INLEIDING TOT DE NETWERK- ANALYSE Rik Pintelon

Transcriptie

1 INLEIDING TOT DE NETWERK- ANALYSE Rik Pintelon Rik Pintelon, Brussel, 24 september 25 versie 28 oktober 26

2 Inhoudstabel DEEL I: WEERSTANDSNETWERKEN 2. Poortwerking 5.. Éénpoort 5.2. Wet van de spanningsdeler 6.3. Wet van de stroomdeler (shunt-wet) 6.4. Spannings- en stroombronnen 7 2. Tweepoorten Poortwerking Weerstandsmatrix Interpretatie weerstandsmatrix Conductantiematrix 2.5. Interpretatie conductantiematrix 2.6. Ster-driehoek transformatie Reciprociteit 4 3. Superpositiestelling Formulering stelling Bewijs 6 4. Stellingen van Thévenin en Norton Probleemstelling Stelling van Thévenin Stelling van Norton Voorbeeld 2 5. Methode van de knooppuntpotentialen Oplossingsmethode V-shift Illustratie op een actief netwerk Compensatiestelling Probleemstelling Formulering en bewijs stelling Gevoeligheidsanalyse van de brug van Wheatstone rond het evenwicht 32 DEEL II: RLC NETWERKEN Inleiding Stationair (regime) antwoord Motivatie complexe notatie via een éénvoudig voorbeeld Oplossingmethode complexe notatie Impedantie in sinusoïdaal regime symbolische notatie Voorbeelden Gemiddeld vermogen onder sinusoïdaal regime Vermogenoverdracht van bron naar belasting 5 9. Overgangsverschijnselen tijdsdomein methode Éénvoudige voorbeelden Algemene oplossingsmethode 54. Overgangsverschijnselen Laplace-domein methode 56.. Definitie en eigenschappen Laplace transformatie 56 2

3 .2. KCL en KVL in het Laplace domein VAL in het Laplace domein impedantie in transient gedrag Voorbeelden 6. Methode van de maasstromen 66.. Verband netwerk en georiënteerde graf Oplossingsmethode I-shift 68 Referentiewerken 7 3

4 DEEL I: WEERSTANDSNETWERKEN 4

5 . Poortwerking.. Éénpoort Het eenvoudigste voorbeeld van een éénpoort is een weerstand it () ut () R it () waarbij het duidelijk is dat de stroom it () die in de weerstand vloeit er ook uitvloeit ( poortwerking). Hetzelfde geldt voor een spoel en een condensator. Bij afspraak gaat de spanningspijl van laagste naar hoogste potentiaal (opgelet: in de elektrotechniek neemt men de omgekeerde conventie) en vloeit de stroom van hoogste potentiaal naar laagste potentiaal. De stroom wordt dus positief gerekend wanneer deze in de poort vloeit. De poortwerking kan veralgemeend worden naar een willekeurig weerstandsnetwerk dat ook spannings- en stroombronnen (DC en AC) bevat ut () it () e j () t i k R k E s J r it () u k Figuur : Éénpoort met verschillende DC en AC bronnen. Dit kan gemakkelijk ingezien worden door de KCL wet (Kirchoff current law) toe te passen op de ellipsvormige doorsnede. Indien het weerstandsnetwerk in Figuur deeluitmaakt van een groter netwerk dan is de éénpoort werking niet automatisch verzekerd indien er nog één of meerdere verbindingen bestaan tussen het weerstandsnetwerk en het groter netwerk, bijv., ut () it () e j () t i k R k E s J r jt () i () t it () u k Figuur 2: De éénpoort werking is niet langer verzekerd. Door de aanwezigheid van de rode verbinding in Figuur 2 is wet toe op de ellipsvormige doorsnede: it () i () t + jt ()). i () t it () (pas de KCL 5

6 .2. Wet van de spanningsdeler Een eerste belangrijk speciaal geval van een éénpoort weerstandsnetwerk is de serieschakeling van twee weerstanden ut () it () R u () t R ut () R + R 2 it () R 2 u 2 () t R ut () R + R 2 Figuur 3: Wet van de spanningsdeler voor de serieschakeling van twee weerstanden. Het verband tussen de spanningen u () t en u 2 () t over de individuele weerstanden en de totale spanning ut () staat gekend als de wet van de spanningsdeler en wordt als volgt aangetoond, bijv. voor u 2 () t, ut () u 2 () t R 2 it () R R + R 2 R ut () R + R 2 () Vergelijking () kan gemakkelijk onthouden worden via het speciaal geval waarbij R 2 (of R ) gaat. In dat geval moet de verhouding zijn (alle spanning staat over ). R 2 Opmerking: Vergelijking () kan gemakkelijk uitgebreid worden voor een serieschakeling van meerdere weerstanden (doe dit als oefening)..3. Wet van de stroomdeler (shunt-wet) Een tweede belangrijk speciaal geval van een éénpoort weerstandsnetwerk is de parallelschakeling van twee weerstanden ut () it () it () i () t R i 2 () t R 2 i () t i 2 () t R it () R + R 2 R it () R + R 2 Figuur 4: Wet van de stroomdeler voor de parallelschakeling van twee weerstanden. Het verband tussen de stromen i () t en i 2 () t door de individuele weerstanden en de totale stroom it () staat gekend als de wet van de stroomdeler (shunt-wet) en wordt als volgt aangetoond, bijv. voor i () t, i () t ut () R R RR2 it () R + R 2 R it () R + R 2 (2) Vergelijking (2) kan gemakkelijk onthouden worden via het speciaal geval waarbij R 2 (of R ) gaat. In dat geval moet de verhouding zijn (alle stroom vloeit door ). R 6

7 Opmerking: Vergelijking (2) kan gemakkelijk uitgebreid worden naar een parallelschakeling van meerdere weerstanden (doe dit als oefening)..4. Spannings- en stroombronnen et () jt () onafhankelijke spanningsbron onafhankelijke stroombron Figuur 5: Onafhankelijke spannings- en stroombron: de spanning jt () zijn vrij te kiezen. et () en de stroom Spannings- en stroombronnen zijn ook voorbeelden van éénpoorten. We onderscheiden onafhankelijke bronnen (zie Figuur 5) waarbij de spanning of stroom vrij gekozen kan worden, en afhankelijke of gestuurde bronnen (zie Figuur 6) waarbij de spanning of stroom afhangt van een andere spanning of stroom in het netwerk. et () Au() t jt () it () spanningsgestuurde spanningsbron stroomgestuurde stroombron et () ri() t jt () gu() t stroomgestuurde spanningsbron spanningsgestuurde stroombron Figuur 6: Afhankelijke (gestuurde) spannings- en stroombronnen: ut () en it () zijn respectievelijk een spanning over en stroom door een bepaalde weerstand van het netwerk; A en zijn dimensieloos; r is uitgedrukt in ; en g in. 7

8 2. Tweepoorten 2.. Poortwerking Beschouw een weerstandsnetwerk zonder onafhankelijke bronnen (gestuurde bronnen zoals, bijv., spanningsgestuurde spanningsbronnen en stroomgestuurde stroombronnen zijn wel toegelaten voor zover de stuurgrootheid spanning of stroom intern is aan het netwerk) i i 2 ingangspoort R k u u 2 uitgangspoort i i 2 Figuur 7: Weerstandsnetwerk zonder onafhankelijke bronnen. Indien er geen externe verbinding is tussen de uitgangs- en de ingangspoort dan is de poortwerking verzekerd. Dit kan gemakkelijk ingezien worden door de KCL wet toe te passen op de 2 poorten apart. De poortstromen i en i 2 worden positief gerekend wanneer ze in de poort vloeien. De poortwerking is niet langer verzekerd indien er één of meerdere verbindingen bestaan tussen de externe weerstandsnetwerken aangesloten aan de ingangs- en uitgangspoorten j netwerk I i i 3 i R k u u 2 i 2 i 4 i 2 netwerk II Figuur 8: De poortwerking is niet langer verzekerd. Door de aanwezigheid van de rode verbinding in Figuur 8 is de poortwerking van poorten en 2 niet langer verzekerd. Inderdaad, toepassing van de KCL wet op de twee ellipsvormige en de vierkante doorsneden in Figuur 8 geeft, respectievelijk, j + i 3 i i 4 i 2 j i + i 2 i 3 i 4 waaruit we niet kunnen besluiten dat i 3 i en i 2 i 4. Besluit: Indien we een ingewikkeld netwerk opsplitsen in éénvoudiger deelnetwerken dan moet men altijd zorgvuldig nagaan of de poortwerking verzekerd is. Zoniet is de werking van het deelnetwerk apart niet dezelfde als in het groter geheel, en kan de werking van het ingewikkelde netwerk niet voorspeld worden aan de hand van de werking van de deelnetwerken (zie het o.o. Netwerken en Filters, 3 de BA EIT). 8

9 2.2. Weerstandsmatrix Wanneer de poortwerking verzekerd is bestaat er altijd een lineair homogeen verband tussen de poortgrootheden (poortspanningen en poortstromen) in Figuur 8. Dit verband kan meestal onder de volgende vorm geschreven worden u R R 2 i u 2 R 2 R 22 i 2 (3) met u, u 2 de poortspanningen, i, i 2 de poortstromen, en R ij, i j 2, de weerstandscoëfficiënten. De matrix in (3) wordt de weerstandsmatrix genoemd en hangt enkel af van de weerstanden (en gestuurde bronnen) in de tweepoort: de R ij s zijn onafhankelijk van wat er extern aan de poorten wordt aangesloten (voor zover de poortwerking verzekerd blijft). In de volgende paragraaf geven we een motivering voor (3). Motivering. We kunnen de netwerken verbonden met poorten en 2 in een gedachtenexperiment vervangen door stroombronnen R k i u u 2 i 2 zonder hierbij de spanningen en stromen in de tweepoort te wijzigen. Inderdaad, alle KCL, KVL en VAL vergelijkingen blijven gelijk en de poortstromen i en i 2 zijn per constructie gelijk aan de werkelijke waarden. Gezien het weerstandsnetwerk lineair is en bij onderstelling geen onafhankelijke bronnen bevat hangen alle spanningen en stromen van het netwerk enkel af van i en i 2. Indien i i 2 dan zijn automatisch alle spanningen en stromen nul. Bijgevolg zijn alle spanningen en stromen in het netwerk een lineaire combinatie van i en i 2 en dus ook de poortspanningen u en u 2 zoals weergeven door (3). De aanwezigheid van gestuurde bronnen die enkel functie zijn van interne spanningen of stromen wijzigt niets aan de redenering Interpretatie weerstandsmatrix Uit (3) kunnen we afleiden dat m.a.w. R Figuur 9 u R ---- i i 2 is de ingangsweerstand van de tweepoort bij open uitgangspoort en dus is (zie Figuur, blz. ). Op dezelfde manier vinden we dat R u 2 R i 2 i de uitgangsweerstand van de tweepoort voorstelt bij open ingangspoort (zie Figuur, blz. ). Merk op dat R en R 22 fysisch kunnen gemeten worden met een brugschakeling (brug van Wheatstone) of een impedance analyzer. (4) (5) 9

10 i u R ---- i i 2 u R k R i 2 u 2 R i 2 i R k u 2 R 22 u R i 2 i u R k i 2 u 2 R i i 2 R k i u 2 Figuur : Experimenteel bepalen van de weerstandscoëfficiënten. De interpretatie van de niet-diagonaalelementen in (3) is moeilijker u u R en R (6) i 2 i gezien ze een verhouding zijn van de spanning aan één poort tot de stroom aan de andere poort (zie Figuur ). Alhoewel ze in Ohm worden uitgedrukt hebben ze dus niet de eigenschappen van een weerstand: R 2 en R 2 hoeven niet positief te zijn. Het experimenteel bepalen van R 2 en R 22 vergt een tweekanaalsmeting. Oefening. Bereken de weerstandsmatrix van de tweepoorten in Figuur. i i 2 R R (a) (b) (c) Figuur

11 Toon aan dat voor de tweepoort (a) in Figuur R R 22 R 2 R 2 R. Bestaat de weerstandsmatrix van de tweepoorten (b) en (c)? Waarom niet? 2.4. Conductantiematrix De weerstandsmatrix van de tweepoort in Figuur (b) bestaat niet. Dit is niet in strijd met de algemene stelling dat er een lineair homogeen verband bestaat tussen de poortspanningen en de poortstromen. Dit verband kan echter niet altijd onder de vorm (3) geschreven worden. Vervangen we in Figuur 9 de stroombronnen door spanningsbronnen i i 2 u R k u 2 Figuur 2 dan krijgen we via gelijkaardige redenering als in 2.2. het volgende verband i G G 2 u i 2 G 2 G 22 u 2 (7) met G ij, i j 2 de conductantiecoëfficiënten. De matrix in (7) wordt de conductantiematrix genoemd en hangt enkel af van de weerstanden (en gestuurde bronnen) in de tweepoort Interpretatie conductantiematrix Uit (7) kunnen we afleiden dat i G ---- u u 2 m.a.w. G G is de ingangsconductantie van de tweepoort bij kortgesloten uitgangspoort en dus is (zie Figuur 3, blz. 2). Op dezelfde manier vinden we dat i 2 G u 2 u de uitgangsconductantie van de tweepoort voorstelt bij kortgesloten ingangspoort (zie Figuur 3, blz. 2). Merk op dat G en G 22 fysisch kunnen gemeten worden met een brugschakeling (brug van Wheatstone) of een impedance analyzer. De interpretatie van de niet-diagonaalelementen in (7) is opnieuw moeilijker i i G en G () u 2 u gezien ze een verhouding zijn van de stroom aan één poort tot de spanning aan de andere poort (zie Figuur 3). Alhoewel ze in Siemens worden uitgedrukt hebben ze dus niet de eigenschappen van een conductantie: G 2 en G 2 hoeven niet positief te zijn. u u 2 (8) (9)

