tiatie op bai van geende ignalen in ui We bepeen on tot het geval van tationaie witte Gauiaane ui. Wannee de ui geleud i, an het ontvangen ignaal aangelegd woden aan een witaend filte, waana de theoie voo witte Gauiaane ui toegepat wodt. Obevatie (t (t; + w(t, waabij X een te chatten vectopaaete vootelt. en coplee vectopaaete et M coponenten wodt bechouwd al een eële vectopaaete et M coponenten, betaande uit de eële en iaginaie delen van de ooponelije paaete. tiatieegel ML etiatie : ˆ ag a p( ag a X MP etiatie : ˆ ag a p( p( ag a ( + X X waabij p( de a pioi ditibutie van de paaete vootelt, en de anfunctie p( (op een van onafhanelije facto na gegeven i doo p( ep (t (t; dt. n de liteatuu wodt ondecheid geaat tuen een deteinitiche en een tochatiche paaete : in het eete geval wodt de anfunctie o genoteed al p(;, in het tweede geval al p(. n deze cuu gebuien we in beide gevallen de notatie p(. Pefoantie : Cae-Rao (CR genzen a chte chatting Wannee de chatting van een paaete 'echt' i (.a.w. [ˆ] voo alle X, dan geldt de volgende ongelijheid.b.t. de coelatieati van de chattingfout ˆ : X [ ] (dit beteent dat [ ] een poitief eidefiniete ati i waabij de vewachtingwaade [.] beteing heeft op de conditionele ditibutie p( (en niet op de (eventuele a pioi ditibutie van, en du een uitiddeling ove de ui beteent. Hiebij telt de ihe-infoatieati voo. Het eleent,n van deze ati i gegeven doo :,n n n (t; (t; Re dt n Me op dat in het algeeen nog afhangt van de te chatten paaete.
tel ( a, b, zodat de atice en - unnen opgedeeld woden in bloen : aa ab ( aa ( ab en ba. Me op dat in het algeeen ( - aa en ( - bb bb ( ba ( bb vechillend zijn van ( aa - en ( bb -. Definiëen we de chattingfouten a ˆ a a en b ˆ b b, dan volgt uit de CR gen dat [ a a ] ( aa en [ b b ] ( bb. Paen we deze edeneing toe op de coponent van de te chatten vecto, dan beoen [(ˆ we ] (,. Bechouwen we het geval waabij b a pioi geend i, en du enel a gechat wodt, dan leidt de CR gen voo dit geval tot [ a a ] ( aa. Wannee b geend i, i de CR gen.b.t. het chatten van a i nooit hoge dan wannee b aen et a gechat wodt : ( aa ( aa. Beide CR genzen zijn aan elaa gelij wannee blodiagonaal i,.aw. al ab ; in dit geval zegt en dat de paaete a en b 'ontoppeld' zijn : de gezaenlije chatting van a en b leidt dan tot dezelfde CR genzen.b.t. a en b al in de ituatie waabij één van deze paaete gechat wodt tewijl de andee geend i. Wannee [ ], wodt de echte chatting ˆ 'efficiënt' genoed. en onechte chatting an leiden tot een foutcoelatieati die lage i dan de CR gen. Wannee (t; lineai i in, i de ML chatting echt en efficiënt. n de oveige gevallen i de weelije pefoantie van de ML chatting oeilij analytich te beeenen, en i en aangewezen op benadeingen of iulatie; wannee / onbepet toeneet ( i de enegie van (t;, wodt de ML chatting echt en efficiënt. b Geende a pioi ditibutie Heeft de te chatten vectopaaete een geende a pioi ditibutie p(, dan geldt, voo ele chatting ˆ,, [ ] tot, waabij ˆ de chattingfout vootelt Hiebij duidt, [.] op een uitiddeling ove de gezaenlije ditibutie p(, p(p(. De ati tot i gegeven doo D + P, waabij ( D,n, Re (t; (t; dt n n, n en ( P,n n n
