Vraagstukken van de tweede graad

Transcriptie

1 Vraagstukken van de tweede graad 1. Een getal en zijn tweedemacht hebben als som 90. Bepaal dat getal.. Bepaal twee opeenvolgende getallen waarvan de som van de kwadraten 365 is. 3. Verdeel het getal 37 in twee delen die 3 als product hebben. 4. e tweedemacht van een getal is 30 meer dan dit getal zelf. Bepaal dit getal. 5. oor welk natuurlijk getal moet men 333 delen om een quotiënt te bekomen dat tweemaal zo groot is als de rest en gelijk is aan de deler? 6. Een rechthoek heeft een omtrek van 14m en een diagonaal van 5m. Bereken lengte en breedte. 7. Bepaal x zodat driehoek PC rechthoekig is. 8. Een rechthoekig grasperk van 16m op 4m moet omboord worden met een bloemenstrook van constante breedte. Bepaal deze breedte zo dat de oppervlakte van de gehele tuin het dubbele is van de oppervlakte van het grasperk. 9. e som van twee getallen is 15. e som van hun kwadraten is 113. Bepaal die twee getallen. 10. Een bedrijf verdeelt een eenmalige premie van onder zijn 6 werknemers. Elke bediende krijgt 100 meer dan elke arbeider en de bedienden ontvangen samen tweemaal zoveel als de arbeiders. Hoeveel bedienden en hoeveel arbeiders zijn er tewerkgesteld in dit bedrijf? 11. e leden van visclub e gulden snoek betalen elke maand een gezamenlijke bijdrage van 84. Wegens onenigheid zijn 7 leden opgestapt. e maandelijkse bijdrage per persoon verhoogt hierdoor met om de totaalbijdrage per maand op 84 te houden. Hoeveel vissers telde de club voor de onenigheid?

2 OPLOSSINGEN 1. Een getal en zijn tweedemacht hebben als som 90. Bepaal dat getal. x: het getal x + x² 90 x² + x 90 0 b² - 4ac 1² - 4.(-90) b x 1 9 a b x -10 a Antwoord: het getal in 9 of -10. Bepaal twee opeenvolgende getallen waarvan de som van de kwadraten 365 is. x: het kleinste getal Andere onbekende: het grootste getal: x + 1 x² + (x+1)² 365 x² + x² + x x² + x x² + x 18 0 b² - 4ac 1² - 4.(-18) x 1 b a b x a Antwoord: de getallen zijn 13 en 14 en ook -14 en -13

3 3. Verdeel het getal 37 in twee delen die 3 als product hebben. x: het eerste getal Andere onbekende: het tweede getal: 37 x x(37 x) 3 37x x² x² + 37x 3 0 b² - 4ac 37² - 4.(-1)(-3) b x 1 14 a b x 3 a Antwoord: de getallen zijn 14 en 3 (of omgekeerd) 4. e tweedemacht van een getal is 30 meer dan dit getal zelf. Bepaal dit getal. x² x + 30 x² - x 30 0 x: het getal b² - 4ac (-1)² - 4.(-30) x 1 b a b x a Antwoord: het getal is 6 of

4 5. oor welk natuurlijk getal moet men 333 delen om een quotiënt te bekomen dat tweemaal zo groot is als de rest en gelijk is aan de deler? Hier moet je weten wat het verband is tussen deeltal, deler, quotiën en rest. at verband is: Andere onbekenden: 333 x.(x) + x 333 4x² + x 4x² + x a d.q + r (het getal is deler maal quotiënt plus rest.) x: de rest het quotiënt: x de deler: x b² - 4ac 1² (-333) x 1 b a b x a (geen natuurlijk getal) Antwoord: de rest is 9, en de deler is 18. (het quotiënt is dan ook 18) Want Een rechthoek heeft een omtrek van 14m en een diagonaal van 5m. Bereken lengte en breedte. Andere onbekenden: x: de lengte de breedte: 14 x 7-x x² + (7-x)² 5² (Stelling van Pythagoras in een rechthoekige driehoek) x² x + x² 5 x² - 14x +4 0 x² - 7x b² - 4ac (-7)² x 1 b 7 1 a b x a Antwoord: de lengte is 3 en de breedte 4 m (of omgekeerd)

