NETWERKEN EN FILTERS Rik Pintelon

NETWERKEN EN FILTERS Rik Pintelon Rik Pintelon, Brussel, oktober 5 Version 9 October 6

Inhoudstabel DEEL I: Analyse van Netwerken I a Lineaire Netwerken 4. Inleiding basiselementen 5.. Definities 5.. Ideale -poorten 6.3. Ideale -poorten 8.4. Ideale bronnen 9.6. Basisonderstellingen. Matriciële formulering van de KCL-, KVL- en VAL-wetten.. Inleiding.. Verband tussen een netwerk en een georiënteerde graf 3.3. KCL-wet 4.4. KVL-wet 6.5. VAL-wet 9.6. Samenvatting van de vergelijkingen 9.7. Verlagen van het aantal onbekenden.8. Overzicht van de vergelijkingen.9. Matriciële oplossing van netwerken.. Interpretatie van de methode van de knooppuntpotentialen 3.. Interpretatie van de methode van de maasstromen 6.. Uitbreiding van de methode van de knooppuntpotentialen 7.3. Uitbreiding van de methode van de maasstromen 33 3. De stellingen van Thévenin en Norton 36 3.. Probleemstelling 36 3.. Stelling van Thévenin 36 3.3. Stelling van Norton 38 3.4. Toepassing op een actieve kring 39 3.5. Toepassing op kringen die niet vanuit rust vertrekken 4 4. Studie van -poorten 43 4.. Definitie en basisvergelijkingen 43 4.. Canonieke voorstellingen van -poorten 45 4.3. Verband tussen canonieke vormen van -poorten 49 4.4. Schakelen van tweepoorten 5 4.5. Reciprociteit van tweepoorten 56 4.6. Schalingseigenschap van een impedantie en een transfer functie 58 4.7. Efficiënt berekenen van tweepoorten 6 5. Gevoeligheidsstudie van -poorten 6 5.. Definitie en eigenschappen van de gevoeligheid 6 5.. Analytisch berekenen van de gevoeligheid 63 5.3. Numeriek berekenen van de gevoeligheden. 63 5.4. Berekenen van de groepdoorlooptijd 68 6. Switched capacitor netwerken 7 6.. Inleiding 7 6.. Elementaire bouwstenen. 7 6.3. Oplossen van switched capacitor netwerken 76 6.4. Eigenschappen van switched capacitor filters 77

6.5. Vermogen dissipatie van een switched capacitor netwerk 79 I b Niet-lineaire Netwerken 8 7. DC- analyse van niet lineaire netwerken 8 7.. Definitie 8 7.. Voorbeelden van niet lineaire elementen 8 7.4. Oplossen van de basisvergelijkingen 84 7.5. Netwerk- interpretatie van de numerieke oplossingsmethode 85 8. Transiënt analyse van niet lineaire netwerken 94 8.. Inleiding 94 8.. De toestandsveranderlijke methode 94 8.3. De kompanionmethode Referentiewerken 3

DEEL I: ANALYSE VAN NETWERKEN I A LINEAIRE NETWERKEN 4

. Inleiding basiselementen.. Definities Een netwerk is een aaneenschakeling van éénpoorten, tweepoorten,, n-poorten, die symbolisch voorgesteld worden als: éénpoort: i u Voorbeeld: spoel, condensator, weerstand i tweepoort u i i u Voorbeeld: versterker i i u n-poort i i Voorbeeld: 3-fasige transformator i u i i n u n i n Een aantal ideale -poort en -poort elementen zullen verderop besproken worden. Een reële component zoals een batterij of een condensator bestaat uit een aaneenschakeling van ideale componenten. 5

.. Ideale -poorten Tijdsdomein Laplace-domein weerstand it R ut ut of Ri t Up RIp spoel it L ut ut L d it dt of Up LpIp i - condensator it C ut it C d ut dt Zoals uit de vergelijkingen in het Laplace-domein blijkt, bestaat er niet noodzakelijkerwijs een evenredig verband tussen de Laplace-getransformeerden van de spanning en de stroom. Bestaat er dan zoiets als een impedantie in het Laplace-vlak? Via de volgende equivalentie tonen we aan dat dit inderdaad zo is. i - of Ip CpUp u - ut it L i - Elektrisch equivalent it L jt j - ut ut u - it C Elektrisch equivalent We bewijzen de equivalentie voor de condensator, het bewijs voor de spoel wordt als oefening overgelaten aan de lezer. De werkingsvergelijkingen van het rechterschema zijn: vt v - u - it C ut it ut C d vt dt vt + u - Ip Up CpVp Vp u - + ------------ p () 6

Eliminatie van Vp in () geeft Ip u Cp Up - ------------ p CpUp u - wat het gestelde bewijst. We besluiten dat het begrip impedantie bestaat in het Laplace-domein indien alle beginvoorwaarden nul zijn. Indien niet, dan moet men eerst alle geladen condensatoren vervangen door een ongeladen condensator in serie met een DC-spanningsbron, en alle spoelen waardoor een stroom vloeit op t, vervangen door spoelen waardoor geen stroom vloeit op t met parallel daarover een DC-stroombron. R Impedantie R L Impedantie Lp C Impedantie ------ Cp Opmerkingen ) inschakelgedrag ideale - poorten: condensator reageert op een plotse stroomverandering als een kortsluiting it C d ut ut is een continue functie dt spoel reageert als een open klem op een plotse spanningsverandering ) ut L d it is een continue functie dt Reële spoel of Reële condensator 7

.3. Ideale -poorten De transformator i t M i t u t L L u t i - ; i - electrisch equivalent (als oefening) i t j t M j t i t u t i - L L i - u t Tijdsdomein u t L d i t + M d i t dt dt u t M d i t + L d dt i t dt Laplace-domein U p U p L pi p MpI p + MpI p L i - + Mi - + L pi p Mi - + L i - De gyrator i t r i t u t u t 8

Tijdsdomein u t u t ri t ri t Laplace-domein U p U p ri p ri p.4. Ideale bronnen a) onafhankelijke bronnen (spannings- en stroombronnen) E j Et b) gestuurde bronnen (4 soorten) soort bron. spanningsbron. spanningsbron 3. stroomsbron 4. stroombron soort stuurgrootheid spanning stroom spanning stroom In het eerste voorbeeld spreekt men van een spanningsgestuurde spanningsbron, vervolgens stroomgestuurde spanningsbron enz.5. Rekenen met impedanties: éénvoudige voorbeelden a) Voorbeeld : berekenen van de overgangsverschijnselen van de volgende kring t E R C ut u - E R C vt u - ut 9