3 en [.] laat op uitiddeling ove de a pioi ditibutie p(. Me op dat D [], waabij de ihe infoatieati vootelt. Wannee (t; lineai i in en p( i Gauiaan, dan geldt, [(ˆ MP (ˆ MP ] tot. n de oveige gevallen i de weelije pefoantie van de MP chatting oeilij analytich te beeenen, en i en aangewezen op benadeingen of iulatie; wannee / onbepet toeneet ( i de enegie van (t;, nadet [(ˆ (ˆ ] tot., MP MP tot Oo hie unnen we de te chatten paaetevecto oppliten in twee vectoen a en b, en een CR gen.b.t. de chattingfouten a en b afleiden. oegepat op de coponent van leidt dit tot, [(ˆ ] ( tot. Wannee, tot blodiagonaal i, zijn de coepondeende paaete ontoppeld : de gezaenlije chatting van a en b leidt dan tot dezelfde CR genzen.b.t. a en b al in de ituatie waabij één van deze paaete gechat wodt tewijl de andee geend i. Opeing Bechouw het geval waabij een calaie tochatiche paaete oet gechat woden. Wannee we on bepeen tot de lae van echte chatte (.a.w. [ˆ ] voo X, dan geldt [(ˆ ] / (, zodat,[(ˆ ] [/ (]. De CR gen.b.t. alle ogelije chatte i,[(ˆ ] /( [] + P. De gen voo echte chatte i niet lage dan de CR gen, odat + [(] [(] P ( De eete ongelijheid volgt uit P, de tweede i het gevolg van het conve aate van de functie /u (voo u>. De CR gen en de gen voo echte chatte vallen aen wannee P (.a.w. wannee de a pioi ditibutie p( unifo i en ( niet afhangt van. Dit eultaat an vealgeeend woden tot een vectopaaete. Wannee we een chatting ˆ bechouwen die dicht bij i gelegen, unnen we de volgende afgeboen ayloeeontwieling van de anfunctie bechouwen : ˆ + + een we van beide leden het geiddelde.b.t. p(, dan beoen we [ ˆ] [ ] waabij we hebben gebui geaat van p( d p( d Het geiddelde van de anfunctie wodt du aiaal voo, en de 'chepte' van dit aiu wodt bepaald doo de ihe infoatieati. De anfunctie zelf wodt aiaal wannee
4 Hiebij hebben we de tweede afgeleide van de anfunctie benaded doo zijn vewachtingwaade -. De eulteende foutcoelatieati i gegeven doo ] [ waabij we geteund hebben op Hieuit beluiten we dat de foutcoelatieati.b.t. de ML chatting bij benadeing gelij i aan de Cae-Rao gen, op voowaade dat de vehouding van de enegie van (t; tot goot genoeg i, zodat de anfunctie an benaded woden doo een paabool, en de tweede afgeleiden van de anfunctie unnen benaded woden doo hun vewachtingwaade. en gelijaadige edeneing an toegepat woden op ˆ, p( ln. De vewachtingwaade van ˆ, p( ln.b.t. p(, wodt aiaal voo, en de 'chepte' van dit aiu wodt bepaald doo de ati tot. Wannee de vehouding van de enegie van (t; tot goot wodt, nadet de foutcoelatieati van de MP chatting tot tot.
