen. Deze banen of wereldlijnen van vrij vallende deeltjes worden meetkundig gezien als zo recht mogelijke lijnen of geodeten en komen in de ART van de kromming. Meetkunde is echter ook mogelijk op gebogen oppervlakken. Een voor de hand liggend voorbeeld is boldriehoeksmeetkunde. Een punt op een bol (bijv de aarde) wordt voor een gegeven straal geidentificeerd via twee hoeken, een lengtegraad en een breedtegraad. Daar geldt niet het hogergenoemde axioma en dit heeft gevolgen, bijvoorbeeld dat de som van de hoeken van een driehoek groter is dan 180 graden. Men zou kunnen opmerken dat een gebogen oppervlak altijd voorgesteld kan worden in een Euclidische vorm, aangenomen dat men er een extra dimensie aan toevoegt Bijvoorbeeld, hoger genoemde boldriehoek ( dim) kan worden ingebed in een driedimensionale Euclidische ruimte. Een andere optie is om zo n niet-euclidische meetkunde axiomatisch op te bouwen, waarbij de axiomas anders gedefinieerd worden bijv. Het hoger genoemde axioma kan worden vervangen door twee evenwijdigen snijden elkaar altijd in punten.
Beide opties zijn niet te verkiezen omdat we naar willekeurige oppervlakken toe willen. Dit is ons doel omdat de gebogen oppervlakken vaak het resultaat zijn van een coordinaat transformaties die niet aan beperkingen onderworpen zijn. Hoe pakken we dit aan? Gelukkig bestaat er in de wiskunde een discipline genaamd differentiaalmeetkunde die zich hiermee bezig houdt. De verzameling punten die dit oppervlak voorstellen wordt een manifold genoemd. Een manifold is een topologische ruimte die lijkt op een Euclidische ruimte zolang de scope maar voldoende locaal is, d.w.z. zolang we over beperkte afmetingen praten. Hoe klein is klein genoeg? Als we experimenten doen en de accepteerbare fout is ε dan kunnen we de locale scope zo klein nemen dat de fout kleiner is dan ε, vergelijkbaar met de definitie van Weierstrass voor limieten en afgeleiden. Het idee is dat locaal elke kromme eeen rechte benadert. Op globaal niveau hebben we meerdere van deze Euclidische ruimtes met bijbehorende mappings nodig om de ganse manifold te bedekken. Manifolds kunnen worden gerangschikt naargelang de dimensie. Als de dimensie gelijk is aan 1 dan hebben we een curve (een lijn, een cirkel, ellips, hyperbool... of een willekeurige curve, cissoide,... niet noodzakelijk verbonden). Bij dimensie twee gaat het over een oppervlak (bijv een vlak, bol, torus, cylinder...) waarbij in elk punt een twee-dimensionale coordinaat-patch bestaat met een twee-dimensionaal coordinaat systeem. Figure 1 Een aardappel-achtig omwentelings oppervlak waarvoor het lijnelement gelijk is aan ds =a (d θ +f (θ)dφ ) waarin f(θ) = sin(θ ) (1-0.75sin (θ)) De vraag rijst dan Hoe specificeren of karakteriseren we dergelijke oppervlakken die bij manier van spreken - op een aardappel kunnen lijken? (zie Figuur 1) en Hoe doen we dat voor de bijhorende geometrie?.1 Gekromde oppervlakken betekent een andere geometrie Een vlakke Euclidische geometrie heeft enkele eigenschappen zoals de som van de hoeken van een willekeurige driehoek is gelijk aan 180 en de omtrek van een cirkel is ( π )r. Dit geldt niet meer op een gekromd oppervlak, bijvoorbeeld meetkunde op een bol (boldriehoeksmeting) waarbij een rechte tussen twee punten een deel is van een grote cirkel, en waarbij een driehoek wordt gevormd door intersectie van drie dergelijke rechten, en waarbij een cirkel gedefinieerd is als de meetkundige plaats van alle punten 3