Gebruik makend van de wet van de spanningsdeler vinden we de Laplace getransformeerde Vp van de spanning vt in het equivalent schema Vp Cp ---------------------------- E Cp + R -- u - p ------------ E u - ---------------------------- p prcp + Gezien Up Vp + u - p volgt hieruit het gezochte spanningsverloop ut () waarbij ut () L Up u - + E u - e t RC L de invers Laplace getransformeerde voorstelt. b) Voorbeeld : ingangsimpedantie van de gyrator belast met een condensator Ip r I p Zp Up U p C In de onderstelling dat de initiële condities nul zijn, en gebruik makende van de werkingsvergelijkingen van de gyrator, vinden we Zp Uit de vergelijking volgt dat een gyrator belast met een condensator zich gedraagt als een spoel met waarde r C. In deel van de cursus zullen we zien hoe een gyrator met behulp van operationele versterkers, weerstanden, en condensatoren kan gemaakt worden..6. Basisonderstellingen De volgende onderstellingen zullen veelvuldig gemaakt worden: lineariteit, tijdsinvariantie, passiviteit, geconcentreerde elementen. a) Lineariteit Up ri ----------- p Ip U -------------------- p r r I p -------------- r U p Cp r Cp Dit eist dat het netwerk vanuit rust vertrek (alle beginvoorwaarden zijn nul), zo niet heeft men GEEN evenredig verband tussen spanning en stroom. Let wel dat indien de beginvoorwaarden niet nul zijn de oplossing wel gevonden kan worden als de superpositie van lineaire deelproblemen. niet-lineair u lineair i (Opmerking: lineariteit in systeemtheorie houdt in feite evenredigheid in)

b) Tijdinvariantie Dit eist dat alle elementwaarden onafhankelijk van de tijd zijn: R, L, C, M, r, zijn constanten. c) Passiviteit Dit eist dat het netwerk op elk ogenblik niet meer energie teruggeeft aan de buitenwereld dan het ontvangen heeft. Voor een n-poort wordt deze eis vermogen p t n k u k i t k t t energie e t pt dt () Bijvoorbeeld voor een spoel wordt (): t et L d it it dt d t Li ------------- t Bewijs als oefening dat de weerstand, de condensator, de transformator en de gyrator passieve elementen zijn. d) Geconcentreerde elementen In deze cursus gaan we er vanuit dat de voortplantingssnelheid van de elektromagnetische golven oneindig groot is ( theorie van de geconcentreerde elementen). Deze onderstelling is zinvol indien de golflengte geassocieerd aan de hoogste frequentie in de signalen veel groter is dan de fysische afmeting van het netwerk. Voorbeeld : Voorbeeld : 8 c 3 m/s f GHz 3 cm 8 c 3 m/s f 5 Hz 6 km Indien de hypothese c niet opgaat krijgt men effecten die aan de hand van de theorie met geconcentreerde elementen niet kan verklaren, zoals golfvoortplanting, huideffect (skineffect) in geleiders enz (zie cursus elektromagnetisme).

. Matriciële formulering van de KCL-, KVL- en VAL-wetten.. Inleiding Het doel is om tot een matriciële formulering te komen van de 3 basisvergelijkingen van een netwerk: ) KCL- wet (Kirchoff current law) i i i i i 3 Som van de stromen naar een knoop (doorsnede) toe. ) KVL-wet (Kirchoff voltage law) i 3 u u u u u 3 + u 4 u 4 u 3 Som van de spanningen in een gesloten lus. 3) VAL - wet (volt- ampère law) Ip Zp Up Ep Up Zp Ip Ep Daar waar de KCL en KVL-wetten geldig zijn voor zowel lineaire als niet-lineaire netwerken, drukt de VAL-wet het lineaire gedrag van het netwerk uit.

.. Verband tussen een netwerk en een georiënteerde graf We voeren de equivalentie tussen een netwerk en een georiënteerde graf, en een aantal definities in via een voorbeeld, namelijk een brugschakeling. I 3 U I 5 U3 I Z Z3 U 5 Z 5 I I 4 U Z 4 Z U 4 t t 3 t 5 3 3 4 t t 4 6 I 6 Z 6 t 6 U 6 Netwerk Definities en conventies E 6 Figuur Geörienteerde graf n + totaal aantal knopen in het netwerk n 3 t aantal takken in netwerk n 6 boom verzameling van takken zodanig dat er tussen willekeurig gekozen knopen slechts pad bestaat dat hen verbindt. Dit moet opgaan voor elk gekozen knopenpaar ( boom t t 3 t 5 ) twijg tak die tot de boom behoort t t 3 t 5 liaan tak die niet tot de boom behoort t t 4 t 6 3

fundamentele lus lus die ontstaat door bij een boom een liaan toe te voegen t t t 5 orientatie tak zin van de stroom door de tak I t vector van de takstromen I I Merk op: Een boom bevat precies n twijgen Er zijn bijgevolg Er zijn lianen in een netwerk fundamentele lussen in een netwerk De georiënteerde graf bevat alle informatie i.v.m de stroomzin en spanningszin van alle takken van het netwerk. De enige informatie die ontbreekt is het verband spanning/stroom in elke tak. We kunnen dus niet verwachten dat de georiënteerde graf de VAL- wetten zal kunnen beschrijven..3. KCL-wet t n U t vector van de takspanningen U t n a) De verbindingsmatrix of schakelmatrix A is een n + t matrix voorbeeld: de brugschakeling (zie Figuur..) A I 6 U U 6 ij a ij A i t j en pijl naar knoop i t j en pijl uit knoop i t j A 3 t t t 3 t 4 t 5 t 6 (3) b) AI beschrijft de KCL- wetten in alle knopen. 4

Bewijs (aan de hand van een voorbeeld) t q i t r t s Geörienteerde graf de i -de rij van AI is a ik I k k Een term van deze som is enkel verschillend van nul indien de knoop i tot tak t k behoort. (4) herleidt zich dus tot a I is s + a I ir r + a I iq q t a ik (4). Dit betekent dat Nu is a is, a ir, a iq zodat I s + I r I q of I s I r + I q c) wat precies de KCL- wet is uitgedrukt in knoop i. ranga n We zullen aantonen dat er precies n netwerk. lineaire onafhankelijke KCL- wetten zijn in een Bewijs: Het bewijs gebeurt in stappen. Eerst tonen we aan dat ranga n, nadien tonen we aan dat ranga n waaruit we dan besluiten dat ranga n. Deel : bewijs, ranga n. We stellen de schakelmatrix A op waarbij we de kolommen van A zodanig schikken dat eerst de twijgen voorkomen en nadien de lianen. Dit houdt in dat we een boom gekozen hebben. t w t w t w3 t wn t l t l t lt n n????????? De matrix wordt als volgt opgebouwd. Kies eerst een referentieknoop vertrekt een twijg t w en komt toe in een knoop die we nummeren.. Hieruit t w 5

Vanuit knoop of knoop moet er een andere twijg t w van de boom vertrekken (zo niet hebben we geen boom), bijvoorbeeld: t w t w of t w t w Twijg t w verbindt dus knoop met knoop of. We gaan zo verder totdat alle twijgen opgebruikt zijn. Dit levert een driehoeksmatrix op voor de n eerste kolommen en n eerste rijen van de A matrix met op de nevendiagonaal enkel. Bijgevolg is ranga n. Deel bewijs, ranga n. Gezien een tak juist knopen met elkaar verbindt is de som van alle elementen van een kolom van A (zie bijvoorbeeld (3)). Bijgevolg zijn de rijen van A lineair afhankelijk en dus ranga n + of ranga n wat het gestelde bewijst. d) Besluit Er zijn juist n lineair onafhankelijke KCL-vergelijkingen. Daarom beperkt men het aantal rijen van de A matrix tot n. Dit houdt in dat men de KCL-wet in de referentieknoop niet uitdrukt (is lineair afhankelijk van alle andere). Voor de éénvoud gaan we ook onderstellen dat er geen ideale stroombronnen aanwezig zijn in het netwerk; indien wel dan zouden een aantal van de takstromen gekend zijn. Achteraf gaan we die beperking opheffen..4. KVL-wet a) De kringenmatrix B B heeft t kolommen en een aantal rijen dat overeenkomt met het totaal aantal lussen dat gevonden kan worden in het netwerk. t j i en takzin zin kring B ij b ij t j i en takzin zin kring t j i voorbeeld: de brugschakeling (zie Figuur..) Kies als boom t t 3 t 5 dan krijgen we als fundamentele lussen, 4 en 6. t t 5 t, 4 t 4 t 5 t 3, en 6 t 6 t t 3. De B matrix gebouwd op deze fundamentele lussen is dan 6

