Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft het stijgen en dalen van de functie f en is zelf ook een functie. Het domein D f is deel van D f. De afgeleide van f wordt met f aangegeven en beschrijft het stijgen en dalen van f. Ook f is een functie en D f is deel van D f. De afgeleide van f wordt met f aangegeven etc. Een andere notatie voor de hogere afgeleiden van f is f 1 = f, f 2 = f, f 3 = f etc. Dus f n is de n de afgeleide van f voor n = 1, 2, De functie f zelf wordt ook wel met f 0 aangegeven.
2.6 Faculteit Basiswiskunde_College_4.nb 3 Bij de afgeleiden speelt n-faculteit, n!, een grote rol. We definiëren 0! =1 1! =1 n! =n μ n - 1 μ μ 2 μ 1, n = 2, 3, 4, Merk op dat n! =n ÿ n - 1! voor n = 1, 2, 3,. Voorbeelden: 8! = 8 ÿ 7 = 56 6! 2 n! = 2 n ÿ 2 n-1 ÿ 2 n-2 n+3 n! 2 n n-1 n-2 3 n+2 2 n+1 1 2n
4 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Structuur hogere afgeleiden 1 Beschouw de functie f x = ln 2 + x. Geef een uitdrukking voor f n x voor algemene n in N. Geef een uitdrukking voor f n 0 voor algemene n in N. Via uitproberen: f 1 x = 2 + x -1 f 2 x = -1 2 + x -2 f 3 x = -2-1 2 + x -3 f 4 x = -3-2 -1 2 + x -4 Vermoeden f n x = - n - 1-3 -2-1 2 + x n. n-1 factoren Dus f n x = -1 n-1 n - 1! 2 + x -n en f n 0 = -1 n-1 n-1! 2 n. Het vermoeden klopt voor n = 1, 2, 3, 4 Voor het bewijzen van dergelijke vermoedens bestaat een bewijstechniek die u niet hoeft te kennen. U moet wel in staat zijn om in eenvoudige gevallen een vermoeden uit te spreken over de vorm van f n.
2.6 Structuur hogere afgeleiden 2 Basiswiskunde_College_4.nb 5 Beschouw de functie f x = x x. Geef een uitdrukking voor f n x voor algemene n in N Via uitproberen: f 1 x = x + x x f 2 x = 2 x + x x f 3 x = 3 x + x x Vermoeden f n x = n x + x x. Het vermoeden is waar voor n = 0, 1, 2, 3.
6 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Structuur hogere afgeleiden 3 * Beschouw de functie f x = x 2 x. Geef een uitdrukking voor f n x voor algemene n. Via uitproberen: f 1 x = x 2 x + 2 x x f 2 x = x 2 x + 4 x x + 2 f 3 x = x 2 x + 6 x x + 6 f 4 x = x 2 x + 8 x x + 12 Vermoeden f n x = x 2 x + 2 nx x + n n - 1 x. Voor n = 0, 1, 2, 3, 4 is het vermoeden waar.
2.8 Middelwaardestelling 1 Basiswiskunde_College_4.nb 7 Stelling 11 De middelwaardestelling (The Mean-Value Theorem) Beschouw een functie f op een gesloten interval a, b met de eigenschappen dat de functie f continu is op het interval a, b en differentieerbaar is op het interval a, b. f b -f a Dan bestaat er c in a, b met = f c. b-a f b f a f x a x 1 x 2 b Hier staat een grafische toelichting voor een gekozen f. De grafiek van f is zonder sprongen en in ieder punt van a, b heeft de grafiek een raaklijn. De lijn { door de punten a, f a en b, f b heeft rc f b -f a b-a. Door { parallel te verschuiven vindt u punten op de grafiek met raaklijn parallel aan {. In dit plaatje zijn er twee punten. Zodoende is c = x 1 of c = x 2.
