Academiejaar Eerste Examenperiode Opleidingsonderdeel: Elektrische Schakelingen en Netwerken. EXAMENFOLDER maandag 27 januari 2014

Transcriptie

1 Universiteit Gent naam: Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur voornaam: de Bachelor Ingenieurswetenschappen richting: Opties C,, TN en W prof. Kristiaan Neyts Academiejaar erste xamenperiode Opleidingsonderdeel: lektrische Schakelingen en Netwerken XAMNFOLDR maandag 7 januari 04 Controleer of het wel jouw naam is die op het etiket staat! Controleer en verbeter indien nodig je studiejaar. Het examen wordt afgesloten om.30 uur. Ten laatste dan moet je deze examenfolder afgeven.. Je mag tijdens het examen geen ander papier gebruiken dan deze folder. Het laatste blad van deze folder is een beperkt formularium. Het examen is met gesloten boek. 3. Gebruik je tijd efficiënt: Bij iedere vraag is een richtwaarde voor de benodigde tijd aangegeven. Het totaal van de richttijden is 00 min = 3u 0min. Het examen duurt maximaal 4 uur. De puntenwaarde (op een totaal van 0) is aangegeven, en is ongeveer evenredig met de richttijd. Wees dus efficiënt: Blijf in je antwoorden kort en terzake. Gebruik zoveel mogelijk de vóórgedrukte figuren, assenroosters, antwoordkaders, circuitschema's In de antwoordkaders komt het resultaat bovenaan; de berekeningen en de uitleg komen erna. De achterkant van de bladzijden kan je als kladpapier gebruiken. Schrijf duidelijk leesbaar! veel succes!

2 Vraag : en gelijkstroomnetwerk (30 minuten - 3 punten) In het netwerk hierboven zijn zes weerstanden verbonden met het centrale knooppunt en zijn er drie gelijkspanningsbronnen van 6 Volt. De weerstandswaarden zijn aangegeven naast elke weerstand ( Ω, Ω of 3 Ω). Bepaal de stromen I, I en I V doorheen de takken aangegeven door de stroompijlen. Oplossing Dit netwerk heeft drietallige symmetrie (rotatie over 0 graden laat het netwerk onveranderd). Dat wil zeggen dat telkens drie punten op dezelfde potentiaal staan, laten we zeggen V a en V b. Daarnaast is er het centrale knooppunt dat we kiezen als aardingsknoop. We kunnen de volgende wetten van Kirchoff opschrijven: 3I 3I = 0 KCL in aardingsknoop V V V a b a = I Ω V over Ω = I Ω V over Ω V = 6 V V over brontak b ( ) V V = I I 3 Ω V over 3 Ω a b V Uit de eerste vergelijking volgt I = I. Uit de combinatie van, 3 en 4 volgt : I Ω + I Ω = 6 V. Dit levert de stromen I en I =A. De stroom I v volgt uit de laatste vergelijking. Antwoord : I = A I = A I V = 4A

3 Vraag : en netwerk in het tijdsdomein (30 minuten - 3 punten) In het netwerk hierboven is een gelijkspanningsbron 0 verbonden met een netwerk met twee spoelen en is de schakelaar sinds lange tijd voor t=0 gesloten. Op t = 0 gaat de schakelaar open. De koppeling tussen de spoelen is niet ideaal: M < L L.. Vul de tabel met begin- en eindwaarden in. di v (t) v (t) i (t) i (t) ( t) dt di dt ( t) t = R t = 0 + R 0 0 R 3 R R L R L L 3 M 0 R M R L L M 3 0 t Bij t=0- zijn alle afgeleiden nul (lange tijd geen veranderingen) en dus zijn de spanningen over de spoelen nul. r loopt wel een stroom door spoel, die gemakkelijk te vinden is omdat R is korgesloten: i 0 = R 3 Als de schakelaar verandert op t=0, dan blijven de stromen in de spoelen onveranderd. De spanningen vinden we door na te gaan over welke weerstand de stroom loopt: i loopt over R 3 terwijl i (die nul is) loopt over R. Om ten slotte de afgeleiden van de stromen te vinden moeten we de differentiaalvergelijkingen van de gekoppelde spoelen opschrijven (met de gewone conventies voor dot en VRS): di di R v L M x L x -M = + = 0 dt dt R3 di di v L M M L dt dt = + = 0 x - x De twee afgeleiden kunnen berekend worden uit dit stelsel, door de vergelijkingen met de gepaste waarden te vermenigvuldigingen (rechts van de vergelijkingen) voor t naar oneindig is de bron afgesloten en worden alle grootheden nul. 3

