4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( ) = 5 = 5 of = -5 = 6 of = -4 = 3 of = -
4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: 3: AB = AC geeft A = 0 of B = C ( 4)( + 5) = ( 4) (+7) 4 = 0 of + 5 = + 7 = 4 of = = 4 of = - 4: AB = A geeft A = 0 of B = sin( ) sin( ) 3 3 sin( ) 0 3 k 3 k 3 k 6
4. Vergelijkingen en herleidingen [] Voor het oplossen van gebroken vergelijkingen gelden de volgende regels: A B C AD BC D A C A BC B A 0 A 0 B A A A 0 B C met B 0, C 0 B C A C A C B 0 B B 3
4. Vergelijkingen en herleidingen [] Voorbeeld : 50 50 0 50 0( ) 50 0 0 0 60 6 Voorbeeld : ln( ) ln( ) ln( ) 0 0 De oplossing = 0 voldoet niet. 4
4. Vergelijkingen en herleidingen [3] Merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld : Herleid ( ) 3 3 3 3 ( )( ) 3 6 3 ( )( 4) 9 6 3 6 3 4 4 8 9 6 3 4 8 8 5
4. Vergelijkingen en herleidingen [3] Voorbeeld : Herleid 5 9 3 4 ( 9) 3 3 ( 3)( 3) ( 3) 3 0 6
4. Breuken en wortels [] Er zijn verschillende soorten breuken, die je tot één breuk kunt herleiden A C A D C B AD BC ) B D B D D B BC B C B AC B AC B ) A A C C C C C C 3) A C AC B D BD 4) B AB A C C 5) A C AC Want delen is vermenigvuldigen met het omgekeerde. A B B B C 6) A A B B B A C C B BC 7
4. Breuken en wortels [] Voorbeeld : Vereenvoudig 3 5 6 5 6 5 65 Voorbeeld : Schrijf zonder breuk in de noemer 4 4 ( ) y 4 8
4. Breuken en wortels [] Voorbeeld : Schrijf zonder breuk in de noemer T 600a 600a 3b 800ab 800ab a a a 5b a 5b 5b 3b 5b 3b 3b 3b 3b en b 0 9
4. Breuken en wortels [3] Bij breuken geldt de volgende regel: A A C A C A BC B B B C Je mag B en C dus verwisselen. Voorbeeld : Schrijf als functie van A 500 A 6 B 5 500 A 6 B 5 500 B 5 A 6 B 500 5 A 6 0
4. Breuken en wortels [3] Voorbeeld : Schrijf als functie van A B 6 A B 5 B 6 A( B 5) B 6 AB 5A B AB 65A B( A) 6 5A 65A B A Kruislings vermenigvuldigen
4. Breuken en wortels [4] Bij het herleiden van wortels gelden de volgende regels: A B A B met B 0 A B AB met A 0 B 0 A A met A 0 B 0 B B Voorbeeld : y 3 y y y 3 4 3 4 3 3 y
4. Breuken en wortels [4] Voorbeeld : y y 3 ( ) y y 3
4. Breuken en wortels [5] De volgende regel geldt: Uit A = B volgt A = B met B 0 Voorbeeld: y 6 6 y 4( 6) y 44 y 4 y 4 y 4 6 Gebruik: uit A = B volgt A = B 4
4.3 Machten, eponenten en logaritmen [] Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] 0 p a als a a p q q q 0[5] [6] p a p a a [7] a a [8] a a [9] q 5
4.3 Machten, eponenten en logaritmen [] p p q pq a pq a a a [] a [] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] 0 p a als a a p q q q 0[5] [6] p a p a a [7] a a [8] a a [9] q Voorbeeld : Herleid de formule tot de vorm T = a p T 0,6 4,7 ( ) 3 T,4,7 6 3 T 48 0,7 Rekenregel [4] Rekenregel [] 6
4.3 Machten, eponenten en logaritmen [] Voorbeeld : 3 3 3 7 7 7 5 5 5 9 9 9 3,4 3,4 3,4 0 0 0 In zijn algemeenheid geldt nu dus: n n n a a a Voorbeeld 3: 5 8 8 64 5 3 3 43 In zijn algemeenheid geldt nu dus: n a a n 7
4.3 Machten, eponenten en logaritmen [] Voorbeeld 4: Schrijf y = 3,3 in de vorm = ay n. 3,3,3 3 3 3 y y y,3 0,6 y,3 y 0,43,3 Delen door het getal voor. Gebruik: Gebruik: n n n a a a ab p a p b p [4] 8
4.3 Machten, eponenten en logaritmen [] Voorbeeld 5: Schrijf y = 0,5 3-7 in de vorm =. 3 0,5 7 3 0,5 y 7 3 y4 ( y4) 3 y Losse getallen naar rechts Delen door het getal voor de wortel Links en rechts tot de macht 3 nemen. 9
