Havo D eel Uitwerkingen Moerne wiskune Hoofstuk - Differentiëren Blazije a Het water steeg het harst op e tijstippen waarij e grafiek het steilst loopt. Dat is om ongeveer 7 uur s ohtens en om 7 uur s avons Die aling verliep niet stees even snel, want an zou e grafiek overal even steil zijn en us een rehte lijn zijn. Om 0 uur, uur en uur weren e hoogste en laagste waterstanen ereikt. Op ie tijstippen aale of steeg het water niet. hoogte vershil in m 7 9 7 9 tij in uren e hoogte vershil in m 0 7 9 7 9 tij in uren a snelhei 0 0 0 O O 7 9 0 tij Langs e horizontale as hoort e tij in seonen en langs e vertiale as e snelhei in meter per seone. Als e auto tot stilstan is gekomen an is e snelhei gelijk aan nul meter per seone. Je moet us kijken waar e zojuist getekene grafiek e horizontale as snijt. a O 00 Wolters-Noorhoff v
Havo D eel Uitwerkingen Moerne wiskune Waar e grafiek van e afgeleie oven e horizontale as ligt is e helling positief en aar stijgt e grafiek van f. Aan e hellinggrafiek van f kun je zien at e grafiek van f links van aalt, want aar is e helling negatief. Rehts van is e helling positief en aar stijgt e grafiek van f, want aar ligt e grafiek van f oven e -as. Bij e overgang van alen naar stijgen ligt het laagste punt van e grafiek van f. Blazije 7 a helling 9 0 0 0 9 9 9 Waar e helling gelijk is aan nul liggen e toppen van e grafiek. Dat is ij 0 en ij. De grafiek van e afgeleie ligt oven e -as als < 0 en als >. Daar is e helling positief en stijgt e grafiek. a, De nulpunten van e hellingfuntie zijn e - oörinaten van e toppen van e grafiek van f. Bij het punt op e hellinggrafiek met - oörinaat nul is e helling een negatief getal. Daar aalt e grafiek van f en is er us geen top. O 7a, Dat punt zal zijn halverwege e afaling en net voor hij ten val komt. afgelege weg in km 70 0 0 0 0 0 0 0 0 tij in uren Wolters-Noorhoff v 0
Havo D eel Uitwerkingen Moerne wiskune Bij e linker hellinggrafiek Bij e mielste hellinggrafiek O Bij e rehter hellinggrafiek O O Blazije 9a Waar e hellinggrafiek e horizontale as snijt is een punt met helling nul. Daar is ook e top van f. Het ifferentiequotiënt is 0, 0,. In het punt (, ) van e grafiek 00, van f is e helling gelijk aan vier. Als je nauwkeurig e raaklijn tekent en e helling afleest, zie je at it klopt. Het ifferentiequotiënt is gelijk aan 0, 0, us e helling in het punt 00, (, 9) is ij enaering gelijk aan. Ook nu kun je weer e raaklijn tekenen en e helling aflezen. Je het twee keer een enaering uitgereken op een klein interval. Je kunt aaruit zo maar niet e onlusie trekken at het altij klopt. Bovenien zijn enaeringen geen eate antwooren. 0a In e tael is voor ahtereenvolgens gekozen: 0,0; 0,00; 0,000; 0,0000. Hoe kleiner, hoe kleiner het interval waarop je het ifferentiequotiënt uitrekent en us ook es te nauwkeuriger e enaering. interval ifferentiequotiënt [;,0],0 [;,00],00 [;,000],000 [;,0000],0000 0 Wolters-Noorhoff v