4 . Stel de differentiaalvergelijking op voor de stroom i (t) voor het netwerk met de geopende schakelaar (voor t >0). Schrijf de vergelijking in een standaardvorm. De differentiaalvergelijking moet NIT worden opgelost. De differentiaalvergelijking voor i (t) : d ( ) i ( ) De differentiaalvergelijking vinden we door het stelsel van de gekoppelde spoelen aan te vullen met de stroom-spanningskarakteristieken van de twee weerstanden: v v di L L M R L RL R Ri 0 dt + + dt + = = R i = R i Door de twee spanningen te elimineren vinden we een stelsel met de stromen als onbekenden: di di R i = L + M dt dt di di R i = L + M dt dt Uit de eerste vergelijking kunnen we de afgeleide van i vinden : di = L di R i dt M dt M Als we nu de tweede vergelijking van het stelsel afleiden en daarin de gevonden afgeleide van i substitueren, dan is i geëlimineerd en bekomen we de gevraagde differentiaalvergelijking: di d i d i R = L + M dt dt dt R i = L + M M dt M M dt M dt dt L di R L d i R di d i 4

5 Vraag 3: Bode diagram (30 minuten - 3 punten) De volgende transferfunctie is gegeven: + 0sτ µ s T ( s) = met τ = 4 + 0sτ + 0 s τ π 3. Bepaal de resonantiepulsatie ω 0 en de Q-factor van de transferfunctie. Antwoord: ω 0 = 4 0 Hz π Q = 0 De resonantiepulsatie volgt uit het tegengesteld zijn van de eerste en de derde term van de noemer: 4 ω0τ 0 = 0 4 ω0 = = π0 Hz 0 τ De Q-factor volgt uit identificatie met de standaardvorm : s s + + Qω 0 ω0 3. Bereken de polen en nullen en teken het polen- en nullendiagram voor deze transferfunctie Antwoord : polen: nullen: De nul is het nulpunt van de teller: sτ = 0 De nulpunten van de noemer (polen) volgen uit de vierkantsvergelijking : sτ = ± i 0 sτ = 0 s τ + 0 sτ + 0 = 0 De discriminant kunnen we benaderen : n zo vinden we de twee wortels (zie hierboven) D =

6 Polen en nullen diagram Dit mag een ruwe schets zijn. Belangrijk is te zien dat de polen dicht bij de verticale as liggen. 6

7 Bode diagram voor amplitude en fase 7

8 Vraag 4: Netwerk met twee (meest) ideale diodes (40 minuten - 4 punten) Het netwerk hierboven bestaat uit vier weerstanden, twee meest ideale diodes (drempelspanning nul) en twee gelijkstroomspanningsbronnen. De bron links is variabel en levert een spanning V in. 4. Bereken de stroom I door de weerstand van kω zoals aangeduid op de figuur. Bepaal de intervallen van de spanning V in waarbinnen bepaalde oplossingen geldig zijn. Antwoord : I =.8 ma geldig voor interval: V in < 3.6 V I = V in + ma 9 kω geldig voor interval: 3.6 V < V in < 9 V I = 3 ma geldig voor interval: V in > 9 V Voor voldoende lage V in verwachten we dat de diode D zal sperren en D zal geleiden. De stoom I kunnen we uitrekenen door het overeenkomstig netwerk te tekenen: De twee weerstanden van kω staan in serie, daardoor ziet de bron van 8 V een totale weerstand van 5 kω en levert dus een stroom van 3.6 ma. De stroom aangeduid door de stroompijl is de helft daarvan, dus.8 ma. 8

9 Voor hogere waarden van V in kunnen we onderstellen dat beide diodes geleiden (moeten we achteraf verifiëren). In dat geval wordt het netwerk: In dit netwerk staan de twee weerstanden van kω in parallel en we kunnen ze vervangen door weerstand van kω. De stroom I vinden we door superpositie van de twee bronnen. Als alleen de bron V in is aangeschakeld (dan is de tweede bron kortgesloten), dan ziet die een weerstand van.8 kω en levert een stroom V in /.8 kω. Door stroomdeling vinden we dat de stroom I een fractie kω = is van deze waarde, dus.v in /9 kω kω kω 4 kω Als alleen de bron van 8 V is aangeschakeld (dan is de bron V in kortgesloten), dan ziet die een weerstand van 4.5 kω en levert een stroom 8 V/4.5 kω = 4 ma. Door stroomdeling loopt slechts een kwart hiervan door de tak I. De totale stroom is de som van beide: Vin 4 ma V I = + = in + ma 5.8 kω 4 9 kω Voor voldoende hoge spanningen V in kunnen we inzien dat D zal geleiden en D zal sperren. Het overeenkomstig netwerk is: De oplossing voor I is evident, namelijk 8 V gedeeld door 6 kω, dus 3 ma. Nu moeten we de grenzen tussen de gebieden zoeken. Terzelfdertijd kunnen we controleren dat de gemaakte onderstelling (bij intermediaire spanningen) juist is. De grens tussen lage en intermediaire waarden voor V in vinden we door de stromen gelijk te stellen: 9

