Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1
Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix. Dan is de vector v R n een eigenvector van A als v 0 en er is een λ R zó dat Av = λv. In dit geval heet λ een eigenwaarde van A, en v een eigenvector van A, behorende bij eigenwaarde λ. 2
Karakteristieke vergelijking Zij A een n n matrix. λ is een eigenwaarde van A dan en slechts dan als A λi een singuliere matrix is. De determinant van de matrix A λi heet het karakteristieke polynoom van A, en de vergelijking det(a λi) = 0 heet de karakteristieke vergelijking van A. Eigenwaarden van A zijn oplossingen van de karakteristieke vergelijking. Gevolg: Een n n matrix heeft ten hoogste n verschillende eigenwaarden. 3
Bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het karakteristieke polynoom det(a λi). (2) Bepaal alle oplossingen van de karakteristieke vergelijking det(a λi) = 0. Dit zijn de eigenwaarden van A. (3) Los voor iedere eigenwaarde λ i de lineaire vergelijking (A λ i I)x = 0. op. Iedere oplossing x 0 is eigenvector van A behorend bij eigenwaarde λ i. 4
Eigenwaarden en eigenvectoren van gerelateerde matrices Veronderstel dat v een eigenvector is van de matrix A bij eigenwaarde λ. Als c R, dan is v een eigenvector van ca bij eigenwaarde cλ, Als k N, dan is v een eigenvector van A k bij eigenwaarde λ k, Als A inverteerbaar is, dan is v een eigenvector van A 1 bij eigenwaarde 1 λ. 5
Als λ i een eigenwaarde is van A, dan noemen we het aantal malen dat de factor (λ λ i ) voorkomt in de ontbinding van het karakteristieke polynoom van A de algebraïsche multipliciteit van λ i. Als λ i een eigenwaarde is van A, dan noemen we de dimensie van N (A λ i I) de geometrische multipliciteit van λ i. Voorbeeld: A = 1 1 0 1. λ = 1 is een eigenwaarde van A met algebraïsche multipliciteit 2 en geometrische multipliciteit 1. 6
Het spoor van een n n matrix A is de som van de diagonaalelementen van A; notatie sp(a). Stelling: Het karakteristieke polynoom van een n n matrix wordt gegeven door ( 1) n λ n + ( 1) n 1 sp(a)λ n 1 + + det(a). (1) det(a) is het product van de oplossingen van de karakteristieke vergelijking (multipliciteiten meegerekend). (2) sp(a) is gelijk aan de som van de oplossingen van de karakteristieke vergelijking (multipliciteiten meegerekend). 7
Gelijkvormigheid: Twee n n matrices A en B heten gelijkvormig als er een inverteerbare matrix P bestaat zó dat B = P 1 AP. Eigenschappen: Gelijkvormige matrices hebben hetzelfde karakteristieke polynoom. Als B = P 1 AP, dan B k = P 1 A k P. Dus als A en B gelijkvormig zijn, dan zijn ook A k en B k gelijkvormig. 8
Diagonaliseerbaarheid: Een n n matrix A is diagonaliseerbaar als A gelijkvormig is met een diagonaal matrix D. Er zijn dan dus getallen λ 1,..., λ n en een inverteerbare matrix P zó dat P 1 AP = D met λ 1 0 0 D = 0 λ 2............. 0 0 0 λ n. Eigenschap: Als de matrix A diagonaliseerbaar is, dan is A gelijkvormig met een diagonaalmatrix D met de eigenwaarden van A op de diagonaal. 9
Stel D = P 1 AP, met λ 1 0 0. 0 λ..... D = 2....... 0. 0 0 λ n Dan volgt AP = P D, en daarmee dat de i-de kolom van P een eigenvector is van A bij eigenwaarde λ i. 10
Stelling: Een n n matrix A is diagonaliseerbaar dan en slechts dan als er een basis van R n bestaat, zó dat iedere basisvector tevens eigenvector is van A. Een n n matrix is diagonaliseerbaar dan en slechts dan als deze matrix n lineair onafhankelijke eigenvectoren heeft. Vraag: Hoe diagonaliseer je in dit geval de matrix A? 11
Veronderstel Av i = λ i v i, voor i = 1,..., n en v 1, v 2,..., v n lineair onafhankelijk. Definieer Dan P = (v 1 v 2 v n ). AP = (λ 1 v 1 λ 2 v 2 λ n v n ) λ 1 0 0. 0 λ... = P 2....... 0. 0 0 λ n 12
Dus P 1 AP = λ 1 0 0 0 λ 2............. 0. 0 0 λ n 13
Lemma: Eigenvectoren behorende bij verschillende eigenwaarden zijn lineair onafhankelijk. Stelling: Als de karakteristieke vergelijking van de n n matrix A precies n verschillende eigenwaarden heeft, dan is A diagonaliseerbaar. Stelling: Een n n matrix A is diagonaliseerbaar dan en slechts dan als voor iedere eigenwaarde λ i van A de geometrische multipliciteit van λ i en de algebraïsche multipliciteit van λ i aan elkaar gelijk zijn. 14
Complexe oplossingen van de karakteristieke vergelijking Voorbeeld A = 0 1 1 0. Dan heeft de karakteristieke vergelijking det(a λi) = λ 2 + 1 = 0 geen reële oplossingen, maar wel complexe oplossingen. Beschouw A als een 2 2 matrix over C. In C 2 heeft A twee complexe eigenvectoren die behoren bij de complexe eigenwaarden i en i. 15
Veronderstel dat A een reële matrix is, met complexe eigenwaarde λ, en bijbehorende complexe eigenvector v. Dan volgt: Ook λ is een eigenwaarde van A, De vector v is een eigenvector van A behorende bij eigenwaarde λ. 16
Symmetrische matrices en diagonaliseerbaarheid Een reële n n matrix A heet symmetrisch als A T = A. Een symmetrische n n matrix heet positief-definiet als voor alle v 0 geldt v T Av > 0. 17
Eigenschappen van symmetrische matrices Alle oplossingen van de karakteristieke vergelijking van een reële symmetrische matrix zijn reëel. Als A een symmetrische matrix is, dan staan de eigenvectoren behorende bij verschillende eigenwaarden loodrecht op elkaar. Stelling: Als A een reële symmetrische n n matrix is, dan bestaat er een orthogonale matrix P zó dat P 1 AP = P T AP = D, met D een diagonaalmatrix. In het bijzonder is een symmetrische matrix altijd diagonaliseerbaar. 18
Eigenwaarden van positief-definiete matrices Alle eigenwaarden van een positief-definiete matrix zijn positieve reële getallen. Stelling: Voor een symmetrische matrix A zijn de volgende beweringen equivalent: A is positief definiet, v T Av > 0 voor alle v 0, Voor alle eigenwaarden van A geldt λ i > 0 19