12 i G ---- u u 2 i u R k G i 2 G u 2 u R k u 2 i 2 G 22 i i G u 2 u R k u 2 i 2 i 2 G u u 2 u R k Figuur 3: Experimenteel bepalen van de conductantiecoëfficiënten. Oefening. Bereken de conductantiematrix van de tweepoorten in Figuur. Toon aan dat voor tweepoort (b) G G 22 G en G 2 G 2 G. Bestaat de conductantiematrix voor tweepoorten (a) en (c) in Figuur? Waarom niet? Opmerkingen:. In het algemeen is G ii R ii. Toon dit aan (aanwijzing: indien R bestaat is G R ). 2. Voor tweepoort (c) in Figuur bestaat noch de weerstandsmatrix noch de conductantiematrix. Dit betekent echter niet dat de algemene stelling dat er een lineair homogeen verband tussen de poortspanningen en de poortstromen bestaat fout is. Inderdaad, voor tweepoort (c) kunnen we schrijven dat u u 2 en i i 2. Er bestaan dus nog andere tweepoortparameters die een doorverbinding wel kunnen beschrijven (zie het o.o. Netwerken en Filters 3de BA IR EIT). 2

13 2.6. Ster-driehoek transformatie R a R R 2 R b R c R 3 3 Figuur 4: Ster- en driehoekconfiguraties. Het verband tussen de weerstanden in de ster- en de driehoekconfiguratie wordt gegeven door R R 2 R R a R 3 R R R + R 2 + R b R 3 R 3 R + R 2 + R c R + R 2 + R 3 () en de ster-driehoek transformatie door R a R b R R R a + R b a R c R R 2 R a + R c b R c R 3 R b + R c R c R b R a (2) Bewijs. Om dit aan te tonen hertekenen we de ster- en driehoekconfiguraties in Figuur 4 als een tweepoort. R b R c R R a R R 2 (a) Figuur 5: Tweepoort equivalentie van de ster- en driehoekconfiguraties. Vervolgens berekenen we de weerstandsmatrix van beide tweepoorten. Toepassen van (4), (5) en (6) op tweepoorten (a) en (b) in Figuur 5 geeft, respectievelijk (b) R R a + R b R 22 R a + R c R 2 R 2 R a R R 2 + R 3 R R R + R 3 R R R + R 2 + R R 2 R 3 R + R 2 + R 2 R R + R 2 + R 3 (3) (4) (aanwijzing: gebruik Figuur ). Gelijkstellen van (3) en (4) bewijst (). Om (2) aan te tonen berekenen we de conductantiematrix van de tweepoorten (a) en (b) in Figuur 5 via (8), (9) en (). Dit geeft respectievelijk 3

14 R a + R c R G a + R b G R a R b + R b R c + R a R c R a R b + R b R c + R a R c R a G 2 G R a R b + R b R c + R a R c G G + G 3 G 22 G 2 + G 3 G 2 G 2 G 3 (5) (6) (aanwijzing: gebruik Figuur 3). Gelijkstellen van (5) en (6) levert een uitdrukking voor G, G 2 en G 3 als functie van R a, R b en R c. Inverseren van het resultaat ( G i G i ) bewijst (2). R i 2.7. Reciprociteit Beschouw een weerstandsnetwerk zonder onafhankelijke bronnen ingangspoort R k uitgangspoort Figuur 6: Weerstandsnetwerk zonder onafhankelijke bronnen. waarop we twee verschillende experimenten uitvoeren. In het eerste experiment sluiten we een ideale spanningsbron aan de ingangspoort en meten we de stroom i 2 aan de kortgesloten uitgangspoort i i 2 et () R k Figuur 7: Experiment. In het tweede experiment plaatsen we de ideale spanningsbron aan de uitgangspoort en meten we de stroom aan de kortgesloten ingangspoort i i i 2 2 R k et () Figuur 8: Experiment 2. Het weerstandsnetwerk in Figuur 6 is reciprook enkel en alleen indien i i 2. We gaan nu de invloed van deze voorwaarde na op de conductantieparameters. Voor beide experimenten is het verband tussen de poortstromen en de poortspanningen gegeven door (7) waarbij de conductantieparameters dezelfde zijn. We vinden respectievelijk 4

15 i G G 2 et () i 2 i 2 G 2 G 22 G 2 et () (7) i i 2 2 G G 2 i G 2 G 22 et () G 2 et () (8) Uit (7) en (8) volgt dat i i 2 enkel en alleen indien G 2 G 2. Met andere woorden voor reciproke weerstandsnetwerken is de conductantiematrix symmetrisch. Via het verband R G volgt onmiddellijk dat dezelfde eigenschap geldt voor de weerstandsmatrix R : een weerstandsnetwerk is reciprook enkel en alleen indien R 2 R 2. Men kan aantonen dat alle weerstandsnetwerken zonder onafhankelijke en zonder gestuurde bronnen reciprook zijn (zie bijv. al de hierboven uitgewerkte tweepoort voorbeeldjes). Indien er gestuurde bronnen aanwezig zijn (bijv. operationele versterkers) dan is reciprociteit niet langer verzekerd. 5

16 3. Superpositiestelling 3.. Formulering stelling Beschouw een weerstandsnetwerk met verschillende spannings- en stroombronnen (AC en/of DC) e j () t E s i k R k J r 3.2. Bewijs Figuur 9: Weerstandsnetwerk met verschillende DC en AC bronnen. Alle stromen i k en spanningen u k in het netwerk zijn een lineaire functie van de bronnen e j () t, E s en J r. Deze kunnen bekomen worden door de invloed van elke bron (of groep van bronnen) apart op i k en u k te berekenen en vervolgens de som van alle bijdragen te nemen. Merk op dat de stelling geldig blijft in aanwezigheid van gestuurde bronnen (bijv. spanningsgestuurde spanningsbronnen, stroomgestuurde stroombronnen, ). Deze blijven echter actief in het netwerk wanneer de invloed van elke bron (of groep van bronnen) apart wordt berekend. De spanningen en stromen in het weerstandsnetwerk worden beschreven door de KCL vergelijkingen (som van de stromen in een knoop ), de KVL vergelijkingen (som van de spanningen in een gesloten lus ), en de VAL vergelijkingen (wet van Ohm voor elke weerstand). Matricieel kunnen we deze vergelijkingen herschrijven als Cx b met x de vector van de onbekende spanningen en stromen, C een vierkante matrix die afhangt van de weerstandswaarden en de afhankelijke bronnen, en b de vector die alle onafhankelijke bronnen bevat (bijdragen e j () t, E s en J r ). De vector b wordt opgesplitst in de bijdrage van de K onafhankelijke bronnen (en/of groepen van bronnen) De oplossing van het netwerk onder invloed van heten we waarbij de afhankelijke bronnen actief blijven ( C mag niet wijzigen). De som van de deeloplossingen is wat de superpositiestelling bewijst. b K i b i x i C b i K K x i C b i i i u k b i C b x x i 6

17 4. Stellingen van Thévenin en Norton 4.. Probleemstelling R i E j Jk I x x U x weerstandsnetwerk met bronnen (a) Figuur 2 (b) Stel dat we het weerstandsnetwerk in Figuur 2 moeten oplossen en dat we enkel geïnteresseerd zijn in de spanningen en stromen van het rechterdeel (b). Om de berekeningen te vereenvoudigen zal men trachten het linkerdeel (a) te vervangen door een elektrisch equivalent schema. Dit is het achterliggende idee van de stellingen van Thévenin en Norton. De enige onderstelling die we hier maken is dat de vergelijkingen die het linkerdeel van het netwerk beschrijven lineair zijn. De stellingen zijn dus ook geldig voor netwerken met gestuurde bronnen (spanningsgestuurde spanningsbronnen, stroomgestuurde stroombronnen, ), RLC netwerken, voor lineaire verdeelde systemen zoals transmissielijnen, antennes, resonantiecaviteiten enz (zie cursus elektromagnetisme), en kunnen ook toegepast worden in de mechanica, de akoestiek, voor zover de systemen maar lineair zijn. De stellingen van Thévenin en Norton worden ook gebruikt om na te gaan of toestellen met elkaar verbonden kunnen worden, voor het aansluiten van meetapparatuur op schakelingen, en voor het aaneenkoppelen (bijv. cascaderen) van schakelingen Stelling van Thévenin We doen het volgende gedachtenexperiment: vervang het rechterdeel in Figuur 2 door een onafhankelijke stroombron I x E j x R i Jk U x I x (a) Figuur 2 Gezien alle vergelijkingen die het linkerdeel (a) beschrijven niet wijzigen en bovendien de stroom in het punt x dezelfde is als in het oorspronkelijk netwerk is de oplossing van het netwerk in Figuur 2 dezelfde als deze in Figuur 2 (wat betreft de spanningen en stromen van deel (a)). Nu passen we het superpositiebeginsel toe om het netwerk in Figuur 2 op te lossen. Dit principe zegt dat de oplossing kan berekend worden door de bijdrage van elke onafhankelijke bron apart te berekenen en deze deeloplossingen bij elkaar op te tellen. Het enige dat we hierbij eisen is dat de vergelijkingen lineair zijn. 7

18 We lossen nu het netwerk in Figuur 2 op door enerzijds de bijdrage van de onafhankelijke bronnen in (a) tot U x en anderzijds de bijdrage van de onafhankelijke stroombron tot apart te berekenen: I x U x E j R i Jk U I x R i UII x I x (I) Figuur 22: Superpositiestelling toegepast op het weerstandsnetwerk in Figuur 2. (II) waarbij U I x in experiment (I) de open klem spanning (open circuit potential) U x van het deelnetwerk (a) in Figuur 2 wordt genoemd. Gezien er in experiment (II) slechts onafhankelijke bron aanwezig is, namelijk I x, moet de oplossing UII x rechtevenredig zijn met deze stroom. Deze evenredigheidsfactor wordt, op het teken na, de uitgangsweerstand van het deelnetwerk (a) genoemd. R OUT De gezochte oplossing U x is nu gelijk aan de som van de spanningen uit de 2 experimenten: U x U I x UII x + U x R OUT I x Men kan dit resultaat elektrisch als volgt voorstellen R OUT Ix U x U x Figuur 23: Thévenin equivalent schema van het weerstandsnetwerk (a) in Figuur 2. Figuur 23 is het Thévenin equivalent van het deelnetwerk (a) uit Figuur 2 en wordt gekenmerkt door 2 parameters:. De uitgangsimpedantie R OUT bekomen door in (a) alle onafhankelijke bronnen weg te laten 2. De open klem spanning U x die wordt bekomen door de bijdrage van alle bronnen in (a) tot U x te berekenen bij een oneindig grote last in punt x van Figuur 2. Opmerkingen:. een bron weglaten betekent de stroom van een stroombron op nul zetten ( vervangen door open klem) en de spanningen van een spanningsbron nul maken ( vervangen door een kortsluiting) 8

19 2. in de superpositiestelling mag men de afhankelijke bronnen niet wijzigen, zoniet verandert men de C -matrix en geldt de stelling niet meer. Daarom komen de afhankelijke bronnen in beide experimenten voor Stelling van Norton Op volledig dezelfde wijze toont men aan dat (als oefening) E j x R i Jk I x U x (a) superpositie E j R i Jk I I x R i III x U x (I) I x I I x + III x (II) Met I I x de kortsluitstroom (short circuit current) I x van het deelnetwerk (a) in Figuur 2 en zodat III x Men stelt dit resultaat elektrisch voor als U x R OUT U x I x I x R OUT I x I x R OUT U x Figuur 24: Norton equivalent schema van het weerstandsnetwerk (a) in Figuur 2. Figuur 24 is het Norton equivalent van deelnetwerk (a) uit Figuur 2 en wordt gekenmerkt door 2 parameters:. De uitgangsimpedantie (zie stelling Thévenin) R OUT 2. De kortsluitstroom die wordt bekomen door de bijdrage van alle bronnen in (a) tot te berekenen wanneer een kortsluiting in punt x wordt aan gebracht. I x I x 9

