42 NAW 5/3 r. 1 maart 22 Rekee aa hypotheke Fras Boshuize, Peter Spreij Fras Boshuize Divisie Wiskude e Iformatica, Vrije Uiversiteit ING Group, Corporate Reisurace Postbus 81, 1 AV Amsterdam fras.boshuize@ig-re.l Peter Spreij Korteweg-de Vries Istituut voor Wiskude Uiversiteit va Amsterdam Platage Muidergracht 24, 118 TV Amsterdam spreij@sciece.uva.l Rekee aa hypotheke Meer da hoderd jaar gelede vod meig wiskudige zij beroep i de verzekerigswiskude. Sidsdie is er veel veraderd. De fiaciële markte zij groter e seller geworde e worde bestuurd door selle computers die complexe modelle kue doorrekee. Fiaciële wiskude eemt de laatste tie jaar ee veel grotere plaats i op de uiversiteite e daar wordt ook weer meer gedacht aa de fiaciële beroepspraktijk. Fras Boshuize e Peter Spreij beschrijve allerlei geavaceerde techieke die gebruikt worde bij fiaciële istellige om risico s te mete e beheerse. Fiaciële istellige zoals bake, verzekerigsmaatschappije, treasury afdelige va iteratioaal opererede oderemige probere zich op allerlei maiere i te dekke tege fiaciële risico s. Deze risico s kue va allerlei aard zij. Dek bijvoorbeeld aa fluctuaties va wisselkoerse, grote schadeclaims bij oodweer, of aa waardeveraderig va beleggigsportefeuilles, die zeer va belag zij voor pesioefodse die hu verplichtige op het gebied va pesioeaasprake moete akome. Welke va de geoemde voorbeelde ook va toepassig is, altijd zal ee kwatitatieve aalyse va marktgegeves e wiskudige modelle de grodslag vorme voor het bepale va prijze e het oderbouwe va risicobeheersig. Het is da ook iet verwoderlijk dat de laatste tijd veel wiskudige of persoe met ee adere exacte of kwatitatieve achtergrod ecoometriste, statistici, maar ook fysici e sterrekudige ee werkkrig vide i de fiaciële sector. Naast werk va statistische aard wordt ook gebruik gemaakt va aalytische methode uit adere dele va de wiskude, bijvoorbeeld de theorie va de partiële differetiaalvergelijkige. Omdat de te aalysere probleme vaak te complex zij om ee aalytische geslote vorm oplossig te berekee, worde veel umerieke methode (umeriek itegrere/differetiëre) gebruikt. Ook eevoudigere situaties da de eerder geoemde voorbeelde zij dekbaar. Bijvoorbeeld, risico s die fiaciële istellige aagaa bij het verstrekke va hypotheke aa klate. I dit artikel gaa we ader i op ee aatal wiskudige aspecte die om de hoek kome kijke bij het vaststelle va prijze die bake, of adere hypotheekverstrekkers, hu klate berekee. 1 Rete e verdiscoterig Als we geld uitlee of op ee bakrekeig zette, otvage we daarvoor rete. Stel dat we begie met ee kapitaal k e dat we aa het eid va op elkaar volgede periode het kapitaal k otvage. Over elk va deze periode bestaat ee rete va ρ k 1%. Da is k = (1 + ρ k)k. Als we deze periodes kort eme, zeg met ee legte h, da zal ook de rete over zo periode va h afhage. I dat geval schrijve we ρk h. We kieze voor everedigheid va ρk h met de legte va de periode, dus bijvoorbeeld ρk h = hr k. Deke we u aa r k als waarde va ee fuctie va ee reële variabele r( ), da ligt het voor de had r k = r(kh) te eme. Op dezelfde maier beschouwe we ook het cumulatieve kapitaal k als iterpolaties va ee reële fuctie k( ). We vervage da k door k(h) e krijge dus de uitdrukkig k(h) = k() (1 + hr(kh)). Neme we logaritme, da otstaat er log k(h) = log k()+ log(1+hr(hk)) log k()+ h r(hk). De som beadere we door de itegraal r(s)ds, met als gevolg dat we bij beaderig k(t) = k() exp( r(s) ds) krijge voor h e h t. We kue de zake ook omkere. Als we op ee tijdstip T i de toekomst ee kapitaal va ee gulde wille spare, da moete we op ee eerder tijdstip t daarvoor ee bedrag p(t, T) = exp( T t r(s) ds) ilegge, erva uitgaade dat r( ) beked is. Het bedrag p(t, T) wordt ook wel de prijs va ee discout of zero-coupo obligatie geoemd. Zero-coupo duidt op het feit dat ee dergelijke obligatie iet tussetijds rete uitkeert, maar allee de hoofdsom aa het eide va de looptijd. De fuctie r wordt aageduid met de aam korte rete of short rate. Het zal duidelijk zij dat soortgelijke overwegige ook betrekkig hebbe op hypotheke, va welke soort da ook, met
