Hoofdstuk 1 Wiskundige Analyse II Vraag 1.1 Het volume van een omwentelingslichaam beschreven door een homogeen, projecteerbaar gebied D dat de omwentelingsas niet snijdt, is gelijk aan het product van de baan van het massamiddelpunt van D met de oppervlakte van D. Vraag 1.2 De functie f(x, y, z) = yxz 3 x 4 + y 2 + z 2 is uitbreidbaar tot een differentieerbare functie in heel R 3. Vraag 1.3 De functie f(x, y) = x3 y x 4 + y 2 aangevuld met de waarde 0 in (0, 0), bezit een lineaire benadering in de omgeving van (0, 0). 1
Vraag 1.4 Zij f : R 3 R differentieerbaar in (x 0, y 0, z 0 ) met f(x 0, y 0, z 0 ) 0, dan stelt deze gradiënt de normaalvector voor in (x 0, y 0, z 0 ) op het oppervlak f(x, y, z) = 0. Vraag 1. Zij f : R m R n een functie die differentieerbaar is in a R m, dan is f(x) f(a) x a begrensd in een omgeving van a. Vraag 1.6 Zij g : R p R n en f : R n R p functies, differentieerbaar in respectievelijk Ω R p en g(ω) R n, dan geldt er voor hun samengestelde h = f g dat h j (x) = f j (g(x))dg(x), x Ω, j = 1..., p. Vraag 1.7 Zij g, f : R m R m differentieerbare functies in respectievelijk Ω R m en g(ω) R m, die bovendien elkaars inverse zijn, dan geldt er dat Df(g(x))D k g(x) = e k, x Ω, k = 1..., m. waarbij e k de k-de basisvector van R m is, voorgesteld als kolommatrix. 2
Vraag 1.8 Zij f(r) afleidbaar in R en zij r = x 2 + y 2 + z 2. Dan is f(x, y, z) = f (r) in R 3 \{(0, 0, 0)}. Hierbij wordt voor de functie f(r) en voor de corresponderende functie f(x, y, z) dezelfde notatie gebruikt, zoals gebruikelijk is in toepassingen. Vraag 1.9 Zij u(x, y) en v(x, y) continu differentieerbare functies, die voldoen aan het stelsel van Cauchy-Riemann: u x = v y, u y = v x en zij e en e eenheidsvectoren volgens richtingen die onderling orthogonaal zijn, dan zijn de richtingsafgeleiden van u volgens e en van v volgens e gelijk. Vraag 1.10 Gegeven het oppervlak met vergelijking x 2 + y 2 + z 2 xy 1 = 0. Dan wordt de projectie ervan op het Y Z vlak begrensd door de kromme 3 4 y2 + z 2 1 = 0. 3
Hoofdstuk 2 Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek Vraag 2.1 De gemeenschappelijke densiteit van de toevallige verandelijken X en Y wordt gegeven door: { αe 2 3 x e y als x > 0 en y > 0, f X,Y (x, y) = 0 elders, waar α R >0 een normalisatieconstante is. De toevallige veranderlijken U en V worden gedefinieerd als U = X 3 en V = Y + X 3. Welke van de onderstaande uitspraken is de correcte? { 1 - f U,V (u, v) = 3 αe u e v als u > 0 en v > 0 0 elders. { αe u e v als u > 0 en v > 0 - f U,V (u, v) = 0 elders. - U en V zijn onafhankelijk. - Geen van de bovenstaande uitspraken is waar. Vraag 2.2 Beschouw twee reële toevallige veranderlijken X en Y. Voor elke functie g(y ) van Y geldt dat E(g(Y ) u) = g(u) voor elke mogelijke waarde u van X. Bovendien geldt voor de 4
