Etra oefening - Basis B-a 0 y 9 8 8 9 b y y = + 8 0 6 8 0 6 O 8 c Zie de tekening hierboven. De symmetrieas is de y-as. d De coördinaten van de top zijn (0, ). B-a g = 7 ( a+ ) a + 7 g = 7 a+ 0 b w= 9n( 0, + n) 0, +n 9n,7n +9n w= 7, n+ 9n c y= 8 ( + ) 7 a +0 + 8 8 +88 y= 8 + 88 d d = ( c 7) c 7 c + d = c + e k = 7 + 6 ( b) 6 b 0 b k = 7 + 0 b k = 0 b f h= 8s( 6, + s) 6, +s 8s s +8s h= s+ 8s g y= ( + ) + y= h w= ( 8 u) + u 8 u 8 +u w= 8+ u+ u w= 8+ u i u= 7 ( + f ) +f u= 7+ f u= 0 f f j v= 8 ( r+ 6) r +6 r 6 v= 8 r 6 v= r Moderne wiskunde 9e editie A vwo 6
6 k t = k 6( k ) k 6 k 8 t = k k + 8 t = k+8 B-a s= ( g+ 6)( g ) g g g g +6 +6g 0 s= g + g 0 b n= ( r+ )( r + ) r + r r +r + +r + n= r + r + c w= ( h+ 7)( h ) + h h h h h +7 +7h 7 w= h + 6h 7+ h w= h + 9h 7 d v= ( p + 9)( p ) p p p p +9 +9p 7 v= p + 6p 7 l p= q+ ( q + 6 ) q +6 q + p= q+ q + p= q+ e u= ( r )( 8 r) 8 r r 0r r +r u= r + r f d = ( k+ 8)( k + ) k + k k +k +8 +8k +6 d = k + 0k + 6 g n= ( c)( c + ) c + c +0 c c c n= c c + 0 h t = + ( e )( e + ) e + e e +e e 6 t = + e + 8e 6 t = e + 8e B-a = 7 = = of = Invullen geeft = = 7 en ( ) = = 7 en dat klopt. b + = 0 = = Dit kan niet. De vergelijking heeft geen oplossing. Moderne wiskunde 9e editie A vwo
c ( ) + = ( ) = = of = = of = Invullen geeft ( ) + = + = + = en ( ) + = ( ) + = + = en dat klopt. d = 8 = 6 = of = Invullen geeft = 6 = 8en ( ) = 6 = 8en dat klopt. e = 8 = Dit kan niet. De vergelijking heeft geen oplossing. f ( + )( ) = + + = = 9 = of = Invullen geeft ( + )( ) = = en ( + )( ) = = en dat klopt. B-a De nieuwe prijs van het colbert wordt 0,70 e 79,0 = e,6. b Moni krijgt 0% + % = % korting. De prijs wordt 0,6 e 09,0 = e 7,7. Moni moet aan de kassa e 7,8 betalen. B-6a De groeifactor is 0, : 0,0 = 0,8 : 0, =. t 0 h 0,0 0, 0,8,9 7,68 0,7 b De groeifactor is 00 : 00 = 80 : 00 = 0,6. t 0 h 00 00 80 08 6,8 8,88 B-7a Je moet achtereenvolgens vermenigvuldigen met : 00 =,0, met : <,09, met 79 : <,008 en met 608 : 79 <,00. Je moet telkens ongeveer met,0 vermenigvuldigen, dus de konijnenpopulatie groeit ongeveer % per jaar. t b Een formule is K = 00 0,. c De grafiek erbij is stijgend omdat de groeifactor groter dan is. d Invullen van t = geeft K = 00 0, 990 en invullen van t = geeft K = 00 0, 09. In het jaar 00 + = 09 zullen er voor het eerst meer dan 000 konijnen zijn. B-8a De groeifactor per half jaar is, 008, 00. De groeifactor per vijf jaar is, 008, 0. De groeifactor per jaar is, 008, 0. Moderne wiskunde 9e editie A vwo 6
b c 6 t Een formule is A = 6 000 000, 00 met A het aantal inwoners en t de tijd per half jaar t na 99 of A = 6, 00 met A het aantal inwoners in miljoenen en t de tijd per half jaar na 99. t Een formule is A = 6 000 000, 0 met A het aantal inwoners en t de tijd per vijf jaar t na 99 of A = 6, 0 met A het aantal inwoners in miljoenen en t de tijd per vijf jaar na 99. t Een formule is A = 6 000 000, 0 met A het aantal inwoners en t de tijd per jaar t na 99 of A = 6, 0 met A het aantal inwoners in miljoenen en t de tijd per jaar na 99. Tussen het jaar 99 en het jaar 0 zitten 0 jaar. 0 Na 0 jaar krijg je in de formule per vijf jaar