Havo D eel Uitwerkingen Moerne wiskune Blazije 9 a ( + ) + + ( ) + ( ) ( + ) + Als naar nul naert, naert het ifferentiequotiënt naar e eate helling. Aan e uitrukking van opraht a kun je zien at ie eate helling gelijk is aan. f( + ) ( + ) + + ( ) Als je het ifferentiequotiënt uitrekent op het interval [ +, ] krijg je ( + ) 9 + + ( ) 9 + ( ) ( + ) + Als naar nul naert, naert het ifferentiequotiënt naar, e eate helling in het punt (, 9). ( + ) + + ( ) + ( ) ( + ) +. Als naar nul naert, an naert het ifferentiequotiënt naar. Dus gelt f'( ). a 7 9 7 0 7 9 Een passene formule is. De grafiek van g is een rehte lijn, us in elk punt is e helling even groot. Aan het hellingsgetal kun je zien at e helling overal gelijk is aan. De formule is us g'( ) Het ifferentiequotiënt is ( + ) + ( + ) + + e De eate helling is us gelijk aan, want in e uitrukking van opraht komt geen meer voor. a f ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( +. + ( ))( + ) + + ( ) + ( ). Uit het antwoor op opraht a volgt: f ( + ) + + ( ) + ( ) f () + + ( ) + ( ). Als je e eerste term ahter het teken naar e linkerkant rengt, krijg je f ( + ) f() + ( ) + ( ) Deel eie kanten van e vergelijking uit opraht oor en je krijgt + ( ) + ( ) ( + ) + ( ) + + ( ). Wolters-Noorhoff v 0
Havo D eel Uitwerkingen Moerne wiskune Als je in e uitrukking van opraht naar nul laat naeren, an naeren e laatste twee termen naar nul en us gelt f'( ). Blazije 0 a Aan e tael kun je zien at e helling in e uurt van 0 een getal is at stees groter wort als je meer verfijnt. Het vermoeen is us at ie helling in e oorsprong zelf oneinig groot is. 7 O 0,0 0,0 0,0 0,0 a Voor zijn ahtereenvolgens gekozen: 0,0; 0,00; 0,000 en 0,0000. interval ifferentiequotiënt [0; 0,0] 0 [0; 0,00],77 [0; 0,000] 00 [0; 0,0000],77 Hoe kleiner gekozen wort, es te nauwkeuriger is e enaering. e f f 0+ 0 ( ) Als naar nul naert, an wort e noemer stees kleiner en aarmee neemt het ifferentiequotiënt oneperkt toe. Je kunt zeggen at e helling in e oorsprong oneinig groot is. In e oorsprong heeft e grafiek an ook een vertiale raaklijn. 0 Wolters-Noorhoff v
Havo D eel Uitwerkingen Moerne wiskune 7 In e onerstaane tael kun je zien at e helling in het ranpunt stees groter wort als je het interval stees kleiner maakt. Je kunt e helling in het ranpunt niet uitrekenen. De helling in het punt P is oneinig groot. interval ifferentiequotiënt [;,0] 0 [;,00],77 [;,000] 00 [;,0000],77 Blazije a De horizontale asmptoot is e -as met vergelijking 0 en e vertiale asmptoot is e -as met als vergelijking 0. In e tael hieroner kun je zien at e hellingen in e uurt van 0 heel kleine, negatieve getallen zijn. interval ifferentiequotiënt [0,0; 0,0] 000 [0,00; 0,00] 00 000 [0,000; 0,000] 0 000 000 [0,0000; 0,0000] 000 000 000 9a Het interval [ 0, ] kun je niet geruiken omat je an oner anere f( 0 ) uit moet rekenen, maar het getal nul hoort niet ij het omein van e funtie. Voor is ahtereenvolgens gekozen: 0,; 0,0; 0,00 en 0,000. interval ifferentiequotiënt [0,; 0,] 0 [0,0; 0,0] 000 [0,00; 0,00] 00 000 [0,000; 0,000] 0 000 000 Die helling wort een stees kleiner negatief getal als je ihter ij e -as in e uurt komt. 0a, ( ) Als naar nul naert, wort e noemer van e reuk een heel klein getal, terwijl e teller onstant is. Het ifferentiequotiënt wort us een heel klein negatief getal. In e uurt van e horizontale asmptoot is e helling van een geroken funtie een getal heel iht in e uurt van nul. Het kan een positief, maar ook een negatief getal zijn. Blazije a Het nulpunt van e hellingfuntie etekent voor e grafiek van f at aar een top is. Die top geeft een laagste punt van e grafiek van f. Dit kun je als volgt inzien: links van het nulpunt is e helling negatief en e grafiek van f aalt aar us en rehts van het nulpunt is e helling positief en stijgt e grafiek van f. Waar alen overgaat in stijgen evint zih e top. Wolters-Noorhoff v 0