Fras Boshuize, Peter Spreij Rekee aa hypotheke NAW 5/3 r. 1 maart 22 43 die verstade dat het geld voor de aakoop va ee huis door de cosumet geleed moet worde, waarover bake rete berekee. Dat deze rete afhagt va de looptijd va de hypotheek, of liever va de periode waarover ee retepercetage afgesproke wordt, is iederee beked. Bij ee retevaste periode va vijf jaar ligt het percetage vaak hoger da voor ee periode va twee jaar. Terwijl voor de klat de te betale rete voor ee zekere periode vast ligt, is de situatie voor bake geheel verschilled. Zij sluite immers dagelijks grote aatalle hypotheke af, moete het uitgeleede bedrag zelf fiaciere e hebbe daarbij steeds te make met de marktrete die hu die dag bereked wordt e daarmee ook met de schommelige die de rete odervidt. Ook hebbe bake og te make met verschillede rechte die verstrekt worde aa de klate. We oeme hier het recht op vervroegd aflosse e de meeeem-optie bij verhuize. Deze rechte zorge er voor dat de kasstrome die bake otvage uit hu hypothekeportefeuille iet helemaal zeker zij, maar afhakelijk va toekomstige rete-otwikkelige. We kome hier uitgebreid op terug i paragrafe 5 e 6. Voor het i kaart brege va de ozekerheid over de otwikkelig va de korte rete hatere we ee stochastisch model. Er zij i de literatuur verscheidee modelle gepostuleerd. Sommige erva lee zich voor ee betrekkelijk eevoudige aalytische aapak, voor adere moet de toevlucht tot simulaties geome worde. I het bestek va dit verhaal kieze we voor ee eevoudig aalytisch te hatere model. Dit model werd geitroduceerd door Hull e White i 1987 (zie [7]). Meer is hierover te vide i bijvoorbeeld de boeke va Björk [2] of Pelsser [1]. 2 Ee wiskudig model Voor het beschrijve va de ozekerheid va de reteotwikkelig is het voldoede dat we kase kue bepale over de waarde die de rete op toekomstige tijdstippe ka aaeme. Impliciet is dit het gevolg va het modellere va de otwikkelig va de rete i de tijd door middel va ee stochastische differetiaalvergelijkig. We itroducere wat otatie e begrippe. Va fudameteel belag is het zogehete Wieer-proces (veroemd aar de wiskudige Norbert Wieer (1894 1964), die het bestaa erva als welgedefiieerd wiskudig object aatoode [13]). Dit stochastische proces duide we aa met W. Al eerder is dit proces geïtroduceerd i ee fiaciële cotext door Louis Bachelier (187 1946) i zij dissertatie [1], waarop hij als promovedus va Heri Poicaré aa de Sorboe promoveerde. Ook wordt de aam Browse bewegig als syoiem gebruikt voor het Wieer-proces. Deze aam verwijst aar de Schotse botaist Robert Brow (1773 1858) die i 1827 als eerste het beweeglijke Figuur 2 De botaist Robert Brow (1773 1858) e de wiskudige Norbert Wieer (1894 1964). Naar he zij de Browse bewegig e het Wieer-proces verschillede ame voor eeehetzelfde stochastische proces geoemd. gedrag va polle i water als het gevolg va voortdurede botsige met watermolecule waaram. De waarde va W op ee tijdstip t geve we aa met W t. Alle W t zij u stochastische variabele. Ee va de belagrijkste kemerke va het Wieer-proces W is dat icremete W t W s voor t > s ormaal N(, t s) verdeeld zij e stochastisch oafhakelijk va alle waarde va W voor tijdstip s. Bovedie zij de pade t W t va het Wieer-proces cotiue fucties. Het is zelfs zo dat het oplegge va deze eigeschappe aa ee stochastisch proces impliceert dat we met ee Wieer-proces te make hebbe. De tijdsperiode die we beschouwe zette we op [, T]. Het begitijdstip is het momet dat de klat ee offerte accepteert. Met r t duide we de korte rete op tijdstip t aa. We presetere u ee model voor r dat tot gevolg heeft dat r t voor elke t ee stochastische variabele wordt. Zij α ee gegeve reëelwaardige fuctie op [, T] (verderop meer hierover) e θ ee iet-egatieve costate, de zogehete mea-reversio speed. I het model va Hull e White wordt de rete beschreve door de oplossig va de stochastische differetiaalvergelijkig dr t = (α(t) θr t ) dt + σ dw t, (1) waarbij dw t het icremet W t+dt W t voorstelt. Ee discrete tijd approximatie va deze vergelijkig behadele we i paragraaf 3; hieruit valt teves te destillere hoe deze vergelijkig geïterpreteerd diet te worde. We make het typografische oderscheid door i stochastische groothede de tijdsparameter t als subidex weer te geve (zoals r t ) e bij determiistische variabele deze tusse haakjes te schrijve (zoals α(t)). Omdat we de Figuur 1 1 HW-pade met θ =.1 (liks) e θ =.4 (rechts)
