Inleiding tot de dynamica van atmosferen Krachten

Inleiding tot de dynamica van atmosferen Krachten P. Termonia vakgroep wiskundige natuurkunde en sterrenkunde, UGent Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.1/35

Inhoud 1. conventies: notatie 2. luchtdeeltjes 3. de krachten die erop inwerken 4. samenvatting Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.2/35

Enkele conventies: notatie coördinaten: x, y, z en tijd t velden: φ(x, y, z, t) vectoren (vectorvelden) zijn vet gedrukt: A basisvectoren: i, j, k; A = A x i + A y j + A z k vectorieel product (cross product) (A B) x A y B z A z B y (A B) y A z B x A x B z (A B) z A x B y A y B x gradiënt: φ φ x i + φ y j + φ z k Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.3/35

Enkele conventies: figuren vectoren gericht in het vlak: vectoren gericht uit het vlak: Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.4/35

Prognostisch vs. diagnostisch prognostische variable A: A t = M(andere variabelen) waarbij M een ruimtelijke differentiaal operator, kan gebruikt worden voor voorspellingen. diagnostische variable B: hangt af van andere variabelen zonder tijdsafgeleiden. Kan niet gebruikt worden voor het maken van voorspellingen. Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.5/35

Fysische eenheden SI: m, kg, s, K Afgeleide eenheden in de meteorologie: frequentie Hertz Hz (s 1 ) kracht Newton N (kg m s 1 ) druk Pascal Pa (N m 2 ) energie Joule J (N m) vermogen Watt W (J s 1 ) gebruikelijk: 1 hpa = 1 mb = 100 Pa (standaard druk op zeeniveau: 1013.25 mb) Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.6/35

Het atmosferisch continuum beweging van de atmosfeer opdelen in luchtdeeltjes: punten = luchtdeeltjes elk luchtdeeltje is zeer klein t.o.v. de schalen van de fenomenen maar aanzienlijk groter dan moleculaire schaal atmosfeer = continu medium continue limiet: velden en differentiaalvergelijkingen Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.7/35

Dynamica is onderhevig aan δ z (x,y,z) F = m a = m dv dt z y δ x δ y waarbij v: de wind welke krachten? x Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.8/35

Krachten Fundamentele krachten: 1. drukgradiënt 2. gravitatie 3. viscositeit niet-fundamentele of schijnkrachten 1. centrifugaal kacht 2. Corioliskracht Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.9/35

Drukgradiënt δ z z F Bx y B (x,y,z) δ x A δ y F Ax x Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.10/35

Drukgradiënt A : p(x) + 1 2 B : p(x) 1 2 p x δx + F Ax = p x δx + F Bx = + F x = F Ax + F Bx F m = 1 ρ p ( p 0 + 1 2 ( p 0 1 2 F x m = 1 ρ p x p x δx ) δyδz p x δx ) δyδz Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.11/35

Gravitatie δ z (x,y,z) z y x δ x F g δ y Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.12/35

Gravitatie wet van Newton: F g = GMm r 2 planeet (aarde): g = F g m = GM r 2 r r r r r r coördinaat: r = a + z, met a straal aarde g = g0 ( ) 1 + z 2 met g0 g (z = 0) = GM a 2 a benadering van de ondiepe atmosfeer z a: g = g 0 r r Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.13/35

Viscositeit z=l u(l)=u 0 u 0 u(z) z=0 u(0)=0 kracht nodig om de bovenste plaat in beweging te houden: F = µau 0 l Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.14/35

Viscositeit kracht F is constant doorheen de vloeistof voor een infinitesimaal stukje δz: F δz = µaδu de kracht per oppervlakte: τ zx = lim δz µ δu δz = µ u z Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.15/35

Viscositeit δ z B u B (x,y,z) z y δ x A u A δ y x Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.16/35

Viscositeit kracht per oppervlakte in A en B: ( τzx B = τ zx + 1 2 δz τ ) zx δyδz z ( τzx A = τ zx 1 2 δz τ ) zx δyδz z delen door de massa ρ δxδyδz: 1 τ zx ρ z = 1 ( µ u ) ρ z z Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.17/35