Havo D eel Uitwerkingen Moerne wiskune O Als je grafiek van f ie ij opraht is geteken, naar oven of naar eneen vershuift lijft voor elke waare van e helling gelijk. Met anere wooren: ij zo n (vershoven) grafiek hoort ezelfe hellinggrafiek als ie van f. a Je moet letten op e nulpunten van e hellingfuntie. Als e helling in zo n nulpunt van teken wisselt, heeft e ijehorene grafiek een top. De grafiek van f heeft us toppen ij en ij. De grafiek van g heeft toppen ij, 0 en. De grafiek van een mogelijke funtie f: De grafiek van een mogelijke funtie g: 0 0 O 0 00 0 0 0 0 7 O 0 0 0 0 Dat komt omat er niet één maar een heleoel funties ezelfe hellinggrafiek heen. Beenk at je e grafiek van een funtie vertiaal kunt vershuiven; aarij veraneren e hellingen niet. a Voor aalt e grafiek van f, want e helling is aar negatief. Voor aalt e grafiek ook om ezelfe reen. 0,9 0, 0, O 0, 0, 0,9 0 Bij 0 is er geen top want alle - waaren in e uurt van 0 geven negatieve hellingen us e grafiek van f aalt alleen maar in e uurt van 0. Bij is wel een top want aar wisselt e helling van teken (van negatief naar positief) en us gaat e grafiek van f aar over van alen naar stijgen. Wolters-Noorhoff v
Havo D eel Uitwerkingen Moerne wiskune 0 O 0 0 0 0 0 0 7 e Als je e grafiek van f vertiaal vershuift, lijft e helling in elk punt ongewijzig. Daarom hoort ij zo n vershoven grafiek ezelfe hellinggrafiek. a Alle hellingen zijn us positieve getallen. Daar uit kun je afleien at e funtie g overal stijgen is. Voor waaren van ie ver van nul af liggen (positief zowel als negatief) is e helling vrijwel nul. Daar loopt e grafiek van g us vrijwel horizontaal. 0 0 0 Blazije a f'( ) O Het funtievoorshrift is f (). Hieroner zijn e grafiek geteken van e funties f () + en f (). O Wolters-Noorhoff v 07
Havo D eel Uitwerkingen Moerne wiskune 7a O Bij heeft e hellinggrafiek een nulpunt en e helling wisselt aar van teken. Hier uit kun je afleien at e grafiek van g in e uurt van overgaat van alen naar stijgen. De grafiek van g heeft us een top. O De vorm lijkt op e vorm van e stanaargrafiek. e Een passen funtievoorshrift is g () +. a Die hellingfuntie heeft het voorshrift f'( ). Een funtie ie aarij past is ijvooreel g (). Ook funties zoals g () of g () + heen ezelfe afgeleie funtie. 9a f'( ) en g'( ) Bijvooreel f () en g () +. 0a F () F () F () + F () + Blazije a O De vorm van e hellinggrafiek maakt uielijk at e helingfuntie waarshijnlijk ook weer een eponentiële funtie is., f 00, 0 opraht.,. De uitkomst is iets groter an ie uit e tael naast 0 Wolters-Noorhoff v
Havo D eel Uitwerkingen Moerne wiskune Uit e onerstaane tael lei je af at e uitkomsten heel iht ij elkaar liggen. reuk 0, 0,777 0,0 0,9797 0,00 0,99 0,000 0,97 ( ) Als naar nul naert, gaat e reuk stees meer lijken op een getal in e uurt van 0,9 en us gelt f'( ) 0, 9. e De groeifator van f ' is ook en e eginhoeveelhei is ongeveer gelijk aan 0,9. + Op ezelfe manier als in opraht lijkt at ( ) Je maakt weer een tael van e waaren van e reuk : reuk 0,, 0,0,07 0,00,099 0,000,097 + De kleinste waare van h'( ), 097 geeft e nauwkeurigste enaering van e afgeleie. Blazije a helling 0 0,99 0, 0, 0, 0,7 0, 0,0 0,0 0,0 0,0 0,07 0,0 0,00 7 0,007 0,00 0,009 0,007 9 0,009 0,00 0 0,0009 0,0007 Je krijgt het vermoeen at e hellingfuntie weer een eponentiële funtie is. De grafiek lijkt op e grafiek van g als je ie spiegelt in e -as. Uit e tael volgt at e groeifator van e hellingfuntie weer is. De eginhoeveelhei 0, 9 lees je af ij 0. De vermoeelijke formule is g'( ) 0, 9 () e Voor het ewijs ereken je het ifferentiequotiënt op het interval [, + ]. + () () () () () ()(( ) ) () () In e reuk van e laatste uitrukking moet je naar nul laten naeren. Als je voor een heel klein getal neemt,ijvooreel 0,00, an krijgt e reuk een waare ie ongeveer gelijk is aan 0, 9. Daarmee is het ewijs gelever. Wolters-Noorhoff v 09
