Analyse Samenvatting: logaritmen Frank Derks Gerard Heijmeriks www.demathe.nl
1. Inhoudsopgave 1. Inhoudsopgave... 2 2. Exponentiële functies... 3 2.1. Inleiding... 3 2.2. Groeifactoren en groeipercentages... 4 2.3. Exponentiële vergelijkingen... 5 3. Rekenregels voor logaritmen... 7 3.1. Inleiding... 7 3.2. Logaritmische vergelijkingen... 7 Transformaties en translaties samenvatting 2
2. Exponentiële functies 2.1. Inleiding Om te kunnen rekenen met groeifactoren en algemener met machten, zijn er een aantal rekenregels die jullie goed moeten kennen en kunnen toepassen: Voorbeeld 1 GEVRAAGD: Schrijf als één macht en zonder negatieve exponenten: (2 3 ) 5 2 5 OPLOSSING: (2 3 ) 5 2 5 = 2 15 2 5 = 2 20. Transformaties en translaties samenvatting 3
Voorbeeld 2 Gegeven is de exponentiële functie y = 2 2 3x+4 GEVRAAGD: Schrijf de functie in de vorm y = b g x en geef de startwaarde en de groeifactor. UITWERKING: y = 2 2 3x+4 (gebruik rekenregel 2) y = 2 2 3x 2 4 y = 2 2 3x 16 y = 32 2 3x (gebruik rekenregel 5) y = 32 (2 3 ) x y = 32 8 x Dus: startwaarde is gelijk aan 32 en de groeifactor is 8. 2.2. Groeifactoren en groeipercentages Hieronder staat in het kort aangegeven wat je moet kunnen. Voorbeeld 3 GEVRAAGD: Hoe groot is de groeifactor per jaar als er wekelijks 20% bij komt? OPLOSSING: De beginhoeveelheid is altijd 100%. Er komt 20% bij. Totaal hebben we 120%. De groeifactor per week is gelijk aan 120/100 = 1,2 De groeifactor per jaar is dan gelijk aan 1,2 52 = 13.104,63. Voorbeeld 4 GEVRAAGD: Hoe groot is de groeifactor per uur als er wekelijks 20% bij komt? OPLOSSING: De beginhoeveelheid is altijd 100%. Er komt 20% bij. Totaal hebben we 120%. De groeifactor per week is gelijk aan 120/100 = 1,2 De groeifactor per uur is dan gelijk aan 1,2 1/168 = 1,001 Transformaties en translaties samenvatting 4
2.3. Exponentiële vergelijkingen: wat is een logaritme? Een exponentiële vergelijking is een vergelijking waarbij de variabele (meestal x) in de exponent staat. Een degelijke vergelijking kun je exact oplossen en tevens (met Gr) een benadering van de oplossing geven. Voorbeeld 5 Bekijk de vergelijking 8 2x = 2 x + 5 GEVRAAGD: Los de vergelijking exact op. UITWERKING: 8 2x = 2 x + 5 (schrijf 8 als een macht van 2) (2 3 ) 2x = 2 x + 5 (gebruik rekenregel 5) 2 6x = 2 x + 5 6x = x + 5 5x = 5 x = 1 Een vergelijking als 2 x = 16 is gemakkelijk op te lossen. We schrijven daartoe 16 als macht van 2. We krijgen: 2 x = 16 2 x = 2 4 Dus x = 4. Het wordt ingewikkelder indien we kijken naar de volgende vergelijking: 2 x = 15. Het probleem zit in het feit dat je 15 niet (direct) kunt schrijven als macht van 2. De oplossing (exact) van 2 x = 15 is dus x = 2 log15. Transformaties en translaties samenvatting 5
Wil je een benadering in een aantal decimalen, gebruik dan: Voorbeeld 6 GEVRAAGD: Los de vergelijking 5 3 x = 8 exact op en geef een benadering in drie decimalen. OPLOSSING: EXACT: 5 3 x = 8 (deel de vergelijking door 5) 3 x = 1,6 (met behulp van de bovenstaande definitie) x = 3 log1,6 BENADERING: x = 3 log1,6 = log(1.6)/log (3) = 0,428. Transformaties en translaties samenvatting 6
3. Rekenregels voor logaritmen 3.1. Inleiding Hieronder staan de rekenregels die wij gebruiken bij het onderwerp logaritmen. Voorbeeld 7 GEVRAAGD: Schrijf als één logaritme: 3 2log3 + 2 log5 OPLOSSING: 3 2log3 + 2 log5 = (gebruik rekenregel 5) 2 log3 3 + 2 log5 = (reken uit wat 3 3 is) 2 log27 + 2 log5 = (gebruik rekenregel 3) 2 log(27 5) = (reken uit wat 27 5 is ) 2 log(135) Voorbeeld 8 GEVRAAGD: Schrijf als één logaritme: 1 + 3 log5 OPLOSSING: 1 + 2 log5 = (gebruik rekenregel 1 om het getal 1 om te schrijven naar een 2 log) 2 log2 + 2 log5 = (gebruik rekenregel 3) 2 log10 3.2. Logaritmische vergelijkingen DEFINTIE: Een logaritmische vergelijking is een vergelijking waarin de onbekende (de x) in het grondtal, maar meestal in het argument (in de logaritme zelf!) voorkomt. Transformaties en translaties samenvatting 7
Voorbeeld 9 GEVRAAGD: Los de vergelijking algebraïsch op: 2 log(3x) + 2 log5 = 2 log3 UITWERKING: 2 log(3x) + 2 log5 = 2 log3 (gebruik hoofdeigenschap/regel van logaritmen) 2 log(15x) = 2 log3 Hieruit volgt dat: 15x = 3 (deel door 15) x = 3 / 15 = 1 / 5 Voorbeeld 10 GEVRAAGD: Los de vergelijking algebraïsch op: 2 7logx + 7 log5 = 7 log10 UITWERKING: 2 7logx + 7 log5 = 7 log10 7 log(x 2 ) + 7 log5 = 7 log10 7 log(5x 2 ) = 7 log10 5x 2 = 10 x 2 = 2, dus x = 2 OPMERKING: uit x 2 = 2, volgt ook x = - 2, maar logx bestaat alleen voor x>0, dus die oplossing voldoet niet! Transformaties en translaties samenvatting 8