die even ver verwijderd zijn (gemeten via het boloppervlak en volgens grote cirkels) van een middelpunt (dat eveneens op de bol ligt). (zie figuur ) Later blijkt dat de omtrek van een cirkel is gelijk aan ( π ) asin( r / a) en dat de som van de hoeken van een driehoek op een positief gekromd oppervlak zoals een bol groter is dan 180 maar op een negatief gekromd oppervlak dan weer net kleiner is dan 180... Kortom, een heel andere geometrie. r asin θ θ a φ Figure Een boloppervlak wordt gekarakteriseerd door twee variabelen, twee hoeken en de omtrek van een cirkel is ( π ) asin( r / a) waarin a de straal van de bol is en r de straal van de cirkel.. Lijnelement Het karakteriseren van willekeurige oppervlakken kan niet gebeuren aan de hand van toevallig gekozen coordinaten. Het moet daarentegen gebeuren aan de hand van fysisch invariante grootheden (d.w.z. onafhankelijk van de coordinaten) zoals afstanden, hoeken, oppervlaktes, etc.. In plaats van hier allemaal aparte invarianten voor te definieren kunnen we dit beperken tot eentje die als basis dient om de andere af te leiden. Daartoe definieren we een invariante grootheid op infintesimaal niveau namelijk een lijnelement ds, zijnde de afstand tussen nabij gelegen punten. Via integratie kunnen afstanden op een curve worden berekend, rechte lijnen zijn de kortste afstand tussen twee punten, hoeken zijn verhoudingen tussen booglengte en een straal, oppervlaktes en volumes kunnen worden berekend. Dit wordt bestudeerd in de differentiaal meetkunde. Via de specificatie van alle mogelijke verschillen tussen gebeurtenissen is het mogelijk het oppervlak volledig te specifiiceren, inclusief of het om een vlakke ruimte gaat of een gekromde. Bijvoorbeeld, stel dat de punten A,B en C gegeven zijn (Figuur ) en dat deze toevallig een gelijkzijdige driehoek vormen met elke zijde gelijk aan z. Stel verder dat we punt P willen specificeren. Als we de waarde z gelijk kiezen aan z/sqrt(3) dal liggen de vier punten in één vlak maar voor elke andere waarde creeren we een ruimtelijke constuctie. Het lijnelement of de metriek bevat alle informatie die we over het oppervlak nodig hebben. 4
A P B C Figure 3 Specificatie van een oppervlak door middel van de paarsgewijze specificatie van de verschillen Om het lijnelement te berekenen hebben we wel coordinaten nodig, d.w.z. een systematische manier om punten op de manifold te labellen. Het uiteindelijke meetkundige resultaat daarentegen kan niet afhankelijk zijn van deze keuze maar moet invariant zijn...1 Euclidische geometrie in een vlak Voor een eerste illustratie van het lijnelement doen we bewust een stap terug naar de vlakke geometrie van Euclides. Als we cartesische coordinaten kiezen is de afstand tussen de punten (x,y) en (x+dx,y+dy) gegeven door ds = dx + dy. Dit kan ook 1 0 x geschreven worden als ds = ( x y) waarbij de geometrie ook gekenmerkt 0 1 y wordt door het feit dat de eigenwaarden van de vierkante matrix allen positief zijn. We illustreren nu de integratieslag door de berekening van de omtrek van een cirkel (1 dim vlakke manifold). Bij deze integratie houden we rekening met de gekromde ruimte zijnde de cirkel. We berekenen de omtrek C via de lijnintegraal C = C = ds = + a a dx dx dy 1+ dx + dy + a a C = dx = πa a a x We kunnen nu hetzelfde overdoen met poolcoordinaten. Het lijnelement wordt dan ds = dr + r dϕ en de integratie geeft hetzelfde resultaat π C = ds = adϕ = πa.. Ilustratie van de techniek op een niet-euclidische geometrie 0 5
Stel dat we opnieuw een boloppervlak nemen. De afstand tussen nabije punten (θ, φ) en (θ +dθ, φ + d φ) wordt nu gegeven door ds = a ( dθ + (sin θ ) dϕ ) (zie Figuur 4) Opnieuw illustreren we de integratie stap aan de hand van een berekening van de cirkelomtrek. Echter een cirkel is nu gedefinieerd als de meetkundige plaats van de punten op de bol die even ver verwijderd zijn van een middelpunt dat eveneens op de bol ligt. Deze afstand wordt dus gemeten via een grote cirkel. De vergelijking van de cirkel wordt gegeven door θ = b waarbij b constant is. Het lijnelement wordt vereenvoudigd tot a sin(b) dφ. De integratie slag wordt dus ds = asin( b) dϕ = C = πa sin( b) (θ,φ) dφ adθ ds θ dθ asinθ a adφsinθ (θ+dθ, φ+dφ) Figure 4 Een boloppervlak en het lijnelement ds De afstand tot het middelpunt gemeten via het boloppervlak noemen we de straal r en die is gelijk aan r=ab. Eliminatie van b geeft het verband tussen omtrek en straal, namelijk C = πa sin( r / a). Besluit: een oppervlak wordt gespecificeerd door een lijn element. In de tabel enkele voorbeelden Dim type geometrie Figuur ds transformatie 1 Euclid Cartesisch planair ds = dx + dy Euclid Cartesisch spatieel ds = dx + dy + dz 1 Euclid Cirkel (vlak polair) ds = dr + r dϕ x =r cos(φ) y =r sin(φ) 1 Lorentz Hyperbool ds = dr + r dϕ x =r cosh(φ) t =r sinh(φ) Niet-Euclid Hyperbolische ds = dr + r dϕ + dz x =r cos(φ) Cylinder y =r sin(φ) z=z Niet-Euclid Bol ds = a ( dθ + (sin θ ) dϕ ) Sferisch polair ds = dr + r d θ +r sin d(θ)dφ x=rsin(θ)cos(φ) y=rsin(θ)sin(φ) (θ Tabel 1 Voorbeelden van lijnelementen 6