B 4 6 t t t 3 t 4 t 5 t 6 b) BU beschrijft de KVL-wetten in alle lussen Bewijs (aan de hand van een voorbeeld) U r t r i t s t q U s U q de i -de rij van BU is t b ik U k k Een term van deze som kan enkel verschillend van nul zijn indien betekent dat tak tot lus behoort. (5) herleidt zich dus tot t k i b ir U r + b iq U q + b is U s b ik (5). Dit Nu is b ir, b iq, b is zodat U r + U q U s of U r U q + U s c) wat juist de KVL-wet is uitgedrukt in lus. i rangb t n We tonen aan dat er juist t n lineair onafhankelijke KVL-wetten bestaan in een netwerk. Bewijs: Het bewijs gebeurt in stappen. Eerst tonen we aan dat rangb t n. Nadien bewijzen we dat rangb t n zodat we kunnen besluiten dat rangb t n. Deel, rangb t n. Hier maken we gebruik van de stelling van Sylvester: indien PQ met P r s en Q s q dan rangp + rangq s (zie cursus lineaire algebra) 7

We zullen aantonen dat AB T waaruit dan volgt dat (stelling van Sylvester) Gezien ranga n ranga+ rangb t volgt hieruit dat rangb t n Het element op de i -de rij, j -de kolom van AB T is AB T ij a ik b jk k Een term uit deze som is verschillend van indien a ik b jk t i t k t k j i t k j Gezien j een lus vormt bestaat er dus een tak t k die knoop i raakt (anders kan de lus nooit gesloten worden). t i i t k j Gevolg: er bestaat een e term in de som, namelijk a il b jl, die verschillend is van van nul. De som van deze termen is nu gelijk aan: a ik b jk + a il b jl + De lezer kan als oefening nagaan dat dit resultaat onafhankelijk is van de gekozen takzinnen t l, t k en de gekozen kringzin j. Deel, rangb t n. Via het opbouwen van B aan de hand van fundamentele kringen tonen we aan dat er ten minste t n onafhankelijke lussen bestaan. We kiezen een boom en schikken de kolommen van B zodat de lianen eerst voorkomen. B 3 t n t l t l t l3 t lt n t w t w t wn? 8

Gezien de definitie van een fundamentele lus is het duidelijk dat liaan t lj enkel tot kring j behoort en niet tot de andere fundamentele lussen. Dit verklaart de identiteitsmatrix voor de t n eerste kolommen van B. De rang van de aldus opgebouwde matrix is t n. Daar er nog andere onafhankelijke lussen kunnen zijn volgt hieruit dat rangb t n..5. VAL-wet Het verband spanning - stroom van tak t k is I k Z k p E k U k Z k I k E k U k Indien er (mutuele) koppelingen bestaan tussen de takken moeten we dit verband uitbreiden tot: U k Z k I k + Z kl I l t l l k E k (6) waarbij Z kk Of in matrix gedaante waarbij Z k Z kl M kl p in geval van mutuele koppelingen. Invoeren van de definitie laat toe (6) te herschrijven U k.6. Samenvatting van de vergelijkingen l De matriciële vorm van de 3 wetten luidt t Z kl I l U ZI E Er zijn dus t vergelijkingen en t onbekenden (alle takstromen en takspanningen) Voor de brugschakeling (zie Figuur,..) geeft dit een stelsel wat reeds vrij groot is voor een éénvoudig netwerk. Gezien we meestal nooit in alle takspanningen en/ of takstromen geïnteresseerd zijn loont het dus de moeite om na te gaan of we het aantal onbekenden niet beduidend kunnen verlagen. Dit is het doel van de volgende paragraaf. E k Z t t tak impedantiematrix E t vector van de tak spanningsbronnen KCL: AI (n vergelijkingen) KVL: BU (t n vergelijkingen) VAL: U ZI E (t vergelijkingen) 9

.7. Verlagen van het aantal onbekenden a) De knooppuntpotentialen vormen een basis voor de takspanningen: U A T V n waarbij V n n vector van de knooppuntpotentialen Bewijs: beschouw de k -de rij van A T U n A T V n k a lk V l n l a ik V i + a jk V j V i + V j i t k U k j U k Voorbeeld, de brugschakeling (zie Figuur,..) heeft 6 takken ( knopen ( n 3 ) zodat we van 6 naar 3 onbekenden gaan. b) De liaanstromen vormen een basis voor de takstromen I B T I l t 6 ) en 3 vrije waarbij I l t n vector van de liaanstromen Bewijs: we vertrekken van de KCL-vergelijkingen AI Deze worden zodanig geschikt dat twijgen lianen I tw A tw A l I l (7) Met A tw n n reguliere matrix A l n t n matrix I tw n vector van de twijgstromen I l t n vector van de liaanstromen ( det A bewijs, zie Uitwerken van (7) geeft of A tw I tw + A l I l I tw A tw A l I l

Zodat I A tw A l I l I l A tw A l I l I t n Waarbij I t n een t n t n identiteitsmatrix is. Nu moeten we nog aantonen dat de matrix in het rechterlid in (8) precies B T is. Om dit aan te tonen maken we gebruik van AB T : (8) A tw A l T B tw B l A tw A l B tw T B l T (9) (9) laat toe om B T te schrijven als A tw BT tw + A l BT l BT tw A tw A l BT l B T A tw A l B l I t n Via een geschikte nummering (zie bewijs,.4.c) is I B T I l B l I t n () zodat (8), (9) leidt tot.8. Overzicht van de vergelijkingen De KCL-, KVL- en VAL-wetten vormen een t t stelsel van vergelijkingen AI BU U ZI E Het aantal onbekenden ( t ) wordt sterk gereduceerd door de volgende betrekkingen: U A T V n () I B T I l namelijk van t naar t. Indien we nu enkel geïnteresseerd zijn in de knooppuntpotentialen, kunnen we dan de liaanstromen elimineren in (), of omgekeerd, indien we enkel wensen, kan dan geëlimineerd worden? I l V n De volgende paragraaf geeft een antwoord op deze vragen. Merk op dat we nog steeds onderstellen dat er geen ideale stroombronnen aanwezig zijn in het netwerk; een beperking die later zal weggewerkt worden. ()

.9. Matriciële oplossing van netwerken a) Methode van de knooppuntspotentialen We wensen hier tot een stelsel in te komen. Manipulatie van de VAL-wet geeft: Z U Z ZI Z AZ U AI AZ E Rekening houdend met de KCL-wet ( AI ) wordt dit: AZ U AZ E Of nog () V n E AZ A T V n AZ E We definieren AZ A T Y n knoopadmittantiematrix AZ E J n knoopstroombronvector zodat Y n V n J n (n n stelsel) (3) Opmerking: bij het afleiden van (3) hebben we stilzwijgend ondersteld dat Z Y bestaat. Dit houdt in dat het netwerk geen ideale transformatoren bevat noch ideale spanningsbronnen ( spanningsbronnen met uitgangsimpedantie ). Achteraf zullen deze beperkingen weggewerkt worden. b) Methode van de maasstromen (lusstromen) We wensen een stelsel in I l op te stellen. Hiertoe moeten we V n in (), () elimineren. Vermenigvuldig daartoe de VAL-wet links met B : BU BZI BE Rekening houdend met de KVL-wet wordt dit BZI BE Of nog (): BZB T I l BE (4) We definieren BZB T BE I l Z m kringimpedantiematrix E m kringspanningsbronvector I m vector van de lus- (maas-)stromen Zodat Z m I m ( t n t n stelsel) E m