20 4.4. Voorbeeld R E i E t R 2 i 2 t et R R b u b t Figuur 25 We berekenen de spanning over de belastingsweerstand R b op twee manieren: (i) door rechtstreeks het netwerk op te lossen, en (ii) via toepassing van de stelling van Thévenin op het deelnetwerk (in het zwart) voor de belasting (in het rood). a) Rechtstreeks oplossen van het netwerk De spanning over de belastingsweerstand van de stroomdeler (zie.3., blz. 6) R b vinden we via de wet van Ohm en de wet u b t R b i 2 t (9) i 2 t R i R + R 2 + R E t b (2) i E t et R R 2 + R b R E R + R 2 + R b (2) Combineren van (9), (2) en (2) geeft uiteindelijk u b t R R b et R E R + R 2 + R b + R R 2 + R b (22) b) Toepassen van de stelling van Thévenin We berekenen eerst de open klem spanning netwerk u b t via oplossen van het volgend et R E R R 2 u b t Figuur 26: Bepalen van de open klem spanning van het netwerk in Figuur 25. Toepassen van de wet van de spanningsdeler (zie.2., blz. 6) geeft u b t R e t R E + R (23) 2

21 Vervolgens berekenen we de uitgangsweerstand waarbij de onafhankelijke spanningsbron wordt kortgesloten R E R R 2 ROUT Figuur 27: Bepalen van de uitgangsweerstand van het netwerk in Figuur 25. R R E R OUT R R E + R R 2 ( R E + R ) + R R E R E + R (24) Tenslotte bekomen we de spanning u b () t over de belastingsweerstand R b via het oplossen van R OUT u b () t Rb u b () t met behulp van de wet van de spanningsdeler (zie.2., blz. 6) u b () t R b R b R OUT u + b () t (25) Combinatie van (23), (24) en (25) geeft uiteindelijk u b () t R b R et () R b ( R + R E ) + R 2 ( R E + R ) + R R E (26) wat na herschikken van de noemer overeenkomt met (22). 2

22 5. Methode van de knooppuntpotentialen 5.. Oplossingsmethode i E t i t R 2 et R E i 2 t R 3 R 2 3 R 4 R b Figuur 28 We stellen de methode op via een voorbeeld. Beschouw het netwerk in Figuur 28. Dit netwerk heeft 3 onafhankelijke KCL vergelijkingen (knopen, 2 en 3 ), 3 onafhankelijke KVL vergelijkingen (3 interne lussen), en 6 VAL vergelijkingen (6 takken met weerstanden). In totaal moeten we dus een stelsel van 2 vergelijkingen met 2 onbekenden (6 takstromen en 6 takspanningen) oplossen, en dit voor een zeer éénvoudig netwerk. Voor meer ingewikkelde netwerken wordt dit zeer snel onoverzichtelijk. Hieronder tonen we aan dat dit 2 2 stelsel kan herleid worden tot een 3 3 stelsel in de knooppuntpotentialen V, V 2 en V 3. Bovendien kan dit stelsel rechtstreeks vanuit het netwerk opgesteld worden. a) Beschouw de KCL vergelijking in knoop : i + i 2 i E (27) Uitdrukken van de VAL wetten voor de weerstanden R, R 2 en R E geeft i G ( V V 2 ) i 2 G 2 ( V V 3 ) i E G E ( E V ) (28) Combineren van (27) en (28) geeft na vereenvoudiging G + G 2 + G E V G V 2 G 2 V 3 G E E (29) Een gelijkaardige redenering voor knopen 2 en 3 geeft respectievelijk G V G + G 3 + G b + V 2 G 3 V 3 G 2 V G 3 V 2 G 2 + G 3 + G 4 + V 3 (3) (3) Vergelijkingen (29), (3) en (3) kunnen onder matrix vorm geschreven worden als Y n V n J n (32) met Y n de knoopadmittantiematrix 22

23 Y n G G + G 3 + G b G 3 G + G 2 + G E G G 2 G 2 G 3 G 2 + G 3 + G 4 (33) J n de knoopstroombronvektor G E et () J n (34) en V n V V 2 V T 3 de vektor van de onbekende knooppuntpotentialen. b) Rechtstreeks opstellen van Y n en J n. Merk op dat de hoofddiagonaal elementen Y n ii van Y n gelijk zijn aan de som van de admittanties (conductanties) van de takken (weerstanden) die knoop i raken ii conductanties van de takken die knoop i raken Y n De niet-diagonaal elementen Y n ij van Y n zijn gelijk aan min de som van de admittanties (conductanties) van de takken (weerstanden) die knoop i met knoop j verbinden (35) ij conductanties van de takken gelegen tussen knoop i en j Y n (36) Om de elementen in J n terug te vinden vervangen we de niet-ideale spanningsbronnen door hun Norton equivalent schema (zie 4.3., blz. 9). Het i de element J n i van de vektor J n is dan gelijk aan de stroom geïnjecteerd door de stroombron in het Norton equivalent in knoop i. Wordt de stroom uit de knoop getrokken dan is de bijdrage negatief. Deze regel wordt toegepast op alle stroombronnen aanwezig in het netwerk. i stromen geïnjecteerd in knoop i door de stroombronnen J n Opmerking: de regels (35), (36) en (37) voor het opstellen van Y n V n J n vergelijkingen zijn geldig voor een willekeurig netwerk. De afleiding via het voorbeeld is geen strikt bewijs omdat we niet aangetoond hebben dat de bekomen vergelijkingen lineair onafhankelijk zijn. Dit wordt aangetoond in het o.o. Netwerken en Filters, 3de BA EIT. c) We kunnen het stelsel (32) bijvoorbeeld oplossen naar via de regel van Cramer V 3 (37) G + G 2 + G E G G E et () G G + G 3 + G b V 3 G 2 G det( Y n ) (38) G E ( G G 3 + G 2 ( G + G 3 + G b )) et () det( Y n ) 23

24 waarbij det( Y n ) G G 3 G 4 + G G b ( G 2 + G 3 + G 4 ) + G 2 G 3 G b + G 2 G 4 ( G + G 3 + G b ) + G E G 3 ( G + G b ) + G E ( G 2 + G 4 ) G + G 3 + G b (39) Speciaal geval: de limiet voor R E en dus G E van V 3 is G G 3 + G 2 ( G + G 3 + G b ) V et () G 3 ( G + G b ) + G 2 + G 4 G + G 3 + G b (4) Indien we onmiddellijk R E nemen in Figuur 28 dan kunnen we de regels (36) en (37) om Y n en J n op te stellen niet toepassen (de conductantie van een ideale spanningsbron is oneindig, en het Norton equivalent van een ideale spanningsbron bestaat niet). De fundamentele reden hiervoor is dat knooppuntpotentiaal V gekend is wanneer R E. De oplossing bestaat erin om het netwerk te vereenvoudigen via de zogenaamde V-shift wat in de volgende sectie wordt uitgelegd V-shift a) Algemeen. Beschouw een ideale spanningsbron gelegen tussen knopen en 2. 3 i 2 i 3 i4 R 3 i 2 E Figuur 29 i E R 4 4 De vergelijkingen die het netwerk in Figuur 29 beschrijven zijn: KCL in : i + i 2 i E KCL in 2 : i E i 3 + i 4 VAL bron : E V + V 2 VAL R 3 : V 2 V 3 R 3 i 3 VAL R 4 : V 2 V 4 R 4 i 4 (alle andere KCL- en VAL-wetten blijven ongewijzigd). Eliminatie van vergelijkingen en van in de VAL-wetten geeft: V 2 i E in de KCL 24

25 KCL: i + i 2 i 3 + i 4 VAL: V V 3 R 3 i 3 E V V 4 R 4 i 4 E en de VAL- Deze vergelijkingen komen juist overeen met de KCL-wet in knoop wetten in takken met weerstanden R 3 en R 4 van het volgende netwerk. i i 3 E R i 2 i 4 E R 4 Figuur 3: V-shift toegepast op de ideale spanningsbron in Figuur 29. De overgang van Figuur 29 naar Figuur 3 noemt men de V-shift van een ideale spanningsbron. Dit komt wiskundig neer op het elimineren van de stroom door de ideale spanningsbron en van één van de knooppuntpotentialen van de tak waarin de bron zich bevindt. Een V-shift verlaagt het aantal onbekende knooppuntpotentialen met. Gezien de V-shift alle andere vergelijkingen ongewijzigd laat is de oplossing van het netwerk dezelfde (op i E en V 2 na die geëlimineerd zijn). b) Toepassing op het netwerk in Figuur 28 waarbij RE. R 2 3 et R 2 R 3 R b R 4 Figuur 3: Netwerk met ideale spanningsbron. Na toepassing van de V-shift wordt Figuur 3 et R 2 3 et R 2 R 4 R 3 R b Figuur 32 Oplossen van het netwerk in Figuur 32 via de Y n V n J n methode geeft 25

26 G + G 3 + G b G 3 G 3 G 2 + G 3 + G 4 V 2 V 3 G et () G 2 et () (4) Dit stelsel oplossen naar V 3 levert G G 3 + G 2 ( G + G 3 + G b ) V G + G b G 2 + G 3 + G 4 + G 3 G 2 + G 4 et () (42) wat na herschikken van de noemer gelijk is aan (4) Illustratie op een actief netwerk R 2 R +5 V 2 et () -5 V u b () t R b Figuur 33: Weerstandsnetwerk met operationele versterker. We beschouwen de actieve kring in Figuur 33 waarbij de operationele versterker (operational amplifier opamp ) +5 V R i -5 V R AV ( + V - ) Figuur 34: Equivalent schema van een opamp. de volgende karakteristieken heeft R i (typisch M voor bipolaire technologie en T voor jfet/cmos technologie); R (typisch 5 tot 2 ); en een eindige winst A (typisch 4 tot 6 ). We zullen de spanning u b () t over de belastingsweerstand R b op 2 manieren bereken: eerst door het volledige netwerk via de Y n V n J n methode op te lossen, en vervolgens door de stelling van Thévenin toe te passen op het linkerdeel van het netwerk gezien vanuit knoop 2. 26

27 a) Volledig oplossen van het netwerk. Het equivalent schema van de actieve kring is R R 2 2 R et () R b AV met als overeenstemmende Y n V n J n vergelijkingen G + G 2 G 2 G 2 G 2 + G + G b V V 2 G et () G AV Om het stelsel te kunnen oplossen moet de onbekende knooppuntpotentiaal rechterlid naar links gebracht worden V in het G + G 2 G 2 G 2 + G A G 2 + G + G b V V 2 G et () Oplossen van dit stelsel via de methode van Cramer geeft: G G 2 G A u b () t V e () G + G 2 G 2 + G + G b + G 2 G 2 + G A t (43) b) Toepassen van de stelling van Thévenin. Hier moeten we eerst de 2 volgende parameters berekenen: de open klem spanning V 2 in knoop 2 en de uitgangsimpedantie. R OUT Voor de open klem spanning moeten we het volgende netwerk oplossen R R 2 V 2 R et () AV De oplossing van dit netwerk vinden we onmiddellijk als speciaal geval van (43) waarbij of G b, zodat R b V 2 G G 2 G A e () (44) G + G 2 G 2 + G + G 2 G 2 + G A t 27

28 De uitgangsimpedantie R OUT vinden we door de spanningsbron et () kort te sluiten ( et () stellen; doch de spanningsgestuurde spanningsbron laten staan!) en door een stroom j in knoop 2 te injecteren: R R 2 2 R j AV De verhouding V 2 j is dan de gezochte uitgangsweerstand. Toepassen van de Y n V n J n methode geeft G + G 2 G 2 G 2 G 2 + G V V 2 j G AV of nog na de onbekende V in het rechterlid naar links gebracht te hebben G + G 2 G 2 G 2 + G A G 2 + G V V 2 j We vinden V 2 G R OUT G j G + G 2 G 2 + G + G 2 G 2 + G A Tenslotte vinden we de gezochte spanning u b () t in Figuur 33 als oplossing van (45) R OUT V 2 R b u b () t via de wet van de spanningsdeler (zie.2., blz. 6) u b () t R b R OUT + R V V 2 b + G b R 2 OUT (46) Substitutie van (44) en (45) in (46) resulteert in(43). 28

29 c) Bespreking.. Indien de winst A naar oneindig gaat dan wordt de verhouding u b () t et () gelijk aan R 2 R (zie (43)), m.a.w. de actieve schakeling werkt als een inverterende spanningsversterker. 2. Voor A wordt de uitgangsweerstand R OUT alhoewel R (zie (45)). Is A» dan kan (45) benaderd worden als R 2 R OUT R A R m.a.w. de uitgangsweerstand van de spanningsversterker is gelijk aan de uitgangsweerstand van de opamp vermenigvuldigd met één plus de spanningswinst R 2 R en gedeeld door de open lus winst A van de opamp. Bijvoorbeeld, neem R, R 2 R en A 5 dan is m. R OUT 29