5 plitudechatting Obevatie : (t (t + w(t, waabij +j een coplee aplitude (chaling plu otatie vootelt. We bechouwen zowel ML-chatting al MP-chatting van ; in dit laatte geval neen we aan dat en tatitich onafhanelije Gauiaane toevalgootheden zijn et geiddelde nul en vaiantie σ. tiatieegel ( z] Re[ σ waabij dt (t (t z en +. ML-chatting : ( z j + z  ML MP-chatting ( z ( j σ + + + MP z  σ + Bij afwezigheid van ui ((t (t beoen we   MP ML Pefoantie O de Cae-Rao gen te beeenen aen we gebui van j(t (t; (t (t; σ σ ML-chatting : aan de Cae-Rao gen i voldaan et gelijheid (t (tdt [Â] ; ; waabij  en  de chattingfouten vootellen. Bij gegeven en zijn de chattingfouten Gauiaan, geiddeld nul en ongecoeleed, en hebben dezelfde vaiantie. Me op dat en ontoppeld zijn. MP-chatting : aan de Cae-Rao gen i voldaan et gelijheid σ + ; σ +,
6 De chattingfouten zijn Gauiaan, geiddeld (ove ui en gelij aan nul en ongecoeleed, en hebben dezelfde vaiantie. Me op dat en ontoppeld zijn. Wannee /(σ <<, zijn de ML en MP chattingen nagenoeg identie, en leiden ze tot nagenoeg dezelfde pefoantie. Bij de MP chatting unnen we de conditionele vewachtingwaade (bij gegeven van de chatting en van de wadatiche chattingfout beeenen. Dit geeft : + [Â MP ] + ; σ σ σ + σ Me op dat de MP-chatting echt i, en dat de conditionele geiddelde wadatiche chattingfout afhangt van /σ : afhanelij van de waade van /σ an de conditionele geiddelde wadatiche chattingfout bij MP-chatting gote of leine zijn dan bij de ML-chatting. Uitiddeling ove van deze conditionele geiddelde wadatiche chattingfout levet de Cae-Rao gen voo de MP chatting op; deze i lage dan de Cae-Rao gen voo de ML chatting. Voobeeld : lineaie digitale odulatie Het uitgezonden ignaal (t i gegeven doo (t a p(t, waabij de + dataybolen a pioi geend zijn (tainingequentie. Zowel de ML- al de MP-chatting van aen gebui van de gootheid z, die gegeven i doo z a z, waabij z beoen wodt doo (t aan te leggen aan een atched filte et ipulantwood p(-t, en de uitgang te beonteen op het tijdtip. De enegie van (t i gelij aan a a ng( n,n waabij g(t het antwood i van het atched filte op de pul p(t. De enegie hangt du in pincipe af van de tainingybolen. Wannee echte de tainingequentie ando wodt gegeneeed (en eegedeeld aan zende en ontvange, en veel gote i dan de duu van g(t, ogen we boventaande enegie benadeen doo het geiddelde ove de ando ybolen; dit geeft ( + [ a ]g(. Wannee a contant i en g(δ (geen na atched filte, i eact gelij aan (+[a ]g(. Me op dat g( gelij i aan de enegie van p(t. Bij de ML chatting i de geiddelde wadatiche chattingfout du ogeeed evenedig et de lengte + van de tainingequentie; bij de MP chatting geldt deze wetatigheid enel wannee + >> /(g(σ.