Viscositeit voor µ = const en ν µ/ρ, F v : ( 2 ) u F vx = ν x + 2 u 2 y + 2 u 2 x 2 ( 2 ) v F vy = ν x + 2 v 2 y + 2 v 2 x 2 ( 2 ) w F vz = ν x + 2 w 2 y + 2 w 2 x 2 ν = 1.46 10 5 m 2 s 1 verwaarloosbaar? hangt er van af... Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.18/35

Centrifugaalkracht y y r ω x x Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.19/35

Centrifugaalkracht versnelling r = cos(ωt) i + sin(ωt) j a d2 r dt = 2 ω2 [cos(ωt) i + sin(ωt) j] = ω 2 r waarnemer in roterende assenstelsel (x, y ) ervaart een centrifugale schijnkracht ω 2 r Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.20/35

Centrifugaalkracht R g* g Ω 2 R Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.21/35

Aangepaste gravitatie een massa wordt lichter door de centrifugaalkracht g = g + Ω 2 R Ω: hoeksnelheid aarde R: plaatsvector vanaf de rotatie as tot de positie van de massa afplatting van de aarde g is staat overal loodrecht op het aardoppervlak. Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.22/35

Geopotentiaal gravitatiekracht kan uitgedrukt worden in termen van een potentiaal Φ = g g = g k Φ = Φ(z) en dus heeft de betekenis van arbeid om een deeltje met massa 1 naar hoogte z te brengen: dφ dz = g Φ = z 0 g dz Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.23/35

Assenstelsel Ω λ j r φ i Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.24/35

Assenstelsel basisvector k staat loodrecht op aardoppervlak snelheid: u = a cos φ dλ dt v = a dφ dt w = dz dt Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.25/35

Coriolis: beweging langs breedtegraad Ω φ u Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.26/35

Coriolis op deeltje met snelheid u deeltje dat beweegt langsheen breedtegraad met snelheid u ( Ω + u ) 2 R = Ω 2 R + 2ΩuR R R + u2 R R 2 u ΩR u2 R R 2 verwaarloosbaar 2ΩuR/R is de Coriolis kracht Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.27/35

Coriolis op deeltje met snelheid u Ω R φ 2Ωucosφ 2ΩuR/ R 2Ωusinφ Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.28/35

Coriolis op deeltje met snelheid u meridionale componente: ( ) dv verticale componente: ( dw dt ) dt Co Co loodrechte afbuiging naar rechts = 2Ωu sin φ = 2Ωu cos φ verandering van het gewicht: zéér klein Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.29/35

Coriolis op deeltje met snelheid v Ω φ v Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.30/35

Coriolis op deeltje met snelheid v v δφ behoud impulsmoment door toename u δu: ΩR 2 = ( Ω + δu ) R + δr (R + δr) 2 eerste benadering: δu = 2ΩδR Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.31/35

Coriolis op deeltje met snelheid v Ω δr= δysinφ φ δy Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.32/35

Coriolis op deeltje met snelheid w Ω δz δr=δz cosφ φ Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.33/35

Coriolis: du/dt horizontale verandering in snelheid t.g.v. v: δy a δφ δu = 2 Ω δr = 2 Ω a δ φ sin φ verticale verandering in snelheid t.g.v. w: ( ) du dt Co δu = 2 Ω δ z cos φ = 2 Ω v sin φ 2 Ω w cos φ Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.34/35

Samenvatting Fundamentele krachten: 1. drukgradiënt: 1 ρ P 2. gravitatie: g 3. viscositeit: F v verwaarloosbaar, zie later niet-fundamentele of schijnkrachten 1. centrifugaal kacht g = g + Ω 2 R 2. Corioliskracht du dt dv dt dw dt Co Co Co = 2 Ω v sin φ 2 Ω w cos φ = 2Ωu sin φ = 2Ωu cos φ Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.35/35