Keuzemenu - De standaardnormale verdeling

ladzijde 4 a Volgens de vuistregels ligt 68% innen μ σ en μ + σ en ligt 95% innen μ σ en μ + σ. a c μ σ,5% 3,5% 34% 34% 3,5% μ σ μ De oppervlakte onder de klokvorm rechts van haar gewicht is,5%, dus daar hoort de waarde μ + σ = 3 + 68 = 456 gram ij. De 6% langzaamste karretjes heen de meeste tijd nodig, dus evinden die zich rechts van de grens μ + σ =, +, =, s want,5% + 3,5% = 6%. Deze karretjes doen er dus langer dan, s over. Haal je van elke gemeten tijd het gemiddelde, af, dan verschuift de grafiek met, naar links en komt de top ij seconden te liggen. De grafiek lijft ij een verschuiving even reed dus de standaardafwijking verandert niet en lijft,. De tijden van de karretjes die er korter over deden dan het gemiddelde liggen links van de top en krijgen nu een negatieve meetfout M. Het geied links van de top lijft 5%. 3a Het geied tussen z = en z = ligt tussen μ σ en μ + σ, dus 68%. De data kleiner dan liggen links van de top, dus 5%. c Kleiner dan ligt alles onder μ σ. Dat is 5% 34% = 6%. d De oppervlakte ligt innen en rond de top. Van de 68% tussen en zal dus tussen,5 en,5 meer dan de helft van 68% liggen. Een redelijke schatting is ongeveer 4%. 4a Keuzemenu - De standaardnormale verdeling ladzijde 43 μ + σ μ +σ Φ(,3) is de oppervlakte links van,3 onder de klokvorm die hoort ij de standaardnormale verdeling. Met σ = ligt,3 dus tussen σ en σ. Arceer de oppervlakte.,3,5% 3

c 4 Blok - Keuzemenu Φ(,9) is de oppervlakte links van,9 onder de klokvorm. Met μ = en σ = ligt,9 dus tussen μ en μ σ. Arceer de oppervlakte.,9 Voor Φ(,3) is z =,3 en dus positief. Kijk voor positieve waarden van z in de tael op pagina 97. Voor z =,3 =,3 kijk je ij z =,3 in de kolom onder voor,3 en lees je,93 af. Voor Φ(,9) is z =,9 en dus negatief. Kijk voor negatieve waarden van z in de tael op pagina 96. Voor z =,9 kijk je ij z =,9 in de kolom onder voor,9 en lees je,84 af. Er geldt P(Z ) = Φ(). Schets weer een klokvorm en arceer voor Φ() het geied links van. Voor P(Z < ) doet de grenswaarde z = zelf niet mee. De lijn voor z = heeft geen reedte dus de oppervlakte van de lijn is nul. Daardoor is P(Z < ) gelijk aan P(Z ) en ook Φ(). d P(X,93) lees je af op pagina 97 ij,9 onder de kolom met de 3 en je vindt,9983. P(X,3) = P(X <,3) = P(X,3) =,557 =,4483. P(,3 X,35) = P(X,35) P(X,3) =,363,93 =,539. 5a Als de standaarddeviatie even groot is moet rond de top tussen μ σ en μ + σ in eide gevallen 68% liggen. De reedte van de oppervlakte ligt dus vast. De top kan dan alleen nog maar op één hoogte liggen om de grootte van de oppervlakte te geven. Elke grafiek die deze oppervlakte en de normale verdeling eschrijft ligt nu vast en zal steeds dezelfde vorm heen.,5 ligt,5 =,5 van het gemiddelde μ = af. Met σ = is dat,5 : =,5 keer de standaardafwijking. c De oppervlakten zijn gelijk dus a ligt ook op,5 keer de standaardafwijking verwijderd van het gemiddelde. Omdat μ = ligt a op μ +,5 σ = +,5 =,5. d P(X,5) = P(Z,5) = Φ(,5) =,933.