7 ae- en fequentiechatting Obevatie (t (t; θ, + w(t (t ep( j(πt + θ + w(t waabij en θ een onbeende fequentieoffet en fae vootellen, na deodulatie van een banddoolaatignaal. Me op dat πt+θ een lineai in de tijd vaiëende fae vootelt, die op t de waade θ aaneet. tiatieegel Gezaenlije ML chatting van en θ : ( θˆ ML, ˆ ML ag a( L( θ, θ, jθ et L(, Re[ e L( ], θ en L( (t (t ep( jπt dt Deze tweedienionale zoepocedue ove en θ an teuggebacht woden tot een ééndienionale zoepocedue ove, gevolgd doo een beeening van θˆ : ˆ ag a( L( ; θ ˆ ag( L(ˆ ML De chatting ˆ coepondeet et het aiu van de odulu van de ouie tanfo van (t(t, en θˆ i het aguent van de ouie tanfo voo ˆ. Het i intuctief o na te gaan wat L(ˆ, θ ˆ en L (ˆ woden bij afwezigheid van ui (zodat (t (t;θ,. ntoduceen we de chattingfouten θˆ θ θ en ˆ, dan geldt L(ˆ, θ ˆ (t co(π t + θ dt j en θ L(ˆ e (t ep( jπ t dt L(ˆ, θ ˆ wodt aiaal wannee co( π t + θ, du al en θ een veelvoud i van π. Doo toepaen van de chwaz-ongelijheid (zie ppendi vinden we dat L(ˆ aiaal wodt voo. Hieuit volgt dat bij afwezigheid van ui de ML-chattingen indedaad de coecte waaden van θ (op een veelvoud van π na en opleveen. Pefoantie : CR gen Bij de beeening van de CR gen teunen we op θ (t; θ, j (t; θ, (t; θ, jπt (t; θ, zodat
8 θθ θ πt (t dt 4π t (t waabij gelij i aan de enegie van (t. We intoduceen de gootheden t en, bepaald doo t (t dt (t t (t dt t (t dt (t dt Hiebij i t het 'zwaatepunt' van (t. De CR gen heleidt zich tot : dt [ θ ] [ θ ] [ θ ] [ ] πt πt 4π (t + 4π 4π (t + πt πt Hieuit volgt dat de paaete θ en geoppeld zijn wannee t. De gen op de geiddelde wadatiche fequentiefout (faefout hangt niet (wel af van t. iezen we de oopong van de tijda zo dat t, dan beoen we [(ˆ θ θ ] [(ˆ ] 4π Me op dat de gen op de geiddelde wadatiche faefout iniaal wodt voo t. Op bai van de chattingen θˆ and ˆ aat de ontvange een chatting πˆt + θˆ van de ogenblielije fae πt+θ. De eulteende geiddelde wadatiche chattingfout i begend doo [ ] (t t (π + t θ + De gen op de geiddelde wadatiche chattingfout wodt gote naaate t vede van t i gelegen. Voobeelden P t < / a Wannee (t telt (t de coplee ohullende voo van een egent elde (tijdduu van een inuoïde et veogen P. De enegie van (t i gegeven doo P. Vede geldt t en /. Hieuit volgt : [(ˆ θ θ ] P [(ˆ ] P 3 π De gen op de geiddelde wadatiche faefout en fequentiefout zijn ogeeed evenedig et epectievelij en 3. Vede geldt voo de geiddelde wadatiche fout op de chatting van de ogenblielije fae : [ ] π + t t θ + P ( Me op dat deze gen bij t / (and obevatie-inteval vie ee zo goot i al bij t (idden obevatie-inteval. tapolatie van de chatting van de ogenblielije fae tot buiten het obevatie-inteval (- /, / leidt tot nog gotee fouten.
9 b Wannee (t a p(t, geldt (tp (t ep( jπtdt a z ep( jπ L ( a, waabij z (tp (t dt wodt beoen doo (t aan te leggen aan een atched filte et ipulantwood p(-t en de uitgang te beonteen op t. De boventaande benadeing ipliceet dat ep(jπt weinig vaieet ove de duu van de pul p(t, zodat we p(t-ep(-jπt unnen benadeen doo p(t- ep(-jπ. Deze benadeing biedt het voodeel dat bij de zoepocedue ove de gootheden z niet hoeven hebeeend te woden bij iedee nieuwe tetwaade van. Oo bij het beeenen van de CR gen aen we van deze benadeing gebui. We bepalen de eleenten van de ihe infoatieati al