44 NAW 5/3 r. 1 maart 22 Rekee aa hypotheke Fras Boshuize, Peter Spreij rete u stochastisch gemaakt hebbe, schrijve we dus aders da i paragraaf 1 r t i plaats va r(t). I figuur 1 zie we het effect va de mea-reversio speed i het Hull & White model. I de figuur staa voor θ =.1 e θ =.4 1 gesimuleerde pade geplot. Het is metee duidelijk dat hoe hoger de θ des te seller de retepade teruggetrokke worde aar het gemiddelde iveau. De theorie va de stochastische differetiaalvergelijkige e va de stochastische itegratietheorie, waarva de grodbegisele door K. Itô i de jare veertig va de twitigste eeuw geformuleerd zij, oderscheidt zich qua calculusregels i het algemee va de gewoe differetiaalrekeig. Dit wordt geïllustreerd door de zogeaamde Itô-regel (zie [9]). Recet is beked geworde dat wat u beked staat als de Itô-regel al i 194 is opgeschreve i ee recet geopebaard mauscript va Wolfgag Döbli (1915-194) dat i ee verzegelde evelop is bewaard i het archief va de Académie des scieces i Parijs. Zie [5] voor ee verhadelig va de bizarre geschiedeis e ee gedrukte versie va het origieel e ook elders i dit blad. Het va de gewoe calculus afwijkede gedrag is essetieel ee gevolg va het feit dat de pade va het Wieer-proces weliswaar cotiu zij, maar aders buitegewoo grillig, amelijk va obegresde variatie over eidige itervalle. Het is voor os doel echter iet odig om hier dieper op i te gaa. Lezers die hierover meer wille wete verwijze we aar bijvoorbeeld Karatzas & Shreve [9] of Chug & Williams [6]. Voor vergelijkig (1) valt aa te toe dat we oze toevlucht kue eme tot methode uit de theorie va de gewoe differetiaalvergelijkige. Gegeve ee begivoorwaarde r (die we determiistisch eme, immers we kee de rete op dit momet) is deze stochastische differetiaalvergelijkig expliciet op te losse. De oplossig waarva we ee slordig bewijs geve i het oderstaade kader, is r t = e θt (r + e θs α(s) ds + σ e θs dw s ). (2) Het gevolg va bovestaad model is (zie paragraaf 3) dat r t op elk tijdstip ormaal verdeeld is, wat allee de laatste (stochastische) itegraal i (2) is ee toevalsvariabele, die we zie als ee (oeidige) som va oafhakelijke ormale. Deze hebbe allemaal verwachtige ul, zodat de verwachtig va r t gelijk is aa e θt r + e θ(t s) α(s) ds. De variatie is wat lastiger te bepale. Aagetood ka worde dat Var r t = σ 2 2θ (1 e 2θt ). Bovedie kue we voor elk tweetal tijdstippe t e s eevoudig de covariatie tusse r t e r s uitrekee. Voor t > s krijge we Cov (r t, r s ) = e θ(t s) Var r s. Het is u ee koud kustje om voor elk -tupel (t 1,..., t ) de verdelig va r t1,..., r t te karakterisere. Deze is (multivariaat) ormaal e verwachtig e covariatiematrix kue we met de zojuist gegeve formules bepale. Samevatted, als gevolg va de beschrijvig met ee stochastische differetiaalvergelijkig zij we i staat om de kasverdelig va het proces r te beschrijve, waarmee we de ozekerheid over het verloop va r i kaart hebbe gebracht. We hebbe u met behulp va ee stochastisch model de korte rete beschreve. I ee discreet model als i paragraaf 3 wordt beschreve, is dit vaak de 1-maads rete (rete op geldleige met duur 1 maad). Zoals eerder gezegd worde hypotheekretes vaak voor lage tijd (va 1 tot 2 jaar) vastgelegd. Het mooie va modelle als (1) is dat we ee geslote vorm Het oplosse va de stochastische differetiaalvergelijkig (1) De methode die we gebruike is die der variatie va de costate, beked uit de theorie va de ihomogee lieaire differetiaalvergelijkige. Hoewel opgemerkt was, dat de stochastische-calculusregels afwijke va wat we uit de gewoe calculus kee, hebbe we hier met ee situatie te make waarva aa te toe valt dat het oderscheid wegvalt. Beschouw eerst de homogee differetiaalvergelijkig dx t = θx t dt. De oplossig kee we: x t = e θt bij begitoestad x = 1. Late we u ees als oplossig voor de stochastische differetiaalvergelijkig r t = x t y t probere. Hier is x t de oplossig va het homogee deel e y t is ee og obepaald stochastisch process. Late we u r t = x t y t gaa differetiëre: dr t = y t dx t + x t dy t = θx t y t dt + x t dy t = θr t dt + x t dy t. Als we u aar de oorsprokelijk vergelijkig