marginale massafunctie f X van X dat: 1 3 als z = 1, f X (z) = 2 3 als z = 2, 0 anders. Waaraan is E(e 2Y ) dan gelijk? - 1 /4-1 3 e 2 + 2 3 e 4 - e 2/3 + 2e 4/3 - Er zijn te weinig gegevens om dit probleem op te lossen Vraag 2.3 De waarschijnlijkheid dat een hogerendementslamp stukgaat binnen 10000 uur licht geven is gelijk aan 1. Hoe groot is de waarschijnlijkheid dat van 10 aselect gekozen hogerendementslampen, er precies 3 stuk gaan binnen 10000 uur licht geven? - 120 ( 1 3 ( 4 ) - 120 ( 1 7 ( 4 ) - 720 ( 1 3 ( 4 ) - 720 ( 1 7 ( 4 ) ) 7 ) 3 ) 7 ) 3 Vraag 2.4 De toevallige veranderlijke X is uniform verdeeld over het interval [0, 2]. E(X 3 X) is dan gelijk aan: - 1/2-0 - 1-2 Vraag 2. Je hebt een communicatiesysteem waarin een zender een symbool X { 1, 0, 1} zendt, wat tot gevolg heeft dat de ontvanger X + N ontvangt. Hierin is N een toevallige
veranderlijke met massafunctie f N (n) := 1 3 2 n, n Z. We veronderstellen bovendien dat de drie waarden voor X even waarschijnlijk zijn, en dat X en N onafhankelijk zijn. De waarschijnlijkheid dat X + N > 1 2 is dan: - 7/18-7/9-1/3-4/9 Vraag 2.6 Van de toevallige veranderlijke X is geweten dat P (0 X 2) = P (1 X 3) = 1 2 en P (4 X ) = 1 4. Wat kun je hieruit besluiten? - P (1 X 2) = 1/4 - P (X = 1) = 1/2 - De geschetste situatie is niet mogelijk. - Geen van de bovenstaande. Vraag 2.7 De twee toevallige veranderlijken X en Y hebben verwachtingswaarden E(X) = 1 en E(Y ) = 1, varianties var(x) = 2 en var(y ) = 2, en een correlatiecoëfficiënt ρ(x, Y ) = 1 /4. Voor de veranderlijken U = X + 2Y and V = 2X Y is de correlatie ρ(u, V ) dan gegeven door: - 3 /2-13 6/48-6/16-6/16 Vraag 2.8 Beschouw een reële toevallige veranderlijke X met een densiteit f X waarvoor voor alle x R geldt dat f X (x) = f X ( x). Welke van de volgende functies zou een geldige momentenfunctie M X (t) van X kunnen zijn? - 6
- - - Vraag 2.9 In een distributiecentrum komen pakketjes toe tussen 8 en 17 uur, volgens een uniforme verdeling. De verwerkingstijd (in seconden) van een pakketje kan worden gemodelleerd als een toevallige veranderlijke S die uniform verdeeld is over het interval [1, T + 2], waarbij de toevallige veranderlijke T de sinds 8 uur verstreken tijd is tot het arriveren van het pakketje. T wordt hierbij uitgedrukt in uren. Een voorbeeld ter verduidelijking: als het pakketje aankomt om 11 uur, dan is S 7
uniform verdeeld over [1, ] seconden, wegens = 11 8 + 2. De waarschijnlijkheid dat de verwerking minder lang duurt dan 2 seconden bedraagt dan: - 1 9-2 9 ln 10 ln 11-2/11-2/9-1/ Vraag 2.10 De toevallige veranderlijke Y is uniform verdeeld over het interval [0, 1]. Van de toevallige veranderlijke X kennen we de conditionele massafunctie: {( n ) x y x (1 y) n x als x {0, 1,..., n 1, n} f X Y (x y) = 0 elders, dus conditioneel op Y = y is X binomiaal verdeeld met kans op succes y en aantal experimenten n > 1. Welke van de volgende uitspraken is correct? - E(X 2 ) = n2 /3 + n /6 - E(X 2 ) = n /6 - X is binomiaal verdeeld - var(x) = n /6 8