Academiejaar eerste examenperiode Opleidingsonderdeel: Elektrische Schakelingen en Netwerken. EXAMENFOLDER maandag 30 januari 2017

Transcriptie

1 Universiteit Gent naam: Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur voornaam: de Bachelor Ingenieurswetenschappen richting: Opties C, E, TN en WE prof. Kristiaan Neyts Academiejaar 6-7 eerste examenperiode Opleidingsonderdeel: Elektrische Schakelingen en Netwerken EXAMENFOLDER maandag 3 januari 7 Controleer je naam en richting en vul aan indien nodig.. Het examen wordt afgesloten om.3 uur. Ten laatste dan moet je deze examenfolder afgeven.. Je mag tijdens het examen geen ander papier gebruiken dan deze folder. Achteraan zijn een paar extra bladen voorzien (p.7-3). Staat een deel van de oplossing op de bladzijden achteraan, zet dan een verwijzing in je oplossing. Op p6 van deze folder staat een beperkt formularium. Het examen is met gesloten boek. 3. Gebruik je tijd efficiënt: Bij iedere vraag is een richtwaarde voor de benodigde tijd aangegeven. Het totaal van de richttijden is min = 3u min. Het examen duurt maximaal 4u. De puntenwaarde (op een totaal van ) is aangegeven, en is evenredig met de richttijd. Blijf in je antwoorden kort en ter zake. Gebruik zoveel mogelijk de voorgedrukte figuren, assenroosters, antwoordkaders, circuitschema's. Motiveer de berekening. Schrijf de oplossing in het voorziene kader. Vergeet niet eenheden te vermelden! Schrijf duidelijk leesbaar! veel succes!

2 Vraag : Een gelijkstroomnetwerk (3 minuten - 3 punten) Het bovenstaande gelijkstroomnetwerk bevat spanningsbronnen en 7 weerstanden. Er is voor dit netwerk een symmetrie-operatie die het netwerk onveranderd laat. De symmetrieeigenschap kan gebruikt worden op het netwerk eenvoudiger op te lossen. Wat is de symmetrie-operatie die het netwerk onveranderd laat? Bepaal de stromen I I en I 3 in de takken aangeduid in de figuur. Welke symmetrie-operatie? spiegeling ten opzicht van de vertikale, met omkering van de bronnen I = V/3R I = V/3R I 3 = Berekening van de drie stromen Het netwerk blijft onveranderd als het wordt gespiegeld ten opzichte van de verticale, als daarbij de twee spanningsbronnen worden vervangen door -V. De punten van het netwerk op de verticale as staan daardoor op potentiaal nul, want hun potentiaal mag niet veranderen door de symmetrie-operatie. De drie weerstanden die de verticale as snijden knippen we in twee om het nieuwe netwerk te vinden. In dat nieuwe netwerk herkennen we een brug van Wheatstone die in evenwicht is, zodat I 3 =. De stroom I vind je door de totale weerstand te berekenen (3R in parallel met 3R). De helft van deze stroom is gelijk aan I.

3 Vraag : Een dynamisch netwerk (4 minuten - 4 punten) In het netwerk hierboven is de schakelaar gesloten voor t= en is een gekende sinusoïdale π bron e( t) = E cos ω t + verbonden met twee weerstanden en twee condensatoren. De 3 sinusoïdale bron en de spanningen v en v kunnen voorgesteld worden door hun fasoren E, V en V... Bereken met fasoren Bereken de verhoudingen tussen complexe fasoren in sinusregime: V /V ; en de transferfuncties V /E; V /E. Antwoord V /V = V /E= V /E= + src src + s R C + 3sRC + s R C src + 3sRC + s R C Berekening V /V wordt berekend door spanningsdeling: de impedantie /sc gedeeld door de som van R en /sc. De impedantie rechts van de schakelaar Z is een parallelschakeling van R met een + src serieschakeling (van R en /sc): Z = R. + src V V /E kan dan gevonden worden door spanningsdeling: Z = E Z + sc De derde transferfunctie is het product van de twee vorige. 3

4 . Berekening van de tijdsfunctie voor t < Bereken de spanning over de capaciteit v (t) in sinusregime voor t <. Gebruik hierbij de volgende getalwaarden: ω = Hz; R = k Ω ; C = µ F; E = V. Wat is de spanning op t =-? Antwoord : E v (t) = π π cos ω t + = 4 V cos Hz t v (t=-) = V Berekening E = E e j π 3 src = jω RC = j Hz kω µ F = j V j = = E + 3 j + j π cos = Berekening van de tijdsfunctie voor t >, en schets Bereken de spanning over de capaciteit v (t) na het openen van de schakelaar, dus voor t >. Stel daarvoor de differentiaalvergelijking op en los deze op. Maak een schets van het verloop van v voor en na t= (vergeet de eenheden niet bij t en v ). Antwoord : t t v = V exp = V exp RC ms 4