Enkele meer complexe voorbeelden Een algemener voorbeeld van een omwentelingslichaam wordt gegeven door ds = a ( dθ + f ( θ ) dϕ ). Het is niet triviaal om, gegeven het lijnelement, de figuur te achterhalen. Als we f(θ) = sin(θ ) dan wordt dit herleid tot de vorige situatie. Maar we kunnen ook een andere functie kiezen. ds = -dt + a (t)[ dx + dy + dz ] [Carrol] Dit beschrijft een universum dat op een gegeven tijdstip er uit ziet als een flat drie-dimensionele Euclidische ruimte, die expandeert als een functie van de tijd Schwartzschild ds = -(1-GM/r)dt +[1/(1-GM/r)]dr + r [d θ +sin (θ)dφ ] [Carrol] Het meest algemene -dimensionale lijnelement wordt gegeven door ds = f ( χ, ψ ) dχ + g( χ, ψ ) dχdψ + h( χ, ψ ) dψ.3 Embedding in Euclidische ruimte Het is belangrijk de gekromde ruimte te visualiseren in die gevallen dat het mogelijk is. Deze visualisering moet dan gebeuren via embedding in een 3D Euclidische ruimte en dat betekent dat het gekromde oppervlak een D geometrie moet hebben zoals, bijvoorbeeld een bol. Of, nauwkeuriger geformuleerd, we moeten in staat zijn om van de originele 4D structuur twee dimensies buiten beschouwing te laten zodat het visualiseren van de overblijvende twee dimensies een goede impressie geeft en inzicht verschaft over het originele 4D oppervlak. Er zal blijken dat dit typisch het geval is voor een axisymmetrische geometrie. Een voorbeeld kan dit beter uitleggen dan een algemene beschouwing. Een goed voorbeeld hiervoor is een wormhole waarvan het lijnelement gegeven wordt door ds = dt + dr + ( b + r )( dθ + sin θdϕ ) waarin b een constante is. Een eerste observatie is dat dit lijnelement niet afhangt van t. De geometrie kan dan ook zonder verlies van informatie gereduceerd worden tot een 3D slice dat correspondeert met een lijnelement waarbij de eerste term (-dt ) is weggelaten. De volgende stap is gebaseerd op de observatie dat het 3D slice een sferische symmetrie vertoont. Daarom kunnen we een snede maken van de gekromde ruimte met een vlak door het centrum waarbij we Θ constant houden, bijv een evenaarsvlak Θ=π/. We houden dan als vergelijking over ds = dr + ( b + r ) dϕ Dit heeft een rotatie symmetrische as omdat de vervanging van φ door φ + const geen invloed heeft. Dit kan dus gevisualiseerd worden. Dit gaat als volgt. We construeren een ander oppervlak met behulp van cylindrische coordinaten (ρ, ψ, z) zodat ds =d_cyl, met andere woorden zodat de geometrie dezelfde is. Voor cylindrische coordinaten geldt dat de metriek gekend is en gelijk is aan d _ cyl = dρ + ρ dψ + dz. Merk op dat dit een vlakke en geen gekromde ruimte is. 7
We moeten nu de verbanden leggen tussen beide coordinaat sets. We hebben de volgende functies nodig: z(r,φ), ρ(r, φ) en ψ(r,φ). Omwille van de rotatie symmetrie vallen deze functies uiteen in twee groepen die elk maar van één variabele afhangen, namelijk z(r), ρ(r) en ψ(φ)=φ. Het laatste is het gevolg van de rotatie symmetrie. Invullen in de metriek van de cylinder geeft dρ dz dρ dz d _ cyl = dr + ρ dψ + dr = + dr + ρ dϕ dr dr dr dr waaruit volgt dat ρ = r + b dρ dz dz r 1 + = 1 = 1 = dr dr dr r + b 1+ ( r / b) Na integratie vinden we z ( r) = b * arcsin h( r / b). Vervolgens kunnen we het oppervlak tekenen in cylindrische coordinaten. Daartoe zoeken we het verband tussen ρ en z. ρ ( r ) = b*cosh( z / b) Dit verband is getoond in de onderstaande figuur. z/b 3 1 r=0 r=5b r=10b -1 - -3 1 3 4 5 6 7 8 9 r=5b r=-10b Figure 5 Door deze figuur te wentelen om de z as wordt het volledig oppervlak gegenereerd. Dit oppervlak heeft dus dezelfde metriek als de constante tijd slice in het evenaarsvlak bij de wormhole. 8