voor r t kijke, da zie we dat dy t gelijk moet zij aa x 1 t (α(t)dt +σdw t ) = e θt α(t)dt +σe θt dw t. Als we de laaste vergelijkig itegrere aa beide zijde va het = -teke, e we eme aa dat r t op tijdstip de begiwaarde r aaeemt, da verkrijge we vergelijkig (2). vergelijkig voor lage retes uit kue rekee i terme va de direct gemodelleerde korte rete. Met ee lage rete bedoele we het redemet op ee laglopede leig (bijvoorbeeld staatsobligatie). Het eevoudigst is om aar het redemet va de zero-coupo obligatie uit paragraaf 1 te kijke. De relatie tusse de prijs p(t, T) va ee zero-coupo obligatie op tijdstip t met ee looptijd T t e het redemet R(t, T) va dit istrumet, de zero-coupo rete, ka als volgt gedefiiëerd worde: R(t, T) := log p(t, ( T)/(T t) waarbij p(t, T) gegeve wordt door p(t, T) = E t exp( ) T t r s ds). Het subscript t bij de verwachtig beteket dat we de verwachtig eme gegeve de iformatie va r s tot e met tijdstip t. Voor de experts: de verwachtig wordt geome oder de risico-eutrale kasmaat. De grafiek va R(t, T) als fuctie va T (t vast) wordt wel de spot- of zero-coupo yield curve geoemd. Ee populaire klasse va retemodelle is de klasse va zogeaamde affiee modelle. Bij deze modelle bestaat er ee lieair verbad tusse de zerocoupo retes R(t, T) e de korte retes r t. Het Hull e White model behoort ook tot deze klasse e me ka a eig rekewerk late zie dat er fucties A(t, T) e B(t, T) bestaa zodaig dat R(t, T) = A(t, T) + B(t, T)r t. (3) De fuctie B(t, T) wordt gegeve door B(t, T) = 1 e θ(t t). θ(t t) De fuctie A(t, T) is vrij gecompliceerd e ka gevode worde i paragraaf 5.2 va Pelsser [1]. Zo zie we dus, dat we via ee model voor de korte rete r t ook formules kue krijge voor
Fras Boshuize, Peter Spreij Rekee aa hypotheke NAW 5/3 r. 1 maart 22 45 de lage retes R(t, T). Als we i de praktijk vergelijkige als (1), (2) e (3) wille simulere op de computer, da zulle we ook discrete versies va de vergelijkige moete hebbe. I de volgede paragraaf wordt kort igegaa op het discretisere va de cotiue vergelijkige i deze paragraaf. Met ame vergelijkig (4) is zeer uttig e geeft direct aa hoe korte retes gesimuleerd kue worde. 3 Discrete beaderig Stochastische differetiaalvergelijkige zij op te vatte als limiete va (stochastische) differetievergelijkige. De aapak die we hierbij volge, verloopt parallel aa die va paragraaf 1. We illustrere dit aa de had va de eerder gepoeerde vergelijkig dr t = (α(t) θr t ) dt + σdw t. Over ee klei tijdsiterval ter legte h vide we dat bij beaderig geldt r t+h r t = (α(t) θr t )h + σ(w t+h W t ). Late we u t steeds ee geheel veelvoud va h zij, zeg t = h, da krijge we met r h = r h, α h = α(h) e W h +1 = W (+1)h W h r h +1 = rh + (α h θr h )h + σ W h +1. (4) Merk op dat W+1 h ormaal verdeeld is met verwachtig ul e variatie h. De laatste vergelijkig is recursief eevoudig op te losse: r h = (1 θh) (r + (1 θh) k α h k 1 h + (1 θh) k σ Wk h). (5) We zie u eevoudig dat r h ormaal is met verwachtig e variatie (1 θh) (r + (1 θh) k αk 1 h h σ 2 (1 θh) 2 (1 θh) 2k h. Late we u h e h t, da covergeert de verwachtig va r h aar e θt (r() + e θs α(s) ds), omdat (1 θh) e θt e we de (Riema) som kue vervage door de correspoderede itegraal. Aaloog covergeert de variatie aar σ 2 e 2θt e 2θs ds = σ 2 (1 e 2θt )/2θ. De aldus verkrege limiete voor verwachtig e variatie zij precies wat we i paragraaf 2 al bereked hadde voor r t. Op soortgelijke wijze kue we u ook iets over covergetie va r h uit (5) zegge, zoder deze bewerige ee preciese vorm te geve: r h covergeert (i kas) aar r t uit (2), waarbij we dw t hebbe geschreve voor de limiet va W h k. 4 Statistiek voor retemodelle I het model va vergelijkig (1) zij de reële parameters θ e σ, alsmede de fuctie α og iet gespecificeerd. I de praktijk probeert me deze obekede parameters te vide door het gebruikte retemodel te calibrere op marktdata. De eerst stap is als volgt: De fuctie α(t) wordt zo gekoze dat de prijs E exp( r s ds) va ee zero-coupo obligatie met looptijd t overee komt met de prijs die vadaag i de markt geldt. I de krat ku je de prijze zie va gewoe coupo obligaties uitgegeve door de Nederladse staat. Hieruit is op eevoudige wijze de prijze va zero-coupo obligaties af te