Opmerking: Bij het opstellen van (4) hebben we stilzwijgend ondersteld dat Z bestaat. Dit is niet het geval voor netwerken die bijvoorbeeld ideale stroombronnen ( bronnen met uitgangsimpedantie ) bevatten. Achteraf zal deze beperking weggewerkt worden... Interpretatie van de methode van de knooppuntpotentialen Om Y n en J n te interpreteren zullen we een bijkomende onderstelling moeten invoeren, namelijk dat Z diagonaal is. Dit sluit koppelingen tussen verschillende takken uit. Achteraf zal deze beperking weggewerkt worden. a) de knoopadmittantiematrix Y n AZ A T Het element op de i -de rij, j -de kolom van Y n is ( Z Y ) t Y n ij a ik Y kl a jl k l t a ik a jk Y k Y kl Y k kl k voor een hoofddiagonaalelement ( i j ) wordt dit: t Y n ii a ik k Y k Een term uit deze som is verschillend van nul indien knoop i moet raken. Bijvoorbeeld: t k t t 3 i a ik, wat betekent dat tak t Y n ii Y + Y + Y 3 Y + Y + Y 3 Hieruit volgt regel : ii som van de admittanties van de takken die knoop i raken Y n voor een niet- diagonaal element ( i j ) krijgen we: 3

t Y n ij a ik a jk Y k k Een term uit deze som kan enkel verschillend van nul zijn indien a ik a jk i, j t k i t k j a ik a jk Dit laatste resultaat is onafhankelijk van de gekozen takzin t k. We besluiten dat enkel de takken gelegen tussen knopen i en j een bijdrage hebben tot de som. Hieruit volgt regel : Y n i (som van de admittanties van de takken gelegen tussen j knopen i en j ) b) De knoopstroombronvector J n AZ E. Het i -de element van de vector J n is: t J n i a ik Y kl E l k l t k a ik Y k E k Y kl Y k kl Een term uit deze som kan enkel verschillend van nul zijn indien a ik en E k d.w.z. er moet een tak t k bestaan die knoop i raakt en bovendien een spanningsbron bevat. Bijvoorbeeld: i i j t k I k Z k Ek Geörienteerde graf Netwerk (merk op dat E k positief gerekend wordt indien bij het kortsluiten van de tak de stroom in de takzin doet vloeien) Zodat a ik en dus de bijdrage tot J n gelijk is aan i 4

Y k E k. Dit is precies de stroom geïnjecteerd in knoop i door de stroombron van het Norton equivalent van de tak: E k Z k Z k i I k Thévenin E k i Norton Hieruit volgt regel 3: J n i som van de stromen geïnjecteerd in knoop i door de stroombronnen. De bijdrage wordt positief gerekend indien de stroom in de knoop vloeit. Ze wordt negatief gerekend indien ze uit de knoop vloeit. Opmerking: om regel 3 toe te passen moeten we dus eerst het Norton equivalent van alle spanningsbronnen tekenen. Dit gaat niet voor ideale spanningsbronnen, wat meteen de opgelegde beperking verklaart. c) Voorbeeld, de brugschakeling (zie Figuur,..) Y n J n Y Y + Y 3 + Y 5 Y 3 Y + Y + Y 6 Y Y 6 Y 6 E 6 Y 6 Y 3 Y 3 + Y 4 + Y 6 Y 6 E 6 Oefening: stel de schakelmatrix A op en bereken Y n, J n via de definities in (3). d) Besluit Het is dus niet nodig om A op te stellen en via de definities (3) Y n, J n uit te rekenen. Met behulp van de 3 regels kunnen we en rechtstreeks uit het netwerk halen. Y n e) Opmerking We kunnen de methode van de knooppuntpotentialen rechtstreeks uit de KCL-wet van een knoop halen: J n Z I I I 3 Z 3 4 E Z 3 KCL in : I + I + I 3 5

Nu is I Y V V I Y V 3 V I 3 Y 3 V 4 V + E Zodat Y V V + Y V 3 V + Y 3 V 4 V + E Uitwerken geeft: Y + Y + Y 3 V Y V Y V 3 Y 3 V 4 Y 3 E wat precies overeenkomt met de eerste vergelijking van Y n V n J n. Het probleem met deze afleidingsmethode is dat ze geen informatie geeft over de rang van het stelsel. De lange afleidingsmethode bewijst dat Y n V n J n een regulier stelsel is... Interpretatie van de methode van de maasstromen Ook hier moeten we onderstellen dat Z diagonaal is. Dit sluit bijvoorbeeld transformatoren uit. Achteraf zal deze beperking weggewerkt worden. a) De kringenimpedantiematrix Z m BZB T Regel Z m ii som van de impedanties die men tegenkomt bij het doorlopen van kring i. Regel Z m ij i j som van de impedanties gemeenschappelijk aan kringen i, j. De impedantie wordt positief gerekend indien beide kringen ze in dezelfde zin doorlopen. Zoniet is de bijdrage negatief. b) De kringenspanningsbronvector Regel 3 E m i som van de spanningsbronnen die men tegenkomt bij het doorlopen van kring i. De bijdrage is positief indien kring en spannningsbron dezelfde zin hebben. Zoniet is de bijdrage negatief. Het bewijs van deze 3 regels wordt als oefening overgelaten aan de lezer (bewijsvoering is analoog aan deze in..) c) Voorbeeld, de brugschakeling (Figuur,..) met als boom E m BE t t 3 t 5 Z Z 5 Z + + Z 5 Z Z m 4 Z 5 Z 4 + Z 5 + Z 3 Z 3 E m 4 4 6 6 Z Z 3 Z 6 + Z + Z 3 E 6 6 Oefening stel de kringenmatrix B op en bereken Z m, E m via de definities in (4). d) Besluit 6

Het is dus niet nodig om B op te stellen en via de definities (4) Z m, E m uit te rekenen. Met behulp van de 3 regels kunnen we en rechtstreeks uit het netwerk afleiden. Z m E m.. Uitbreiding van de methode van de knooppuntpotentialen Om tot de 3 de regels te komen om Y n, J n rechtstreeks uit het netwerk af te leiden hebben we de volgende onderstellingen gemaakt: ) Er zijn geen ideale stroombronnen in het netwerk (alle takstromen zijn ongekend). ) Er zijn geen ideale spanningsbronnen, noch ideale transformatoren in het netwerk ( Z bestaat). 3) Er bestaan geen (mutuele) koppelingen tussen de takken van het netwerk ( Z is diagonaal). Deze beperkingen worden nu één voor één weggewerkt. a) Ideale stroombronnen Indien het netwerk ideale stroombronnen bevat dan zijn er evenveel takstromen in de vector I gekend als er stroombronnen zijn. De KCL-vergelijkingen in () moeten dan herschreven worden als A'I ' J (5) met A' de n t' schakelmatrix van het netwerk waarbij de stroombronnen verwijderd zijn, I ' de vector van de onbekende takstromen (alle takstromen van het netwerk zonder de ideale stroombronnen), t' t aantal ideale stroombronnen, en J een n vector die de bijdragen van de ideale stroombronnen tot de KCL-vergelijkingen bevat. De bijdrage van een ideale stroombron wordt positief gerekend in (5) indien de stroom in de knoop wordt geïnjecteerd, zoniet is de bijdrage negatief. Vergelijking (5) wordt geïllustreerd met het onderstaande voorbeeld i i a i + a i + a 3 j met a a a 3 j a i + a i j Vervolgens worden de VAL-vergelijkingen in () uitgedrukt voor alle takken die geen ideale stroombron zijn. Dit geeft dan U ' ZI' E (6) 7