A = 6, 0 miljoen inwoners. Na 0 jaar krijg je in de formule per jaar A = 6, 0 miljoen inwoners. B-9a 9 6 9 000 999, 88 0 d 000 0, 0, 8 0 b 8 8000 60 = 0, 0 e 9 7806 0 78, 0 c 00 76 : 6, 0 f 00 + 00 = 00, 0 Etra oefening - Gemengd G- y= ( a+ )( a ) a a a a + +a S y= a y= ( a+ )( 7 a) 7 a a 7a a + +0 a O y= a + a + 0 y= ( a+ )( a + ) a + a + a +a + a + R y= a + a + y= ( a+ )( a) a a a + a - y= a a y= ( a+ )( a + ) a + a a +a + +a + U y= a + 6a + Je vindt het spreekwoord RUST-ROEST. y= ( a+ )( a ) a a 6a 9a + +a 6 T y= 6a a 6 y= ( a+ )( 7 a) 7 a a a a + + a E y= a + 9a + y= ( a+ )( a + ) a + a a +6a + +a + S y= a + 7a + y= ( a+ )( a) a a a + a T y= a a y= ( a+ )( a + ) a + a 6a +9a + +a +6 R y= 6a + a + 6 0 Moderne wiskunde 9e editie A vwo
G-a 0 O 9 8 7 6 6 7 y a = a = a = 0 b De coördinaten van dat punt zijn (0, ). In de formule zie je zo dat voor = 0 altijd geldt y= a 0 oftewel y =. c Invullen van = en y = in de formule geeft = a = 9a 9a = a = G-a Als a = 0, dan zijn de ribben van de balk 0 + =, 0 + = en 8. De inhoud van de balk is dan 8 = 8. b Voor de totale lengte L van de ribben geldt L= ( a+ ) + ( a + ) + 8. a + a +8 a + a + L= a+ 8+ a + + L= 8a+ a = a = c Voor de totale oppervlakte A van de balk geldt A= (( a+ )( a+ ) + 8( a+ ) + 8( a + )). a + a a +a + +a +6 a + 8 8a +6 a + 8 8a + Moderne wiskunde 9e editie A vwo 6
66 A= ( a + a+ 6+ 8a+ 6 + 8a + ) A= ( a + a + 6) a +a +6 a +a +9 A= a + a + 9 d Voor de inhoud I van de balk geldt I = 8( a+ )( a + ). a + a a +a + +a +6 I = 8( a + a + 6) a +a +6 8 8a +0a +8 I = 8a + 0a + 8 G-a Als =, dan wordt van de lengte een strook van = cm breed afgeknipt en wordt aan de breedte een strook van = 0 cm breed geplakt. De lengte wordt dan 70 = cm en de breedte wordt dan 8 + 0 = 68 cm. De oppervlakte van dit stuk karton wordt dan 68 = 060 cm. b Voor de oppervlakte A in cm geldt A= ( 70 )( 8+ ). c G-a A 90 80 70 60 0 0 0 0 De oppervlakte is maimaal voor = cm. d Die maimale oppervlakte is 80 cm. b c d G-6a b De aanbieding is onduidelijk. Als Carla de % kassakorting krijgt over het oorspronkelijke bedrag, dan krijgt ze 0% + % = % korting. Maar als ze de % kassakorting krijgt over het afgeprijsde artikel, dan krijgt ze minder dan % korting. In het eerste geval moet Carla het oorspronkelijke bedrag met 0,7 vermenigvuldigen. In het tweede geval moet Carla het oorspronkelijke bedrag met 0,90 0,8 = 0,76 vermenigvuldigen. In het eerste geval krijgt Carla 0, e 6,9 < e 6, korting. In het tweede geval krijgt Carla 0, e 6,9 < e,6 korting. Nee, dat maakt niet uit. In het eerste geval is 0% + % = % + 0% = % en in het tweede geval is 0,90 0,8 = 0,8 0,90 = 0,76. In één week wordt de oppervlakte van het kroos 7 = 8 keer zo groot. Op de dertigste dag is de hele vijver bedekt met kroos. Eén dag eerder was dan de helft bedekt en twee dagen eerder was een kwart van de vijver bedekt. Op de achtentwintigste dag was nog maar een kwart van de vijver met kroos bedekt. Moderne wiskunde 9e editie A vwo
