Week 2 P.6 Polynomen en rationale functies P.7 Goniometrische functies
2 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.6 Polynomen phxl = 2 x 3 - x + 4 en qhxl = x 2 zijn polynomen in x. Een polynoom in x is een veelterm met eindig veel machten x k, k = 0, 1, 2, Laat n een natuurlijk getal of 0 zijn en a n, a n-1,, a 1, a 0 getallen zijn. Dan is phxl = a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x + a 0 een polynoom waar a n, a n-1,, a 1, a 0 de coëfficiënten van het polynoom zijn. Als a n 0, dan is de graad van phxl gelijk aan n. Notatie deghpl = n. Nulpolynoom phxl = 0 Polynoom van graad 0: phxl = a 0 met a 0 0. Als de getallen a n, a n-1,, a 1, a 0 ; phxl = 5 x 4 - x 3 - x + 11 is een polynoom van de graad 4. reëel? zijn, dan heet het polynoom phxl ; reëel complex complex?. phxl = Ix 2-1MI2 x 3 - x + 1M = 2 x 5-3 x 3 + x 2 + x - 1 is een polynoom van de graad 5.
Basiswiskunde_Week_2_1.nb 3 P.6 Rationale functies Laat phxl en qhxl twee polynomen zijn met qhxl 0. Dan is de functie r met rhxl = phxl een rationale functie. qhxl DHrL bestaat uit alle x œ R behalve x met qhxl = 0. Functies rhxl = x3-2 x 2 +x x+1 en shxl = x2-1 2 zijn rationale functies.
4 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.6 Deling 1 Laat phxl = 2 x 3 - x + 4; Laat dhxl = x 2 + 2 x + 1. We trekken een veelvoud van dhxl af van phxl. We werken alleen met polynomen. Beschouw onderstaande staartdeling: x 2 + 2 x + 1 2 x 3 - x + 4 2 x - 4 2 x 3 + 4 x 2 + 2 x - - - - - - - H-L - 4 x 2-3 x + 4-4 x 2-8 x - 4 - - - - - - H-L + 5 x + 8 Hier staat niets anders dan 2 x 3 - x + 4 = H2 x - 4LIx 2 + 2 x + 1M + H5 x + 8L. Anders gezegd 2 x3 -x+4 x 2 +2 x+1 = 2 x - 4 + 5 x+8 x 2 +2 x+1.
Basiswiskunde_Week_2_1.nb 5 P.6 Deling 2 Laat phxl = 2 x 2-7 x + 4; Laat dhxl = x - 2. We trekken een veelvoud van dhxl af van phxl. We werken alleen met polynomen. Beschouw onderstaande staartdeling: x - 2 2 x 2-7 x + 4 2 x - 3 2 x 2-4 x - - - - - H-L - 3 x + 4-3 x + 6 - - - - H-L - 2 Hier staat niets anders dan 2 x 2-7 x + 4 = H2 x - 3LHx - 2L - 2. Anders gezegd 2 x2-7 x+4 x-2 = 2 x - 3 + -2 x-2.
6 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.6 Samenvatting Laat phxl en dhxl twee polynomen zijn met dhxl 0. Het polynoom dhxl is de deler. Dan bestaan er eenduidige polynomen qhxl, het quotiënt, en rhxl, de rest, zodanig dat (1) phxl = qhxl dhxl + rhxl, (2) deghrl < deghdl of rhxl = 0 Merk op dat phxl dhxl = qhxl + rhxl dhxl.
Basiswiskunde_Week_2_1.nb 7 P.6 Wortels en nulpunten Het getal a is een nulpunt van phxl als phal = 0. Een wortel/oplossing van de vgl phxl = 0 is een nulpunt van phxl. Het omgekeerde geldt ook. Laat a een getal zijn en phxl een polynoom. Dan bestaan er een quotiënt qhxl en getal r 0 zodanig dat phxl = qhxlhx -al + r 0. Laat zien dat r 0 = phal. Gevolg: Als a een nulpunt van phxl is, dan is phxl = qhxlhx -al. Het omgekeerde geldt ook. é Opm 1: Een polynoom van de graad n met n œ N, heeft hooguit n nulpunten. é Opm 2: Laat k in N. Als phxl = Hx -al k qhxl en qhal 0, dan is a een nulpunt met multipliciteit k.
8 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.6 Kwadratische polynomen Laat phxl = ax 2 + bx+ c met a 0 en b 2-4 ac 0. De nulpunten van phxl zijn x 1 = -b- b2-4 ac 2 a en x 2 = -b+ b2-4 ac 2 a Laat zien dat ax 2 + bx+ c = ahx - x 1 LHx - x 2 L.