met U ' een t' vector van de takspanningen van het netwerk zonder de ideale stroombronnen, Z de overeenstemmende t' t' takimpedantiematrix, en E de overeenstemmende t' vector van de takspanningsbronnen. Het verband tussen U ' en de vector van de knooppuntpotentialen V n wordt gegeven door U ' A' T V n (7) Gebruik makende van (5) en (6) kunnen we Dit geeft I ' in (6) elimineren zoals in.9.a. A'Z A' TV J A'Z n E (8) wat een veralgemening is van (3). Merk op dat de bijdragen van de ideale stroombronnen in J op dezelfde wijze als A'Z E rechtstreeks uit het netwerk kunnen afgeleid worden. Dit volgt rechtstreeks uit het opstellen van de KCLvergelijkingen (5). b) Ideale spanningsbronnen Het probleem stelt zich wanneer er bijvoorbeeld een ideale spanningsbron tussen knopen i en j gelegen is. r I Z 3 i j I 3 I Ik I 4 Z 4 E k Figuur s De vergelijkingen die het netwerk in Figuur beschrijven zijn: KCL in i : I + I I k KCL in j : I k I 3 + I 4 VAL t k : E k V i + V j VAL t 3 : V j V r Z 3 I 3 VAL t 4 : V j V s Z 4 I 4 8

(alle andere KCL- en VAL-wetten blijven ongewijzigd). Eliminatie van vergelijkingen en van V j in de VAL-wetten geeft: KCL: I + I I 3 + I 4 VAL: V i V r Z 3 I 3 E k V i V s Z 4 I 4 E k I k in de KCL en de VAL- Deze vergelijkingen komen juist overeen met de KCL-wet in knoop wetten in takken t 3 en t 4 van het volgende netwerk. i Z 3 I I 3 r i E k E k I I 4 s Figuur 3 Z 4 De overgang van figuur naar figuur 3 noemt men de V-shift van een ideale spanningsbron. Dit komt wiskundig neer op het elimineren van de stroom door de ideale spanningsbron en van één van de knooppuntpotentialen van de tak waarin de bron zich bevindt. Een V-shift verlaagt het aantal onbekende knooppuntpotentialen met. Gezien de V-shift alle andere vergelijkingen ongewijzigd laat is de oplossing van het netwerk dezelfde (op, die geëlimineerd zijn na). Speciaal geval I k V j Z 3 E k Z 3 j E k j E k E k Z 3 j 9

c) (mutuele) koppelingen tussen de takken. Het idee bestaat erin om de vergelijkingen van de gekoppelde takken op te lossen naar de stromen. Vervolgens vervangt men de koppeling in het netwerk door spanningsgestuurde stroombronnen. c. De transformator M I I 3 U L L U met 4 U L pi + MpI U MpI + L pi Oplossen naar I, I onder de voorwaarde L L M geeft L M I ------U p ------U p L M I ------U p ------U p L ------ M V p V ------ V p 3 V 4 L ------ M V p 3 V 4 ------ V p V Waarbij dan L L M. Het elektrisch equivalent schema van de transformator is 3 I I 4 3

waarbij I, I door bovenstaande vergelijkingen functies zijn van V, V, V 3, en V 4. De spanningsgestuurde stroombronnen hebben geen rechtstreekse bijdrage tot Y n. Hun bijdrage tot is: J n J n I I I I L ------ M V p V + ------ V p 3 V 4 L ------ M V p V ------ V p 3 V 4 L M ------ V p 3 V 4 + ------ V p V L ------ M V p 3 V 4 ------ V p V J We zien nu dat een functie wordt van de onbekende knooppuntpotentialen. Deze n bijdragen moeten dus naar het linkerlid van de vergelijking Y n V n J n gebracht worden. Deze bijdrage in Y n is dan: 3 4 L ------ p L ------ p M ------ p ------ M p Y n L ------ p M ------ p L ------ p ------ M p ------ M p L ------ p M ------ p L ------ p 3 ------ M p M ------ p L ------ p L ------ p 4 Merk op dat de bijdrage tot c. De gyrator Y n symmetrisch is. r I I met U ri U U U ri 3 4 3

Oplossen naar I, I geeft: I --U r -- V r 3 V 4 I -- U r -- V r V Het elektrisch equivalent schema van de gyrator is dan: 3 I I waarbij I, I door bovenstaande vergelijkingen functies zijn van V, V, V 3, en. V 4 Oefening: bepaal de bijdrage van de gyrator tot de redenering van c.). d) Toepassing 4 We berekenen de transfer functie schakeling: Tp Yn V out p V in p matrix (aanwijzing: volg de van de volgende C 3 R R V in C OUT Z 3

De opamp in de schakeling is ideaal ( Z in, Z out, A ), zodat het netwerk kan hertekend worden als C 3 R R V in Z C V Toepassen van de V-shift op de ideale bron V out geeft: C R R V V V C Z in Oplossen van dit laatste netwerk via de Y n V n J n methode geeft: G + G + C p G G C p + G V G V in + C PV V of nog, na overbrengen van de onbekende V naar het linkerlid G + G + C p G C p G C p + G V V G V in V Oplossen van dit stelsel naar geeft na enig rekenen de volgende transfer functie ( V out V ) Tp -------------------------------------------------------------------------------- R R C C p + R + R C p +.3. Uitbreiding van de methode van de maasstromen Om tot de 3 regels te komen die toelaten Z m, E m rechtstreeks uit het netwerk af te leiden hebben we de volgende veronderstellingen gemaakt: 33

) Er zijn geen ideale stroombronnen in het netwerk ( Z bestaat) ) Er zijn geen (mutuele) koppelingen tussen de takken van het netwerk ( Z is diagonaal) Deze beperkingen worden als volgt weggewerkt. a) ideale stroombronnen Het probleem stelt zich wanneer er in een lus een ideale stroom voorkomt, bijvoorbeeld: Z Z Figuur 4 Dit netwerk is elektrisch equivalent met: J Z Z Het bewijs wordt als oefening overgelaten aan de lezer (aanwijzing: volg de redenering van de V-shift in..b) De overgang van Figuur 4 naar Figuur 5 noemt men de I-shift. Speciaal geval J J Figuur 5 E E E Z Z Z J J J J b) (mutuele) koppeling tussen de takken. Het idee bestaat er hier in om de vergelijkingen die de koppelingen beschrijven op te lossen naar de spanningen. Vervolgens vervangt men de koppelingen in het netwerk door stroomgestuurde spanningsbronnen, waarbij de stromen als functie van de maasstromen worden uitgedrukt. I m 34

b. De transformator M I I U L pi + MpI U L L U U MI p + L pi U U Oefening: bereken de bijdrage tot de Z m matrix in de onderstelling dat takken t, t lianen zijn ( I, I zijn liaanstromen) b. De gyrator r I I U U U ri U ri U U Oefening: bepaal de bijdrage van de gyrator tot Z m onderstellende dat I, I lianenstromen zijn. 35

