Hoofdstuk 13 Limieten en Asymptoten (V6 Wis B) Pagina 1 van 13 Paragraaf 13.0 : Limieten en absolute waarde Definitie absoluuttekens pp = { p absoluut of de absolute waarde van p } pp = { altijd positief } pp aaaaaa pp 0 pp = pp aaaaaa pp < 0 Teken de grafiek van ff() = 10 10 aaaaaa 10 0 10 = (10 ) aaaaaa 10 < 0 10 aaaaaa 10 10 = 10 + aaaaaa < 10 oftewel oftewel 10 aaaaaa 5 10 = 10 + aaaaaa > 5 Dit geeft de volgende grafiek
Hoofdstuk 13 Limieten en Asymptoten (V6 Wis B) Pagina van 13 Definitie Asymptoten Er zijn twee soorten asymptoten : (1) Horizontale Asymptoot (HA) lim ff() oooo lim Vergelijking : y = getal ff() () Verticale Asymptoot (VA) Noemer = 0 Vergelijking : x = getal (d.w.z. voor x een groot getal invullen) Bepaal alle asymptoten en schets de grafiek van ff() = 60 4 3+6 Eerst de formule splitsen : ff() = 60 4 3+6 6 4 (3+6) aaaaaa 3 + 6 0 aaaaaa 3 + 6 < 0 oftewel ff() = 60 4 3+6 60 4 3 6 aaaaaa aaaaaa < Nu kun je pas de asymptoten bepalen (1) Horizontale Asymptoot (HA) 60 4 1. lim 60 4 3+6 3+ 6 = 60 0 = 0 3+0 Dus HA : y = 0 60 4. lim 60 4 3 6 3 6 = 60 0 = 0 3 0 Dus HA : y = -0 () Verticale Asymptoot (VA) 3x + 6 = 0 x = -. Dus VA : x = -
Hoofdstuk 13 Limieten en Asymptoten (V6 Wis B) Pagina 3 van 13 Nu kun je de grafiek tekenen :
Hoofdstuk 13 Limieten en Asymptoten (V6 Wis B) Pagina 4 van 13 Paragraaf 13.1 : Evenredigheid en inverse Les 1 : Evenredigheid Definities (1) y is evenredig met x yy = aa () y is omgekeerd evenredig met yy = aa Gegeven is dat + y omgekeerd evenredig is met Stel de formule van y op in de vorm yy = aaaa+bb cccc+dd 5. Voor x = 3 is y = 0,. (1) Omgekeerd evenredig dus + y = aa 5 + y = aa 5 1 + y = aa( 5) y = aaaa 5aa. Dit gaan we omschrijven () Je weet dat bij x = 3 is y = 0,, Invullen geeft : 0, = 3aa 5aa 3, = aa 3 6,6 = aa aa = 3,3 (3) Vul dit in bij de formule van (1) : y = 3,3+16,5 y = 3,3+16,5 y = 5,3+16,5
Hoofdstuk 13 Limieten en Asymptoten (V6 Wis B) Pagina 5 van 13 Les : Inverse Definitie (1) De grafieken van f en f inv zijn elkaars spiegelbeeld in y = x () De inverse van f en f heffen elkaar op, dus finv van f(3) is 3. (3) Voorbeelden : ff() = ff iiiiii () = ff() = ee ff iiiiii () = ln () (4) De snijpunten van f en f inv liggen op de lijn y = x. Dit betekent dat je deze kunt berekenen door f(x) = x op te lossen!!! (of f inv = x) Gegeven is de functie ff() = + 3 a. Bereken de inverse van f. b. De grafieken snijden elkaar in de punten A en B. Bereken exact deze coördinaten. a. De inverse bereken je door de x en de y te verwisselen en deze weer te schrijven als y = : yy = + 3 = + yy yy 3 = yy yy 3 ( )(yy 3) = yy 3 yy + 6 = yy 4yy = 3 6 yy( 4) = 3 6 yy = 3 6 4 Dus ff iiiiii () = 3 6 4 b. + = (of 3 6 = ) 3 4 = 3 ( )( 3) = 7 + 6 = 0 ( 1)( 6) = 0 = 1 vv = 6 Dus A(1,1) en B(6,6)