6a 74,8 ligt 74,8 73 =,8 van het gemiddelde μ = 73 af. Met σ = is dat,8 : =,8 keer de standaardafwijking. De grafiek van Norm(73, ) heeft dezelfde vorm als de grafiek van Norm(, ) omdat de standaardafwijking in eide gevallen is. Er geldt dus P(Y 74,8) = P(Z,8), dus a =,8. Daaruit volgt P(Y 74,8) = P(Z,8) = Φ(,8) =,964. c Bij y = 75, hoort z = 75, 73 =, dus P(Y 75,) = P(Z,) = Φ(,) =,98. Bij y = 7,5 hoort z = 7,5 73 =,5 dus P(Y 7,5) = P(Z,5) = Φ(,5) =,385. Bij y = 73,9 hoort z = 73,9 73 =,9 dus P(Y 73,9) = P(Z,9) = P(Z <,9) = P(Z,9) = Φ(,9) =,859 =,84. 7a ladzijde 44 x = 7 ligt 7 = 7 van het gemiddelde μ = af. Met σ = 4 is dat 7 : 4 =,75 keer de standaardafwijking. Voor elke normale verdeling gelden de vuistregels, dus ij μ + σ hoort altijd 84% van de oppervlakte en ij μ + σ hoort altijd 97,5%. Neem je σ tussen en dan hoort daar, net als ij de vuistregels, een vaste oppervlakte en percentage ij. Voor P(X 7) ligt 7 op een afstand van,75 σ en voor P(Z,75) eveneens. De oppervlakten onder eide klokvormen zijn dus gelijk waaruit volgt P(X 7) = P(Z,75). c P(X 7) = P(Z,75) = Φ(,75) =,9599. d x = ligt = van het gemiddelde μ = af. Met σ = 4 is dat : 4 =,5 keer de standaardafwijking. P(X ) is dus P(Z,5) = Φ(,5) =,695. e x = 9 is kleiner dan het gemiddelde μ =, dus links van de top. Bij de standaardnormale verdeling ligt de top ij μ =. Alles wat links van de top ligt ij de standaardnormale verdeling is dus negatief. De waarde X = 9 ligt 9 = van het gemiddelde μ = af. Met σ = 4 is dat : 4 =,5 keer de standaardafwijking. Bij X = 9 hoort z =,5. 3 7, 8a Voor g = 3 gram geldt de standaardnormale grenswaarde z =, 59. 6, 8 7, Voor g = 8 gram geldt de standaardnormale grenswaarde z =, 49. 6, P(G 3) = Φ(,59) =,48. Dat is,48%. P(G 8) = Φ(,49) =,6879. Dat is 68,79%. Het percentage dat meer dan 8 gram weegt is % 68,79% = 3,%. In Nederland wordt 68,79%,48% = 68,3% verkocht. Voor tomatenpuree wordt,48% geruikt en 3,% is estemd voor de export.,75 Blok - Keuzemenu 5

6 Blok - Keuzemenu Het gemiddelde wordt nu 7, + 6 = 78, gram. Hiermee geldt 3 78, voor g = 3 gram de standaardnormale grenswaarde z =, 96, en 6, 8 78, voor g = 8 gram de standaardnormale grenswaarde z =,. 6, P(G 3) = Φ(,96) =,5. Dat is,5%. P(G 8) = Φ(,) =,5478. Dat is 54,78%. Het percentage dat meer dan 8 gram weegt is % 54,78% = 45,%. In Nederland wordt 54,63%,5% = 54,63% verkocht. Voor tomatenpuree wordt,5% geruikt en 45,% is estemd voor de export. ladzijde 45 9a Voor g = 985 gram geldt de standaardnormale grenswaarde z = 985 3 =, 5. Volgens de tael is P(Z,5) =,668. Dus 6,7% van de pakken wegen minder dan 985 gram. Volgens de EG-norm mag ten hoogste % minder dan 985 gram wegen want 5 gram onder gram is 985 gram. De erekende 6,7% is meer dan % dus de pakken voldoen niet aan de EG-norm. c De oppervlakte die hoort ij de grenswaarde van 985 gram is %. Bij de standaardnormale verdeling is de oppervlakte ook %, dus Φ(z) =,. Terugzoeken in de tael geeft,5 voor z. d z =,5 ligt ij de standaardnormale verdeling,5 van het gemiddelde μ = af. De waarde 985 gram ligt dus,5 keer de standaarddeviatie van het gemiddelde af. Met σ = gram is dat dus,5 σ =,5 = 4,6 gram links van het gemiddelde. Het gezochte gemiddelde is dus μ = 985 + 4,6 = 9,6 gram. e De waarde 985 gram ligt,5 keer de standaarddeviatie links van het gemiddelde μ = 3 gram. Dus,5 σ = 3 985 = 8 σ = 8 :,5 = 8,78 gram. 4, 98 µ 4, 98 4, 99 a Voor de te dunne asjes van 4,98 mm geldt z = = =, 33. σ, 3 5, µ 5, 4, 99 Voor de te dikke asjes van 5, mm geldt z = = =, 67. σ, 3 Als een asje hiertussen ligt wordt het goedgekeurd. De kans hierop is Φ(,67) Φ(,33) =,7486,377 =,3779. Van de 5 asjes zijn er dus 5,3779 = 8895 89 in orde. De machine wordt ingesteld op een nieuw gemiddelde. Als 5% van de asjes te dun is, dan is de oppervlakte onder de klokvorm tot 4,98 mm dus 5% of,5. Bij de standaardnormale verdeling is de grenswaarde die hoort ij,5 terug te zoeken in de tael. Je vindt z =,67. Voor de nieuwe instelling lijft σ =,3. Het nieuwe gemiddelde ligt dus,67 keer de standaarddeviatie oven 4,98 mm. Dat is op 4,98 +,67 σ = 4,98 +,67,3 = 5, mm. c Terugzoeken voor welke waarde van z geldt Φ(z) =,3 geeft z =,5. Het gemiddelde ligt dan,5 keer de standaarddeviatie oven 8,77. Er moet dus gelden: 8,77 +,5 σ = 8,79. Hieruit volgt σ =,38 mm.