leide. De parameters θ e σ kue verkrege worde door het model te calibrere op prijze va rete-opties (caps, floors, swaptios). Dit gaat door eerst ee aatal prijze te verzamele i de huidige markt, da de prijze va dezelfde istrumete uit te rekee i het model (dus og als fuctie va θ e σ), e daara, bijvoorbeeld met behulp va de kleiste kwadrate methode, de parameters θ e σ zo te kieze dat de marktprijze zo goed mogelijk beaderd worde. Dat hierbij allerlei stadaardvrage uit de statistiek omtret de kwaliteit va de verkrege resultate opdoeme, zal duidelijk zij. I het kader va dit artikel gaa we hier iet ader op i. 5 Retemodelle bij aalyses va hypothekeportefeuilles Nu we ee wiskudig model geïtroduceerd hebbe, gaa we ader i op de vraag waarom fiaciële istellige complexe retemodelle gebruike bij het beheerse va risico s va hypothekeportefeuilles. Er zij twee redee aa te voere: 1. Zoals gezegd i paragraaf 1 is er ee verschil tusse de hypotheekrete zoals klate die zie, e de marktrete die fiaciële istellige zie als zij de hypotheke moete fiaciere. Marktretes fluctuere dagelijks e hypotheekretes zij voor lagere periode costat. 2. I de praktijk is het iet zo dat bake altijd de aflossige e retes met zekerheid otvage. Dit heeft te make met bepaalde herfiacierigsrechte die klate krijge aagebode i het hypotheekcotract. Er is vaak ee verbad aa te wijze tusse het wel of iet uitoefee va deze rechte e de stad va de rete. Ekele va deze rechte worde hieroder besproke. We hebbe hierbove herhaaldelijk de term rechte late valle. Deze rechte worde i de fiaciële wereld veelal opties geoemd. Deze opties kome i allerlei soorte e mate voor ee worde vaak met ee geografische aam aageduid (bijvoorbeeld Europese, Amerikaase, Russische, Aziatische opties). Deze aamgevig heeft evewel iets met ee geografische achtergrod te make, slechts met ee verschil i het momet waarop ee klat va zij recht gebruik ka make. Bijvoorbeeld, bij ee Europese optie is dit het geval op ee va te vore bepaald momet, bij ee Amerikaase optie daaretege staat het de klat vrij bie ee vastgestelde periode op elk momet dat hem goeddukt zij recht uit te oefee. DE OFFERTE-OPTIE. I ee hypothekeofferte otvagt de klat ee hypotheketarief dat hij gedurede ee zekere periode zeg ee maad mag (iet moet, vadaar dat we spreke va ee optie) acceptere. Dit beteket dat als de marktrete omhoog gaat, e de bak dus hogere fiacierigskoste heeft, de klat
46 NAW 5/3 r. 1 maart 22 Rekee aa hypotheke Fras Boshuize, Peter Spreij og steeds de geoffreerde rete gaat betale bij acceptatie va de offerte. Nu komt het voor de klat mooiste gedeelte va de offerte-optie: als de hypotheekrete i de periode tusse offrere e passere bij de otaris omlaag gaat, da verlaagt de bak automatisch de rete i de offerte tot het da geldede ieuwe hypotheketarief. Het woord optie hier is ietwat misleided, omdat de klat zelf iet i actie hoeft te kome om dit recht uit te oefee. DE MEENEEMOPTIE. Als ee klat verhuist, moet de hypotheek volledig afgelost worde. Het huis als oderpad va de hypotheek vervalt amelijk. Als de klat ee ieuwe hypotheek odig heeft voor het ieuwe huis da biedt de bak of verzekerigsmaatschappij de volgede mogelijkheid: de klat mag de oude hypotheek meeverhuize of de klat mag ee ieuwe offerte vrage. Als de huidige rete lager is da zij oude tarief da zal de klat ee ieuwe hypotheek eme. I het adere geval, dat de rete itusse gestege is, zal de klat de oude hypotheekvoorwaarde meeverhuize aar zij ieuwe hypotheek. DE OPTIE VERVROEGD AF TE LOSSEN. Klate hebbe tijdes de looptijd va de hypotheek de mogelijkheid deze hypotheek vervroegd af te losse. Ee gedeelte ka zelfs zoder boete vervroegd worde afgelost. Dit ka iteressat zij, idie de hypotheekrete flik gedaald is e de hypotheek elders voordeliger gefiacierd ka worde. (Vauit het gezichtsput va de klat moete overiges ook belastigaspecte die kleve aa ee vervroegde aflossig e herfiacierig grodig bestudeerd worde.) DE RENTEBEDENKTIJD-OPTIE. Sommige hypotheekvorme hebbe ee zogeaamde retebedektijd igebouwd. Deze retebedektijd houdt i dat klate, veelal i het laatste jaar va de hypotheek, de mogelijkheid krijge om alvast het ieuwe hypotheketarief voor de volgede retevaste periode te