3. De stellingen van Thévenin en Norton 3.. Probleemstelling Stel dat we het volgend netwerk moeten oplossen: Afhankelijke + onafhankelijke bronnen I x x U x Afhankelijke + onafhankelijke bronnen (a) Figuur 6 (b) en we enkel geïnteresseerd zijn in de spanningen en stromen van het rechterdeel (b). Om de berekeningen te vereenvoudigen zal men trachten het linkerdeel (a) te vervangen door een elektrisch equivalent schema. Dit is het achterliggende idee van de stellingen van Thévenin en Norton. De enige onderstelling die we hier maken is dat de vergelijkingen die het netwerk beschrijven lineair zijn. De stellingen zijn dus ook geldig voor lineaire verdeelde systemen zoals transmissielijnen, antennes, resonantiecaviteiten enz (zie cursus elektromagnetisme), en kunnen ook toegepast worden in de mechanica, de akoestiek, voor zover de systemen maar lineair zijn. 3.. Stelling van Thévenin We doen het volgende gedachtenexperiment: vervang het rechterdeel in Figuur 6 door een onafhankelijke stroombron I x Afhankelijke + onafhankelijke bronnen x U x I x (a) Figuur 7 Gezien alle vergelijkingen die het linkerdeel (a) beschrijven niet wijzigen en bovendien de stroom in het punt x dezelfde is als in het oorspronkelijk netwerk is de oplossing van het netwerk in Figuur 7 dezelfde als deze in Figuur 6 (wat betreft de spanningen en stromen van deel (a)). Nu passen we het superpositiebeginsel toe om het netwerk in Figuur 7 op te lossen. Dit principe zegt dat de oplossing kan berekend worden door de bijdrage van elke onafhankelijke bron apart te berekenen en deze deeloplossingen bij elkaar op te tellen. Het enige dat we hierbij eisen is dat de vergelijkingen lineair zijn. Matricieel kunnen we het superpositiebeginsel als volgt aantonen. Stel dat Cx b het netwerk beschrijft waarbij x de onbekende spanningen en stromen voorstelt, C een matrix functie van de netwerkelementen en de afhankelijke bronnen (zie..d), en b de vector die alle onafhankelijke bronnen bevat. 36

De vector b wordt opgesplitst in de bijdrage van de K onafhankelijke bronnen De oplossing van het netwerk onder invloed van De som van de deeloplossingen is wat de superpositiestelling bewijst. heten we We lossen nu het netwerk in Figuur 7 op door enerzijds de bijdrage van de onafhankelijke bronnen in (a) tot U x en anderzijds de bijdrage van de onafhankelijke stroombron tot apart te berekenen: I x Experiment : U x b K i b i x i C b i K K x i C b i i i b i C b x x i Afhankelijke + onafhankelijke bronnen U x (a) Experiment : Afhankelijke bronnen U x I x U x Z OUT I x (a) Gezien in experiment er slechts onafhankelijke bron aanwezig is, namelijk I x, moet de oplossing U x rechtevenredig zijn met deze stroom. Deze evenredigheidsfactor wordt, op het teken na, de uitgangsimpedantie van het deelnetwerk (a) genoemd. Z OUT De gezochte oplossing U x is nu gelijk aan de som van de spanningen uit de experimenten: U x U x + U x U x Z OUT I x 37

Men kan dit resultaat elektrisch als volgt voorstellen Z OUT I x U x U x waarbij U x de open klem spanning van het deelnetwerk (a) wordt genoemd. Figuur 8 is het Thévenin equivalent van deelnetwerk (a) uit Figuur 6 en wordt gekenmerkt door parameters:.. 3.3. Stelling van Norton Figuur 8 de uitgangsimpedantie Z OUT bekomen door in (a) alle onafhankelijke bronnen weg te laten de open klem spanning U x die wordt bekomen door de bijdrage van alle bronnen in (a) tot U x te berekenen bij een oneindig grote last in punt x van Figuur 6. Opmerking: ) een bron weglaten betekent de stroom van een stroombron op nul zetten ( vervangen door open klem) en de spanningen van een spanningsbron nul maken ( vervangen door een kortsluiting) ) in de superpositiestelling mag men de afhankelijke bronnen niet wijzigen, zoniet verandert men de C - matrix en geldt de stelling niet meer. Daarom komen de afhankelijke bronnen in beide experimenten voor. Op volledig dezelfde wijze toont men aan dat (als oefening) Afhankelijke + onafhankelijke bronnen I x U x (a) superpositie Afhankelijke + onafhankelijke bronnen I x Afhankelijke bronnen I x U x (a) I x I x + I x (a) 38

Met I x de kortsluitstroom van deelnetwerk (a) en I x U x ------------ Z OUT zodat I x I x ------------ Men stelt dit resultaat elektrisch voor als U x Z OUT I x I x Z OUT U x Figuur 9 is het Norton equivalent van deelnetwerk (a) uit Figuur 6 en wordt gekenmerkt door parameters:.. 3.4. Toepassing op een actieve kring Figuur 9 de uitgangsimpedantie Z OUT (zie stelling Thévenin) de kortsluitstroom I x die wordt bekomen door de bijdrage van alle bronnen in (a) tot I x te berekenen wanneer een kortsluiting in punt x wordt aan gebracht. We beschouwen de volgende actieve kring R R E Z i Z R L V L Figuur waarbij de opamp de volgende karakteristieken heeft Z i ; Z R en de winst A is eindig. We zullen de spanning V L over de weerstand R L op manieren bereken: eerst door het volledige netwerk via de Y n V n J n methode op te lossen, en 39

vervolgens door de stelling van Thévenin toe te passen op het linkerdeel van het netwerk gezien vanuit knoop. a) Volledig oplossen van het netwerk Het equivalent schema van de actieve kring is R R R E R L AV met als overeenstemmende Y n V n J n vergelijkingen G + G G G G + G + G L V V G E G AV of nog G + G G G + G A G + G + G L V V G E Oplossen van dit stelsel via de methode van Cramer geeft: G EG G A V L V ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- G + G G + G + G L + G G + G A (9) b) Toepassen van de stelling van Thévenin Hier moeten we eerst de volgende parameters berekenen: de open klem spanning in knoop en de uitgangsimpedantie Z OUT. Voor de open klem spanning moeten we het volgende netwerk oplossen R R V E R AV De oplossing van dit netwerk vinden we onmiddellijk als speciaal geval van (9) waarbij of G L, zodat R L 4

V G EG G A ------------------------------------------------------------------------------------------------ G + G G + G + G G + G A () De uitgangsimpedantie Z OUT vinden we door de spanningsbron E kort te sluiten ( E stellen) en door een stroom j in knoop te injecteren: R R R j AV V De verhouding ----- is dan de gezochte uitgangsimpedantie. Toepassen van de j Y n V n J n methode geeft G + G G G G + G V V j G AV of nog G + G G G + G A G + G V V j We vinden V Z OUT ----- j Tenslotte vinden we de gezochte spanning G + G ------------------------------------------------------------------------------------------------ G + G G + G + G G + G A V L in Figuur als oplossing van () Z OUT V R L V L V L R L Z ------------------------ OUT + R V ---------------------------- V L + G L Z OUT () Het is eenvoudig om na te gaan dat substitutie van () en () in () resultaat (9) levert. 4