a z =,5 etekent dat de grens van 845 gram,5 keer de standaarddeviatie oven het gemiddelde ligt. Dus μ +,5 σ = 845. Terugzoeken in de tael geeft voor Φ(z) =,69 de waarde z =,5. Dit etekent dat de grens van 85 gram,5 keer de standaarddeviatie oven het gemiddelde ligt. Dus μ +,5 σ = 85. c μ +,5 σ = 845 geeft μ = 845,5σ μ +,5 σ = 85 geeft μ = 85,5σ Daaruit volgt 845,5σ = 85,5σ 845 85 =,5σ,5σ 3 = σ. Invullen geeft μ = 85,5σ = 85,5 3 = 85 5 = 8. Het gemiddelde gewicht μ van de roden is 8 gram met een standaarddeviatie σ van 3 gram. Blok - Keuzemenu 7

a c d a 8 Keuzemenu - Levensverzekering ladzijde 49 Kijk ij x = 3 in kolom I x en lees af 9 867 386 mannen. 8% van is 8. Na 65 jaar is het aantal het dichtst in de uurt. Er ereiken 9 5 66 9 454 493 = 46 68 mannen de leeftijd van 5 jaar niet. Dat is 46 68 : 9 5 66 % =,48594% van de 5-jarigen. De verhouding staat in de kolom q x. Er ereiken 8 747 6 de leeftijd van 6 jaar. Dus 9 5 66 8 747 6 = 783 4 mannen ereiken de leeftijd van 6 jaar niet. Dat is 783 4 : 9 5 66 % 7,96% van de 5-jarigen. Lees af dat er 9 867 386 mannen zijn die 3 jaar worden en 9 859 553 die 3 jaar worden. Er overlijden dus 9 867 386 9 859 553 = 7833 mannen van 3 jaar. Invullen geeft q 7833 3 = =, 79387... =, 7938 wat ook in de kolom ij 9 867 386 x = 3 staat, dus klopt met de formule. Iemand van 6 jaar die voor zijn volgende verjaardag overlijdt ehoort tot het aantal overleden mannen van leeftijd x in het sterftequotiënt met x = 6. De kans is dus de uitkomst van de formule. In de tael lees je die af: q 6 =, 39988. c De kans is het gemiddelde voor de gehele groep. De kans voor een individueel persoon kan oven of onder het gemiddelde liggen. Als meneer Verhoef een gevaarlijk eroep uitoefent is zijn kans ijvooreeld groter dan die van de groep als geheel. De kans van de groep geldt alleen als meneer Verhoef representatief is voor de hele groep. d De groep 6-jarigen telt 8 747 6 mannen. De groep 6-jarigen telt 8 49 36. Er overlijden dus innen twee jaar 8 747 6 8 49 36 = 56 384 mannen. De kans is 56 384 : 8 747 6 =,93. Je kunt dit ook algeraïsch met de q s uitrekenen: I = I q I = ( q ) I, dus x+ x x x x x ook I = ( q ) I = ( q )( q ) I. Hieruit volgt I = ( q )( q ) I x+ x+ x+ x+ x x 6 6 6 6 dus de kans dat iemand van 6 jaar ook 6 wordt is ( q )( q ). 6 6 De kans dat hij dit niet wordt is daarom ( q )( q ) = (, 5575)(, 39988) =, 9769 =, 9389. 6 6 ladzijde 5 3a Van de mannen zullen er q 5 overlijden. Een jaar later zijn er dus nog q 5 = ( q 5 ) in leven zijn. Dat zijn er (,48594) = 995. Het totaal gestorte edrag is E 99,5 = E 99.5,- en wordt verdeeld onder 995 mannen die 5 jaar worden. Ieder krijgt dus E 99.5,- : 995 = E,. c Noem het edrag dat elke man stort x. Bij 5% rente per jaar is het edrag gegroeid tot,5 x. Het totaal gestorte edrag is dus (,5 x) = 5x. Er wordt weer E 99.5,- uitgekeerd na een jaar, dus x = 99 5 : 5 = E 94,77.