8 Basiswiskunde_College_4.nb 2.8 Middelwaardestelling 2 De stelling zegt niet hoeveel getallen c er zijn met De stelling zegt niets over de plaats van c. f b -f a b-a = f c. De stelling wordt op twee manieren gebruikt: f b -f a b-a = f c of f b - f a = f c b - a. Gevolg 1: Beschouw een functie f en een interval I zodanig dat f x = 0 voor alle x in I. Dan bestaat er een constante d zodanig dat f x = d voor alle x in I. Gevolg 2: Beschouw een functie f en een interval I zodanig dat f x > 0 voor alle x in I. Dan is de functie f monotoon stijgend op I.
2.8 Voorbeeld 1 Basiswiskunde_College_4.nb 9 Laat zien dat sin x + 1 - sin x 1 voor alle x in R. Laat f x = sin x, b = x + 1 en a = x. Dan is f x = cos x Er geldt dat sin x + 1 - sin x = cos c x + 1 - x = cos c voor zekere c tussen x en x + 1. Dus sin x + 1 - sin x = cos c 1.
10 Basiswiskunde_College_4.nb 2.8 Voorbeeld 2 Laat zien dat x x+1 < x ln x + 1 - ln x < 1 voor alle x > 0. Op het verschil ln x + 1 - ln x kan de middelwaardestelling worden toegepast. Laat f x = ln x, a = x en b = x + 1. Nu is f x = 1 x Dus ln x + 1 - ln x = 1 c x + 1 - x = 1 c voor zekere c met x < c < x + 1. Gevolg x ln x + 1 - ln x = x c 1 Omdat x > 0 geldt dat < 1 < 1 en ook x < x < 1 x+1 c x x+1 c x Conclusie: < x ln x + 1 - ln x < 1. x+1
2.8 Voorbeeld 3 Basiswiskunde_College_4.nb 11 Laat zien dat sin2 b -sin 2 a 1 voor alle a en b in R, a b. b-a Laat f x = sin 2 x. Dan is f x = 2 sin x cos x. Dus sin2 b -sin 2 a b-a = 2 sin c cos c met c tussen a en b. Gevolg sin2 b -sin 2 a = 2 sin c cos c. b-a Er moet worden aangetoond dat 2 sin c cos c 1. Merk op dat 2 sin c cos c = sin 2 c. Dus sin2 b -sin 2 a = sin 2 c 1. b-a
12 Basiswiskunde_College_4.nb 2.8 Voorbeeld 4 Laat zien dat tan x > x voor alle x in 0, p 2. Op een verschil van de functiewaarden kan de middelwaardestelling worden toegepast. Nu is tan x = tan x - tan 0. We kiezen f x = tan x. Dan is f x = Dus tan x = f x - f 0 = f c x - 0 met c tussen x en 0. 1 x Gevolg tan x = x - 0 = cos 2 c cos 2 c. Omdat 0 < x < p 2, is 0 < cos2 c < 1, Conclusie: tan x = 1 cos 2 c x > x. 1 cos 2 c > 1 en x cos 2 c > x. 1 cos 2 x.
2.8 Generalisatie * Basiswiskunde_College_4.nb 13 Deze slide valt buiten stof. Stelling 16 Generalisatie van middelwaardestelling Beschouw de functies f en g en een interval a, b met de volgende eigenschappen: f en g zijn continu op a, b, f en g zijn differentieerbaar op a, b, g x 0 voor alle x met a x b, Dan bestaat er c in a, b met f b -f a = f c g b -g a g. c Waarom heet deze stelling een generalisatie?
14 Basiswiskunde_College_4.nb 2.9 Inleiding impliciet differentiëren De grafiek van de functie f x = 4 - x 2 is de helft van een cirkel. De punten van de grafiek van f voldoen aan de vgl x 2 + y 2 = 4. Omgekeerd zijn niet alle punten van de cirkel x 2 + y 2 = 4 punten van de grafiek van f. In de buurt van het punt 1, 3 vallen cirkel en grafiek van f samen. Als we y als functie van x zien dan wordt door x 2 + y 2 = 4 en y 1 = 3 een functie vastgelegd, namelijk y x = 4 - x 2 = f x. Door f x = 4 - x 2 wordt de functie f expliciet gegeven. Door x 2 + y 2 = 4 en y 1 = 3 wordt de functie y impliciet gegeven. Een vergelijking met x en y is meestal niet oplosbaar, maar legt vaak een kromme in het vlak vast die locaal als de grafiek van een functie gezien kan worden. Als y x niet expliciet bepaald kan worden, dan kan men toch iets zeggen over y x.