Havo D eel Uitwerkingen Moerne wiskune a f'( ), 09 en g'( ), 09 () De startwaaren van eie afgeleien zijn elkaars tegengestelen. Als je e grafieken van f en g ekijkt, lijkt at overal e helling van e ene grafiek het tegengestele is van e helling van e anere grafiek. Omat it voor elke waare van gelt, is e ene afgeleie ook het tegengestele van e anere afgeleie. f'( ), 09 en g'( ), 09 (). Ook hier zijn e afgeleien elkaars tegengestele om ezelfe reen ie in opraht is aangegeven. De afgeleien zijn elkaars tegengestele. + ( ) ( ) Kies voor e waare 0,00 en voor e waare 0. Je krijgt an een enaering van f '( 0 ). Je vint f '( 0), Blazije 7 Je moet e vergelijking ( ) 0 oplossen. Daaruit volgt 0 of us 0 en 9 zijn e nulpunten. Als f ()< 0 an ligt e grafiek van f oner e -as. Dit is het geval als > 9. Er gelt: f f( ) f() 0. Als naar nul naert, an naert ook e uitrukking naar nul en us naert het ifferentiequotiënt naar. e De helling van e raaklijn in e oorsprong is us gelijk aan. De vergelijking van e f raaklijn in O is an. Op het interval [9; 9,0] gelt: f(, 90) f( 9), 0 00, Op het interval [9; 9,00] gelt: f(, 9 00) f( 9), 00 0, 00 Op het interval [9; 9,000] gelt: f(, 9 000) f( 9), 000 0, 000 g Het vermoeen is at e helling in punt P gelijk is aan,. h Een vergelijking van e raaklijn is, ( 9). i O 7 a t, t + s(t) 0, t + t ( t + t) + ( t + t) t + t + t + 0t t + ( t) ( t + ) + ( t + ) t + t + 0 Wolters-Noorhoff v
Havo D eel Uitwerkingen Moerne wiskune s st ( + t) s() t t + t+ t+ 0t t + ( t) ( t+ t ) t t t t+ 0t t+ ( t) t + 0t t + ( t) + 0t+ t t t t t Als t naar nul naert, an naert het ifferentiequotiënt naar + 0t. In opraht he je e afgeleie gevonen ie op elk tijstip e snelhei geeft van het vallene voorwerp in meter per seone. 9 Het snijpunt met e -as is het punt (0, ). De helling van e raaklijn in at punt is gelijk aan f '( 0 ). De afgeleie waare ie je noig het is preies e startwaare van e afgeleie. Een enaering van e helling krijg je us oor voor een klein getal (ijvooreel 0,00) in te vullen in e reuk () 0, 0.. Je vint als uitkomst ongeveer Blazije 7 0a F'( ) + + f ( ) De oppervlakte van e vierhoek is gelijk aan en e oppervlakte van e riehoek is gelijk aan asis hoogte. De vierhoek AKLD heeft us als oppervlakte +. Als je voor het getal kiest, vallen e punten A en K samen. De vierhoek AKLD is an een lijnstuk. De oppervlakte is an us gelijk aan nul. Als je op ezelfe manier te werk gaat als in opraht 0, is e oppervlakte van e rehthoek gelijk aan + en e reete is gelijk aan. De oppervlakte van e rehthoek is us ( + ) +. De asis van e riehoek heeft lengte + en e hoogte is het vershil van e -oörinaten van e punten L en D. Dat vershil is ( + ) +. De oppervlakte van e riehoek is us ( + )( + ) + + + + De oppervlakte van vierhoek AKLD is ( + + ) + ( + ) + + e O'( ). + + f (), us O is een primitieve van f. f Omat G een primitieve is van g moet voor elke waare van gelen at a + +. Door eie uitrukkingen te vergelijken vin je at a us a en. Als je invult krijg je a ( ) + + 0. Dit geeft