Hoofdstuk 13 Limieten en Asymptoten (V6 Wis B) Pagina 6 van 13 Paragraaf 13. : Asymptoten Definitie Asymptoten Er zijn eigenlijk drie soorten asymptoten : (1) Horizontale Asymptoot (HA) lim ff() = gggggggggg oooo lim () Verticale Asymptoot (VA) Noemer = 0 ff() = gggggggggg (3) Scheve Asymptoot (SA) ff() = ± lim ± Macht teller = Macht noemer + 1 SA bepalen m.b.v. een staartdeling Opmerking Als een grafiek een HA heeft is er geen SA en andersom!!! Gegeven is de functie ff() = 3 +8+9 +3 a. Stel de formule op van elke asymptoot van de grafiek van f. b. Bereken exact de extreme waarden van f. a. We kijken naar de asymptoten. Omdat de teller één hoger is dan de noemer is er een SA en GEEN HA : () VA x + 3 = 0 x = -3 (3) Scheve Asymptoot (SA) (Gebruik een staartdeling) + 3 /3 + 8 + 9\ 3 1 3 + 9 1 + 9 1 3 +1 Dus ff() = 3 1 + 1 Omdat lim +3 1 = lim ± +3 ± 1 1+ 3 = 0 = 0 is er een SA : yy = 3 1. 1+0
Hoofdstuk 13 Limieten en Asymptoten (V6 Wis B) Pagina 7 van 13 b. Toppen bepalen : ff() = 3 1 + 1 = 3 1 + 1( + 3) 1 +3 ff`() = 3 1( + 3) = 3 1 = 0 (+3) 1 = 3 (+3) 3( + 3) = 1 3 18 7 = 1 3 18 15 = 0 + 6 + 5 = 0 ( + 1)( + 5) = 0 + 1 = 0 + 5 = 0 = 1 = 5 max is f(-5) = -0 min is f(-1) = 0
Hoofdstuk 13 Limieten en Asymptoten (V6 Wis B) Pagina 8 van 13 Paragraaf 13.3 : Limieten en perforaties Les 1 Continuïteit Definitie Asymptoten Een functie is continu als linkerlimiet = rechterlimiet oftewel lim ff() = lim ff() = cc aa aa Er geldt dan dat ff(aa) = cc Gegeven ff() = 10 aa aaaaaa < 3 sin 1 ππππ + 8 aaaaaa 3 Bereken voor welke a f(x) continu is. Geef ook de coördinaten van de perforatie. De limieten moeten gelijk zijn : (1) lim 3 ff() = lim 3 10 aa = 10 3 aa = 90 aa () lim ff() = lim sin 1 ππππ + 8 = sin 3 3 1 ππ 3 + 8 = 1 + 8 = 7 Dus 90 aa = 7 aa = 83 Perforatie = (3,7)
Hoofdstuk 13 Limieten en Asymptoten (V6 Wis B) Pagina 9 van 13 Les Perforaties en asymptoten Definitie gebroken functie en = 0 Bij een gebroken functie ff() = tttttttttttt = tt() nnnnnnnnnnnn nn() worden : (1) Teller = 0 en noemer 0 Snijpunten met de x-as () Teller 0 en noemer = 0 Verticale asymptoot (3) Teller = 0 en noemer = 0 Perforatie kunnen 3 gevallen onderscheiden Gegeven is de functie ff() = 4 9+5 +aa. Bereken de waarde(n) van a waarvoor er een perforatie kan optreden. Bereken ook het bijbehorende punt. Voor een Perforatie geldt : Noemer = 0 en Teller = 0. + aa = 0 4 9 + 5 = 0 (1) Je kunt de x-en berekenen bij de Teller : 4 9 + 5 = 0 9 4 + 5 4 = 0 ( 5 )( 1) = 0 4 = 5 4 vv = 1 () Invullen in de Noemer geeft de waarden van a : = 5 5 10 + aa = 0 aa = = 1 4 4 4 = 1 1 + aa = 0 aa =