2.9 Opdrachten Basiswiskunde_College_4.nb 15 (1) Differentieer de uitdrukking x sin 3 x + ln 2 + x sin x naar x. (2) Differentieer de uitdrukking xy 3 x + ln 2 + xy x naar x (1) Antwoord: sin 3 x + 3 x sin 2 x cos x + 1 2+x sin x (2) Antwoord: y 3 x + 3 xy 2 x y x + 1 2+y x y x + xy x sin x + x cos x
16 Basiswiskunde_College_4.nb 2.9 Voorbeeld impliciete differentiatie * Beschouw de functie y impliciet gegeven door x2 + y 4 + 3 y 2 = 5, 1 y 1 =-1, 2 (a) Druk y uit in x en y (b) Bepaal y 1 (c) Bepaal y 1 als dat kan. (a) Vgl (1) is eigenlijk x 2 + y 4 x + 3 y 2 x = 5. In Adams wordt het argument van y weggelaten. Aan beide kanten differentiëren geeft 2 x + 4 y 3 y + 6 yy = 0, vgl (3). Dus y = -2 x 4 y 3 +6 y. (b) Vul x = 1 in vgl 3. Dan 2-4 y 1-6 y 1 = 0; Dus y 1 = 1 5 (c) Vgl (3) herschrijven geeft 2 x + 4 y 3 + 6 y y = 0. Differentiëren levert 2 + 12 y 2 y + 6 y y + 4 y 3 + 6 y y = 0. Invullen geeft 2 + 18-10 25 y 1 = 0. Dus y 1 = 34. 125
4.9 Inleiding linearisatie Basiswiskunde_College_4.nb 17 Er bestaat geen formule om alle functiewaarden sin x uit te rekenen. Voor speciale hoeken kan dit wel: sin 0 = 0, sin p = 1, sin p = 1 2 etc. 6 2 4 2 Een rekenmachine geeft de waarde 0.09983 voor sin 0.1. Dit is een benadering voor sin 0.1. Vaak zijn (functie)waarden niet exact te bepalen, maar wel te benaderen. Beschouw een differentieerbare functie f met een punt a in het domein D f. Als van de functie f de functiewaarde f a en de afgeleide f a bekend zijn, dan kan de waarde van f x rond x = a benaderd worden. Als x dicht bij a ligt dan zal f x -f a x-a º f a ofwel f x º f a + f a x - a.
18 Basiswiskunde_College_4.nb 4.9 Linearisatie Beschouw een functie f die differentieerbaar is in het punt a in D f. f x f a Y f x p 1 x p 0 x a x X De raaklijn in a, f a heeft vergelijking y = f a + f a x - a. De raaklijn is de grafiek van de functie p 1 met p 1 x = f a + f a x - a. De horizontale lijn door a, f a is de grafiek van de functie p 0 met p 0 x = f a. De functie p 1 x = f a + f a x - a heet de linearisatie van f rond a. Rond a zal p 1 x een betere benadering voor f x zijn dan p 0 x.\ De linearisatie wordt ook vaak met L x aangegeven. Een linerisatie past locaal bij een functie!