4a c d leeftijd 5 5 5 53 54 In het eerste jaar is het totale ingelegde edrag =. euro. Dat edrag lijft 5 jaar staan en levert ieder jaar 5% op. Door rente op rente is het,5 5 = E 55.56,- geworden na 5 jaar. De mannen zijn dan 55 jaar oud. In het tweede jaar is het totale ingelegde edrag 995 = 99. euro. Dat edrag lijft maar 4 jaar staan tegen 5% jaarlijkse rente. Na 4 jaar is het,5 4 99 = E 4.886,- geworden als de mannen 55 jaar oud zijn. Op hun 55ste jaar krijgen de 88 overgeleven mannen het totaal van de gespaarde edragen. leeftijd aantal mannen totale storting totale oprengst op 55ste 5 5 5 53 54 ( q 5 ) = 995 ( q 5 ) 995 = 99 ( q 5 ) 99 = 984 ( q 53 ) 984 = 977,995 = 99,99 = 98,984 = 96 8,977 = 95 4,5 5 = 55 56,5 4 99 = 4 886,5 3 98 = 9,5 96 8 = 6 97,5 95 4 = 5 7 55 ( q 54 ) 977 = 97 48 494 Na vijf jaar is de som van de per jaar gespaarde edragen eschikaar. Dat is E.48.494,-. Het edrag wordt onder de 97 nog levende mannen verdeeld. Ieder krijgt dus 48 494 : 97 = E 84,-. ladzijde 5 5 Als je uitgaat van één man dan veranderen de kolommen met een factor,: leeftijd aantal mannen totale storting totale oprengst op 55ste 5 5 5 53 54 aantal mannen ( q 5 ) = 995 ( q 5 ) 995 = 99 ( q 5 ) 99 = 984 ( q 53 ) 984 = 977 55 ( q 54 ) 977 = 97 ( q 5 ) =,995 ( q 5 ),995 =,99 ( q 5 ),99 =,984 ( q 53 ),984 =,977,,995 = 99,,99 = 98,,984 = 96,8,977 = 95,4,5 5, = 55,6,5 4 99, = 4,89,5 3 98, = 9,,5 96,8 = 6,97,5 95,4 = 5,7 55 ( q 54 ),977 =,97.48,49 Bedenk dat elke waarde nu het gemiddelde is dat geldt voor één man. Het verwachte uit te keren edrag aan één man is 48,49 :,97 = E.84,- en gelijk als ij mannen. Uiteraard geldt voor één man die 5 jaar lijft leven en zich individueel verzekerd, dat hij,5 5 +,5 4 +,5 3 +,5 +,5 = E 6,- ontvangt, wat dus minder is. De mannen heen er dus voordeel ij om als groep de verzekering af te sluiten en het edrag na 5 jaar onderling te verdelen. Blok - Keuzemenu 9

6a Blok - Keuzemenu Het rentepercentage in cel D is 5. Verander in de spreadsheet de waarde in cel B en kijk in cel F4 wanneer de oprengst per overlevende. is. Je vindt 734.475 voor de waarde in B, dus de jaarlijkse premie moet E 734,48 zijn. Je moet de spreadsheet uitreiden tot de leeftijd van 6 jaar. Daarna zoek je weer als ij opdracht a naar de premie. Selecteer rij en voeg met de rechter muisknop een nieuwe rij toe. Herhaal dat nog 4 keer. Vul de kolom met de sterftekans aan met de gegevens in de tael uit het oek. Vul C5 met de formule =( B5)*C4 en geruik de vulgreep (het dikke vierkantje rechtsonder in een geselecteerde cel) om de formule naar de cellen eronder tot en met C4 te kopiëren. Vul D5 met de formule =C5 C4 en kopieer de formule naar de cellen eronder tot en met D4. Kopieer de formule in E4 naar de cellen eronder tot en met E3. Kopieer de formule in F4 naar de cellen eronder tot en met F3. Kopieer de formule in G5 naar de cellen eronder tot en met G4. Verander in F5 de formule van =SOM(F4:F8) in =SOM(F4:F3) Verander in F5 de formule van =SOM(G4:G9) in =SOM(G4:G4) Verander in F9 de formule van =F7/C9 in =F7/C4 Zoek door B te veranderen naar de premie die E.,- geeft in F9. Je vindt 766.93 voor de waarde, dus de jaarlijkse premie moet E 766,9 zijn. Omdat het aantal levenden en overleden door de formules niet op gehele aantallen wordt afgerond krijg je wat andere waarden ij de doorrekening van de edragen als ij opdracht a.