Solid Mechanics (4MB00): Tussentoets 1 2 Datum: 17 februari 2016 Tijd: 1:4 17:00 uur Locatie: Matrix Atelier Naam student: Ident. nr.: Deze toets bestaat uit 20 vragen. Elke vraag dient beantwoord te worden met een getal (tenzij anders is aangegeven) ingevuld in het daarvoor aangewezen vakje. Antwoorden als 40,1/7 of 1/ zijn goed. Alleen het finale antwoord mag worden ingevuld, dus geen tussenbewerkingen! Tussenbewerkingen mogen enkel op het kladformulier gemaakt worden, maar daar worden geen punten voor gegeven. Alleen het finale antwoord in het vakje telt voor het resultaat. Na afloop van de toets moeten deze bladen ingeleverd worden, voorzien van jouw naam en identiteitsnummer. Een juist antwoord telt voor 0, punten; een fout antwoord krijgt 0 punten. Het gebruik van dictaat, oefeningenbundel, uitwerkingen, aantekeningen, rekenmachine en notebook is niet toegestaan. Iedere vorm van netwerkverkeer of andere communicatie is eveneens niet toegestaan. Succes! In de volgende vragen wordt gebruik gemaakt van een orthonormale Cartesische basis{ e 1, e 2, e 3 }, tenzij anders is aangegeven. 1. Gegeven vector a = 2 e 1 + 7 e 2, bereken de eenheidsvector in de richting van vector a. Geef de component in de richting van e 1 van het resultaat als antwoord. 2. Gegeven twee vectoren a = 2 e 1 +7 e 2 en b = 8 e 1 + e 2 +10 e 3, bereken a+8 b. Geef de component in de richting van e 2 van het resultaat als antwoord. 3. Gegeven twee vectoren a = 2 e 1 + 7 e 2 en b = 8 e 1 + e 2 + 10 e 3, bereken het transpose van het dyadisch product ( a b) T. Geef de component e 1 e 2 van het resultaat als antwoord. 4. Gegeven drie vectoren a = 2 e 1 +7 e 2, b = 8 e 1 + e 2 +10 e 3 en c = 10 e 1 + e 2 bereken het product ( a b) c.. Gegeven twee vectoren a = 2 e 1 +7 e 2 en b = 8 e 1 + e 2 +10 e 3, bereken a b. 2.1
Naam student: Ident. nr.: 6. Wat is de geometrische betekenis van ( a b) c, met a, b en c willekeurige vectoren? Omcirkel het juiste antwoord. a. de oppervlakte van de parallelogram opgespannen door vectoren a en b b. de oppervlakte van de parallelogram opgespannen door vectoren b en c c. het volume opgespannen door vectoren a, b en c d. de lengte van vector c 7. Gegeven tweede-orde tensor A = e 1 e 1 + e 1 e 2 +2 e 1 e 3 + e 2 e 1 +4 e 2 e 2 +8 e 3 e 1, bereken de derde invariant van A, J 3 (A). 8. Gegeven tweede-orde tensora = e 1 e 1 + e 1 e 2 +2 e 1 e 3 + e 2 e 1 +4 e 2 e 2 +8 e 3 e 1, bereken het deviatorisch deel van A, A d. Geef de component e 2 e 2 van het resultaat als antwoord. 9. Gegeven tweede-orde tensor A = e 1 e 1 + e 1 e 2 + 2 e 1 e 3 + e 2 e 1 + 4 e 2 e 2 + 8 e 3 e 1, bereken de trace van A in het kwadraat, tr(a 2 ). 10. Gegeven tweede-orde tensor A = e 1 e 1 + e 1 e 2 +2 e 1 e 3 + e 2 e 1 +4 e 2 e 2 + 8 e 3 e 1 en vector d = e 1, bereken A d. Geef de component e 2 e 3 van het resultaat als antwoord. 11. Gegeven twee tweede-orde tensoren A = e 1 e 1 + e 1 e 2 + 2 e 1 e 3 + e 2 e 1 + 4 e 2 e 2 + 8 e 3 e 1 en B = 3 e 3 e 1 +8 e 3 e 3, bereken A : B. 12. Gegeven tweede-orde tensor A = e 1 e 1 + e 1 e 2 +2 e 1 e 3 + e 2 e 1 +4 e 2 e 2 + 8 e 3 e 1 en vector d = e 1, bereken A d. 13. Gegeven vierde-orde tensor 4 C = 9 e 3 e 1 e 1 e 1 +4 e 1 e 1 e 2 e 3 +7 e 3 e 1 e 1 e 3 +9 e 2 e 2 e 2 e 2 + e 2 e 2 e 1 e 2 en tweede-orde tensor A = e 1 e 1 + e 1 e 2 + 2 e 1 e 3 + e 2 e 1 + 4 e 2 e 2 + 8 e 3 e 1, bereken 4 C : A. Geef de component e 3 e 1 van het resultaat als antwoord. 