30 6. Compensatiestelling 6.. Probleemstelling Beschouw een weerstandsnetwerk met bronnen (onafhankelijke en gestuurde). e j () t E s J r i u R i k R k u k Figuur 35: Oorspronkelijk weerstandsnetwerk. We wensen nu na te gaan wat de invloed is van een verandering van de weerstandswaarde R naar R + R op de spanningen en stromen in het netwerk. De rechtstreekse aanpak bestaat erin om het nieuwe weerstandsnetwerk waarbij R vervangen is door R + R op te lossen. E s J r e j () t i + i i k + i k R k u + u R + R u k + u k Figuur 36: Geperturbeerd weerstandsnetwerk ( R R+ R ). Het verschil tussen de oplossingen van Figuren 36 en 35 levert dan de gezochte i k en u k. Het nadeel van deze aanpak is dat voor kleine variaties ( R R «) het verschil van de twee oplossingen numeriek onnauwkeurig kan zijn. De compensatiestelling biedt hieraan een oplossing. Merk op dat de compensatiestelling geldig is voor een willekeurige R ( R R of R R zijn ook toegelaten) Formulering en bewijs stelling Stelling. De gezochte variaties u k en i k van de spanningen en stromen onder invloed van een verandering R van de weerstand R in het oorspronkelijk netwerk worden gevonden als oplossing van het netwerk waarbij alle bronnen worden weggelaten en waarbij er een spanningsbron ir in serie met de weerstand R + R wordt geplaatst (zie Figuur 37, blz. 3). Merk op dat de gestuurde bronnen actief blijven. Zoniet zou men de fundamentele werking van het weerstandsnetwerk wijzigen. 3

31 i u R + R i k R k ir u k Figuur 37: Gewijzigd weerstandsnetwerk om de stroom- en spanningsvariaties veroorzaakt door een weerstandvariatie R R+ R te berekenen. Bewijs. Het weerstandsnetwerk in Figuur 35 is elektrisch equivalent met e j () t i k E s R k J r u i R + R R e j () t i k E s R k J r u i R + R ir (a) u k (b) u k Figuur 38: Netwerkequivalenties van Figuur 35. In netwerk (b) zijn alle vergelijkingen (KCL, KVL, VAL) dezelfde als in netwerk (a) behalve dat de weerstand R in (a) vervangen is door een spanningsbron ir in (b). Gezien de waarde van de spanningsbron in (b) precies de spanningsval over de weerstand R in (a) voorstelt zijn alle stromen en spanningen in (a) en (b) gelijk. We passen nu de superpositiestelling toe op het weerstandsnetwerk (b) in Figuur 38 waarbij we de bijdragen van de onafhankelijke bronnen opsplitsen in deze van enerzijds e j () t, E s en J r en anderzijds ir e j () t E s I i k R k J r u I i I R + R II i k R k i II R + R ir u II I u k II u k (I) Figuur 39: Superpositiestelling toegepast op het weerstandsnetwerk (b) in Figuur 38. (II) 3

32 zodat de spanningen en stromen in het oorspronkelijk netwerk (zie Figuur 35, blz. 3) kunnen geschreven worden als I u k II u k u k + i k I II i k + i k (47) I Nu is per constructie i k I i k + i k en u k u k + u k, en combinatie met (47) geeft u k i k II u k II i k (48) Uit (48) volgt er dat het teken van de spanningsbron ir in weerstandsnetwerk (II) van Figuur 39 kan omgewisseld worden wat resulteert in het weerstandsnetwerk van Figuur 37. Opmerkingen:. Om het gewijzigd weerstandsnetwerk in Figuur 37 op te lossen moeten we de oorspronkelijke stroom i door de weerstand R kennen. 2. Indien R R «dan kan het gewijzigd weerstandsnetwerk in Figuur 37 vereenvoudigd worden door R + R te vervangen door R Gevoeligheidsanalyse van de brug van Wheatstone rond het evenwicht R E R a R b E V R c Rx Figuur 4: Brug van Wheatstone met onkende weerstand R x en regelbare weerstand R c. Als toepassing op de compensatiestelling berekenen we de gevoeligheid van de brug van Wheatstone rond het evenwicht. In Figuur 4 wordt een voltmeter met een interne weerstand R V gebruikt als detector van het evenwicht ( R V M of groter). Het elektrisch equivalent schema van de brug wordt getoond in Figuur 4. De brug is in evenwicht wanneer de spanning aangegeven door de voltmeter nul is ( u V in Figuur 4). Aan deze voorwaarde is voldaan enkel en alleen indien u a u b (pas de KVL vergelijking toe op de gesloten lus bestaande uit de weerstanden R a, R b en R V ). Via de wet van de spanningsdeler (zie.2., blz. 6) vinden we dan u a u b R a R a + R c u a + u c R b R b + R x u b + u x (49) 32

33 i E R E i b u b u a R a i a R b E i V R V i c u V i x u c R c Rx u x Figuur 4: Elektrisch equivalent schema van de brug van Wheatstone in Figuur 4. Gezien nu u a + u c u b + u x (pas de KVL vergelijking toe op de gesloten lus gevormd door weerstanden R a, R b, R c en R x ) volgt er uit (49) dat de brug in evenwicht is enkel en alleen indien R a R x R c R b R x R c R b R a We wensen nu de volgende vraag te beantwoorden: Wat is de vereiste resolutie van de voltmeter bij evenwicht om de onbekende weerstand R x met een gegeven relatieve fout R x R x te kunnen meten? Het beantwoorden van deze vraag gebeurt in twee stappen. Eerst berekenen we de nodige resolutie R c van de regelbare weerstand R c om R x met een fout R x te meten, en vervolgens de vereiste resolutie u V van de voltmeter om de variatie rond evenwicht van de brug waar te nemen. R c Ra Rb In de onderstelling dat de weerstanden en exact gekend zijn leiden we uit (5) onmiddellijk de vereiste resolutie af van de regelbare weerstand R c om R x met een gegeven relatieve fout R x R x te meten (5) R c R c R x R x (5) Indien we R x op bijvoorbeeld drie beduidende cijfers wensen te meten R x R x 3, dan volgt er uit (5) dat de minimale resolutie R c van de regelbare weerstand gelijk moet zijn aan R c 3. R c Om nu de vereiste resolutie u V van de voltmeter te berekenen ten gevolge van een variatie R c rond het evenwicht van de brug, passen we de compensatiestelling toe waarbij we in Figuur 37 R + R vervangen door R hier R c + R c door R c (eerste orde benadering geldig voor kleine relatieve variaties R c R c «). Dit geeft aanleiding tot het netwerk getoond in Figuur 42. Om de berekeningen te vereenvoudigen wordt dit netwerk nu in twee stappen herleid tot een nieuwe brugschakeling. Eerst passen we de reciprociteitseigenschap (zie 2.7., blz. 4) toe op de tweepoort in Figuur 42 waarbij de spanningsbron als ingangspoort en het weerstandsloze deel van de tak die de stroom i V voert als uitgangspoort (zie de rode knooppunten in Figuur 42). Dit levert het netwerk in Figuur

34 R E R a i V u V R V R b R c i c R c R x Figuur 42: Toepassing van de compensatiestelling op de brug van Wheatstone in Figuur 4. De rode knopen geven de gekozen ingangs- en uitgangspoorten aan. R E R a R b i c R c R V R c i V R x Figuur 43: Toepassing van de reciprociteitstelling op de tweepoort in Figuur 42. De rode knopen geven de gekozen ingangs- en uitgangspoorten aan. Vervolgens kan het netwerk in Figuur 43 hertekend worden als een nieuwe brugschakeling waarbij de tak met de weerstand R E de detector voorstelt en de tak met de serieschakeling van de spanningsbron en de weerstand R V (omwisselbaar) de generator (zie Figuur 44, blz. 35). Merk op dat de evenwichtsvoorwaarde voor deze nieuwe brug dezelfde is als voor de oorspronkelijke brug in Figuur 4. Gezien de oorspronkelijke brug bij onderstelling in evenwicht is ((5) is voldaan) is dit ook het geval voor de nieuwe brug wat de berekening van de stroom i V in Figuur 44 sterk vereenvoudigt ( u i ). Via de wet van de stroomdeler (zie.3., blz. 6) vinden we een uitdrukking voor i V als functie van j, de stroom doorheen R V, R a + R b i V j R a + R b + R c + R x (52) De stroom j is gelijk aan de spanning i c R c gedeeld door de totale weerstand gezien vanuit de spanningsbron j i c R c R a + R b R c + R x R V R a + R b + R c + R x (53) 34

35 j R V R c i V R a i c R c i R E u R x R b Figuur 44: Hertekenen van het netwerk in Figuur 43 als een brugschakeling. Combinatie van (52) en (53) geeft i c R c R a + R b i V R a + R b + R c + R x R V + R a + R b R c + R x (54) Rekening houdend met het verband (5) kan geëlimineerd worden in (54) R x i V R a i c R c R a + R c R V + R a + R b R c (55) De stroom i c in de oorspronkelijke brugschakeling bij evenwicht (Figuur 4 met i V ) kan op dezelfde manier teruggevonden als voor i V. We vinden na enig rekenwerk i c R b E R a + R b R E + R a + R c R b (56) Combinatie van (55) en (56) met u V en R c R V i V geeft het gezocht verband tussen u V u V R a R b R V E R R a + R c R V + R a + R b R c R a + R b R E + R a + R c R b c (57) Speciaal geval. Indien R V» max( R a R b R c ) dan vereenvoudigt (57) zich als u R a R b E V R R a + R c R a + R b R E + R a + R c R b c (58) Numeriek voorbeeld. Neem, bijvoorbeeld, R a k, R b 2, R c 3.5 k, R x 6, R E 5, R V M, en E 8 V, en veronderstel dat we R x op drie beduidende cijfers wensen te meten ( R x R x 3 ). Uit (5) en (58) volgt dan respectievelijk dat R c 3 en u V mv R c. Combinatie van deze twee resultaten geeft uiteindelijk de vereiste resolutie van de voltmeter rond het evenwicht van de brug: u V 3 mv. 35

36 DEEL II: RLC NETWERKEN 36

37 7. Inleiding In dit deel van de cursus beschouwen we netwerken bestaande uit weerstanden, spoelen, condensatoren, onafhankelijke spannings- en stroombronnen, en gestuurde bronnen. et () jt () L C R Figuur 45: RLC-netwerk. Eerst bestuderen we het regime antwoord ( stationair gedrag antwoord voor t ) onder sinusoïdale bronnen (zie 8., blz. 38) en vervolgens het transient gedrag (overgangsverschijnselen) van RLC-netwerken. In beide gevallen zal blijken dat mits het invoeren van het begrip impedantie voor een spoel en een condensator we een evenredig verband kunnen uitdrukken tussen de spanningen en de stromen in een spoel en condensator ( veralgemening van de wet van Ohm). Bijgevolg zijn alle resultaten aangetoond in deel I voor weerstandsnetwerken (wet van de spanningsdeler, wet van de stroomdeler, stellingen van Thévenin en Norton, tweepoort beschrijving, de oplossingsmethode van de knooppuntpotentialen, de compensatiestelling) automatisch ook geldig voor RLC-netwerken in stationair en transient gedrag. 37

38 8. Stationair (regime) antwoord De berekeningswijze via de complexe notatie wordt eerst ingevoerd via een éénvoudig voorbeeld ( 8..) en nadien veralgemeend naar een willekeurig netwerk ( 8.2.). Hierop gebaseerd voeren we het begrip impedantie in van een spoel en een condensator onder sinusoïdaal regime ( 8.3.). We besluiten dat alle methodes voor het oplossen van weerstandsnetwerken ook gelden voor RLC-netwerken onder sinusoïdaal regime. De aanpak wordt vervolgens geïllustreerd op een aantal praktische voorbeelden ( 8.4.) en resonantiekringen ( 8.5.). Tenslotte berekenen we het gemiddeld vermogen gedissipeerd in een belasting onder sinusoïdaal regime ( 8.6.) en gaan we na wanneer de vermogenoverdracht van bron naar belasting maximaal is ( 8.7.). 8.. Motivatie complexe notatie via een éénvoudig voorbeeld it () R et () Ecos( t + ) C ut ()? Figuur 46: RC-netwerk met sinusoïdale spanningsbron. Toepassen van de KVL vergelijking in de gesloten lus van Figuur 46 geeft de volgende differentiaalvergelijking in de spanning ut () over de condensator RC du () t + ut () Ecos( t + ) (59) dt De oplossing van differentiaalvergelijking (59) is de som van de oplossing van de homogene differentiaalvergelijking (rechterlid in (59) nul stellen) en van een particuliere oplossing (een signaal ut () dat aan (59) voldoet). De oplossing van de homogene vergelijking stelt de overgangsverschijnselen voor (zie 9. en. voor de details) terwijl de particuliere oplossing het sinusoïdaal regimeantwoord is (oplossing van (59) wanneer t ). Hieronder berekenen we eerst rechtstreeks de particuliere oplossing van (59) en voeren nadien de complexe notatie in. Rechtstreekse berekening particuliere oplossing (59). Gebruik makend van cos( x + y) cosxcosy sinxsiny wordt het rechterlid in (59) (6) Ecos( t + ) Ecostcos Esintsin Dit toont aan dat er een particuliere oplossing bestaat van de vorm ut () sint + cost Inderdaad, substitutie van (6) in (59) levert RC + cost + RCsint Ecoscost Esinsint (6) (62) 38