5 7. Bepaal x zodat driehoek dpc rechthoekig is. Andere onbekenden: x: de afstand AP PB 17 x PC AP ² AC² x² 4² (Pythagoras in ΔAPC) P BP² B² (17 - x)² 4² (Pythagoras in ΔAPC) (x² + 4²) +((17-x)² + 4² ) 17² (Pythagoras in ΔCP) x² x + x² x² -34x x² - 17x b² - 4ac (-17)² x 1 b a b x a 17 5 Antwoord: de zijde x is 1 of

6 8. Een rechthoekig grasperk van 16m op 4m moet omboord worden met een bloemenstrook van constante breedte. Bepaal deze breedte zo dat de oppervlakte van de gehele tuin het dubbele is van de oppervlakte van het grasperk. Andere onbekenden: (4+x)(16+x) x + 3x + 4x² 768 4x² + 80x x² + 0x 96 0 x: de breedte van de bloemenstrook lengte tuin met de bloemenstrook: 4 + x breedte tuin met de bloemenstrook: 16 + x b² - 4ac 0² - 4.(-96) x1 b a b x a (Lengte * breedte grote rechthoek is dubbel van oppervlakte van kleine rechthoek want de oppervlakte van het gras en van de bloemen is gelijk) (geen oplossing) Antwoord: wanneer de bloemenstrook 4 m breed is, is de oppervlakte van de bloemenstrook gelijk aan de oppervlakte van het grasveld, en dus is het grasveld dan de helft van de totale oppervlakte van de tuin.

7 9. e som van twee getallen is 15. e som van hun kwadraten is 113. Bepaal die twee getallen. x: eerste getal Vergelijking x² + (15-x)² 113 x² x + x² 113 x² - 30x x² - 15x b² - 4ac (-15)² x 1 b a x b a e getallen zijn 7 en 8 (of omgekeerd) 14 7

8 10. Een bedrijf verdeelt een eenmalige premie van onder zijn 6 werknemers. Elke bediende krijgt 100 meer dan elke arbeider en de bedienden ontvangen samen tweemaal zoveel als de arbeiders. Hoeveel bedienden en hoeveel arbeiders zijn er tewerkgesteld in dit bedrijf? Wanneer de bedienden samen dubbel zoveel krijgen als de arbeiders, betekent dat dat de arbeiders 4000 euro krijgen (1000:3), en de bedienden 8000 (het dubbele ervan) Andere onbekende: x: aantal arbeiders premie arbeider: 4000 x aantal bedienden: 6 x premie bediende: x Vergelijking x (Elke bediende krijgt 100 euro meer dan een arbeider) x 8000x 4000(6 x) 100x(6 x) x(6 x) x(6 x) 8000x x + 600x 100x² 100x² x x² + 94x b² - 4ac 94² - 4.(-1040) x 1 b a x b a (geen oplossing) Antwoord: er zijn 10 arbeiders en (6-10 ) 16 bedienden. (e arbeiders krijgen ieder 400 euro en de bedienden 500)

9 11. e leden van visclub e gulden snoek betalen elke maand een gezamenlijke bijdrage van 84. Wegens onenigheid zijn 7 leden opgestapt. e maandelijkse bijdrage per persoon verhoogt hierdoor met om de totaalbijdrage per maand op 84 te houden. Hoeveel vissers telde de club voor de onenigheid? x: aantal leden vroeger Andere onbekende: aantal leden nu: x-7 Vergelijking 84 x x bijdrage vroeger: bijdrage nu: 84x 84(x 7) x(x 7) x(x 7) x(x 7) 84x 84x x² - 14x x² - 14x x² - 7x x 7 84 x b² - 4ac (-7)² - 4(-94) x 1 b a x b a (geen oplossing) Antwoord: er waren eerst 1 leden. (Nu nog 14, vroeger betaalden ze ieder 84/1 4 euro, nu 6 euro per lid)