a + 0 of a+ +. g Je moet voor het getal invullen om e oppervlakte van het vlakeel te krijgen. h De oppervlakte is gelijk aan O( ) + + 7 a De funtie stijgt op het interval, en aalt op het interval [,. Bij wisselt e helling van teken (links ervan is e helling negatief en rehts ervan positief). Dat etekent at e funtie ij overgaat van alen naar stijgen en us is er een top. In e omgeving van 0 is e helling positief us e funtie stijgt aar alleen maar en er is geen overgang van stijgen naar alen of anersom. Daarom is er geen top ij 0. Wolters-Noorhoff v
Havo D eel Uitwerkingen Moerne wiskune 0 O De top in e hellinggrafiek is het punt op e grafiek van f met een maimale helling. Blazije 0 T-a 0, 0, 0, 0, O 0, 0, 0,,,,, In e uurt van 0 aalt e grafiek van f. Dat kun je zien oorat aar e hellingfuntie negatieve waaren aanneemt. In wisselt e helling van teken. De grafiek van f gaat aar over van alen naar stijgen en heeft ij een top. Een interval waarop e funtie stijgt is,, want aar is e helling positief. e O f Op het interval, is er een punt op e grafiek van f met minimale helling. De raaklijn loopt aar zo steil mogelijk ahterover. T-a ( + ) ( + ) ( + ) ( + + ( ))( + + ( ) ) + + ( ) + + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) + ( ). Wolters-Noorhoff v
Havo D eel Uitwerkingen Moerne wiskune + + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + ( ) + ( ). Als naar nul naert, naert het ifferentiequotiënt naar. Alle overige termen evatten één of meer fatoren en naeren us allemaal naar nul. T-a De grafiek van funtie f aalt op zijn omein. Dat etekent at alle hellingen negatieve getallen zijn en us ligt e hele hellinggrafiek oner e -as. Op het interval [0,0: 0,] : f(, 0) f( 00, ), 9 09, Op het interval [0,0; 0,09] : f(, 009) f( 0, 0) 9, 7 00, Op het interval [0,0; 0,0] : f(, 00) f( 0, 0), 7 00, Als 0, an is e helling f(, 0 0) f( 0, 00),. 0, 00 Als 0< < 0, zijn e hellingen nog kleiner want e grafiek van f loopt aar nog steiler. De helling neemt us waaren aan van het interval,,. Het vermoeen is at e helling van e grafiek in ie punten een heel klein negatief getal is. Blazije T- a F () H () G (), K () 0, 9 T-a 0, 0, O 0, 0, Je het geleer at e afgeleien van, en eponentiële funties zijn met ezelfe groeifator, maar met als startwaare een getal at van e groeifator afhangt. In paragraaf - he je e startwaaren van e afgeleien van, en ereken en aarmee he je a, en ereken. Dus a 0, 9,, 09 en, Je kunt met je rekenmahine e top van e grafiek van f epalen, want aar is e helling gelijk aan nul. Je vint als top het punt (0,9;,). De gevraage waare van is us 0,9. Wolters-Noorhoff v
Havo D eel Uitwerkingen Moerne wiskune T-a O Dan geeurt er met e hellinggrafiek niets: voor elke waare van lijft e helling gelijk. In e uurt van 0 heeft e hellinggrafiek een top, us e grafiek van g een punt met een maimale helling. Op ezelfe manier kun je aan het al in e hellinggrafiek zien at e grafiek van g tussen en een punt heeft met een minimale helling. Dat zijn e nulpunten van e hellingfuntie. T-7a Het omein van h is 0,. O 0 7 De asmptoten van e grafiek van h zijn e lijnen 0 en 0. Het omein van e hellingfuntie is 0,, want voor elke waare van uit het omein van h kun je e helling erekenen. Het ereik van e hellingfuntie is het interval,0, want alle hellingen zijn positief terwijl e helling stees meer afneemt als toeneemt. Op en uur wort e helling ijna gelijk aan nul. Wolters-Noorhoff v