39 i c () t R e c () t Ee jt + C u c () t? Figuur 47: Gedachtenexperiment met een complexe spanningsbron. Gezien cost en sint lineair onafhankelijke functies zijn kan (62) enkel geldig zijn t indien RC+ Ecos RC Esin Oplossen van het stelsel (63) geeft (63) RCcos sin E RC 2 + RCsin + cos E RC 2 + Combinatie van (6) en (64) geeft uiteindelijk de gezochte particulier oplossing (sinusoïdaal regimeantwoord) ut () E RC cos sin (65) RC 2 sint + E RC sin + cos + RC 2 cost + Hieronder tonen we nu aan dat de berekening van (65) sterk vereenvoudigd kan worden via het invoeren van een complexe spanningsbron die we in een gedachtenexperiment aanleggen aan het RC-netwerk. Berekening particuliere oplossing (59) via complexe notatie. Merk eerst op dat het rechterlid in (59) kan geschreven worden als een som van exponentiële functies e et () ReEe jt + c () t + e c () t ( ) met e (66) 2 c () t Ee jt + E c e jt waarbij E c Ee j, en met z de complex toegevoegde van z. In een gedachtenexperiment vervangen we nu de spanningsbron et () in Figuur 46 door de complexe spanningsbron e c () t (66). Het regimeantwoord op deze complexe bron noemen we u c () t en is een particuliere oplossing van RC du c () t + u (67) dt c () t e c () t (oplossing (67) voor t ). Gezien de coëfficiënten van (67) reëel zijn is u c () t het regimeantwoord op e c () t en is een particuliere oplossing van (64) 39

40 RC du c () t + u (68) dt c () t e c () t (bewijs: neem de complex toegevoegde van (67)). Optellen van (67) en (68) en delen door twee geeft exact (59) wat aantoont dat het gezochte reëel sinusoïdaal regimeantwoord ut () kan berekend worden als het reëel deel van u c () t u c () t + u c () t ut () Re( u (69) 2 c () t ) We berekenen nu een particuliere oplossing van (67) met e c () t gedefinieerd in (66). Gezien e c () t een exponentiële functie is, is de particuliere oplossing van de vorm Substitutie van (7) in (67) geeft u c () t e jt met (7) RCj + e jt E c e jt (7) waaruit volgt dat ((7) moet geldig zijn t ) (72) RCj + Combinatie van (69), (7) en (72) levert het gezochte reëel sinusoïdaal regimeantwoord ut () Opmerkingen: (73). De berekeningen nodig om tot (73) te komen zijn éénvoudiger dan deze voor (65) (geen stelsel op te lossen). Deze aanpak wordt in 8.2. veralgemeend voor willekeurige RLC-netwerken. 2. Toepassen van de volgende trigonometrische formules op (73) geeft (65). E c ut () Re( e RCj + jt ) E cost + bgtg( RC) RC 2 + E c cosx + y cosxcosy sinxsiny sinx + y sinxcosy + cosxsiny cosx sinx tg 2 () x tg() x tg 2 () x 3. Vergelijking (73) geeft meer inzicht in het regimeantwoord dan (65): (73) toont aan dat het regimeantwoord dezelfde vorm heeft als de bronspanning et () Ecost + met een amplitudeverandering een fasedraaiing gegeven door respectievelijk de amplitude en de fase van + RCj. 4

41 8.2. Oplossingmethode complexe notatie We onderstellen hier dat er één sinusoïdale bron aanwezig is in het RLC-netwerk, bijvoorbeeld een spanningsbron, et () Ecos( t + ) (74) Indien meerdere bronnen aanwezig zijn (met eventueel verschillende frequenties) gebruiken we het superpositiebeginsel (een RLC-netwerk wordt beschreven door lineaire netwerkvergelijkingen) om de invloed van elke bron apart te berekenen en achteraf de individuele bijdragen op te tellen. We tonen in twee stappen aan dat het regimeantwoord yt () van een RLC-netwerk op (74) van de vorm is yt () EHj ( ) cos( t + + Hj ( )) (75) met Hj ( ) een reëel rationale functie van j die afhangt van de RLCelementwaarden. Dit is een veralgemening van (73). Stap. Net zoals in (66) herschrijven we (74) als een som van exponentiële functies et () -- e (76) 2 c () t + e c () t en bepalen we vervolgens in een gedachtenexperiment het complexe regimeantwoord y c () t op de spanningsbron met complex signaal e c () t. Het reëel gedeelte van het complexe regimeantwoord y c () t geeft het gezochte reëel sinusoïdaal regimeantwoord yt (). Het bewijs volgt onmiddellijk uit de lineariteit van de netwerkvergelijkingen (KCL, KVL en VAL) en de reële RLC-elementwaarden. Inderdaad, een RLC-netwerk wordt beschreven door lineaire differentiaalvergelijkingen met reële coëfficiënten k d a k yt () k dt k d b r et () r dt r (veralgemening van (59)). Het complexe regimeantwoord spanningsbron e c () t (66) wordt dus beschreven door r y c () t (77) op de complexe k d k y c () t a k dt k r d r e c () t b r dt r (oplossing (78) voor t ). Gezien de coëfficiënten a k en b k reëel zijn volgt er uit (78) dat y c () t het complexe regimeantwoord is op de complexe bron e c () t d k y c () t d r e a k c () t (79) dt k b r k r dt r (neem de complex toegevoegde van (78)). Optellen van (78) en (79) en delen door twee geeft (77). Dit toont aan dat het gezochte reële regimeantwoord yt () (oplossing (77) voor t ) op et () gegeven wordt door yt () -- y 2 c () t + y c () t Re( y c () t ) (78) 4

42 Opmerking. Indien et () Esin( t + ) dan is het reële regimeantwoord yt () gelijk aan het imaginair gedeelte van het complexe regimeantwoord y c () t. Bewijs dit als oefening (aanwijzing: gebruik Esin( t + ) e c () t e c () t 2j). Stap 2. Wanneer we het complexe regimeantwoord y c () t berekenen op e c () t (66), dan zijn alle spanningen en stromen in het netwerk evenredig met e c () t. We bewijzen dit door aan te tonen dat het complexe regimeantwoord van (78) van de vorm is y c () t Hj ( )E c e jt (8) met Hj ( ) b r j r r a k j k Berekening van de r de afgeleide van e c () t naar de tijd t geeft d r e c () t dt r E c j r e jt en dus bestaat er een particuliere oplossing van (78) van de vorm k y c () t e jt (8) (82) (83) Inderdaad, substitutie van (83) in (78), rekening houdend met (82), levert wat een veralgemening is van (7). Uit (84) volgt dat Hj ( )E c, met Hj ( ) gedefinieerd in (8) ((84) moet immers geldig zijn t ). Combinatie van dit resultaat met (83) bewijst (8). Merk finaal op dat het reëel deel van (8) juist (75) is Impedantie in sinusoïdaal regime symbolische notatie We passen de oplossingsmethode van sectie 8.2. nu toe op VAL vergelijkingen van een spoel, condensator en weerstand. Hierbij maken we expliciet gebruik van het feit dat het complexe regimeantwoord van alle spanningen en stromen in het netwerk op de complexe spanningsbron e c () t (66) evenredig zijn met e c () t. Spoel. a k j k e jt E c b r j k i c () t De VAL vergelijking van een spoel met inductantie L wordt gegeven door L u c () t r r e jt Figuur 48: Complexe stroom door en complexe spanning over de spoel o.i.v. een complexe bron (66). (84) 42

43 waarbij u c () t L di c () t dt (85) i c () t I c e jt en u c () t U c e jt (86) met I c U c (zie 8.2., vgl. (8)). Substitutie van (86) in (85) levert U c e jt wat herschreven kan worden als LI c je jt U c LjI c (87) Vergelijking (87) is een veralgemening van de wet van Ohm voor een spoel onder sinusoïdaal regime waarbij de evenredigheidsfactor Lj de impedantie van de spoel wordt genoemd. Merk op dat de complexe spanning U c 9º voorijlt op de complexe stroom (zie Figuur 5a). I c Condensator. i c () t C u c () t Figuur 49: Complexe stroom door en complexe spanning over de condensator o.i.v. een complexe bron (66). De VAL vergelijking van een condensator met capaciteit C wordt gegeven door waarbij i c () t C du c () t dt (88) i c () t I c e jt en u c () t U c e jt (89) met I c U c (zie 8.2., vgl. (8)). Substitutie van (89) in (88) levert I c e jt wat herschreven kan worden als CU c je jt U c I (9) Cj c Vergelijking (9) is een veralgemening van de wet van Ohm voor een condensator onder sinusoïdaal regime waarbij de evenredigheidsfactor Cj de impedantie van de condensator wordt genoemd. Merk op dat de complexe spanning U c 9º naijlt op de complexe stroom (zie Figuur 5b). I c 43

44 Weerstand. i c () t R u c () t Figuur 5: Complexe stroom door en complexe spanning over de weerstand o.i.v. een complexe bron (66). De VAL vergelijking van een weerstand met waarde R wordt gegeven door u c () t Ri c () t (9) waarbij i c () t I c e jt en u c () t U c e jt (92) met I c U c vereenvoudiging (zie 8.2., vgl. (8)). Substitutie van (92) in (9) levert na U c RI c (93) U c I c wat de wet van Ohm voorstel onder complexe notatie. Merk op dat de complexe spanning in fase is met de complexe stroom (zie Figuur 5c). Samenvatting. Om het regimeantwoord op de sinusoïdale spanningsbron et () (74) te berekenen vervangen we de tijdsafhankelijke bron et () door het complex getal E c Ee j en lossen het netwerk op waarbij we R, Lj en Cj als impedanties voor de complexe VAL vergelijkingen (93), (9) en (87) gebruiken. Hierbij kunnen alle methodes uit deel I voor weerstandsnetwerken gebruikt worden. Het reële regimeantwoord yt () (spanning of stroom) wordt dan gevonden door de oplossing Y c (complexe spanning of stroom) te vermenigvuldigen met e jt en nadien het reëel deel te nemen yt () ReY ( c e jt ) Y c cos( t + Y c ) (94) met Re() z het reëel deel van z. Merk op dat Y c E c Ee j, zodat (94) van de vorm (75) is. U c I c Uc U c 2 I c 2 I c (a) (b) (c) Figuur 5: Grafische voorstelling van de complexe spanning U c en de complexe stroom voor (a) een spoel, (b) een condensator en (c) een weerstand. I c 44

45 8.4. Voorbeelden De methodologie van secties 8.2. en 8.3. wordt hier geïllustreerd op een aantal voorbeelden van RLC-netwerken. Serieschakeling. it ()? L R et () Ecos( t + ) C Figuur 52: RLC-serieschakeling. Het doel is het regimeantwoord it () te berekenen. Hiertoe vervangen we de bron et () door de complexe bron E c Ee j en bepalen de complexe stroom I c. De impedantie Zj ( ) die de bron E c ziet is de som van de impedanties van de weerstand, spoel en condensator Zj ( ) R+ Lj Cj Deling van E c door Zj ( ) geeft de complexe stroom I c Toepassen van (94) op (95) levert het gevraagde regimeantwoord waarbij I c E c Ee j Zj ( ) R+ Lj Cj it () ReI ( c e jt ) I c cos( t+ I c ) I c I c E R 2 + L C 2 bgtg( L R C ) it () (95) (96) Wet van de spanningsdeler. R et () Ecos( t + ) L ut ()? Figuur 53: Wet van de spanningsdeler. 45

46 De bron et () wordt vervangen door de complexe bron E c Ee j. De complexe spanning over de spoel wordt dan gevonden via de wet van de spanningsdeler () U c Lj U c Lj R E c Toepassen van (94) op (95) geeft het regimeantwoord ut () (97) ut () ReU ( c e jt ) U c cos( t + U c ) waarbij U c U c L E R 2 + L 2 -- bgtg L 2 + ( R ) Wet van de stroomdeler. R L jt () Jsin( t + ) it ()? C Figuur 54: Wet van de stroomdeler. De stroombron jt () wordt vervangen door de complexe stroombron J c Je j, en de complexe stroom vinden we via de wet van de stroomdeler (2) I c Het regimeantwoord it () R+ Lj I c J c R+ Lj Cj vinden we op de volgende manier terug (98) it () ImI ( c e jt ) I c sin( t+ I c ) (waarom? verklaar!) met Im() z het imaginair deel van z en waarbij I c I R 2 + L 2 c R 2 + L C 2 bgtg( L ) bgtg( L R C ) R 46