4.3 Machten, eponenten en logaritmen [] We hebben de functie f() = De oplossing van de vergelijking f() = 8 is 3. Bestaat er nu een functie g() zodat geldt: g(8) = 3? Ja, en dit is de functie: g() = log(). De oplossing van de vergelijking g(8) = log(8) = 3. Of in woorden: Tot welke macht moet je verheffen om 8 te krijgen. Er geldt dus: Uit = 8 volgt log(8) = Hieruit valt af te leiden: log(8) = log( ) = De macht en de logaritme vallen als het ware tegen elkaar weg. In het algemeen geldt: Hieruit valt af te leiden: Uit g log(y) = volgt y = g g log(y) = g log(g ) = 0
4.3 Machten, eponenten en logaritmen [] Voorbeeld: Herleid de formule log(n) = 9 3k tot de vorm N = b g k log( N) 9 3k log( N) 4,5,5k N 0 4,5,5 k Zorg dat de logaritme links staat en de rest rechts Voor de logaritme mag geen getal staan Maak van de logaritme een machtsfunctie N 0 0 4,5,5k Gebruik de rekenregels voor machten. N 4,5,5 k 0 (0 ) N 3.0000,03 k
4.3 Machten, eponenten en logaritmen [3] Voor logaritmen gelden de volgende rekenregels: () g log( ab) g log( a) g log( b) (4) () g log a g log( a) g g a log( ) (5) b b a log( g ) (3) g n g (6) g log() = y volgt = g y log( a ) n log( a) g log( a) p p log( a) log( g) Voorbeeld : log( ) log() log() log() log() 3,58 log() Neem links en rechts de logaritme (3) g log( a n ) n g log( a)
4.3 Machten, eponenten en logaritmen [3] Voorbeeld : Herleid de formule y = 3 tot de vorm log(y) = a + b y 3 log( y) log(3 ) log( y) log() log(3 ) Neem links en rechts de logaritme Gebruik de rekenregels voor logaritmen. log( y) log() log(3) log( y) 0,480,30 3
4.3 Machten, eponenten en logaritmen [3] Voorbeeld 3: Herleid de formule N =,8 (,5) t-3 tot de vorm t = a log(n) + b,8 (,5) t 3 N t 3 N (,5),8 t 3 N log((,5) ) log( ),8 (t 3)log(,5) log( N) log(,8) log( N) log(,8) t 3 log(,5) log(,5) Neem links en rechts de logaritme. Gebruik (3) en () log( a ) n log( a) g n g log a log( a) log( b) b g g g log( N) log(,8) t 3 log(,5) log(,5) log( N) log(,8) 3 t log(,5) log(,5) t 8,4log( N),9 4
4.3 Machten, eponenten en logaritmen [4] Voorbeeld : Maak vrij bij de formule y = ½ln(3 ) + y = ½ ln(3 ) + ½ ln(3 ) = y ln(3 ) = y 3 = e y 3 = + e y = /3 + /3e y - e log(a) = ln(a) = B geeft A = e B Voorbeeld : Herleid log(n) =,6 + 0,4log(t) tot de vorm N = a t b log( N),6 0,4log( t) N 0,60,4log( t ) N 0 0,6 0,4log( t ) N 0 0 N 0 0,4,6 log( t ) t,6 0,4 N 398t 0,4 5
4.4 Stelsels vergelijkingen gebruiken [] Voorbeeld : Bereken het snijpunt van 3 + y = 6 en - + y = 3 y 3 3 3 y 6 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de -en tegen elkaar wegvallen 6 3 y 9 64 y 7 y y 3 Invullen van y = 3 geeft = 0, dus (0, 3) is het snijpunt. 6
4.4 Stelsels vergelijkingen gebruiken [] Voorbeeld : Los algebraïsch op: y = + 4 9 + 3y = 6 Er is nu een stelsel van vergelijkingen met een kwadratische vergelijking. Er is nu een oplossing te vinden door de ene vergelijking in de andere vergelijking in te vullen (substitutie). 9 + 3y = 6 9 + 3( + 4) = 6 9 + 3 + = 6 3 + 9 + 6 =0 + 3 + = 0 ( + )( + ) = 0 = - = - Invullen van = - geeft y = 8, dus (-, 8) is een oplossing; Invullen van = - geeft y =5, dus (-, 5) is een oplossing. 7
4.4 Stelsels vergelijkingen gebruiken [] Voorbeeld 3: a De grafiek van y gaat door de punten (-3, -3) en (0, ½). b Bereken a en b algebraïsch. Stap : Stel een stelsel van vergelijkingen op door de punten (-3, -3) en (0, ½) in de gegeven functie in te vullen. 6 a Invullen van (-3, -3) geeft: 3. Hieruit volgt: 6 a 3 3 b () 3 b a b a Invullen van (0, ½) geeft:. Hieruit volgt: 9 () b a b 4 4 b a 9 8