eme. Dit ka gustig zij voor de klat als hij of zij dekt dat de huidige rete wel erg laag is e allee maar ka stijge. Wat veel mese doe bij het kieze va de eerste hypotheek is het eme va ee hypotheek met ee 1-jarige retevast periode e gedurede dat hele eerste jaar ee retebedektijd. De klat ka da gedurede dat hele eerste jaar ee gustig momet kieze om te switche aar ee hypotheek met ee lagere retevaste looptijd. We hebbe hier ee mooi voorbeeld va ee optie i Amerikaase stijl. Voor de experts e fijproevers: ee hypotheek is dus eigelijk ee Forward startig loa met look back faciliteit, die bovedie putable is. Het volgede valt dus op bij bovestaade opties: het uitoefee hagt af va de huidige stad va de rete, het gedrag va de klat e extere omstadighede (bijvoorbeeld het wie va ee loterij, waardoor ee klat zij gehele schuldrest i éé keer aflost). Retemodelle, zoals besproke i paragraaf 2, worde gebruikt voor ee aatal doeleide: zie) worde e belagrijker de otwikkelig va de portefeuillewaarde ka i de tijd gevolgd worde. c. Maatregele kue worde geome om de waardeveraderige va de hypothekeportefeuille als gevolg va veraderige i de rete zoveel mogelijk te reducere. Dit wordt bij fiaciële istellige wel hedge geoemd. 6 Ee waarderigsvraagstuk I deze paragraaf zulle we os richte op het waarderigsvraagstuk (b) uit het eide va de vorige paragraaf. We gaa er hierbij vauit dat het om afgeslote hypotheke gaat, zodat de offerteoptie hier iet gemodelleerd behoeft te worde e we richte os allee op het geval waari we met vervroegde aflossige te make hebbe. Het gaat er al met al dus om hypotheke te voorzie va ee prijs die aa de klat bereked zal worde, terwijl we iet va te vore wete waeer klate vroegtijdig aflosse e hoe groot die aflossig bedraagt. Om de ozekerheid va de kasstrome uit de hypothekeportefeuille e de ozekerheid va de rete met elkaar te verbide zij zogeaamde vervroegdeaflossigsmodelle odig. Verderop presetere we ee eevoudig, maar i de praktijk vaak gebruikt, model. Zelfs voor dit model zal blijke dat ee aalytische formule voor de aa de klat door te bereke prijs i de regel iet voorhade is. We bespreke vervolges ee simulatiemethode om toch ee umerieke waarde aa de hypotheek toe te kee e we lichte toe wat de ivloed va de verschillede parameters i het model is op de te berekee prijs. Voordat we aa de had va ee vervroegd-aflossigsmodel trachte prijze te berekee, late we eerst zie hoe de kasstrome (rete e aflossige) lope va de klat aar de hypotheekverstrekker zoder dat we vervroegde aflossige e adere op- a. De ozekere kasstrome behorede bij hypotheke met bovegeoemde igebouwde opties kue gemodelleerd worde. b. Nadat de kasstrome gemodelleerd zij, kue hypothekeportefeuilles gewaardeerd (dat wil zegge va ee prijs voorcopyright: 21 Reid, Geleijse & Va Tol
Fras Boshuize, Peter Spreij Rekee aa hypotheke NAW 5/3 r. 1 maart 22 47 ties i ogeschouw eme. We gaa uit va ee eevoudige auïteite hypotheek. Dit is ee hypotheek waarbij de klate (tijdes de retevaste periode) maadelijks ee costat bedrag aa rete plus aflossig betale aa de hypotheekverstrekker. Gaa we uit va ee te lee bedrag B dat i N termije afbetaald moet worde tege ee vaste rete r per termij, zodaig dat per termij de som va de betaald rete i e de aflossig a costat is, de auïteit, da kue we a e i als volgt bepale. Zet de schuldrest op tijdstip op S, da is dus S = B e S N =. Verder geldt i = rs 1 e a = a i, waarbij a de auïteit. Dit leidt tot de volgede vergelijkig: S = (1 + r)s 1 a. Eevoudig rekewerk leidt tot a = r(1 + r)n S (1 + r) N 1 e S = (1 + r)n S (1 (1 + r) N ) (1 + r) N. 1 ma 1 j v t = α + β (rt r u 1 j t ma 1 j ) + γ max{rt u 1 j rt, } (6) Er is ee uitgebreide literatuur beschikbaar over vervroegdeaflossigsmodelle. Zie bijvoorbeeld [12] ad [11]. I de literatuur worde deze modelle prepaymet models geoemd. Ee populair e eevoudig model wordt gegeve door de volgede vergelijkig: Hier is v t het percetage vervroegde aflossige (op jaarbasis als u 1 j ma 1 j percetage va uitstaade schuldrest), rt e respectievelijk de 1-jaars rete op tijdstip t e het 1-jarig voortschrijded gemiddelde va de 1-jaars rete op tijdstip t. Figuur 3 laat ee patroo zie dat vaak i de praktijk wordt waargeome. Afgebeeld