47 Methode van de knooppuntpotentialen. R R 3 it ()? et () Ecos( t + ) C R 2 L Figuur 55 We wensen het regimeantwoord van de stroom it () te kennen. Hiertoe vervangen we de spanningsbron et () door de complexe spanning E c Ee j en lossen we het netwerk op gebruik makende van de methode van de knooppuntpotentialen (zie 5., blz. 22) G + G + 2 Cj Lj V G E c R 3 (99) De complexe stroom I c doorheen de spoel vinden we door de potentiaal V te delen door de impedantie gevormd door de serieschakeling van de weerstand R 3 en de spoel L V I c Lj R 3 () Combinatie van (99) en () geeft I c G Ee j R 3 + LjG + G 2 + Cj () Toepassen van (94) op () levert het gevraagde regimeantwoord it () it () I c cos( t+ I c ) waarbij I c G E G + G 2 R 3 + LC G + G 2 L + R 3 C 2 I c G bgtg + G 2 L+ R 3 C ( ) G G + G 2 R 3 + LC 2 + G 2 R 3 + LC 2 G bgtg + G 2 L+ R 3 C ( ) + G G + G 2 R 3 + LC 2 + G 2 R 3 + LC 2 47

48 8.5. Resonantiekringen In deze sectie behandelen we een paar bijzondere schakelingen van spoelen en condensatoren die gekend staan onder de naam resonantiekringen. Serieresonantie. L C Figuur 56: Serieresonantie. De impedantie Zj ( ) van de serieschakeling in Figuur 56 is gegeven door Zj ( ) Lj Lj Cj LC 2 (2) Uit (2) volgt er dat de impedantie van de serieschakeling nul is voor LC. De frequentie f 2 LC wordt de resonantiefrequentie van de serieschakeling genoemd. Parallelresonantie. L C Figuur 57: Parallelresonantie. De impedantie Zj ( ) van de parallelschakeling in Figuur 57 is gegeven door Zj ( ) Lj Cj Lj Cj Lj LC 2 (3) Uit (3) volgt er dat de impedantie van de parallelschakeling oneindig is voor LC. De frequentie f 2 LC wordt de resonantiefrequentie van de parallelschakeling genoemd. Werkelijke resonantiekringen. In de praktijk bevatten de spoelen en condensatoren verliezen die door een weerstand kunnen gemodelleerd worden. Figuur 58 toont meer realistische voorstellingen van resonantiekringen. R R L C L C Figuur 58: Werkelijke resonantiekringen. 48

49 De overeenkomstige impedanties zijn respectievelijk Z serie ( j) R Lj R+ Lj Cj LC 2 Z parallel ( j) Cj R Lj (4) Hieruit volgt dat bij resonantie res LC de serie- en parallelimpedanties niet langer nul en oneindig zijn: Z serie ( j res ) R en Z parallel ( j res ) R. Numerieke illustratie. De Matlab m-files ImpedantiesEersteOrde.m en ImpedantiesTweedeOrde.m horend bij de cursus tonen de frequentieafhankelijkheid van de impedantie van een aantal RLC-netwerken Gemiddeld vermogen onder sinusoïdaal regime it () LC R Lj 2 ut () Zj ( ) Figuur 59: Éénpoort onder sinusoïdaal regime met frequentieafhankelijke impedantie Z( j) Beschouw een éénpoort onder sinuoïdaal regime (zie Figuur 59). Het vermogen gedissipeerd in deze éénpoort wordt gegeven door pt () waarbij pt () ut ()it ut () Ucos( t + U ) it () Icos( t + I ) (5) (6) Gebruik makend van (66) kunnen we (5) herschrijven als pt () UI e j U I 4 e j U I e j 2t + U + I e j 2t + U + I Bijgevolg is het gemiddeld vermogen P over één periode T 2 gelijk aan (7) P T -- UI pt () dt T cos( 2 U I ) U eff I eff cos( ) (8) met U I het faseverschil tussen de spanning en de stroom. In (8) stellen U eff U 2 en I eff I 2 de effectieve waarden van de spanning en stroom voor en cos( ) is de arbeidsfactor. 49

50 Resistieve éénpoort. Voor een weerstandsnetwerk is er geen faseverschuiving tussen spanning en stroom ( U I ) en bijgevolg is cos( ). Het gemiddeld vermogen is dan gelijk aan P U eff I eff wat overeenkomt met de vermogendissipatie in een weerstandsnetwerk o.i.v. een DC bron. Vandaar het nut van de effectieve waarde. Inductieve éénpoort. Voor een inductief netwerk ijlt de spanning 9º voor op de stroom (zie, bijv. (87)) en dus is de arbeidsfactor nul ( cos( 2) ). Gemiddeld gezien wordt er dus geen vermogen gedissipeerd. Er is echter wel een periodieke vermogenuitwisseling tussen het netwerk en de buitenwereld. Capacitieve éénpoort. Voor een capacitief netwerk ijlt de spanning 9º na op de stroom (zie, bijv. (9)) en dus is de arbeidsfactor nul ( cos( 2) ). Gemiddeld gezien wordt er dus geen vermogen gedissipeerd. Er is echter wel een periodieke vermogenuitwisseling tussen het netwerk en de buitenwereld. Complexe notatie. Gebruik makend van de complexe spanning U c Ue j I en de complexe stroom Ie j I kunnen we het complex vermogen S definiëren als I c S --U (9) 2 c I c --UIe j U I 2 Het reëel deel van het complex vermogen S (9) is precies het actief vermogen P (8) P Re( S) --UIcos 2 U ( I ) () P () stelt het deel van het vermogen voor dat gedissipeerd wordt in de belasting en wordt uitgedrukt in Watt [W]. Het imaginair deel van S wordt het reactief (blind) vermogen Q genoemd Q Im( S) --UIsin 2 U ( I ) () Q () stelt het deel van het vermogen voor dat periodiek wordt uitgewisseld tussen de belasting en de bron en wordt uitgedrukt in Volt-Ampère-reactief [VAr]. Ten slotte noemt men de magnitude van S het schijnbaar vermogen S --UI 2 en wordt uitgedrukt in Volt-Ampère [VA] Vermogenoverdracht van bron naar belasting (2) Z E ( j) it () et () Ecos( t + ) Z b ( j) ut () Figuur 6: Spanningsbron met uitgangsimpedantie Z E belast met een impedantie Z b. 5

51 Beschouw een sinusoïdale bron met uitgangsimpedantie Z E die belast wordt met de impedantie Z b (zie Figuur 6). Het complexe vermogen S van de belasting vinden we via (9), de wet van de spanningsdeler (berekening U c ), en de veralgemeende wet van Ohm (berekening ) I c S Z b Z E Z b E c --U 2 c I c E 2 + c Z E Z b Z b E 2 2 Z E + Z 2 c b (3) waarbij E c Ee j. Het actief vermogen P gedissipeerd in de belasting Z b is gelijk aan het reëel deel van (3) P Re( S) Re( Z -- b ) E 2 2 Z E + Z 2 b (4) We kunnen nu ons afvragen voor welke waarde van Z b de vermogen overdracht P van de bron naar de belasting maximaal is. Hiertoe schrijven we de complexe impedanties Z E en Z b als functie van hun reëel en imaginair deel: ZE RE + jxe Z b R b + jx b Gebruik makend van (5) wordt (4) (5) P E R b R E + R b 2 X E + X b (6) Om de waarden van R b en X b te vinden waarvoor (6) maximaal is berekenen we de partieel afgeleiden van P naar R b en X b, en stellen deze gelijk aan nul P X b P R b X b R b X E R E (7) Gezien we de oplossing R b R E kunnen verwerpen voor RLC netwerken, volgt er uit (7) dat de vermogenoverdracht van bron naar belasting maximaal is indien Z b Z E (8) Dezelfde voorwaarde geldt wanneer een stroombron met uitgangsimpedantie belast wordt met (toon dit aan als oefening). Z b Z E 5

52 9. Overgangsverschijnselen tijdsdomein methode De tijdsdomein aanpak wordt eerst geïllustreerd aan de hand van een aantal éénvoudige voorbeelden ( 9..) en wordt nadien veralgemeend naar een willekeurig netwerk ( 9.2.). 9.. Éénvoudige voorbeelden LR-netwerk. t R it () E L ut () Figuur 6: LR-netwerk met i( ). De VAL vergelijking van een spoel wordt gegeven door ut () L di () t (9) dt Uit (9) leiden we af dat de stroom een continue functie moet zijn van de tijd ( it () is de integraal van de spanning). Bijgevolg verzet de spoel zich tegen een stroomverandering en reageert deze bij het inschakelen op t als een open klem. Uitdrukken van de KVL vergelijking in de gesloten lus, rekening houdend met (9), levert een eerste orde differentiaalvergelijking L di () t + Ri() t E (2) dt met als beginvoorwaarde i( ). De oplossing van (2) bestaat uit de som van de oplossing van de homogene vergelijking (rechterlid in (2) gelijk aan nul stellen) en een particuliere oplossing. Als oplossing van de homogene differentiaalvergelijking vinden we L di () t + Ri() t dt it () Ke t L R (2) met K een constante te bepalen uit de beginvoorwaarde. Als particuliere oplossing stellen we it () voor. Substitutie in (2) levert it () De som van (2) en (22) geeft de volledige oplossing E -- R (22) 52

53 it () E -- + Ke R t L R Uit de beginvoorwaarde i( ) halen we dat K E R zodat (23) E it () -- e (24) R t L R L R wordt uitgedrukt in seconden [s] en is de tijdsconstante waarmee de stroom zich opbouwt. Merk op dat de stroom asymptotisch ( t ) gelijk is aan E R zodat in DC regime (antwoord voor t o.i.v. een DC bron) de spoel zich gedraagt als een kortsluiting. RC-netwerk t R it () E C ut () Figuur 62: RC-netwerk met u(). De VAL vergelijking van een condensator wordt gegeven door it () C du () t dt (25) Uit (25) leiden we af dat de spanning een continue functie moet zijn van de tijd ( ut () is de integraal van de stroom). Bijgevolg verzet de condensator zich tegen een spanningsverandering en reageert deze bij het inschakelen op t als een kortsluiting. Uitdrukken van de KVL vergelijking in de gesloten lus, rekening houdend met (25), levert een eerste orde differentiaalvergelijking RC du () t + ut () E (26) dt met als beginvoorwaarde u( ). De oplossing van (26) bestaat uit de som van de oplossing van de homogene vergelijking (rechterlid in (26) gelijk aan nul stellen) en een particuliere oplossing. Als oplossing van de homogene differentiaalvergelijking vinden we RC du () t + ut () dt ut () Ke t RC (27) met K een constante te bepalen uit de beginvoorwaarde. Als particuliere oplossing stellen we ut () voor. Substitutie in (26) levert 53

54 ut () E De som van (27) en (28) geeft de volledige oplossing ut () E+ Ke t RC Uit de beginvoorwaarde u( ) halen we dat K u( ) E zodat (28) (29) ut () E+ u( ) Ee t RC (3) RC wordt uitgedrukt in seconden [s] en is de tijdsconstante van het opladen van de condensator (opbouwen van de spanning over de condensator). Merk op dat de spanning asymptotisch ( t ) gelijk is aan E zodat in DC regime de condensator zich gedraagt als een open klem Algemene oplossingsmethode Het berekenen van de overgangsverschijnselen (transient gedrag) gebeurt in 3 stappen:. Het bepalen van de orde van de differentiaalvergelijking en de keuze van de onafhankelijke veranderlijken (keuze stromen en spanningen). 2. Opstellen van de differentiaalvergelijking. 3. Oplossen van de differentiaalvergelijking rekening houdend met de beginvoorwaarden (initiële spanningen over de condensatoren en initiële stromen door de spoelen). We bespreken nu elke stap in meer detail. Orde van de differentiaalvergelijking. De orde van de differentiaalvergelijking (netwerk) is gelijk aan het aantal onafhankelijke energieopslag mogelijkheden. De elementen die in een netwerk energie opslaan zijn de condensatoren (elektrische energie Cu 2 () t 2) en de spoelen (magnetische energie Li 2 () t 2). Normaal gezien is de orde van de differentiaalvergelijking gelijk aan de som van het aantal spoelen en condensatoren en kiest men als onafhankelijke veranderlijken de spanning over de condensatoren en de stromen door de spoelen. Er zijn echter twee uitzonderingen op deze regel. De eerste uitzondering is een gesloten lus van het netwerk waarin zich enkel condensatoren en spanningsbronnen bevinden, bijv., u () t et () C C 2 u 2 () t Figuur 63: Gesloten lus met enkel condensatoren en een spanningsbron. Gezien et () u () t + u 2 () t (KVL in de gesloten lus) is de energieopslag in condensator C 2 gekend voor een gegeven energieopslag in condensator C. De 54