3.5. Toepassing op kringen die niet vanuit rust vertrekken Beschouw een spoel waarbij i -. In.. op blz. 6 hebben we aangetoond deze spoel elektrisch equivalent is met een spoel waarbij op tijdstip t geen stroom doorvloeit met parallel daarover een DC stroombron van i - i - ut it L i - elektrisch equivalent it L jt j - ut Gebruik makend van de Stelling van Thévenin, toon aan dat het elektrisch equivalent schema kan geschreven worden als i - vt Li - t it L jt j - ut elektrisch equivalent it L ut waarbij Vp Ip Lp, en met t de Dirac functie (Aanwijzing: werk in het Laplace domein). Hoe kan je het resultaat Vp Ip Lp verklaren, gezien i -? Ga analoog te werk voor de geladen condensator ut u - it C elektrisch equivalent vt v - u - it C elektrisch equivalent ut Cu - t it jt ut C waarbij Up Jp Cp (verklaar!). 4

4. Studie van -poorten 4.. Definitie en basisvergelijkingen Beschouw het volgende netwerk I I U U Deze schakeling wordt een tweepoort genoemd indien er geen onafhankelijke bronnen in het netwerk aanwezig zijn. Dit houdt in dat het netwerk vanuit rust moet vertrekken (alle beginvoorwaarden zijn nul). U, U en I, I worden respectievelijk de poortspanningen en de poortstromen genoemd. We zullen aantonen dat voor elke -poort er lineaire homogene vergelijkingen in deze poortgrootheden bestaan. a) Stelling: voor elke tweepoort bestaan er lineaire homogene vergelijkingen in I, I, U, U I + I + U + U (3) I + I + U + U waarbij de coefficiënten i, i, i, i, i enkel functie zijn van wat er in de -poort zelf zit (en dus onafhankelijk van wat er extern aan beide poorten wordt aangesloten). Bewijs: we lossen de -poort op met de Z m I m zodanig dat de externe spanningsbronnen lianen zijn E m methode en kiezen een boom I I U U We krijgen, nadat we de invloed van de afhankelijke bronnen naar het linkerlid hebben gebracht, I U Z m I I 3 I t n U Dit stelsel kan opgesplitst worden in de onbekenden die ons interesseren, namelijk en I, en de onbekenden die we wensen te elimineren, namelijk I 3, I 4,, I t n : I 43

U Z m Z m Z m Z m I I Ĩ U (4) waarbij Z m een matrix is, Z m t n t n, t n, Z m t n en Ĩ t n. Stelsel (4) wordt herschikt als Z m Z m I I Z m I I + Z m Ĩ + Z m Ĩ U U Eliminatie van Ĩ in dit stelsel levert Z m Z m Z m Z m I U I U wat de stelling bewijst. Z m b) Opmerking: in het bewijs hebben we stilzwijgend ondersteld dat regulier is. Dit is niet zo voor elke -poort. In dat geval moet de stelling aangetoond worden via de Y n V n J n methode losgelaten op: I U U I Dit wordt als oefening overgelaten aan de lezer. c) Bijzondere gevallen. als t n dan blijft de redenering opgaan met Ĩ 44

. als t n dan gaat de redenering niet meer op I Z I U U De lineaire homogene vergelijkingen zijn in dit geval: I I U U ZI 4.. Canonieke voorstellingen van -poorten Al naargelang de wijze waarop de poortgrootheden I, I, U en U geschikt worden in de lineaire homogene vergelijkingen (3), onderscheidt men de verschillende zogenaamde canonieke vormen. a) Z -parameters We schrijven de poortspanningen als functie van de poortstromen U Z Z I U Z Z I (5) waarbij Z, Z, Z en Z de zogenaamde Z -parameters zijn. Z en Z hebben een éénvoudige fysische betekenis. Inderdaad, uit (5) volgt onmiddellijk dat U Z ------ I I U Z ------ I I m.a.w. Z is de ingangsimpedantie van de -poort bij open uitgang ( I ) Z terwijl Z de uitgangsimpedantie is van de -poort bij open ingang ( I ) Z 45

Z en Z zijn dus fysische impedanties. De koppelparameters Z en Z zijn fysisch moeilijker te interpreteren daar ze het resultaat van de deling van verschillende poortgrootheden zijn: U Z ------ I I U I U Z ------ I I I U Het volgende equivalent schema I Z Z I U Z I Z I U toont duidelijk aan dat Z de invloed van poort op poort weergeeft en Z de invloed van poort op poort. Voorbeeld Z Z Z 3 Z Z + Z 3 Z Z + Z 3 Z Z Z 3 Opmerking: voor actieve kringen gaat in het algemeen Z Z. Bijvoorbeeld, een versterker ontwerpt men zodanig dat poort volledig bepaald wordt door poort, terwijl poort geen invloed heeft op poort ( Z ). b) Y -parameters We schrijven de poortstromen als functie van de poortspanningen I Y Y U I Y Y U (6) 46

waarbij Y, Y, Y en Y de zogenaamde Y -parameters zijn. Y en Y hebben een éénvoudige fysische betekenis. Inderdaad, uit (6) volgt dat I Y ------ U I Y ------ U U U m.a.w. ( U ) Y is de ingangsadmittantie van de -poort bij kortgesloten uitgang Y terwijl Y de uitgangsadmittantie is van de -poort bij kortgesloten ingang ( U ) Y Net zoals bij de Z -parameters hebben de koppelparameters Y en Y geen éénvoudige interpretatie I I Y ------ U U U I I Y ------ U U U Het volgende equivalent schema I I U Y Y U Y Y U U 47

toont duidelijk aan dat Y de invloed van poort op poort weergeeft en Y de invloed van poort op poort. Voorbeeld Z Z Z 3 Y Z + Z 3 Y Z + Z 3 Y Y Z 3 Z Z + Z Z 3 + Z Z 3 c) ABCD-parameters We schrijven de uitgangsgrootheden als functie van de ingangsgrootheden U I AB CD U I (7) De parameter A heeft ook een duidelijke fysische betekenis A U ------ U I m.a.w. de spanningswinst bij open ingang. Voorbeeld Z Z A B Z C Z D + Z Z d) De hybride parameters Hier schrijven we de ingangsstroom en de uitgangsspanning als functie van de andere grootheden of omgekeerd. Dit levert de zogenaamde H - en G -parameters. U h h I I h h U I g en g U (8) U g g I Sommige van deze hybride parameters zijn gemakkelijk te interpreteren, 48

Bijvoorbeeld: U h ------ I U h m.a.w. de ingangsimpedantie bij kortgesloten uitgang en, I I h --- I U I m.a.w. de stroomwinst bij kortgesloten uitgang. e) Opmerking In hoogfrequent technieken (zie cursus elektromagnetisme) gaat men combinaties van poortgrootheden als functie van elkaar schrijven. Dit levert de zogenaamde S -parameters. 4.3. Verband tussen canonieke vormen van -poorten Men kan van canonieke voorstelling overgaan naar een andere en omgekeerd, bijvoorbeeld uit (5) en (6) volgt onmiddellijk dat Y Y Z Z Y Y Z Z Op dezelfde wijze vinden we Z Z Z Z Z Z Z Z (9) h h g g g g h h ------------------------------------ h h h h (3) Oefening: bewijs het verband tussen de ABCD-parameters en de Z -parameters. AB CD Z Z ------- Z Z --------------- Z ------- Z Z ------- Z Z (aanwijzing: los (5) op naar U, I ). 49