G-7a Bij deze groeifactor hoort grafiek,want de groeifactor is kleiner dan en daarbij hoort een dalende grafiek. b De groeifactor bij grafiek is, want als met één toeneemt, dan wordt y twee keer zo groot. c Een formule bij grafiek is y = 0,. Een formule bij grafiek is y = 0 0,. 0 d Invullen van = 0 in formule geeft y = 0,, 6 0. 0 Invullen van = 0 in formule geeft y = 0 0, 888, 0. G-8a Na één keer stuiteren komt het balletje 60 = 8 cm hoog. b De groeifactor is kleiner dan omdat het balletje steeds minder hoog komt. k c Een formule is H = 60 ( ). d Na twaalf keer stuiteren komt het balletje H = 60 ( ) cm hoog. e Invullen van k = geeft H = 60 ( ) 0, 0 en invullen van k = geeft H = 60 ( ) 0, 08. Ze kan het balletje keer zien stuiteren. Complee opdrachten C- Voor de oppervlakte A in cm van de eerste rechthoek geldt A= oftewel A= 8. Voor de oppervlakte A in cm van de tweede rechthoek geldt A= ( )( + ). + + 8 De formule bij de tweede rechthoek kun je schrijven als A= 8. Beide oppervlakten zijn dus even groot. C- Als de breedte b cm is, dan is de lengte b cm. Voor de oppervlakte A in cm geldt dan A= b b oftewel A= b. Oplossen van de vergelijking b = 96 geeft b = 6 dus b = 8 of b = 8. Een negatieve breedte kan niet, dus de afmetingen zijn 8 cm bij 8 = cm. C- snelheid snelheid = 7 snelheid snelheid = 9 00 00 snelheid snelheid = 700 snelheid snelheid =800 snelheid = 700 86 snelheid = 800 76 Het verschil in snelheden van deze auto s is ongeveer 86 76 = 0 km per uur. C- Voor de oppervlakte A in cm van het overgebleven stuk geldt A= 0 0 oftewel A= 00. Je moet dan de vergelijking 00 = 7 oplossen. = = 6, =, of =, Een negatieve lengte bestaat niet, dus voor =, cm is de oppervlakte van het overgebleven stuk 7 cm. Moderne wiskunde 9e editie A vwo 67
68 C- q= ( p)( p + ) p + p +9 p p p q= p + 9 oftewel q= 9 p Je moet de grafiek bij de formule q= ( p)( p + ) dan 7 naar beneden verschuiven om de grafiek bij de formule q= p te krijgen. C-6 De luchtdruk neemt per km hoogte met,% af. Per km hoogte moet je met de groeifactor 0, = 0,877 vermenigvuldigen. 6 Op een hoogte van zes km is de luchtdruk 00 0, 877, % en op een hoogte 7 van zeven km is de luchtdruk 00 0, 877 9, 9% van de luchtdruk op zeeniveau. De berg is ongeveer zeven km hoog. C-7 Bij één keer verkleinen hoort de groeifactor 0,8. 7 Na zeven keer verkleinen worden de afmetingen 08,, cm en na acht keer 8 verkleinen worden de afmetingen 08,, cm. Na zeven keer op 80% moet hij het nog één keer op een ander percentage verkleinen. Fons moet de tekening acht keer verkleinen om het gewenste formaat te krijgen. C-8 In één jaar legt het licht 00 000 000 6 60 60 = 9, 608 0 meter af. 8 In lichtjaren is dat 9, 608 0 =, 008 0 meter. 8 De Poolster is, 008 0 : 000 0 km van ons verwijderd. In één jaar legt het licht 9, 608 0 : 000 = 9, 608 0 km af. Deze afstand is, 0 :( 9, 608 0 ) 00, lichtjaar. C-9 Het bedrag van 0 gulden is omgerekend 0 :,07 < 9,8 euro. 0 Bij % rente is het bedrag gegroeid tot 9, 8 0, 86 euro. 0 Bij,% rente is het bedrag gegroeid tot 9, 8, 0 00 euro. De rente is per jaar ongeveer,0% geweest. Technische vaardigheden T- De oppervlakte van driehoek ADC is : = 6. De oppervlakte van driehoek BDC is : = 0. De oppervlakte van driehoek ABC is 6 + 0 = 6. zijde KN = MN =... KM = MN = 6 = kwadraat 9 6 + De oppervlakte van driehoek NLM is ( + ) : = 6. De oppervlakte van driehoek NKM is : = 6. De oppervlakte van driehoek KLM is 6 6 = 0. Moderne wiskunde 9e editie A vwo