staat het vervroegde-aflossigs percetage op jaarbasis (verticale as) tege het verschil va ee voortschrijded gemiddelde va de 1-jaars rete e de actuele 1-jaars rete (op momet va de waaremig). De data i dit plaatje zij fictief e iet gebaseerd op data va hypothekeportefeuilles va bestaade fiaciële istellige. Als we u teruggaa aar de bovestaade otatie da zie we dat de schuldrest op tijdstip als volgt bereked wordt: S = B, S = S 1 a v S 1, waarbij a de reguliere aflossig is e v het vervroegde-aflossigspercetage. Verder geldt dat de kasstroom (cash flow) aar de bak toe op tijdstip gegeve wordt door CF = a + v S 1 + i, waarbij i de retecompoet r S 1 is. Aalytische formules voor S zij iet te verkrijge omdat de vervroegde-aflossigscompoet ee lastige vorm heeft e bovedie va de rete afhagt. Het is u belagrijk om i te zie dat de kasstrome afhakelijk zij va de oderliggede marktretebewegige. Bovedie zij ze pad-afhakelijk, dat wil zegge, ieder adere retebewegig aar tijdstip t toe ka tot e adere reeks kasstrome CF 1,..., CF t leide. Met behulp va de retemodelle beschreve i paragraaf 3 kue de ozekere kasstrome gewaardeerd worde. I theorie gaat dit via de vergelijkig ( T ) V T = E exp( r s ds)cf t (r s, s t). (7) t=1 Hier is V T de waarde va de hypotheek (of portefeuille) op tijdstip T, e CF t = CF t (r s, s t) zij de ozekere kasstrome die de portefeuille geereert op de tijdstippe t = 1,..., T. Merk op dat CF t afhagt va de hele historie va de rete tot op tijdstip t (via verbad korte e lage retes gegeve i (3)). Figuur 3 Verschil voorschrijded gemiddelde e huidige 1-jaars rete versus vervroegdaflossigspercetage I de praktijk is het zeer lastig, zo iet omogelijk, om de bovestaade formule aalytisch uit te rekee. Veelal worde simulatie-methode gebruikt om ee auwkeurige beaderig te geve va formule (7). I terme va het discrete model va paragraaf 3 gaat dit als volgt: 1. Simuleer ee reeks korte retes r1 h,..., rh N met bijvoorbeeld h = 1/12 (stappe va 1 maad). 2. Bereke beodigde lage retes met behulp va de relatie i formule (3). 3. Bereke de vervroegde-aflossig percetages (die afhakelijk zij va berekede lage retes, e de reeks kasstrome CF 1, CF 2,...). 4. Verdiscoteer de kasstrome met de gesimuleerde korte termij retes: exp( h ri h) CF (r1 h,..., rh ) (8) i=1 e tel de verdiscoteerde kasstrome bij elkaar op. 5. Doe (1) tot e met (4) ee groot aatal, zeg 1, kere e eem als schattig voor de waarde va de portefeuille het gemiddelde va de som va de verdiscoteerde kasstrome i (8). Bij bovestaade recept moete we eige kattekeige plaatse. De eerste is dat bij gebrek aa data de meeeem-optie e de optie om vervroegd af te losse meestal i ee model gegote worde. De tweede kattekeig is dat voor de retebedektijdoptie sec modelle gehateerd kue worde die lijke op de vervroegde-aflossigsmodelle. We merke og op dat de retebedektijd-optie eigelijk ee Amerikaas call optie is (geschreve door de bak). Teslotte stelle we vast, dat i ee retemodel vaak de lage rete op staatsobligaties gemodelleerd wordt. I ee verfijde versie va het model zou het verbad tusse de markt- e de hypotheekretes ook beschreve moete worde. Ee 1-jaars redemet op staatsobligities veradert atuurlijk vaker da de 1-jaars hypotheekrete. Vaak volgt de hypotheekverstrekker de marktrete op eige afstad. I tabel 4 zie we de resultate va ee simulatie. De karakteristieke va de hypotheek staa i tabel 1. We eme aa dat de 1-jaars marktrete op de kapitaalmarkt 5.2% is (het hypotheektarief ligt dus,8% hoger da de marktrete). Het aflossigspatroo va de hypotheek is ee auïteit e de hypotheek wordt i 3 jaar afgelost. We hebbe deze hypotheek gewaardeerd met behulp va ee Hull e White model e met ee vervroegde-