4.4 Stelsels vergelijkingen gebruiken [] Stap : Vul vergelijking () in vergelijking () in: 6 a 3 3 b 4 6 a 3 3 a 9 Stap 3: Los deze vergelijking op: 4 6 a 3 3 a 9 4 9 36 a a 7 4a 36 a a 9( 3 a ) a 3a a 63 0 4a 0 ( a3)( a 7) 0 a 3 a 7 Links en rechts kwadrateren 9
4.4 Stelsels vergelijkingen gebruiken [] Stap 4: Geef de oplossing van het stelsel van vergelijkingen. a = 3 invullen in a b geeft 3 b 9 b 4 b 4 a = -7 invullen in a b geeft 7 b Deze vergelijking heeft geen oplossing. De uitkomst a = -7 voldoet dus niet. 30
4.4 Stelsels vergelijkingen gebruiken [] Voorbeeld: Bereken de primitieven van f( ) 8 8 ( )( ) Stap : Merk op dat je deze functie niet kunt primitiveren op de manieren zoals geleerd. Dit is op te lossen door de functie f als volgt te schrijven: f( ) a b 3
4.4 Stelsels vergelijkingen gebruiken [] Stap : a b a( ) b( ) ( )( ) ( )( ) a( ) b( ) ( )( ) a a b b ( )( ) ( a b) a b ( )( ) We kiezen a en b nu zodanig dat (a + b) + a b gelijk is aan + 8 Er geldt nu: a + b = en a b = 8 3
4.4 Stelsels vergelijkingen gebruiken [] Stap : Los het nu ontstane stelsel van vergelijkingen op: ab ab8 3a 9 a 3 Invullen van a = 3 in a + b = geeft b = -. De vergelijking f( ) 8 8 ( )( ) kan dus geschreven worden als: f( ) a b met a = 3 en b = -. Dit geeft: f( ) 3 33
4.4 Stelsels vergelijkingen gebruiken [] Stap 3: Primitiveer de functie f( ) 3 F() = 3 ln - - ln + + c 34
4.4 Stelsels vergelijkingen gebruiken [3] Voorbeeld : Bereken de oplossing van: + ln( p) = ln( p) = 3 + ln( p) = kan geschreven worden als: ln( p) = De uitdrukking voor ln( p) kan nu in de andere vergelijking worden ingevuld. Vervolgens blijft een kwadratische vergelijking over om op te lossen. ln( p) = 3 ( ) = 3 4 = 3 4 + 3 = 0 ( )( 3) = 0 = = 3 35
4.4 Stelsels vergelijkingen gebruiken [3] Voorbeeld : Bereken de oplossing van: + ln( p) = ln( p) = 3 Invullen van = in: ln( p) = geeft ln( p) = - ln( p) = p = e p = e e log(a) = ln(a) = B geeft A = e B Invullen van = 3 in: ln( p) = geeft ln(3 p) = 3-3 ln(3 p) = -3 3 p = e -3 p = 3 e -3 36
4.4 Stelsels vergelijkingen gebruiken [3] Voorbeeld : Bereken de oplossing van: ae = 8 ae = Invullen van ae = in ae = 8 geeft: = 8 8 = 0 ( + )( 4) = 0 = - = 4 Invullen van = - in ae ae ( ) 3 a e 3 ae = geeft: Invullen van = 4 in ae = geeft als oplossing: a = e 5 37
Bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 : A = B geeft A = B of A = - B 3: AB = AC geeft A = 0 of B = C 4: AB = A geeft A = 0 of B = 4 Samenvatting Merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B A B C AD BC D A C A BC B A B A 0 A 0 A A 0 B C met B 0, C 0 B C A C A C B 0 B B 38
A B A B met B 0 A B AB met A 0 B 0 A A met A 0 B 0 B B 4 Samenvatting Uit A = B volgt A = B met B 0 p p q pq a pq a a a [] a [] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] 0 p a als a a p q q q 0[5] [6] p a p a a [7] a a [8] a a [9] q n n n a a a n a a n 39
4 Samenvatting Uit g log(y) = volgt y = g Voor logaritmen gelden de volgende rekenregels: () g log( ab) g log( a) g log( b) (4) () g log a g log( a) g g a log( ) (5) b b a log( g ) (3) g n g (6) g log() = y volgt = g y log( a ) n log( a) g log( a) p p log( a) log( g) Als in een gebroken functie de discriminant van de noemer groter is dan 0 kun je deze schrijven in de vorm ( + p)( + p). Herschrijf de breuk nu naar de vorm: f( ) a b p q 40