Basiswiskunde_Week_2_1.nb 9 P.6 Voorbeeld 1 Beschouw phxl = x 3-1. Geef alle reële oplossingen van phxl = 0 In ieder geval is x = 1 een oplossing. Dus phxl is deelbaar door Hx - 1L. Het blijkt dat phxl = Hx - 1LIx 2 + x + 1M Er is één reële oplossing x = 1. positief definiet
10 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.6 Voorbeeld 2 Beschouw phxl = x 3-3 x 2-10 x + 24. Geef alle reële oplossingen van phxl = 0 Probeer x = 1, -1, 2, -2, maar niet teveel Via proberen blijkt dat ph2l = 0. Dus phxl is deelbaar door Hx - 2L. Het blijkt dat phxl = Hx - 2LIx 2 - x - 12M = 0. Nu is Ix 2 - x - 12M = Hx + 3LHx - 4L. Zodoende phxl = Hx - 2LHx + 3LHx - 4L Oplossingen zijn x = 2, x =-3 en x = 4.
Basiswiskunde_Week_2_1.nb 11 P.6 Voorbeeld 3 Beschouw phxl = x 4-2 x 3 + 5 x 2-8 x + 4. Geef alle reële oplossingen van phxl = 0 Via proberen blijkt dat ph1l = 0. Dus phxl is deelbaar door Hx - 1L. Het blijkt dat phxl = Hx - 1LIx 3 - x 2 + 4 x - 4M. Dus phxl = Hx - 1L 2 Ix 2 + 4M Oplossingen zijn x = 1, x = 1. Hx-1L is factor Het nulpunt x = 1 van phxl heeft multipliciteit 2.
12 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.7 Hoeken Grootte van hoek õ Gedeelte van cirkel 1 Hele cirkel komt overeen met 360 of 2 p radialen (2 p is lengte eenheidscirkel) Graden Radialen 0 0 30 π ê 6 45 π ê 4 60 π ê 3 90 π ê 2
Basiswiskunde_Week_2_1.nb 13 P.7 Rechthoekige driehoek De zijden hebben lengte a, b en c. c b j a pê2 Merk op: 0 <j<pê 2 coshjl = a c ; sinhjl = b c ; tanhjl = b a = sinhjl coshjl Opmerking 1: Vanwege Pythagoras ( c 2 = a 2 + b 2 ) geldt cos 2 HjL + sin 2 HjL = 1 Opmerking 2: cosj p 2 -jn = sinhjl, sinj p 2 -jn = coshjl en tanj p 2 -jn = 1 tanhjl
14 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.7 Speciale hoeken Gelijkbenige rechthoekige driehoek en gelijkzijdige driehoek: 2 1 2 é é 2 3 1 pê2 + + 1 1 cosj p 4 N = sinj p 4 N = 1 2 = 1 2 2, tanj p 4 N = 1 cosj p 3 N = 1 2 = sinj p 6 N, sinj p 3 N = 1 2 3 = cosj p 6 N, tanj p 6 N = 1 3, tanj p 3 N = 3
Basiswiskunde_Week_2_1.nb 15 P.7 Uitbreiding Y 1.0 y 0.5 P j -1.0-0.5 0.5 1.0 x X -0.5-1.0 Merk op dat in eerste kwadrant geldt dat x = coshjl en y = sinhjl 1 1 Hoek j ; > 0, tegen klok in < 0, met klok mee Afspraak: bij iedere j uit R geldt voor PHx, yl dat x = coshjl en y = sinhjl. Voor alle j in R geldt dat coshj+2pl = coshjl en sinhj+2pl = sinhjl. Er geldt cosh0l = 1, sinh0l = 0, cosj p N = 0, sinj p N = 1 2 2
16 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.7 Symmetrie Punt PH coshjl, sinhjll wordt gespiegeld en komt in P terecht. Spiegelen aan x-as: P wordt H coshjl, -sinhjll ofwel H cosh-jl, sinh-jll Voor alle j geldt cosh-jl = coshjl sinh-jl =-sinhjl Spiegelen aan y-as: P wordt H -coshjl, sinhjll ofwel H coshp-jl, sinhp-jll Voor alle j geldt coshp-jl =-coshjl sinhp-jl = sinhjl Spiegelen aan lijn x = y: P wordt H sinhjl, coshjll ofwel J cosj p 2 -jn, sinj p 2 -jnn Voor alle j geldt cosj p 2 -jn = sinhjl sinj p 2 -jn = coshjl
Basiswiskunde_Week_2_1.nb 17 P.7 Oplossen van vergelijkingen De hoek a is gegeven. Gezocht alle j met coshjl = coshal. a+2k p, k in Z Dan j=; -a + 2 k p, k in Z Gezocht alle j met sinhjl = sinhal. a+2k p, k in Z Dan j=; p-a+2k p, k in Z Gezocht alle j met sinhjl = coshal. Dan j=?