4.9 Voorbeeld 1 linearisatie Basiswiskunde_College_4.nb 19 Beschouw de functie f x = x. (1) Bepaal de linearisatie van f rond a = 1 en benader 1.1. (2) Bepaal de linearisatie van f rond a = 4 en benader 4.1. Er geldt f x = 1 2 x. (1) L x = f 1 + f 1 x - 1 = 1 + 1 2 x - 1. Nu is 1.1 = f 1.1 º L 1.1 = 1 + 1 μ 0.1 = 1.05 2 (2) L x = f 4 + f 4 x - 4 = 2 + 1 4 x - 4. Nu is 4.1 = f 4.1 º L 4.1 = 2 + 1 μ 0.1 = 2.025 4
20 Basiswiskunde_College_4.nb 4.9 Voorbeelden linearisatie Voorbeeld 1 Benader 1 10.2 met een linearisatie. Beschouw de functie f x = 1 x met afgeleide f x =- 1 x 2. Van deze functie is rond a = 10 de linearisatie L x = 1 10-1 1 En = f 10.2 º L 10.2 = 1-1 μ 0.2 = 0.098 10.2 10 100 1 Een rekenmachine geeft = 0.0980392 10.2 100 x - 10. Voorbeeld 2 Beschouw de functie f x = sin x. Benader sin 0.1 met een linearisatie. Van deze functie is rond a = 0 de linearisatie L x = x. Nu is sin 0.1 = f 0.1 º L 0.1 = 0.1 Een rekenmachine geeft sin 0.1 = 0.09983, dus de benadering is niet slecht. Voorbeeld 3 Benader 37 met een linearisatie. Omdat 36 = 6, kiezen we f x = 36 + x. Dan 37 = f 1. De linearisatie van f rond a = 0 is L x = 6 + 1 x. 12 Dus 37 º L 1 = 6 + 1 = 6.08333 12 Een rekenmachine geeft 37 = 6.082763
4.9 Fout bij linearisatie Basiswiskunde_College_4.nb 21 Stelling 11 Fout bij linearisatie Gegeven functie f, getal a in D f en getal x in D f zodanig dat f 2 continu is op interval met eindpunten a en x. Dan geldt dat f x = f a + f a x - a + 1 f s x - a 2 voor zekere s tussen a en x. 2 De stelling zegt dat er een s bestaat en niet hoeveel het er zijn en hoe u ze kunt vinden. De term 1 2 f s x - a 2 wordt de fout van de linearisatie genoemd en met E 1 x aangegeven. Anders gezegd: f x = p 1 x + E 1 x Zeker als x dicht bij a ligt, zal de fout klein zijn ten opzichte van x - a. Het teken van E 1 x bepaalt of p 1 x onder of boven f x ligt.
22 Basiswiskunde_College_4.nb 4.9 Benadering met interval 1 Geef benadering voor sin 0.1 met een geschikt interval er omheen. Beschouw f x = sin x en a = 0. Dan is L x = x. Nu is x = 0.1 en sin 0.1 = L 0.1 + E 1 0.1. Nu is E 1 0.1 = 1 f s 0.1 2 =- 1 2 2 sin s 0.1 2 met 0 < s < 0.1. Merk op dat 0 < sin s < sin 0.1 < 0.1. Dus E 0.1 =-sin s ÿ 0.005 is negatief. Er geldt dat -0.1 <-sin s < 0 ofwel -0.0005 < E 1 0.1 < 0. Overal L 0.1 bij optellen levert 0.0995 < sin 0.1 < 0.1 De rekenmachine geeft sin 0.1 = 0.0998334.
4.9 Benadering met interval 2 Basiswiskunde_College_4.nb 23 Geef benadering voor 1.04 met een geschikt interval er omheen. Beschouw f x = x en a = 1. Er geldt dat f 1 x = 1 en f 2 x =- 1. 2 x 4 x x Nu is de linearisatie L x = f 1 + f 1 x - 1 = 1 + 1 ÿ x - 1. 2 Omdat 1.04 = f 1.04, 1.04 º L 1.04 = 1 + 1 ÿ 0.04 = 1.02. 2 Er geldt f 1.04 = L 1.04 + E 1 1.04 en E 1 1.04 =- 1 8 c c 0.04 2 met 1 < c < 1.04. Omdat 0 < 1 < 1, vinden we -0.0002 < E 1 1.04 < 0. c c Dus met optellen van L 1.04 vinden we 1.0198 < 1.04 < 1.02. De rekenmachine geeft 1.04 = 1.019804.
24 Basiswiskunde_College_4.nb 4.9 Slotopmerkingen linearisatie * é In L x de haakjes van x - a laten staan! é De linearisatie L x is een polynoom in x van de graad hoogstens 1. é Grafiek van linearisatie L x is rechte. é Beschouw een functie f x met linearisatie L x rond a. Aan het teken van de tweede afgeleide van f is te zien aan welke kant van de functiewaarde f x de benadering L x ligt.