14. Tweede-orde tensor E is gegeven t.o.v. een orthonormale basis { ε 1, ε 2, ε 3 } als E = ε 1 ε 1 + ε 2 ε 1, met ε 1 = 3 e 1 + 4 e 2, ε 2 = 4 e 1 + 3 e 2, ε 3 = e 3. Schrijf de tensor E t.o.v. de Cartesische basis { e 1, e 2, e 3 }. Geef de component e 2 e 2 van het resultaat als antwoord. 2.2
Naam student: Ident. nr.: 1. Gegeven is de tweede-orde tensor D = 3 e 1 e 1 +4( e 1 e 3 + e 3 e 1 )+3 e 3 e 3. Bereken de eigenwaarden van D. Geef de grootste eigenwaarde van D als antwoord. 16. Gegeven is de tweede-orde tensord = 3 e 1 e 1 +4( e 1 e 3 + e 3 e 1 )+3 e 3 e 3. Welke van de onderstaande vectoren is een eigenvector van tensor D? Omcirkel het juiste antwoord. a. 2 e 1 1 e 3 b. 2 e 1 + 1 e 3 c. 2 e 1 + 1 e 3 17. Wat is het resultaat van het product ( a) 4C : ( u) voor willekeurige scalarveld a, vectorveld u en vierde-orde tensor 4 C? Omcirkel het juiste antwoord. a. een vector b. een tweede-orde tensor c. een vierde-order tensor d. een scalar 18. Een tensorveld is gegeven als σ = 100y x 2 +y 2( e x e z + e z e x )+ 100x x 2 +y 2( e y e z + e z e y ) [MPa] met (x,y,z) de coördinaten t.o.v. de Cartesische basis { e x, e y, e z }. Bereken de divergentie σ van dit tensorveld. Geef de component e y van het resultaat als antwoord. 19. Een vectorveld is gegeven t.o.v. een cilindrische basis { e r (θ), e θ (θ), e z } als u = r e r (θ). Bereken de gradiënt u van dit vectorveld. Geef de component e θ e θ van het resultaat als antwoord. 20. Welke van de onderstaande productregels geldt voor een willekeurig differentieerbaar tensorveld A en vectorveld a? Omcirkel het juiste antwoord. a. (A a) = A a+ a A T b. (A a) = A a+a a c. (A a) = A a+a T a d. (A a) = A a+ a A 2.3
Kladpapier (afscheuren, wordt niet nagekeken)
Kladpapier (afscheuren, wordt niet nagekeken)
Uitwerkingen Solid Mechanics (4MB00): Tussentoets 1 2 Datum: 17 februari 2016 Tijd: 1:4 17:00 uur Locatie: Matrix Atelier Variant 2 1. e = a/ a = (2 e 1 +7 e 2 )/ 3 = ( 2/ 3 e 1 +7/ 3 e 2 ) 2. a+8 b = 66 e 1 + 47 e 2 +80 e 3 3. ( a b) T = 16 e 1 e 1 + 6 e 1 e 2 +10 e 2 e 1 +3 e 2 e 2 +20 e 3 e 1 +70 e 3 e 2 4. ( a b) c = (70 e 1 20 e 2 46 e 3 ) (10 e 1 + e 2 ) = 680. a b = 1 6. c. het volume opgespannen door vectoren a, b en c 7. J 3 (A) = det(a) = 64 8. A d = A 1 3 tr(a)i = 2 3 e 1 e 1 + e 1 e 2 +2 e 1 e 3 + e 2 e 1 + 7 3 e 2 e 2 +8 e 3 e 1 3 e 3 e 3 9. tr(a 2 ) = tr(18 e 1 e 1 + e 1 e 2 +2 e 1 e 3 + e 2 e 1 +17 e 2 e 2 +2 e 2 e 3 +8 e 3 e 1 +8 e 3 e 2 +16 e 3 e 3 ) = 1 10. A d = e 1 e 3 +2 e 1 e 2 4 e 2 e 3 11. A : B = 6 12. A d = e 1 + e 2 +8 e 3 = 66 13. 4 C : A = 6 e 3 e 1 +37 e 2 e 2 14. E = 3 2 e 1 e 1 4 2 e 1 e 2 + 21 2 e 2 e 1 + 28 2 e 2 e 2 1. λ 1 =,λ 2 = 0, λ 3 = 16. c. D n = ( 3 e 1 e 1 + 4( e 1 e 3 + e 3 e 1 ) + 3 e 3 e 3 ) ( ) 2 e 1 + 1 e 3 17. a. een vector 18. ( ) 2 e 1 + 1 e 3 σ = 200xy (x 2 +y 2 ) 2 e z 200xy (x 2 +y 2 ) 2 e z = 0 = 0 e x + 0 e y +0 e z = 2 e 1 e 3 = 19. u = (r e r (θ)) = e r e r + 1 e θ e θ 20. a. (A a) = A a+ a A T 2.1