ENGLISH VERSION: SEE PAGE 7 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Calculus B (WBB) op maandag 4 november 03, 9:00 :00 uur Maak dit vel los van de rest van het tentamen. Vul uw naam etc. in op dit vel en op alle gelinieerde bladen die u inlevert. Dit vel moet samen met uw uitwerkingen aan het einde van het tentamen worden ingeleverd. Het tentamen bevat 5 kort-antwoord-vragen en 7 open vragen. De achterkant van dit vel bevat 5 kort-antwoord-vragen. Bij deze kort-antwoord-vragen hoeft u alleen het antwoord te geven in het daarvoor bestemde kader. Uitwerkingen spelen geen rol bij de beoordeling van dit type vragen. De uitwerkingen van de open opgaven dienen duidelijk geformuleerd en geordend opgeschreven te worden. Ieder antwoord dient onderbouwd te worden. In totaal kunt u 50 punten halen. Het aantal punten dat u voor een onderdeel kunt halen, staat tussen rechte haken voor het betreffende onderdeel vermeld. Het cijfer voor dit tentamen wordt bepaald door het aantal behaalde punten door 5 te delen en tot één cijfer achter de komma af te ronden. Het eindcijfer voor het vak WBB0 wordt vastgesteld aan de hand van de procedure beschreven in de studiehandleiding. U mag geen gebruik maken van laptop, rekenmachine, boek of schriftelijk materiaal. Achternaam en initialen Identiteitsnummer Opleiding Tutorgroep/Tutor zie volgende pagina
Tentamen Calculus B (WBB) op maandag 4 november 03, 9:00 :00 uur Kort-antwoord-vragen. Zij V het vlak in R 3 door de punten P = (,, ), Q = (, 3, 5), en R = (0, 0, ). Bepaal een vergelijking van het vlak V (dus geen parametervoorstelling).. Voor de vectoren (4, 0, ) en (3, 4, 0) geldt dat de cosinus van de hoek die ze maken gelijk is aan. Bepaal alle mogelijke waarden voor. 5 3. Bereken cos(arcsin( 3 5 )). 4. Bepaal de afgeleide F () van de functie F () gegeven door F () = sin(t) t dt. 5. Bepaal in R de afstand van de oorsprong tot de lijn met vergelijking 3 + 4y = 5. zie volgende pagina
Tentamen Calculus B (WBB) op maandag 4 november 03, 9:00 :00 uur Open vragen 6. Zij f : [0, ) R de functie beschreven door f() = e +. [ ] [ ] (a) Bepaal alle maima en minima van f en geef aan of deze lokaal of globaal (absoluut) zijn. (b) Bepaal het bereik van f. Geef een duidelijke onderbouwing van uw antwoord. 7. Zij f : R R de functie gegeven door f() = 43 +. (a) Bepaal de afgeleide f () en laat zien dat f () > 0 voor alle 0 R. (b) Uit (a) volgt dat f inverteerbaar is. Bepaal de afgeleide van de inverse f van f in het punt, dus (f ) (). 8. Bereken de volgende limiet: lim 0 sin() cos() 3. [ 4 ] 9. Bepaal het Taylorpolynoom van graad rond a = π 4 van de functie f() = tan(). 0. Bepaal de volgende integralen: [ 4 ] [ 5 ] (a) (b) 0 5 4 tan( 6 π( + )) d. 3 4 + 4 + 3 d. [ 4 ]. Bepaal een vergelijking van de raaklijn door het punt (, ) aan de kromme, gegeven door de vergelijking e y + ye = 3e. [ 5 ]. Bepaal de oplossing y van de differentiaalvergelijking dy d 4y = 5, met beginwaarde y() = 3. Tabellen staan op volgende pagina s. 3
Tentamen Calculus B (WBB) op maandag 4 november 03, 9:00 :00 uur g() n, n n+ n+ f () f() e a, a > 0, a sin() cos() sin () cos () tan() Primitieven g() d ln( ) ln( f() ) e a ln(a) cos() sin() cos() sin() tan() ln( cos() ) ln( tan( ) ) sin() ln( tan( + π) ) cos() 4 e a sin(b), a + b > 0 e a cos(b), a + b > 0, a > 0 arctan( ) a + a a, a > 0 ln( a+ a a a a, a > 0 arcsin( ) a e a a +b (a sin(b) b cos(b)) e a a +b (a cos(b) + b sin(b)) ) a, a > 0 ln( + + a ) +, a > 0 ln( + a ) a a, a > 0 a +, a > 0 a, a > 0 a + a arcsin( ) a a + + a ln( + + a ) a + a ln( + a ) Opmerkingen Alle parameters zijn reële getallen. De constanten zijn weggelaten. 4
Tentamen Calculus B (WBB) op maandag 4 november 03, 9:00 :00 uur Function Taylorpolynomen Taylor polynomial plus O-term e + + + + n! n + O( n+ ) cos() + 4 4 + + ( )n ( n)! n + O( n+ ) sin() 6 3 + 0 5 + + ( )n n+ + O( n+ ) ( n + )! + ln( + ) + + + ( ) n n + O( n+ ) + 3 3 + + ( )n n + n+ + O( n+ ) + + 4 + + ( ) n n + O( n+ ) arctan() 3 3 + 5 5 + + ( )n ( n + ) n+ + O( n+ ) ( ) ( ) ( ) α α α ( + ) α + + + + n + O( n+ ) n Alle Taylorpolynomen zijn polynomen rond het punt 0. De binomiaalcoëfficiënten zijn gedefinieerd door ( ) α α (α ) (α ) (α (k )) = k 3 k ( ) α = 0, k =,, 3,... Goniometrische identiteiten cos( + y) = cos() cos(y) sin() sin(y) sin( + y) = sin() cos(y) + cos() sin(y) cos () = + cos() sin () = cos() 5