de vewachtingwaade van de tweede afgeleiden van de logaitiche anfunctie. We beoen, voo taag vaiëende ep(jπt, θθ θ Re π [z ]a ep( jθ, waabij θ π+θ. Vede geldt, π ( voo taag vaiëende ep(jπt, [z ] ep(jθ a g(, waabij g(t het antwood i van het atched filte (ipulantwood p(-t op de zendepul p(t. l we aanneen dat e na het atched filte geen opteedt (g(i δ i, beoen we [z ] a ep(jθ, zodat θθ θ a π (π ( + π / 3 Hiebij hebben we ondeteld dat alle tainingybolen dezelfde odulu hebben (a. de odulu niet contant, en zijn de ybolen ando et [a ], dan i boventaande uitduing een goede benadeing voo gote +. Voo het oveige hebben de tainingybolen geen invloed op de pefoantie. We een op dat θ en ontoppeld zijn, en dat de CR gegeven i doo [(ˆ θ θ ] + [(ˆ ] 3 π ( Deze eultaten zijn dezelfde al bij het ontvangen van een egent van een inuoïde et veogen P / en duu (+. ig. toont het veloop van [L(ˆ] in( π( + /in( π, eening houdend et boventaande veondetellingen (g(i δ i, a. Me op dat [L(ˆ ], naat het globaal aiu bij, nog vechillende loale aia vetoont. Bij hoge / bevindt het globaal aiu van L (ˆ zich ond, aa bij voldoende lage / unnen 'outlye' opteden : het globaal aiu van L (ˆ ligt dan in de buut van een ecundai aiu van [L(ˆ ], waadoo de geiddelde wadatiche chattingfout te toeneet; de geiddelde wadatiche fout vetoont een depeleffect al functie van / (zie ig.. + 3
chatting van de tijdvetaging Obevatie (t (t;τ + w(t (t-τ + w(t Hiebij telt τ de te chatten tijdvetaging voo. tiatieegel : ML chatting τˆ ML ag a τ ( L( τ, et L( τ Re[ (t (t τ dt] Het bepalen van de ML chatting veeit du een ééndienionale zoepocedue. Bij afwezigheid van ui ((t (t;τ beoen we [ (t τ (t τˆdt] Re[ (t (t dt] L(ˆ τ Re τ, waabij τ τˆ τ de tiingfout vootelt. Wegen de chwaz-ongelijheid (zie ppendi beeit L(ˆ τ een aiale waade (t dt voo τ. Hieuit volgt dat bij afwezigheid van ui de ML chatting de coecte waade van τ oplevet. Pefoantie : CR gen Bij de beeening van de CR gen ( [ τ ] / teunen we op (t; τ (t & τ, τ waabij & (t de afgeleide van (t naa t vootelt. Hieuit volgt (t & τ dt (t & dt 4π f (f df. Me op dat de gen op de geiddelde wadatiche tiingfout ogeeed evenedig i et de enegie van de afgeleide van (t. Dit houdt in dat de aanwezigheid van hoge fequentie in (t de nauweuigheid van de chatting in guntige zin beïnvloedt. Voobeeld Wannee (t a p(t, geldt L( τ Re a z ( τ, waabij z (τ wodt beoen doo het ontvangen ignaal aan te leggen aan het atched filte et ipulantwood p(-t, en het eulteend ignaal z(t te beonteen op het tijdtip +τ : z (τ z(+τ. Bij een digitale ipleentatie i het ignaal z(t aan de uitgang van het atched filte enel op dicete tijdtippen bechibaa. n dit geval wodt z (τ doo intepolatie beeend uit de bechibae ontewaaden z(. We bechouwen nu achteeenvolgen een tainingequentie et ando ybolen, et identiee ybolen (a, en et alteneende ybolen (a (-, en bepalen telen. Hiebij aen we devolgende benadeing + + (+ / + a p(t & dt a p(t & dt (+ / die accuaat i wannee (+ veel gote i dan de duu van de pul p(t.