18 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.7 Eigenschappen A A B b c a a g b C B b c a h g b C a+b+g=p De sinusregel: sinhal a = sinhbl b = sinhgl. c De cosinusregel: c 2 = a 2 + b 2-2 abcoshgl etc. Bewijs via Pythagoras generalisatie van de stelling van Pythagoras
Basiswiskunde_Week_2_1.nb 19 P.7 Somformules Voor alle x en y in R geldt (1) coshx - yl = coshxl coshyl + sinhxl sinhyl (2) coshx + yl = coshxl coshyl - sinhxl sinhyl (3) sinhx + yl = sinhxl coshyl + coshxl sinhyl (4) sinhx - yl = sinhxl coshyl - coshxl sinhyl Opmerkingen: (1) Via cosinusregel (2) Vervang y door -y in identiteit (1) (3) Vervang x door J p - xn in identiteit (1) 2 (4) Vervang y door -y in identiteit (3)
20 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.7 Verdubbelingsformules sinh2 xl = 2 sinhxl coshxl cosh2 xl = cos 2 HxL - sin 2 HxL 2 cos 2 HxL - 1 1-2 sin 2 HxL Gevolg: cos 2 HxL = 1 2 + 1 2 cosh2 xl en sin2 HxL = 1 2-1 2 cosh2 xl Gebruik: õ
Basiswiskunde_Week_2_1.nb 21 P.7 Tangens Y 1.0 0.5 1 tanhjl j -1.0-0.5 0.5 1.0 1.5 X -0.5 6 4 2-2 -2 2 4 6-4 -6-1.0 Opmerking 1: tanhx +pl = tanhxl voor alle x in DHtanL. Opmerking 2: tan HxL = 1 cos 2 HxL
22 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.7 Voorbeeld 1 Gegeven hoek j met coshjl = 1 en -p<j<0. 3 Bepaal sinhjl, tanhjl en sinh2 jl. Weg
Basiswiskunde_Week_2_1.nb 23 P.7 Voorbeeld 2 Bepaal alle j met sinhjl = 1 2. Merk op dat 1 2 = sinj p 6 N. Dus j= p 6 + 2 k p of j= 5 6 p+2 k p, k in Z.
24 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.7 Voorbeeld 3 Gegeven tanhjl = 2. Welke waarden heeft sinhjl? Er geldt sinhjl = 2 coshjl en cos 2 HjL + sin 2 HjL = 1. Dus cos 2 HjL = 1 en 5 sin2 HjL = 4. 5 Antwoord sinhjl = 2 5 5.
Basiswiskunde_Week_2_1.nb 25 P.7 Voorbeeld 4 Bereken cosj p 12 N. p Merk op dat 2 ÿ = p. 12 6 Nu is cos 2 J p N = 1 + 1 cosj p N = 2+ 3 12 2 2 6 4. Dus cosj p 2+ 3 N =+ 12 2. ( Waarom +?)
26 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.7 Voorbeeld 5 Los op tanhjl = 2 sinh2 jl Herschrijven geeft sinhjl coshjl Dus sinhjlj1-4 cos2 HjLN coshjl = 0. - 4 sinhjl coshjl = 0. Gevolg: sinhjl = 0, coshjl = 1 2 of coshjl =-1 2. Oplossingen (1) j=k p (2) j= p 3 + 2 k p (3) j= 2 p 3 + 2 k p met k in Z.
Basiswiskunde_Week_2_1.nb 27 P.7 Voorbeeld 6 Laat zien dat sinh2 xl 1+cosH2 xl = tanhxl. sinh2 xl 1+cosH2 xl = 2 sinhxl coshxl 1+1-2 sin 2 HxL = 2 sinhxl coshxl 2 cos 2 HxL = tanhxl
28 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.7 Voorbeeld 7 Druk cosh3 jl uit in coshjl en sinhjl. cosh3 jl = cosh2 j+jl = cosh2 jl coshjl - sinh2 jl sinhjl = = cos 3 HjL - 3 sin 2 HjL coshjl