Figure 6 Een 3D plot die de embedding toont van een (r,φ) slice van een wormhole. Het heeft de vorm van een trachter tussen twee vlakken boven en onderaan. 3. Manifolds Transformatie stussen verschillende stelsels/waarnemers spelen een centrale rol in de Relativiteitstheorie. In de Speciale Relativiteitstheorie zijn er stelsels/waarnemers (S(x,t) en S (ξ,τ) en bestaan er transformatie formules tussen beide, de Lorentz formules die lineair zijn. Maar in de Algemene Relativiteitstheorie is dit niet zo en hebben we te maken met kromlijnige of curvilineaire coordinaten. De enige overblijvende voorwaarde voor een coordinaat transformatie is dat je voor alle (x,t) punten in S een-eenduidig ξ en τ kunt bepalen en omgekeerd. Niet-lineaire functies zijn dus toegelaten. Stel dat we vertrekken van Cartesische coordinaten (x,y,z) die we transformeren naar willekeurige coordinaten waarvoor we de symbolen (x,y,z ) gebruiken die functies zijn van (x,y,z), dus x =x (x,y,z), y =y (x,y,z) en z =z (x,y,z). Opdat dit een geldige transformatie zou zijn moeten de inverse functies bestaan, dus x = x(x,y,z ), y = y(x,y,z ) en z = z(x,y,z ). De mapping van oude naar nieuwe coordinaten zijn bijecties en de Jacobiaan is verschillend van 0. De klassieke visie van Newton is gebaseerd op vectoren voor plaats, snelheid, versnelling etc... We nemen n assen die elkaar snijden in de oorsprong. Dan kunnen we op elke as 9
een basisvector definieren. Zij M een punt van de ruimte. Dit punt wordt nu geprojecteerd volgens de richting van de assen. Bijvoorbeeld, in een driedimensionale ruimte wordt een parallellepipedum geconstrueerd met als tegenovergestelde hoekpunten het punt M en de oorsprong. Een vector OM wordt gedefinieerd als een lineaire combinatie van basisvectoren OM = a 1 e 1 + a e + a 3 e 3 waarbij a i e i de componenten van de vector worden genoemd en a i we de coordinaten van de vector OM ten opzichte van de gegeven basis. In Cartesische systemen is er een set van basisvectoren gedefinieerd die over heel de ruimte constant zijn zowel in grootte als in richting. In meer algemene kromlijnige coordinaatsystemen is dit niet meer het geval en zijn de basisvectoren verschillend van punt tot punt. Meer nog, aangezien de ruimte gekromd is kunnen we alleen praten over infinitesimale vectoren aangezien ze anders buiten het oppervlak kunnen treden. In de relativiteitstheorie gaat het om tensoren. Tensoren zijn belangrijk omdat ze toelaten de geldigheid van uitspraken te generaliseren van één enkel coordinatenstelsel naar alle andere stelsels. Een tensor is een object dat gedefinieerd wordt op een differentieerbare varieteit (manifold) met n dimensies. Een varieteit is een topologische ruimte waarvan de belangrijkste eigenschap is dat ze erg lijkt op een Euclidische ruimte R n met n dimensies (hetzelfde aantal) op voorwaarde dat we een voldoende locale scope nemen. Voorbeelden van manifolds met dimensie 1 zijn een lijn of een cirkel en met dimensie een vlak of een bol. Een n-dimensionale manifold is dus een verzameling punten in de ruimte die 1 n identificeerbaar zijn via een set van coordinaten ( x, x, K x ) Deze coordinaten zijn niet uniek; er zijn verschillende mogelijkheden. Dit beschrijft dus de context voor de hoger genoemde coordinaattransformaties. Als er een bijkomende constraint opgelegd wordt dan beperken we de bereikbare punten tot een zogenaamd hyperoppervlak van dimensie n-1; met twee extra constraints noemt het een subruimte van dimensie n- etc... De combinatie van een manifold en een vector moet zorgvuldig benaderd worden. Immers vectoren kunnen, bij manier van spreken, het manifold oppervlak niet verlaten. De enige optie is om in elk punt P van de manifold een raakruimte T P te definieren. Deze vectoren zijn dus gebonden aan een bepaald punt P en kunnen als dusdanig geen verbinding vormen met andere punten. Alle vectoren in de raakruimte vormen een vector ruimte. We kunnen alle vectoren in de raakruimte vinden door elke curve door P die behoort bij de manifold te beschouwen en hieraan de raaklijn te vinden. 10