zijde PS = RS =... PR = RS = 6 = zijde RS = QS =... QR = 7 QS = kwadraat 6 6 + kwadraat 6 + De oppervlakte van driehoek PSR is : = 8. De oppervlakte van driehoek QSR is : =. De oppervlakte van driehoek PQR is 8+. 9 T-a 9 = 9 = e = 6 = 00 b = = 6 f 7 7 = 7 9 = c 7= 7 = 7 g ( ) + = + = 69 d ( 7 + ) = 70 = 900 h ( ) + = + = T-a 8 = d 7 7= 7 b 6 0 0 = 0 e 7 7 = c 0 = f = 6 9 T-a De toename in de onderste rij is steeds +,. Er hoort een lineaire formule bij. Het startgetal is 7. Een formule is P =, t 7. b De toename in de onderste rij is steeds 6. Er hoort een lineaire formule bij. Het startgetal is en het hellingsgetal is 6 : =. Een formule is y= +. c De getallen in de onderste rij worden steeds met vermenigvuldigd. Er hoort een eponentiële formule bij. De beginwaarde is : =,. Een formule is y =,. d Als je in de bovenste rij naar rechts gaat, dan is de toename in de onderste rij steeds +,. Er hoort een lineaire formule bij. Het startgetal is, = 7. Een formule is V =, t 7. T-a 9p + = 0 9p = p = b r = r = 9 r = c 0, k = k = d b + = b = b = = 9 9 6 9 7 9 e p + 7 = p + 7= p = 8 p = f = ( n + ) = 0n 0n = 6 n = 06, g 0 = d + 0 d = 0 d = 0 h 0 = 60 + a a = 90 a = 6 Moderne wiskunde 9e editie A vwo 69
70 i ( + h ) = 0 0 + h = 0 h = 0 h = j ( a + ) = a + 0 = a = a = T-6a zijde kwadraat AB = AC = BC =... 6 + k t = 7 t = t = 60 t = BC = De omtrek van driehoek ABC is + + = 9+. zijde LM =,8 KM =... KL = 9, kwadraat, 7,8 + 90, l ( a ) + a = 7 a + a = 7 8a = 7 8a = a = KM = 7, 8 De omtrek van driehoek KLM is 8, + 9, + 7, 8 =, + 78,. zijde PR = 6 QR = 6 PQ =... kwadraat 6 6 + PQ = 7 De omtrek van driehoek PQR is 6+ 6+ 7 = + 7. 7 b /A = 90, /B = 9 en /C = /K =, /L = 66 en /M = 90 /P =, /Q = en /R = 90 Moderne wiskunde 9e editie A vwo
T-7a p= ( a+ ) a a + a + p= a+ a p= a+ b d = r+ ( r + ) r + r +6 d = r+ r + 6 d = r+ 0 c q= ( a )( a+ ) 7 a a + a a +a a q= a 7a d v= ( t)( t 7 ) t 7 0t t t +7t v= t + 7t T-8a ( 0) = 6 = 6 6 = b ( ) = ( ) = = = c 6+ ( : ) = 6+ ( ) = 6+ 9 = d + ( 0 : ) = + = + = e 8 ( ) = 8 6 = f ( 7) + : = 9+ 6: = 9 8 = 7 g 8 = 6 9 = 6+ = 9 h ( 0 : ) = 8 ( 00 : ) = 8 = e g = t+ ( + 6t) +6t + +6t g = t + 6 t g = 7t f j = ( b )( b + ) b + b b +8b b j = b + b g d = ( e 6)( e + ) e + e e +6e 6 6e d = e h m= + ( n 7)( n + ) n + n n +n 7 7n m= + n n m= n n T-9a = 6 = of = Invullen geeft = 6 en ( ) = 6 en dat klopt. b t = t = 8 t = 9 of t = 9 Invullen geeft 9 = 8 = en ( 9) = 8 = en dat klopt. c 0, n = 7 n = n = of n = Invullen geeft 0, = 0, = 7 en 0, ( ) = 0, = 7 en dat klopt. d a + = a = 0 Dit kan niet. De vergelijking heeft geen oplossing. Moderne wiskunde 9e editie A vwo 7