55 energieopslag in C 2 is dus niet onafhankelijk van deze in C en de orde van dit deelnetwerk is en niet 2. De tweede uitzondering is een knoop (of doorsnede) van het netwerk waarin enkel spoelen en stroombronnen aankomen, bijv., i () t L L 2 i 2 () t jt () Figuur 64: Knoop met enkel spoelen en een stroombron. Gezien jt () i () t + i 2 () t (KCL in de knoop ) is de energieopslag in spoel L 2 gekend voor een gegeven energieopslag in spoel L. De energieopslag in L 2 is dus niet onafhankelijk van deze in en de orde van dit deelnetwerk is en niet 2. L Opstellen van de differentiaalvergelijking. Om de differentiaalvergelijking op te stellen moeten we eerst een keuze maken van de onafhankelijke veranderlijken. Indien er geen uitzonderingen voorkomen zoals in Figuren 63 en 64 dan nemen we de spanningen over de condensatoren en stromen door de spoelen als onafhankelijke veranderlijken. Vervolgens worden de condensatoren vervangen door spanningsbronnen en de spoelen door stroombronnen. Dit resulteert in een weerstandsnetwerk dat opgelost wordt met de methode van de knooppuntpotentialen. Met de kennis van alle potentialen en alle stromen door de weerstanden kunnen we de stromen door de condensatoren en de spanningen over de spoelen berekenen. Dit levert een eerste orde differentiaalstelsel (zie het o.o. Netwerken en Filters, 3de BA EIT voor de details), dat dan herleid kan worden tot een differentiaalvergelijking in de gezochte onbekende. Oplossen van de differentiaalvergelijking. De volledige oplossing van de differentiaalvergelijking bestaat uit de som van de oplossing van de homogene differentiaalvergelijking (rechterlid gelijk aan nul stellen) en een particuliere oplossing. De onbekende constanten in de oplossing van de homogene vergelijking worden bepaald door de initiële condities uit te drukken in de volledige oplossing. Dit laatste vereist het oplossen van een lineair stelsel vergelijkingen. Opmerkingen. De twee nadelen van de tijdsdomeinaanpak zijn (i) het opstellen van de differentiaalvergelijking, en (ii) het oplossen van de differentiaalvergelijking (bepalen van de constanten aan de hand van de initiële condities). Het grote voordeel van deze methode is echter dat ze ook kan gebruikt worden om niet-lineaire netwerken op te lossen (zie het o.o. Netwerken en Filters, 3de BA EIT voor de details). 55

56 . Overgangsverschijnselen Laplace-domein methode De Laplace-domein aanpak vermijdt het opstellen en oplossen van de differentiaalvergelijking in de tijdsdomeinaanpak. We geven eerst de definitie en een paar eigenschappen van de Laplace transformatie; de lezer wordt verwezen naar het o.o. Complexe analyse: residurekening en integraaltransformaties van 2de BA IR voor een gedetailleerde studie van deze transformatie. Nadien passen we de Laplace transformatie toe op de KCL en KVL vergelijkingen (zie.2.) en vervolgens op de VAL vergelijkingen van een spoel en een condensator (zie.3.). Hieruit volgt dat via het invoeren van het begrip impedantie in transient gedrag alle wetmatigheden (wet spanningsdeler, wet stroomdeler, ), en oplossingsmethodes (methode knooppuntpotentialen, compensatiestelling, ) geldig voor weerstandsnetwerken ook van toepassing zijn voor RLC netwerken in het Laplace domein. Finaal wordt de aanpak geïllustreerd op een aantal voorbeelden... Definitie en eigenschappen Laplace transformatie Definitie. De Laplacegetransformeerde Xp () van een tijdsignaal xt () is gedefinieerd als Xp () Lx() t xt ()e pt d t (3) waarbij xt () een spanning of stroom voorstelt en met p een complex getal. Het tijdsignaal xt () kan teruggevonden worden uit de Laplacegetransformeerde Xp () via xt () ResXp ( ( )e pt ) polen X( p) (32) waarbij een pool van Xp () een complex getal p is waarvoor Xp (), en met Res( ) het residu van de pool. Bijvoorbeeld, voor rationale functies Xp () zijn de polen de wortels van de noemer. Voor enkelvoudige polen vindt men het residu als volgt p Res( Xp ()e pt ) p p lim p p Xp ()e pt p p e p ot lim p p p p Xp ( ) (33) Merk op dat (33) enkel eindig blijft voor t indien Re( p ). Eigenschappen. De Laplacegetransformeerde (3) heeft de volgende eigenschappen. L is een lineaire operator Lx() t + yt () Lx() t + Ly() t Bewijs: rechtstreeks toepassen van (3). 2. De Laplacegetransformeerde van een constante K (34) Bewijs: LK K --- p (35) 56

57 Ke ptdt K --e pt voor p K --- Re() p p 3. De Laplacetransformatie van een signaal vermenigvuldigd met een exponentiële functie waarbij a. Bewijs: Le at xt () Xp ( a) (36) e at xt ()e pt d t xt ()e p atdt Xp ( a) 4. De Laplacegetransformeerde van de afgeleide van een signaal L dx() t dt px() p x() Bewijs via partiële integratie met Re() p : (37) dx () t e dt pt d t xt ()e pt xt () pe pt dt x() + px() p.2. KCL en KVL in het Laplace domein De KCL vergelijkingen drukken uit dat de som van de stromen in een knoop (doorsnede) gelijk is aan nul i k () t k (38) Gezien de Laplace getransformeerde een lineaire operator is (zie eigenschap (34)) wordt (38) in het Laplace domein I k () p k (39) Op dezelfde wijze worden de KVL vergelijkingen (som van de spanningen in een gesloten lus gelijk aan nul) u k () t k (4) omgezet in U k () p k (4) 57

58 .3. VAL in het Laplace domein impedantie in transient gedrag Weerstand. it () R ut () Gebruik makend van (34) wordt de Laplace getransformeerde van de wet van Ohm ut () Ri() t Up () RI() p Hieruit volgt dat de wet van Ohm ook geldig is in het Laplace domein. (42) Spoel. it () L ut () Gebruik makend van (37) wordt de Laplace getransformeerde van de VAL vergelijking van een spoel ut () L di () t Up ( ) LpIp ( ) i() LpI( p) Li() (43) dt Hieruit volgt dat er enkel een evenredig verband is tussen Up () en Ip () indien de beginvoorwaarde i( ). De evenredigheidsfactor Lp wordt de impedantie van de spoel genoemd. Indien de beginvoorwaarde niet nul is kunnen we via het volgend equivalent schema het begrip impedantie Lp van een spoel toch nog hanteren it () i() it () i( ) jt () j() ut () L ut () L i() Figuur 65: Elektrisch equivalent schema van een spoel met i( ). De equivalentie bewijzen we door aan te tonen dat het verband tussen de spanning ut () en de stroom it () voor beide schema s hetzelfde zijn. Uitdrukken van de KCL en VAL vergelijkingen in het elektrisch equivalent geeft it () jt () + i( ) ut () L dj () t dt (44) Gebruik makend van eigenschappen (34), (35) en (37) wordt de Laplace getransformeerde van (44) 58

59 i() Ip () Jp ( ) p Up ( ) LpJ( p) Eliminatie van Jp ( ) in (45) geeft (43). (45) Condensator. it () C ut () Gebruik makend van (37) wordt de Laplace getransformeerde van de VAL vergelijking van een condensator it () C du () t u() Ip () CpUp () u() Up () I( p) dt Cp p (46) Hieruit volgt dat er enkel een evenredig verband is tussen Up () en Ip () indien de beginvoorwaarde u( ). De evenredigheidsfactor Cp wordt de impedantie van de condensator genoemd. Indien de beginvoorwaarde niet nul is kunnen we via het volgend elektrisch equivalent schema het begrip impedantie Cp van een condensator toch nog hanteren it () ut () u( ) C it () ut () u( ) C vt () v( ) u( ) Figuur 66: Elektrisch equivalent schema van een condensator met u( ). De equivalentie bewijzen we door aan te tonen dat het verband tussen de spanning ut () en de stroom it () voor beide schema s hetzelfde zijn. Uitdrukken van de KVL en VAL vergelijkingen in het elektrisch equivalent geeft ut () vt () + u() it () C dv () t dt (47) Gebruik makend van eigenschappen (34), (35) en (37) wordt de Laplacegetransformeerde van (47) Up () u( ) Vp () p Ip () CpV( p) Eliminatie van Vp () in (48) geeft (46). (48) 59

60 Samenvatting. Om de overgangsverschijnselen van een RLC-netwerk te berekenen vervangen we. De geladen condesatoren door de serieschakeling van een ongeladen condensatoren met een DC bron die de beginwaarde van de spanning voorstelt (zie Figuur 66). 2. De spoelen waardoor een initiële stroom vloeit door een parallelschakeling van een spoel met initiële stroom nul en een DC stroom bron die de beginwaarde van de stroom voorstelt (zie Figuur 65). 3. De spanning- en stroombronnen, bijv. et (), door hun Laplace getransformeerde, bijv. Ep (). Vervolgens lossen we het netwerk op waarbij we R, Lp en Cp als impedanties gebruiken voor de Laplacegetransformeerden van de VAL vergelijkingen. Het uiteindelijke tijdsantwoord vinden via de inverse Laplace transformatie (32)..4. Voorbeelden RC-netwerk. Beschouw het RC-netwerk in Figuur 62, blz. 53, waarbij op t de kring wordt gesloten. Het doel is om het transient gedrag van ut () te berekenen. Hiertoe wordt de geladen condensator vervangen door zijn equivalent schema (zie Figuur 66) wat resulteert in Figuur 67. Vervolgens nemen we de Laplace getransformeerde (zie Figuur 68) en lossen het bekomen netwerk op. We vinden voor de Laplace getransformeerde Ip () van de stroom it () Ip () E u() p CE u ( ) RCp + R Cp Uit (49) vinden we dan de Laplace getransformeerde (49) Vp () van de spanning vt () E u( ) Vp () I() p (5) Cp prcp + Merk op dat de rationale vorm Vp () twee enkelvoudige polen heeft: p en p RC. Toepassen van (32) en (33) geeft dan vt () lim E u( ) + e t RC lim E u( ) p RCp + p RC RCp E u( ) e t RC (5) t R it () E C vt () v() u() ut () Figuur 67: Equivalent schema van het RC-netwerk in Figuur 62. 6

61 R Ip ( ) E -- p Cp Vp ( ) u () p Up () Figuur 68: Laplacegetransformeerde van het RC-netwerk in Figuur 67. Uiteindelijk is de gezochte spanning ut () vt () + u() oplossing (3) bekomen via de tijdsdomein aanpak. wat overeenkomt met de RLC-netwerk. Beschouw het RLC-netwerk in Figuur 69 waarbij op t de kring wordt geopend. Bij onderstelling zijn de beginwaarden van de stroom en spanning verschillend van nul ( i( ) en u( ) ). Het doel is om het transient gedrag van de stroom it () te berekenen. Hiertoe vervangen we de spoel en de condensator door hun equivalente schema s in Figuren 65 en 66, wat resulteert in Figuur 7. Vervolgens nemen we de Laplace getransformeerde (zie Figuur 7). Finaal vervangen we de parallelschakeling van de spoel en de stroombron door hun Thévenin equivalent schema (zie Figuur 72) en lossen we het netwerk op. We vinden voor de Laplace getransformeerde Ip () van de stroom it () Ip () Ep () + Li( ) u( ) p R+ Lp+ Cp CpEp () + pli() u() LCp 2 + RCp + (52) We berekenen nu expliciet it () voor twee specifieke gevallen: et () E (DC bron) en et () Ecos( t) (AC bron). DC bron. Uit (35) volgt dat (52) levert Ep () E p. Combinatie van dit resultaat met (32) en CE pli it () Res( e + ( ) u( ) pt LCp 2 ) + RCp + polen I( p) (53) De polen van Ip () zijn de wortels van de vierkantsvergelijking LCp 2 + RCp + p p 2 RC + RC 2 4LC LC RC RC 2 4LC LC (54) Het teken van RC 2 4LC bepaalt de ligging van de wortels p en p 2 in het linkerhalfvlak 6

62 t L R it ()? et () C ut () Figuur 69: RLC-netwerk met beginvoorwaarden i( ) en u( ). t L R it ()? et () i( ) C u( ) Figuur 7: Elektrisch equivalent schema van het RLC-netwerk in Figuur 69. Lp R Ip ( ) Ep ( ) i ( ) p Cp u ( ) p Figuur 7: Laplacegetransformeerde van het RLC-netwerk in Figuur 7. Li( ) Lp R Ip ( ) Ep ( ) Cp u ( ) p Figuur 72: Finaal op te lossen RLC-netwerk. 62