10 V in + ma=.8 ma 9 kω Daaruit leiden we af dat de overgang gebeurt bij 3.6 V. We controleren nu dat bij deze overgangsspanning (waarbij de spanning over diode en de stroom door de diode D nul is), diode D blijft geleiden. Door diode D loopt dezelfde stroom als I, want beide takken staan in parallel en I is positief:.8 ma. Dus D geleidt inderdaad. De tweede grens is de overgang tussen het intermediaire gebied en het gebied van hoge spanning. De voorwaarde is (analoog als hiervoor): V in + ma=3 ma 9 kω Daaruit leiden we af dat de overgang gebeurt bij 9 V. We controleren dat bij deze spanning de diode D geleidt: de stroom door de diode is bij het omschakelen van diode D gelijk aan 3 ma, inderdaad een positieve waarde. 4. Maak een schets van de oplossing, waarbij de stroom wordt uitgezet als functie van de ingangsspanning V in. Duid de eenheid aan van I. 0

11 Vraag 5: Netwerk (30 minuten 3 punten) en driefasig generator levert een effectieve sterspanning V S = 00 Volt bij een frequentie f =50 Hz. r is een symmetrische belasting aangesloten op de generator die bestaat uit drie identieke weerstanden R en zelfinducties L. De waarden van R en L zijn: 30 R = k Ω ; L = H π 5. Bereken het totaal (actief en reactief vermogen) vermogen dat wordt opgenomen door de volledige belasting. Bereken eerst de symbolische formule (met R en L). Bereken daarna de getalwaarde. Antwoord : Symbolisch Getalwaarde (met eenheid) actief vermogen P = reactief vermogen Q = R 9 V s R + ω L ωl 9 V s R + ω L 9 W 7 VA De impedantie van een tak (waarover de lijnspanning staat) is: Z = R + jω L Het complexe vermogen opgenomen door de drie impedanties samen is gegeven door: s s V V 9 R + j ω P + jq = VI = = = V L s Z R jω L R + ω L Met de opgegeven getalwaarden vinden we de numerieke waarden (zie tabel) j P + jq = 9 0 V = ( j) W + 3 kω

12 5. Bereken de effectiefwaarde van de lijnstroom I lijn. De hoek φ wordt NIT gevraagd. Antwoord : effectiefwaarde lijnstroom I lijn = 30 0 ma De effectiefwaarde voor de lijnstroom is onmiddellijk te berekenen via: P P = 3V silijn cos φ = 3V silijn P + Q Als we de gegeven getalwaarden invullen, dan vinden we de stroom I lijn. P + Q 9W + 3 Ilijn = = = 30 0 ma 3V s 3 00V en alternatieve manier is de lijnstroom te berekenen uit de IV karakteristiek over een tak: Vtak 3V S V Z = R + ω L = = 3 S I I I I lijn tak lijn 3 V 00 V = 3 S = 3 = 30 0 ma R + ω L 0 kω lijn

13 Vraag 6: Netwerk in tijdsdomein (40 minuten 4 punten) Het netwerk in het tijdsdomein heeft een schakelaar die initieel (sinds lange tijd) met de linkertak verbonden is zoals aangegeven op de figuur. De spanningsbron is sinusoïdaal: = cos ω t met = 5 V 0 0 Op het tijdstip t =0 wordt de schakelaar omgeschakeld zoals aangegeven op de figuur: de centrale tak wordt dan verbonden met de rechtertak. De getalwaarden zijn: R = k Ω ; R = k Ω ; R3 = k Ω ; C = µ F ; f = khz ; π 6. Bereken de spanning v(t) over de condensator C zoals aangegeven in de figuur voor t < 0. Antwoord : v(t) = 3 4 cos ω t + sin ω t voor t < Voor t<0 is de spanning gegeven door een spanningsdeling in sinusregime: R V = R + R + sτ R met RC τ = R + R Omzetten naar het tijdsdomein gebeurt via splitsing in het reëel en imaginair deel met s=jω. De spanningsbron is een cosinus met fasorvoorstelling 0 R jωτ V = 0 R + R + ω τ In het tijdsdomein levert dit onmiddellijk: R cos ω t + ωτsin ωt v( t) = R + R + ω τ Met de getalwaarden ingevuld: 4 cos ω t + sin ωt v( t) = 5 V= V cos ω t + V sin ωt

14 6. Bereken de spanning v(t) over de condensator C zoals aangegeven in de figuur voor t > 0. Antwoord : v(t) = π 0.6 V exp ms t voor t > 0 Voor t = 0- vinden we de beginvoorwaarde voor de spanning, namelijk v 0 =0.6 V. De spanning over de condensator maakt geen sprong bij t=0. Voor t>0 is het netwerk bronloos. De condensator zal zicht ontladen over de twee weerstanden die in parallel staan: t v( t) = v0 exp τ De tijdsconstante van het netwerk is nu gegeven door: τ = RR3C ms R + R = π Maak een schets van de spanning v(t) over de condensator C tussen - en + ms. 4