7 e f = f = 8 f = 8 of f = 8 Invullen geeft 8 = 8 = en ( 8) = 8 = en dat klopt. f k 6 = k = 8 k = 6 k = 6 of k = 6 Invullen geeft 6 6 = 6 6 = 8 6 = en ( 6) 6= 6 6= 8 6= en dat klopt. T-0a /A = 80 0 90 = 60 b /B = 80 = 8 /B = 90 = 8 /B = /B = Door elkaar D-a /A + /B = 90 en /B + /B = 90, dus /A = /B /C + /B = 90 en /B + /B = 90, dus /C = /B Verder geldt in driehoek ABD en in driehoek BCD dat /D = /D = 90, dus alle overeenkomstige hoeken zijn gelijk. D-a b zijde kwadraat BD = AD =... AB = AD = = + 69 zijden van ABD AB = AD = BD = zijden van BCD BC =... BD = CD =... De factor van driehoek ABD naar driehoek BCD is, dus BC = = en CD = =. 7 6 y L O 6 7 8 9 0 K Moderne wiskunde 9e editie A vwo
b zijde kwadraat 6 6 +... 0 De tabel hierboven geldt zowel voor OK als voor OL, dus OK = OL = 0. c Zie de tekening op de vorige bladzijde. De coördinaten van het snijpunt zijn (, ). d zijde kwadraat 6 6 +... De tabel hierboven geldt zowel voor de afstand van punt O tot zijde KL als voor de lengte van zijde KL. Beide zijn even groot, namelijk. D-a A y= ( ) A y= B y= ( + ) + + B y= + B y= + C y= ( + ) + C y= + C y= D y= ( ) + D y= + D y= E y= + ( + ) + + E y= + + E y= + De formules A, C en D horen bij grafiek en de formules B en E horen bij grafiek. b De grafiek bij de formule y= snijdt de horizontale as in het punt (, 0) en snijdt de verticale as in het punt (0, ). De stapgrootte bij de horizontale as is en de stapgrootte bij de verticale as is. Moderne wiskunde 9e editie A vwo 7
7 D- De oppervlakte van vierkant ABCD is 6, dus de zijden zijn 6 = 6. De verhouding AP : BP = :, dus AP = 6 = en BP = 6 =. De oppervlakte van driehoek APS is : =. De oppervlakte van PQRS is dan 6 = 6 6 = 0. Of: De oppervlakte van vierkant ABCD is 6, dus de zijden zijn 6 = 6. De verhouding AP : BP = :, dus AP = 6 = en BP = 6 =. zijde AP = AS = PS =... kwadraat 6 + PS = 0 De oppervlakte van PQRS is dan 0 0 = 0. 0 0 D-a Direct na het inschenken is de temperatuur T = 0 + 60 09, = 0 + 60 = 80 C. b Als je voor t een heel groot getal invult, dan wordt 0,9 t ongeveer nul en neemt de koffie de temperatuur van de kamer aan. De kamer heeft een temperatuur van 0 C. c t in minuten 0 T in C 80 7 68,6 6,7 9,66,9 d De toename is achtereenvolgens 6;,;,86;,7 en,966, dus de temperatuur van de koffie daalt steeds langzamer. Invullen van t = in de formule geeft dat de temperatuur van de koffie van Marieke als ze hem opdrinkt 6,7 C is. Invullen van t = in de formule geeft dat de temperatuur van de koffie van Dirk als hij hem opdrinkt,9 C is. Het temperatuursverschil is 6,7,9 = 8,06 C en dat is ongeveer 8, C. D-6 A t = 0 + 8 s+ 0 A t = 0 + s B t = ( + s) + +s 6 +s B t = 6 + s+ B t = 8 + s C t = 0 + ( + s) +s 0 +s C t = 0 + 0 + s C t = 0 + s Nico heeft geen gelijk. De formules A en C kloppen, maar formule B klopt niet. Moderne wiskunde 9e editie A vwo
D-7 m m spin m 9 m 8 m vlieg De kortste route is in de uitslag hierboven aangegeven. zijde 6 9... kwadraat 6 8 + 7 De kortste route van de spin naar de vlieg is 7 0, 8 meter. D-8 Sander liegt nooit, dus Sander kan de rechter niet zijn, want die zegt dat de middelste Sander is. Sander kan ook de middelste niet zijn, want die zegt dat hij Youri is. Sander is de linker. Sander zegt dat de middelste Sergin is en Sander liegt nooit, dus dat moet waar zijn. Sander is de linker, Sergin is de middelste en Youri is de rechter. 6 m Moderne wiskunde 9e editie A vwo 7