63 R p p 2 zijn zuiver imaginaire wortels R 2 L C --- p p 2 zijn complex toegevoegde wortels R 2 L C --- p p 2 zijn samenvallende reële wortels (a) (b) (c) (55) R 2 L C --- p p 2 liggen op de negatief reële as Gebruik makend van (33) en (54) vinden we voor (53) (d) it () e E+ p Li() u() pt E + p Li () u() 2 Lp p e p2t Lp 2 p (56) Naargelang de ligging van de wortels p p 2 noemt men de overgangsverschijnselen (56): ongedempt ( p p 2 zijn zuiver imaginair en complex toegevoegd: (55a)), onderkritisch gedempt ( p p 2 zijn complex toegevoegd met negatief reëel deel: (55b)), kritisch gedempt ( p p 2 zijn negatief reëel en samenvallend: (55c)), of bovenkritisch gedempt ( p p 2 zijn verschillend en liggen op de negatief reële as: (55d)). Vergelijking (56) wordt geïllustreerd in Figuur 73 voor de volgende waarden: i( ) ma, u( ) 2 mv, L 3.8 mh, C 3.8 nf, R (a), R 2 (b), R 2 k (c), en R 2 k (d). Merk op dat (56) ook reëel is voor complex toegevoegde wortels p p 2 (toon dit aan als oefening!). AC bron. Toepassen van eigenschappen (34) en (36) van de Laplace transformatie op cost e jt + e jt 2 geeft de Laplace transformatie van et () Ecos( t) E Ep () Le() t (57) 2 p j + p Ep j p Combinatie van (52) met (57) toont aan dat Ip () vier enkelvoudige polen heeft namelijk p p, p 2, j en j. Bijgevolg zijn er vier termen in de som (32) voor het berekenen van de tijdsantwoord it () it () Ep 2 Ep p p Li() u() Lp p 2 e pt p p 2 Li() u() Lp 2 p e p2t + (58) ECj e jt EC j 2LCj e j + RCj + 2LC j 2 + RC j + t Hierbij stellen de eerste twee termen in (58) de overgangsverschijnselen voor die uitdempen wanneer R, en de laatste twee termen het regime (stationair) antwoord. Merk op dat de som van de laatste twee termen in (58) gelijk is aan ECj Re LCj 2 e jt E ( ) Re( + RCj + Lj R + Cj ejt ) 63

64 2 Ongedempt Onder kritisch gedempt i(t) [ma] i(t) [ma] t [ms] (a) Kritisch gedempt t [ms] (b) Boven kritisch gedempt i(t) [ma] 5 i(t) [ma] t [ms] (c).5. t [ms] Figuur 73: Overgangsverschijnselen van een RLC-netwerk met DC bron als functie van de weerstandswaarde R. (a) R ; (b) R 2 L C; (c) R 2 L C; (d) R 2 L C. (d) wat precies overeenkomt met het regime antwoord (95) en (96) gevonden via de complexe notatie (zie 8.4., blz. 45 en verder). Figuur 74 toont de overgangsverschijnselen (58) voor de volgende waarden: f 5 Hz, i( ) ma, u( ) 2 mv, L 3.8 mh, C 3.8 nf, met in (a) R, (b) R 2, (c) R 2 k, en (d) R 4 k. Numerieke illustratie. De Matlab m-files RLC_transient_DC_bron.m en RLC_transient_AC_bron.m horend bij de cursus tonen de overgangsverschijnselen (56) en (58) voor de vier gevallen (55). Voor de simulatie met de AC bron kunnen ook verschillende frequenties f gekozen worden kleiner dan, gelijk aan, of groter dan de resonantiefrequentie 2 LC. 64

65 2 Ongedempt (T bron 2 ms) Onder kritisch gedempt (T bron 2 ms) 2 i(t) [ma] i(t) [ma] t [ms] (a) t [ms] (b) Kritisch gedempt (T bron 2 ms) Boven kritisch gedempt (T bron 2 ms) i(t) [ma].5 i(t) [ma] t [ms] (c) t [ms] (d) Figuur 74: Overgangsverschijnselen van een RLC-netwerk met AC bron waarvan de frequentie f 5 Hz tien keer lager is dan de serie resonantiefrequentie 2 LC 5 khz van de kring als functie van de weerstandswaarde R. (a) R ; (b) R 2 L C; (c) R 2 L C; (d) R 2 L C. 65

66 . Methode van de maasstromen.. Verband netwerk en georiënteerde graf u R i 2 i 4 R3 u 3 2 t t 3 C u 4 L R 4 i 5 i 3 3 t u 2 R 2 i 2 R E C 2 et () u 5 i 6 t 2 t 5 6 t 6 u 6 Figuur 75: Netwerk (links) met de overeenstemmende georiënteerde graf (rechts). Beschouw het netwerk in Figuur 75. Dit netwerk bevat n + 4 knopen ( n 3 vrije knopen) en t 6 takken. Aan dit netwerk kunnen we een georiënteerde graf associëren waarbij de oriëntatie van de tak overeenkomt met de zin van de takstroom. We kunnen nu n 3 takken selecteren zodanig dat er tussen 2 willekeurige knopen van het netwerk juist pad bestaat tussen de knopen, bijvoorbeeld takken t, t 3 en t 4 in Figuur 75. De verzameling van deze n 3 takken noemt men een boom (rode takken in Figuur 75). Het toevoegen van een tak aan deze boom vormt een gesloten lus (creëert een tweede pad tussen twee knopen), wat men een fundamentele lus noemt. De fundamentele lus heeft dezelfde oriëntatie als de tak die toegevoegd werd tot de boom. Men kan dus t n 3 verschillende fundamentele lussen vormen in het netwerk van Figuur 75, namelijk 2, 5 en 6. De methode van de maasstromen is gebaseerd op de KVL vergelijkingen in deze fundamentele lussen..2. Oplossingsmethode De KCL (3 vrije knopen), de KVL (3 fundamentele lussen) en de VAL vergelijkingen (6 takken) van het netwerk in Figuur 75 vormen een stelsel van 2 vergelijkingen in 2 onbekenden. Hieronder tonen we aan dat dit 2 2 stelsel kan herleid worden tot een 3 3 stelsel in de takstromen (ook maasstromen genoemd) i 2, i 5 en i 6. Bovendien kan dit stelsel rechtstreeks vanuit het netwerk opgesteld worden. Voor de éénvoud onderstellen we hier dat de beginvoorwaarden nul zijn. a) Uitschrijven van de KVL vergelijking in fundamentele lus 6, rekening houdend met de VAL vergelijkingen van de takken, geeft in het Laplace domein R C p I R 3 I 3 R E I 6 Ep ( ) (59) 66

67 met I k ( p) Li k () t. Uitdrukken van de KCL vergelijkingen in knopen en 3 geeft het verband tussen de stromen I, I 3 en de maasstromen I 2, I 5 en I 6 I I 6 I 2 I 3 I 5 + I 6 (6) Combinatie van (59) en (6) levert na vereenvoudiging R C p I2 + R 3 I R C p + R 3 + R E I6 Ep () (6) Op een gelijkaardige manier bekomen we voor fundamentele lussen 2 en 5 LpR 4 R R LpR 4 Lp + R 4 C p I I Lp + R R 4 C p I6 LpR 4 LpR I Lp + R 2 R I5 + R 4 C 2 p Lp + R 4 3 I 6 (62) (63) Vergelijkingen (6), (62) en (63) kunnen onder matrix vorm geschreven worden Z m I m E m (64) met Z m de kringenimpedantiematrix LpR 4 R R Lp + R 4 C p LpR Lp + R R C p Z m LpR LpR R Lp + R R 4 C 2 p Lp + R 3 4 (65) R C p R R C p + R 3 + R E E m de kringenspanningsbronvector Ep () (66) en I m de vector van de onbekende maasstromen I m I 2 ( p) I 5 ( p) I 6 () p T. b) Rechtstreeks opstellen van Z m en E m. Merk op dat de hoofddiagonaalelementen Z m ii de som van de impedanties van de takken in de fundamentele lus i bevatten Z m ii impedanties in fundamentel kring i (67) De niet-diagonaalelementen Z m ij zijn de som van de impedanties gemeenschappelijk aan fundamentele lussen i en j. Deze som wordt vermenigvuldigd met indien i en j de impedanties in tegengestelde zin doorlopen 67

68 i j zelfde zin: + Z m ij impedanties gemeenschappelijk aan i j (68) i j tegengestelde zin: - Om de elementen van de vector E m terug te vinden moeten we alle stroombronnen vervangen door hun Thévenin equivalent. Het i de element E m i is dan gelijk aan de som van de spanningsbronnen die men tegenkomt in het doorlopen van fundamentele lus i. De bijdrage wordt positief gerekend wanneer de zin van de spanningsbron en dezelfde zijn; zoniet is de bijdrage negatief. i spanningsbronnen in i i E m bron en i zelfde zin: + bron en i tegengestelde zin: - (69).3. I-shift Opmerkingen:. De regels (67), (68) en (69) voor het opstellen van Z m I m E m vergelijkingen zijn geldig voor een willekeurig netwerk. De afleiding via het voorbeeld is geen strikt bewijs omdat we niet aangetoond hebben dat de bekomen vergelijkingen lineair onafhankelijk zijn. Dit wordt aangetoond in het o.o. Netwerken en Filters, 3de BA IR EIT. 2. Indien het netwerk ideale stroombronnen bevat kan de methode van de maasstromen niet onmiddellijk toegepast worden. De reden is dat het Thévenin equivalent van een ideale stroombron niet bestaat. De oplossing van het probleem bestaat erin om Jp ( ) te elimineren als onbekende. Dit gebeurt via de I- shift zoals uitgelegd in de volgende sectie. I 3 ( p) Z 3 () p 3 I () p 2 Z ( p) Z 4 () p Z 5 ( p) Ep ( ) Z 2 ( p) Jp () Figuur 76: Netwerk in Laplace domein met een ideale stroombron. Beschouw het netwerk in Figuur 76 en kies bijvoorbeeld in takken t 2, t 4 en t 5 als boom (rode impedanties Z 2 ( p), Z 4 ( p) en Z 5 ( p) ). De onbekende maasstromen zijn dan I ( p), I 3 ( p) en Jp ( ). Het probleem is nu dat de gekende stroom Jp ( ) van de stroombron als onbekende wordt genomen. De oplossing van het probleem bestaat erin om Jp ( ) te elimineren als onbekende via de I-shift. We tonen nu aan dat het netwerk in Figuur 76 elektrisch equivalent is met het netwerk in Figuur 77. Hiervoor volstaat het op te merken dat de KCL, KVL en VAL vergelijkingen ongewijzigd zijn gebleven, behalve dat de KVL vergelijking van de lus 68

69 I ( p) Z ( p) Ep ( ) I 3 () p Z 3 () p Z 5 ( p) 3 Z 4 ( p) Z 2 ( p) 2 Jp ( ) Jp ( ) Figuur 77: I-shift toegepast op de ideale stroombron in Figuur 76. I ( p) Z ( p) Ep ( ) I 3 () p Z 3 () p 3 Z 4 ( p) 2 3 Z 5 () p Jp ()Z 5 ( p) Z 2 () p Jp ()Z 2 ( p) Figuur 78: Finaal netwerk zonder ideale stroombronnen. met de ideale stroombrom geëlimineerd werd. Tenslotte vervangen we de parallelschakeling van de ideale stroombron met de impedantie door zijn Thévenin equivalent wat resulteert in Figuur 78. Toepassen van de Z m I m E m vergelijkingen (64) op het netwerk in Figuur 78, met t 2 t 4 t 5 als boom, geeft Z ( p) + Z 2 ( p) + Z 4 () p Z 4 () p Z 4 ( p) Z 3 () p + Z 4 () p + Z 5 ( p) I ( p) I 3 ( p) Ep () + Z 2 ( p)jp ( ) Z 5 ( p)jp ( ) (7) Oplossen van het stelsel levert I ( p) en I 3 ( p) waarmee dan alle spanningen en stromen in het netwerk kunnen berekend worden. Via de invers Laplace transformatie (32) en (33) bekomen dan finaal het gezochte tijdsantwoord. 69

70 REFERENTIEWERKEN N. Balabanian, T.A. Bickart, Electrical Network Theory. John Wiley and Sons, New York (USA), 969. Ph. Cara, Complexe Analyse: Residurekening en Integraaltransformaties, Vubtiek, cursus 2de BA IR. W.K. Chen, The Analysis of Linear Systems. McGraw-Hill, New York, 963. W. K. Chen (ed.), The Circuit and Filters Handbook. CRC Press & IEEE Press, 995. T. L. Floyd, Electric Circuits Fundamentals. Prentice Hall, 2. P. Gray, P. Hurst, S. Lewis and R. Meyer, Analysis and Design of Analog Integrated Circuits. John Wiley and Sons, fourth edition, 2. M. Nahvi, J. A. Edminister, Schaum's Outlines Electric Circuits. Mc Graw-Hill, 24. S. Seshu and M.B. Reed, Linear Graphs and Electrical Networks. Addison-Wesley, London (UK), 96. R. Pintelon, Netwerken en Filters Deel I: Analyse. Vubtiek, cursus 3de BA IR EIT. R. E. Thomas, A. J. Rosa, G. J. Toussaint, The Analysis & Design of Linear Circuits, 7th ed. John Wiley & Sons, Hoboken (USA), 22. 7