Uit (9) en (3) ziet men dat de overgang niet altijd bestaat, bijvoorbeeld indien Z Z Z Z of indien h h h h. Dit betekent dat niet elke canonieke voorstelling hoeft te bestaan voor een gegeven -poort. Oefening: ) ga na of de Z - en de Y -parameters bestaan van de volgende -poorten. Indien ja geef dan de parameters. Z ) bewijs het verband tussen de Z - en de H -parameters Z Z Z Z h h h h h --------------- ------ h h ------ h ------ h (aanwijzing: los (8) op naar U, U ) 4.4. Schakelen van tweepoorten Het nut van de verschillende canonieke vormen wordt duidelijk bij het schakelen van tweepoorten. Bij het schakelen van -poorten moeten we altijd eerst goed nagaan of elke -poort zich nog gedraagt als een -poort in de schakeling, namelijk dat de stroom die in elke poort vloeit ook gelijk is aan de stroom die eruit vloeit. a) De cascade schakeling I I' I'' I U () () U' U I I' I'' I De cascade schakeling garandeert de -poort werking van elke -poort apart. Gebruik makende van de ABCD-parameters (7) vinden we voor tweepoort (): 5

U I A B U' I'' C D A B C D U' I' (3) en voor tweepoort (): U' I' A B U C D I (3) zodat (3) en (3) U I A B C D C D I A B U Hieruit volgt de regel: De ABCD matrix van een cascade van tweepoorten is gelijk aan het product van de ABCD matrices van de tweepoorten in omgekeerde volgorde (van uitgang naar ingang) Voorbeeld: het berekenen van de ABCD-matrix van een ladder netwerk I II III Z Z 3 Z 5 Z Z 4 Z 6 We splitsen het laddernetwerk op in elementaire tweepoorten, berekenen vervolgens de ABCD-matrix van elke tweepoort (zie 4..), en maken tenslotte het product van de ABCD-matrices in omgekeerde volgorde: ABCD III ABCD II ABCD b) De serie-serie schakeling I I I I' () I'' U U () I I 5

De ingangspoorten en de uitgangspoorten zijn onderling in serie geschakeld. De serieserie schakeling garandeert niet de tweepoort werking van () en (). Inderdaad, het enige dat via de KCL wet opgelegd wordt is dat I + I I' + I'' wat in het algemeen niet inhoudt dat I I' of I I''. Om de -poort werking op te leggen moeten we een ideale transformator aan één van de 4 poorten plaatsen. Doen we dit aan de ingangspoort van () dan wordt de schakeling I : I I U () U U U U U () I I Een serie-serie schakeling waarbij elk deelblokje zich nog steeds gedraagt als een - poort wordt evenwichtig genoemd. Voor een evenwichtige serie-serie schakeling vinden we met behulp van de Z -parameters (5) voor -poort (): U U Z Z Z Z I I en voor -poort (): U U Z Z Z Z I I Optellen van beide matrixvergelijkingen geeft U Z U Z Z Z + Z Z Z Z I I Hieruit volgt de regel: De Z matrix van een evenwichtige serie-serie schakeling is gelijk aan de som van de Z -matrices. 5

c) De parallel-parallel schakeling I' I' I () I I'' U I'' U () I I De ingangspoorten en de uitgangspoorten zijn onderling in parallel geschakeld. De parallel-parallel schakeling garandeert de -poortwerking van elk deelblokje niet gezien het enkel oplegt dat zodat in het algemeen I' + I' I'' + I'' I' I'' en I' I'' Om de -poort werking te garanderen moet er een ideale transformator aan één van de 4 poorten geplaatst worden. Kiezen we bijvoorbeeld de uitgangspoort van -poort () dan wordt de schakeling I I () I U U I () I I I I : I I I I Via de KCL wetten kan men inderdaad éénvoudig nagaan dat de -poortwerking van elk deelblokje opgaat. Een parallel-parallel schakeling waarbij elk deelblokje zich gedraagt als een -poort wordt evenwichtig genoemd. Voor evenwichtige parallelparallel schakeling vinden we met behulp van de Y -parameters (6) voor -poort (): I I Y Y Y Y U U 53

en voor -poort (): I I Y Y Y Y U U Optellen van beide matrixvergelijkingen geeft I Y I Y Y Y + Y Y Y Y U U Hieruit volgt de regel: De Y matrix van een evenwichtige parallel-parallel schakeling is gelijk aan de som van de Y -matrices. Speciaal geval Het schakelen van 3-polen is altijd evenwichtig, en van deze eigenschap wordt gebruik gemaakt om feedback versterkers te analyseren (zie Gray et al., ). Voorbeeld parallel-parallel schakeling () I I U U I () I (bewijs dit als oefening) 54

Voorbeeld: is de parallel-parallel schakeling van: en d) De serie-parallel schakeling I () I U U I () I De ingangspoorten in serie, de uitgangspoorten parallel geschakeld. In het algemeen is deze schakeling niet evenwichtig. Ze wordt evenwichtig door bijvoorbeeld een ideale transformator aan de uitgangspoort van -poort () te plaatsen. I () I U U : I () I 55

Toon als oefening de volgende regel aan: De H -matrix van een evenwichtig serie-parallel schakeling is de som van de H - matrices. e) De parallel-serie schakeling I I () U U I () Toon als oefening de volgende regel aan: De G -matrix van een evenwichtig parallel-serie schakeling is de som van de G - matrices. f) Opmerking De meest gebruikte -poortschakeling zijn de cascade en de parallel schakeling van 3- polen. Deze zijn altijd evenwichtig zodat er geen transformatoren moeten toegevoegd worden. 4.5. Reciprociteit van tweepoorten Beschouw een eerste experiment waarbij men de ingang van de -poort verbindt met een spanningsbron en de uitgang van de -poort kortsluit. Experiment (I) I I x E In een tweede experiment wordt de ingang kortgesloten en de uitgang verbonden met dezelfde spanningsbron E. Experiment (II) y I E 56

De tweepoort is nu per definitie reciprook indien de stroom x in het eerste experiment gelijk is aan stroom y in het tweede experiment. Wat is de invloed van de reciprociteit op de canonieke voorstellingen van een -poort? Hiervoor lossen we de onbekende stromen x en y in beide experimenten op. Experiment (I) Experiment (II) E Z Z Z Z I x E Z Z Z Z y I I elimineren I elimineren x Z E -------------------------------------- y Z Z Z Z Z E -------------------------------------- Z Z Z Z De reciprociteitseis x y is dus voldaan indien Z Z, m.a.w. de matrix van de Z -parameters moet symmetrisch zijn ( Z T Z ). Merk op dat de gevonden uitdrukkingen voor de stromen x en y enkel geldig zijn indien det Z ( Z Z Z Z ). Uit het verband Y Z volgt onmiddellijk dat een -poort reciprook is indien Y Y T of Y Y (toon dit aan als oefening). Oefening: ) herneem het bewijs gebruik makende van de Y-parameters. ) toon aan dat de - poort reciprook is indien det AB CD AD BC (aanwijzing: zoek eerst het verband tussen de Z -parameters en de ABCD-parameters en druk uit dat Z Z ) 3) toon aan dat RLMC-netwerken altijd reciprook zijn. (aanwijzing: stel eerst vast dat de kringenimpedantiematrix de redenering uit 4.. toe) 4) toon aan dat een -poort reciprook is indien h h of g g symmetrisch is en pas (aanwijzing: stel eerst het verband op tussen de Z -parameters en de H -parameters en druk uit dat Z Z ) Z m 57