Bij ando equentie aen we daaenboven gebui van + (+ / + + (+ / + a p(t & dt a p(t & dt (+ / (+ / Deze benadeing i nauweuig voo equentie die veel lange zijn dan de duu van p&(t. ldu beoen we : + (+ / + ( + / p(t & dt ( + / + / p(t & dt ( + p(t & dt ( + p& waabij & de enegie van de afgeleide pul p& (t vootelt. p Voo een tainingequentie et identiee ybolen geldt : + (+ / p(t & dt (+ / De functie p (t i peiodich in t et peiode, en an du gecheven woden al een ouieee. n de ondetelling dat de bandbeedte B van p(t ligt tuen /( en /, betaat de ouieee enel uit de contante te. Hieuit volgt dat p& (t, de afgeleide van p (t, gelij i aan nul, zodat. Voo een tainingequentie et alteneende ybolen geldt : + (+ / ( p(t & dt (+ / De functie ( p(t i peiodich in t et peiode, en an du gecheven woden al een ouieee. n de ondetelling dat de bandbeedte B van p(t ligt tuen /( en /, betaat de ouieee enel uit de contante te en de teen et fequentie /( en -/( : C n ( p(t C + C ep(jπt / + C ep( jπt (p(t p(t ep( jπnt / / dt, waabij Me op dat C. De afgeleide ( p(t & i dan gegeven doo ( p(t & (jπ / C ep(jπ / + ( jπ / C (jπ / P(/(ep(jπt / ep( jπt P / n ( ( + ( jπ / P( /(ep( jπt / n,
zodat ( P(/( + P( /( π ( + 3 l we aanneen dat e geen opteedt na het atched filte, voldoet P(f aan + P(f i / π, zodat ( + i De vegelijing van de boventaande eultaten leidt tot het volgende beluit. Wannee de bandbeedte B van de zendepul p(t gelegen i tuen /( en /, i een tainingequentie et identiee ybolen heleaal niet gechit o de tiing te chatten, odat het uitgezonden ignaal nagenoeg contant i. Daaentegen leidt een tainingequentie et alteneende ybolen tot een nagenoeg peiodich uitgezonden ignaal et peiode ; uit een degelij ignaal an de tiing wel afgeleid woden, aa e teedt een 'dubbelzinnigheid' (abiguity op : de tiing an enel bepaald woden op een veelvoud van na. Wannee een ando tainingequentie wodt gebuit, i e geen dubbelzinnigheid.b.t. de tiing, aa de chatting van de tiing i inde nauweuig : bij een ando tainingequentie i de waade van leine (et een facto tot 3 dan bij een alteneende equentie. ig. 3 toont het veloop van de te aialieen functie L(ˆ τ bij afwezigheid van ui, voo een ando tainingequentie, een tainingequentie et identiee ybolen, en een tainingequentie et alteneende ybolen. Bij de beeening van deze functie hebben we gebui geaat van de volgende benadeing : + L(ˆ τ Re a a ng( n + τ n waabij g(t de pul aan de uitgang van het atched filte vootelt, en we voo de eenvoud hebben geteld. n de ondetelling dat g(t eël i, bandbepet et /(<B</, en g( δ, beoen we ( + identiee ybolen L(ˆ τ ( + co( πτ / alteneende ybolen ( + g( τ ando ybolen en tainingequentie et identiee ybolen leidt tot een lechte pefoantie ( L(ˆ τ i contant. Zijn de tainingybolen alteneend, dan i e een dubbelzinnigheid van ( L(ˆ τ i peiodich et peiode. Bij ando ybolen i e geen dubbelzinnigheid, aa het aiu i inde chep dan bij alteneende ybolen.
3 ppendi : de chwaz-ongelijheid Bechouw twee coplee ignalen (t en y(t. Voo alle β geldt : (t + βy(t dt tellen we (t dt y (ty (tdt y(t dt dan an boventaande uitduing ogevod woden tot + β y + β y + β De chwaz-ongelijheid ot voo in twee veie : y y tel β, dan beoen we of. Gelijheid y teedt op wannee y(t (t, waabij een willeeuige coplee contante vootelt. tel Re[ y ] (Re[ y ] β, dan beoen we of. (Re[ y ] Gelijheid teedt op wannee y(t (t, waabij een willeeuige eële contante vootelt. Me op dat in geval van gelijheid y eëel i, zodat (Re[ ]. y y
4-5 equency etiation fo taining equence [L(.]/(+ [db] - -5 - -5-3 -5-4 -3 - - 3 4 5 (+_ ig. : te aialieen functie bij fequentiechatting.-.-3 equency etiation fo taining equence (L ybol [(_^].-4 M (L3 M (L6 CR bound (L3 CR bound (L6.-5.-6-3 - - 3 4 5 6 /o (db ig. : geiddelde wadatiche chattingfout bij fequentiechatting
5.5.5 L(./(+ -.5 - -.5 ando ybol identical ybol altenating ybol iing etiation fo taining equence - -5-4 -3 - - 3 4 5 _τ/τ ig. 3 : te aialieen functie bij chatting van de tiing