48 NAW 5/3 r. 1 maart 22 Rekee aa hypotheke Fras Boshuize, Peter Spreij Hoofdsom 1 Rete 6% Looptijd Retevaste looptijd Type Tabel 1 Modelhypotheek θ 3 jaar 5 jaar Auïteit Basis.1 1.% Hoog.1 3.% Laag.1.5% Tabel 2 Parameters Hull & White model α β γ Basis 7%.1.7 Nul % Hoog 14%.2 1.4 Laag I 3.5%.5.35 Laag II %.1.7 Tabel 3 Parameters vervroegd-aflossigsmodel Vervr.-aflossigsmodel/rete Laag Basis Hoog Basis 13.62 13.53 12.9 Nul 14.13 14.13 14.13 Laag I - 13.8 - Laag II - 13.79 - Hoog - 13.5 - Tabel 4 Uitkomste waarderig modelhypotheek aflossigsfuctie als i formule (6). I tabel 2 staa de waarde voor θ e σ. We hebbe θ costat gehoude e σ late variëre. Hoog e Laag zij dus modelle met hoge respectievelijk lage beweeglijkheid va de rete. Basis zit er tusse i. I tabel 3 staa vijf verschillede drietalle voor de parameters α, β e γ i formule (6). We lichte de uitkomste va tabel 4 ader toe. We zie dat zoder opties, dus met vervroegde-aflossigsparameters gelijk aa ul, de hypotheek voor de verstrekker 14,13 waard is. Dit is meer da de hoofdsom va 1 omdat de wistmarge va de σ hypotheekverstrekker i de 14,13 verdiscoteerd is. Omdat de kasstrome va de hypotheek zeker zij (parameters vervroegd-aflossigsmodel op ul) heeft de beweeglijkheid va de rete gee ivloed op de waarde als we het vervroegdaflossigsmodel uitzette. Kijke we u aar het basistripel vervroegde-aflossigsparameters da zie we dat de waarde va de hypotheek (wederom voor de verstrekker) hoger wordt, aarmate de beweeglijkheid va de rete lager is. Dit komt omdat da de kas dat de optie voor de klat voordeel oplevert kleier is. Bij de parameters Laag I, Laag II e Hoog i het vervroegdaflossigsmodel bekijke we de resultate va de waarderig allee voor het basistripel parameters i het Hull & White model. I de regel is het zo dat de hypotheek mider waard wordt voor de verstrekker als de parameter γ hoger wordt. Klate gaa da immers hu hypotheek aflosse e wellicht herfiaciere als de rete laag is. De parameter α heeft ee dubbele werkig op de waarde va de hypotheek. Ee hoge α ka gustig zij voor de verstrekker i ee klimaat met hogere rete da bij verstrekkig va hypotheek, maar is juist ogustig i geval va lagere rete da bij de verstrekkig. Om te bekijke of hogere α ee hogere of lagere waarde voor de modelhypotheek impliceert, moete we wete met welke kas het gebruikte retemodel hogere of lagere retes gaat simulere. I vergelijkig met het basistripel zie we da de modelhypotheek meer waard is i situaties Laag I e Laag II. De extreem hoge γ i Hoog verklaart dat de modelhypotheek mider waard is da voor de basiswaarde va α, β e γ. 7 Tot slot I de gepreseteerde aalyse is gekoze voor ee populair retemodel (Hull e White), dat zich leet voor ee aalytische aapak met voor ee deel formules i geslote vorm. Er bestaa echter veel meer retemodelle, waarva sommige bepaalde karakteristieke va het verloop va de rete beter weergeve. I [1], [3] of [2] is hierva ee overzicht te vide. Voorts hebbe we ee aatal gedragige va klate, e de verschillede mogelijkhede tot het uitoefee va sommige opties iet volledig gemodelleerd. Het otwikkele va retemodelle is ee levedig oderwerp va oderzoek waari og bij lage a iet het defiitieve woord gesproke is. k Refereties 1 L. Bachelier (19), Théorie de la spéculatio, Aales scietifiques de l Ecole Normale Supérieure, 3e série, tome 17, Paris, Gauthier-Villars. 2 T. Björk (1998), Arbitrage theory i cotiuous time, Oxford Uiversity Press. 3 D. Brigo ad F. Mercurio (21), Iterest Rate Models: Theory ad Practice, Spriger Fiace, Heidelberg. 4 Robert Brow (1828), A brief accout of microscopical observatios made i the moths of Jue, July, ad August, 1827, o the particles cotaied i the polle of plats; ad o the geeral existece of active molecules i orgaic ad iorgaic bodies, Philosophical Magazie (2d series) 4,161 173. 5 Comptes Redus de l Academie des Scieces - Series I - Mathematics, 331, Issue 12, Part 2, December 2 6 K.L. Chug ad R. Williams (1997), Itroductio to Stochastic Itegratio, Secod Editio (3rd Pritig), Birkhäuser. 7 J. Hull ad A. White (1987), The pricig of optios o assets with stochastic volatilities, Joural of Fiace 42 (2), 281 3. 8 K. Itô (1944), Stochastic itegral, Proc. Imperial Acad. Tokyo 2, 519 524. 9 I. Karatzas ad S. Shreve (1991), Browia motio ad Stochastic calculus, Spriger. 1 A. Pelsser (2), Efficiet Methods for Valuig Iterest Rate Derivatives, Spriger. 11 S.F. Richard ad R. Roll (1989), Prepaymets o fixed-rate mortgage-backed securities, Joural of Portfolio Maagemet, Sprig 1989, 73-82. 12 E.S. Schwartz ad W.N. Torous (1989), Prepaymet ad the valuatio of mortgagebacked securities, Joural of Fiace 44 (2), 375 392. 13 N. Wieer (1923), Differetial space, J. Math. Phys. 2, 131 174.