5 Berekening Voor t> bestaat het netwerk maar uit twee weerstanden en een condensator, zonder bron. De differentiaalvergelijking wordt gegeven door: dv v + = dt RC RC = kω µ F = ms De oplossing van deze vergelijking is een expontieel dalende kromme. De asymptoot is bij nul, want er zijn geen bronnen. De raaklijn snijdt in ms De periode van de oscillatie voor t< vinden we als volgt: π π T = = = 63 ms f ω Hz 5

6 Vraag 3: Vermogen in een netwerk (3 minuten 3 punten) Een driefasig generator levert een effectieve sterspanning V S = Volt bij een frequentie f = Hz. Er zijn 3 symmetrische belastingen aangesloten op de generator met drie identieke weerstanden R en drie identieke zelfinducties L. De derde belasting verbruikt een gemiddeld actief vermogen P 3 = 3 kw met cos ϕ 3 = (inductief). De waarden van R en L zijn:. R = Ω ; L = H π 3. Bereken het actief (P) en reactief (Q) vermogen dat wordt opgenomen door de drie verbruikers. Bereken eerst de symbolische formule (met V S, R, L). Bereken daarna de getalwaarden. Antwoord : Symbolisch / Getalwaarde (met eenheid) P Q / P Q verbruiker (L): V 9 s ωl 9 VAR verbruiker (R): V 3 s R 6 kw verbruiker 3: P 3 P 3 tanϕ 3 3 kw 3 VAR 6

7 3. Totaal vermogen en totale lijnstroom Bereken de som van de vermogens P tot en Q tot voor de drie verbruikers samen. Bereken de effectiefwaarde van de lijnstroom I lijn die nodig is om het vermogen te leveren aan de drie gebruikers. Antwoord : Som van vermogens: P tot= 9 kw Q tot = VAR effectiefwaarde lijnstroom ( voor verbruikers ++3): I lijn = 5 A Berekening van de totale vermogens en de lijnstroom I lijn I lijn P + Q 9 + kw 5 kw = = = = 5 A 3V 3 V 6 V s 7

8 Vraag 4: Bode diagram (3 minuten - 3 punten) De volgende transferfunctie is gegeven: sτ + + 6s τ T ( s) = 5 met + sτ ms τ = π 4. Bereken de polen en nullen voor deze transferfunctie. Indien nuttig mag je benaderingen doorvoeren (nauwkeurigheid tot op % is meer dan voldoende). Antwoord : polen: nullen: s = τ j s = + 6τ 4τ j s = 6τ 4τ Berekening van de polen en nullen Discriminant voor de teller sτ + + 6s τ 5 τ D = b 4ac = 4 6τ 64τ 5 b D 8τ s = ± = ± j a a 6τ 3τ 4. Teken het polen en nullen diagram Duid aan welke grootheden je uitzet in de assen. 8

9 4.3 Teken het Bode diagram met in de horizontale as de frequentie f voor de gegeven transferfunctie. Vermeld de eenheid van f, bij voorbeeld f(hz). Teken de Bode-benadering en maak een schets van het verwachte verloop van T en arg(t) Berekening voor het Bode diagram breekfrequentie voor de noemer: ω = τ f = = Hz πτ resonantiefrequentie voor de teller ω = 4τ f = = 5 Hz π 4τ kwaliteitsfactor Q= 9

10

11 Vraag 5: Netwerk met (meest) ideale diodes (3 minuten - 3 punten) Het netwerk hierboven bestaat uit drie identieke weerstanden R, twee meest ideale diodes (drempelspanning nul) en twee gelijkstroom-spanningsbronnen. De bron rechts levert een DC spanning van 6 V (bovenaan hogere potentiaal dan onderaan), de bron links is variabel en levert een spanning V in (deze spanning kan ook negatief zijn). 5. Bereken de stroom I door de tak met de weerstand R zoals aangeduid op de figuur. Bepaal de intervallen van de spanning V in waarvoor bepaalde diodes geleiden, en bepaal voor die intervallen de stroom I in functie van V in. Antwoord : I = 3R V in voor interval: V in < diodes die geleiden: geen I = voor interval: < V in < 6 V diodes die geleiden: D I = V in 6 V R voor interval: 6 V < Vin diodes die geleiden: D en D

12 Berekening van de stroom I en de intervallen voor V in We onderscheiden drie gevallen: beide diodes geleiden niet, alleen D geleidt en beide geleiden. Dit leidt tot de drie netwerken hieronder. Elk netwerk kan eenvoudig worden opgelost door de superpositie van twee gelijkstroombronnen. -Linker netwerk De spanning V in staat over drie weerstanden in serie. Merk op dat de referentiepijlen in dezelfde richting staan (GRS) dus is de stroom I tegengesteld van teken ten opzichte van V in. -Middenste netwerk De twee weerstanden rechts zijn kortgesloten, dus is de stroom nul -Rechter netwerk Hier moet superpositie worden toegepast. Als alleen de bron V in aanwezig is, is de stroom V in /R. Als alleen de bron 6 V aanwezig is, dan is de stroom 6V/R. 5. Maak een schets van de oplossing, waarbij de stroom wordt uitgezet als functie van de ingangsspanning V in. Gebruik hierbij R=kΩ. Duid de eenheid aan van I.