Hoofdstuk 13 Limieten en Asymptoten (V6 Wis B) Pagina 10 van 13 Nu per stuk even uitrekenen : (3) aa = = 1 ff() = 4 9 + 5 = 4 9 4 + 5 4 ( 1) lim ff() = lim 1 = 1 = 1 1 1 = 4( 1) 5 4 ( 1) Dus punt = (1, -½) = 4 5 4 = 1 (4) aa = 1 = 1 1 4 ff() = 4 9 + 5 1 = 4 9 4 + 5 4 4( 1) 5 1 1 = 4 4( 1) 4 5 = = 4 lim ff() = lim = 1 = 1 1 1 1 1 4 4 Dus punt = (1¼, ½) Opmerking Als in de teller ook een a staat werkt deze methode niet. Dan is het beter om de x uit te drukken in a en deze in de teller in te vullen. Voorbeeld Gegeven is de functie ff() = 4 9 aa. +aa Bereken de waarde(n) van a waarvoor er een perforatie kan optreden. Bereken ook het bijbehorende punt. Oplossing Druk x uit in a en los op : (1) Noemer = 0 + aa = 0 = aa = 1 aa () = 1 aa invullen in Teller = 0: 4 9 aa = 0 4 1 aa 9 1 aa aa = 0 aa + 1 aa = 0 aa(aa + 1 ) = 0 aa = 0 vv aa = 1 Nu kun je per stuk de x-en en de perforatie uitrekenen.
Hoofdstuk 13 Limieten en Asymptoten (V6 Wis B) Pagina 11 van 13 Paragraaf 13.4 : Limieten bij exponentiële / logaritmische Eigenschappen ff() = aa (oooo ee ) (1) Groeifactor g < 1 () Groeifactor g > 1 ( ook e x ) (3) Bij het berekenen van de horizontale asymptoten (limieten naar ± ) moet je delen door de hoogste macht van aa Gegeven is de functie ff() = ee 1. Bereken de asymptoten. ee ee (1) VA noemer = 0 Λ teller 0 ee ee = 0 Λ ee 1 0 ee = ee 1 Verticale asymptoot: x = 1 () HA lim ff() = lim ee 1 = 0 1 = 1 ee ee 0 ee ee ee lim ff() = lim 1 = lim ee ee 1 ee 1 ee ee = 0 1 0 = yy = ee ee = 0 1 ee = ee Horizontale asymptoten: yy = 1 ee eeee yy =
Hoofdstuk 13 Limieten en Asymptoten (V6 Wis B) Pagina 1 van 13 Eigenschappen ff() = gg llllll() (oooo llll()) (1) Groeifactor g < 1 () Groeifactor g > 1 ( ook e x ) lim 0 lim gg log () gg log () = en lim 0 = en lim gg log () gg log () = = (3) Bij het berekenen van de limieten met als uitkomst ± gg hoogste macht van log (). ± moet je delen door de Voorbeeld Gegeven is de functie ff() = ln ( ) ln() 1. a. Bereken de asymptoten. b. Bereken lim 0 ff(). Oplossing a. (1) VA: noemer = 0 Λ teller 0 ln() 1 = 0 Λ ln ( ) 0 ln() = 1 x = e verticale asymptoot: x = e yy = ln ()
Hoofdstuk 13 Limieten en Asymptoten (V6 Wis B) Pagina 13 van 13 () HA ln ( ) ln () lim ff() = lim = lim = lim ln() 1 x ln() 1 1 1 ln () = 1 0 = aaaaaa dddddd ln() eeee 1 = 0 { lim ff() bestaat niet want het domein van ln(x) = 0, } Horizontale asymptoot: yy = b. lim ff() = lim = lim 0 ln() 1 0 0 ln ( ) ln () ln() 1 = lim 0 1 1 ln () = 1 0 = aaaaaa 0 dddddd ln() eeee 1 = 0