Tentamen Calculus B (WBB) op maandag 4 november 03, 9:00 :00 uur Vectoren in vlak en ruimte In onderstaande zijn a = a a a 3 en b = b b b 3 vectoren in de ruimte. Inwendig product (inproduct, dot product): a b = a b + a b + a 3 b 3 Uitwendig product (uitproduct, cross product): a b 3 a 3 b a b = a 3 b a b 3 a b a b 6
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Department of Mathematics and Computer Science Eam Calculus, WBB, Monday 4 November 03, 9:00 :00 Please detach this sheet from the rest of the eam. Make sure to fill out your name etc. on this sheet and on all other sheets that you hand in. Scratch paper need not be handed in. The eam consists of 5 short-answer questions and 7 open questions. You can give your solutions in English (preferred) or in Dutch. The backside of this sheet contains the short-answer questions. You are required to give only the answer (and nothing else) in the indicated bo. Argumentations are not needed. The solutions to the open problems should be motivated, formulated clearly and arranged orderly. The maimum score for the eam is 50 points. The maimal number of points you can get for a (sub)part, is indicated in front of the part between brackets. The final grade for the eam is obtained by dividing the total score by 5, rounding to one decimal place. The final grade of the course WBB0 is determined according to the rules stated in the study guide. Use of laptop, calculator, books, or written material is not allowed. Last name and initials Identity number Program Tutorgroup/Tutor see net page 7
Eam Calculus, WBB, Monday 4 November 03, 9:00 :00 Short answer problems. Let V be the plane in R 3 containing the three points P = (,, ), Q = (, 3, 5), en R = (0, 0, ). Find an equation of the plane V (so not a parametrisation).. The vectors (4, 0, ) and (3, 4, 0) determine an angle with cosine. Determine all 5 possible values for. 3. Determine cos(arcsin( 3 5 )). 4. Determine the derivative F () of the function F () given by F () = sin(t) t dt. 5. Determine in R the distance of the origin to the line with equation 3 + 4y = 5. see net page 8
Eam Calculus, WBB, Monday 4 November 03, 9:00 :00 Open questions 6. Let f : [0, ) R be the function defined by f() = e +. [ ] [ ] (a) Determine all maima and minima of f, and indicate whether they are local or global (absolute). (b) Determine the range of f. Give a clear motivation of your answer. 7. Let f : R R be the function given by f() = 43 +. (a) Determine the derivative f () and show that f () > 0 for all 0 R. (b) From (a) it follows that f is invertible. Determine the derivative of the inverse f of f in the point, so (f ) (). 8. Compute the limit: lim 0 sin() cos() 3. [ 4 ] 9. Give the Taylor polynomial of degree around a = π 4 of f() = tan(). 0. Compute the following integrals: [ 4 ] [ 5 ] (a) (b) 0 5 4 tan( 6 π( + )) d. 3 4 + 4 + 3 d. [ 4 ]. Determine an equation of the tangent line at the point (, ) to the curve, given by the equation e y + ye = 3e. [ 5 ]. Determine the solution y of the differential equation dy d 4y = 5, with initial value y() = 3. You can find tables on the last pages. 9
Eam Calculus, WBB, Monday 4 November 03, 9:00 :00 g() n, n n+ n+ f () f() e a, a > 0, a sin() cos() sin () cos () tan() Antiderivatives g() d ln( ) ln( f() ) e a ln(a) cos() sin() cos() sin() tan() ln( cos() ) ln( tan( ) ) sin() ln( tan( + π) ) cos() 4 e a sin(b), a + b > 0 e a cos(b), a + b > 0, a > 0 arctan( ) a + a a, a > 0 ln( a+ a a a a, a > 0 arcsin( ) a e a a +b (a sin(b) b cos(b)) e a a +b (a cos(b) + b sin(b)) ) a, a > 0 ln( + + a ) +, a > 0 ln( + a ) a a, a > 0 a +, a > 0 a, a > 0 a + a arcsin( ) a a + + a ln( + + a ) a + a ln( + a ) Remarks All parameters are real numbers. The constants have been omitted. 0
Eam Calculus, WBB, Monday 4 November 03, 9:00 :00 Function Taylor polynomials Taylor polynomial plus O-term e + + + + n! n + O( n+ ) cos() + 4 4 + + ( )n ( n)! n + O( n+ ) sin() 6 3 + 0 5 + + ( )n n+ + O( n+ ) ( n + )! + ln( + ) + + + ( ) n n + O( n+ ) + 3 3 + + ( )n n + n+ + O( n+ ) + + 4 + + ( ) n n + O( n+ ) arctan() 3 3 + 5 5 + + ( )n ( n + ) n+ + O( n+ ) ( ) ( ) ( ) α α α ( + ) α + + + + n + O( n+ ) n All Taylor polynomials are polynomials about the point 0. The binomial coefficients are defined by ( ) α α (α ) (α ) (α (k )) = k 3 k ( ) α = 0, k =,, 3,... Trigonometric Identities cos( + y) = cos() cos(y) sin() sin(y) sin( + y) = sin() cos(y) + cos() sin(y) cos () = + cos() sin () = cos()
Eam Calculus, WBB, Monday 4 November 03, 9:00 :00 Vectors in plane and space Consider the vectors a = a a a 3 and b = b b b 3 in space. Inner product: a b = a b + a b + a 3 b 3 Cross product: a b = a b 3 a 3 b a 3 b a b 3 a b a b