13 Vraag 6: Netwerk met transiënt (4 minuten - 4 punten) In het netwerk hierboven zijn een gelijkstroombron I en een gelijkspanningsbron E verbonden met twee spoelen, een condensatoren C en vier weerstanden. De schakelaar is voor t < in de stand aangegeven op de figuur (verbonden). Op t= schakelt de schakelaar over naar de open stand, zoals aangegeven in de figuur (open keten). 6. Vul de tabel met begin- (t=- en t=+) en eindwaarden (na opening van de schakelaar) in v C (t) i L (t) i L (t) t = - E E R E R R R3 + R4 E R I t = + E E R E R R R3 + R4 E R I t E E R R4I R + R 3 4 Berekening van de begin- en eindwaarden Voor t< is de schakelaar gesloten. In gelijkstroomregimve kunnen we de spoelen vervangen door kortsluitingen en de condensatoren door open ketens. 3

14 We zien onmiddellijk dat de spanning v c voor t< gelijk is aan E. De stromen vinden we door superpositie van de twee bronnen: los het netwerk twee keer op, waarbij telkens een van de twee bronnen nul is gesteld (spanningsbron nul: kortgesloten; stroombron nul: open keten). Voor t=+ blijven de spanning over de condensator en de stromen doorheen de spoelen dezelfde als voor t=-. Voor t naar oneindig hertekenen we het netwerk in gelijkstroomregime, maar nu met de schakelaar open. Met dit netwerk vinden we de gevraagde stromen onmiddellijk (i L volgt uit stroomdeling door twee weerstanden). 4

15 6. Opstellen van de vergelijking voor i L (in de rechterhelft) voor t >. Je mag kiezen tussen een differentiaalvergelijking voor i L (t) of een vergelijking voor de Laplacegetransformeerde I L (s) Antwoord : di L R R i R I dr + + = Dif. vgl voor i L (t) : L ( ) 3 4 L 4 R I 4 L = L τ R3 + R4 + sτ sτ = R3 + R4 Laplace vgl voor I L (s) : I ( s) i ( ) L Berekening van de vergelijking voor t> De schakelaar is open en het we moeten alleen het netwerk aan de rechterkant bekijken. De DV vinden we door in de linkerkring de luswet van Kirchoff (KVL) op te schrijven, en de spanningen te schrijven in functie van de twee stromen. De Laplace getransformeerde te vinden voor de stroom moeten we rekening houden met de beginwaarde voor de stroom op t=+. Dat doen we door een DC stroombron toe te voegen aan het netwerk. De DC bronnen hebben in het Laplace domein de vorm /s. De oplossing volgt dan door superpositie van de twee bronnen en stroomdeling. 5

16 6.3 Oplossing van de vergelijking en grafiek De netwerkelementen hebben de volgende getalwaarden: R = R = R = R = k Ω ; L = L = mh; C = nf; E = 3 V; I = 4 ma 3 4 Vind de oplossing voor de stroom i L (t) voor t > door de DV op te lossen. Maak een schets van de stroom in functie van de tijd (voor en na t=) en duid de getalwaarden en eenheden aan. Oplossing i L (t) : E R3 + R4 R4I i L ( t) = exp t + R L R + R 3 4 t = 3 ma exp + ma.5 µ s voor t> De oplossing van de differentiaalvergelijking van de eerste graad is een exponentiele, met een constante term als particuliere oplossing. 6

17 Beknopt formularium Elektrische schakelingen en netwerken Algemene I-V wetten (VRS) weerstand V = R I spoel V = sl I condensator I = sc V vermogens actief vermogen P Re( V I ) blindvermogen Q ( ) = De fasoren V en I zijn hier met hun effectiefwaarde gedefinieerd. I = Im V I is complex toegevoegd aan I. Eigenschap Tijdsfunctie Laplace-transformatie st F s f t e dt = Definitie f(t) ( ) ( ) Schaling A f(t) A F(s) Superpositie A f (t) + B f (t) A F (s) + B F (s) exp at f t F(s + a) Verschuiving van s ( ) ( ) Eerste afgeleide ( ) + + df t dt s F ( s) f ( ) Tijdsfunctie Laplace-transformatie δ(t), Dirac impuls δ(t - T) exp ( st) u t, eenheidsstap s ( ) ( T ) ( ) u t exp ( t τ ) exp ( t τ ) t exp( αt) cos sin ( t) exp st s τ + sτ s + sτ ( ) ( s + α ) ω ( t) ω s s s + ω ω + ω + ζωs + ω s + ζω s + ω sin ( ωt) ( αt) (* ) exp ω α exp( αt ) cosωt sinωt ω s s (*) (*) in de laatste twee formules geldt: α = ζω en ω = ω ζ, met ζ< Tweede orde transferfunctie: s ω + s + ω ; kwaliteitsfactor Q en resonantiepulsatie ω Q Ster-driehoekstransformatie: S D D S S + S S + S S = en cyclische permutatie, of D = D + D + D3 S en cyclische permutatie 7