differentiaalvergelijkingen
|
|
- David Claessens
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 5 Lineaire ifferentiaalvergelijkingen t Een voorbeel van een continu eponentieel groeimoel, gegeven oor e ifferentiaalvergelijking y (t) = ay(t). Hier is y(0) = 0 en a = t Een voorbeel van een geempte trilling bij een massa-veersysteem met als ifferentiaalvergelijking mu (t) + u (t) + ku(t) = 0. Hier is m =, = 0., k = 0 genomen met beginwaaren u(0) = 95 en u (0) =. 54 Jan van e Craats: Complee getallen voor wiskune D
2 Inleiing Inleiing Een vergelijking waarin naast een functie y(t) ook nog een of meer afgeleien van y(t) voorkomen, heet een ifferentiaalvergelijking. Een van e eenvouigste voorbeelen is e ifferentiaalvergelijking y (t) = ay(t) ie voor a > 0 continue eponentiële groei moelleert. Een oplossing is een functie y(t) ie voor alle t aan e ifferentiaalvergelijking voloet. In het algemeen zijn er oneinig veel oplossingen, ie in it geval allemaal van e vorm y(t) = A e at zijn. Een startwaare, bijvoorbeel y(0), legt e constante A vast. In it hoofstuk behanelen we zogenaame lineaire ifferentiaalvergelijkingen van e tweee ore, at wil zeggen at er naast y(t) ook nog e eerste afgeleie y t) en e tweee afgeleie y (t) in voorkomen. Een natuurkunig voorbeel waarin zo n ifferentiaalvergelijking gebruikt wort, is het zogenaame massaveersysteem. Stel at een puntmassa m bevestig is aan een veer met veerconstante k en k een emper met wrijvingsfactor. Oner u(t) verstaan we e uitwijking van m u(t) e massa vanuit e evenwichtsstan op tijstip t. De massa is an onerhevig aan twee terugrijvene krachten: e veerkracht ie evenreig is aan e uitwijking u(t) en e empingskracht ie evenreig is met e snelhei u (t). Volgens e wet van Newton is e som van ie krachten gelijk aan e massa m maal e versnelling u (t), us mu (t) = ku(t) u (t) oftewel mu (t) + u (t) + ku(t) = 0 Wanneer men zo n systeem op t = 0 een bepaale beginuitwijking u(0) en beginsnelhei u (0) geeft, zal het een geempte trilling gaan uitvoeren. Een aner voorbeel komt uit e electrotechniek. In een stroomkring zijn een weerstan R, een conensator met capaciteit C en een inuctiespoel met zelfinuctie L C L in serie geschakel. We meten het spanningsverschil v(t) over e conensator. R Men kan aantonen at v(t) an voloet aan e ifferentiaalvergelijking LCv (t) + RCv (t) + v(t) = 0 Ook hier is het zo at het systeem bij gegeven beginwaaren v(0) en v 0) een geempte trilling gaat uitvoeren. In it hoofstuk zullen we algemene formules afleien voor e oplossingsfuncties van it soort ifferentiaalvergelijkingen. v(t) 55 bron: craats
3 5 Lineaire ifferentiaalvergelijkingen Hieroner zie je enige voorbeelen van grafieken van oplossingsfuncties van lineaire ifferentiaalvergelijkingen van e tweee ore van e vorm ay (t) + by (t) + cy(t) = 0 De grafieken geven een inruk van e grote verscheienhei aan verschijningsvormen van zulke oplossingsfuncties. Telkens zijn e waaren van a, b en c en e beginwaaren y(0) en y (0) gegeven t t a =, b =., c = 0. y(0) = 80, y (0) = 40 a =, b = 0.9, c = 0. y(0) =, y (0) = t t a =, b = 0.7, c = 0.5 y(0) = 50, y (0) = 40 a =, b = 0., c = 4 y(0) = 5, y (0) = 5 5. Bereken bij elk van e vier hierboven gegeven ifferentiaalvergelijkingen e wortels en e iscriminant van e karakteristieke vergelijking. 56 Jan van e Craats: Complee getallen voor wiskune D
4 Lineaire ifferentiaalvergelijkingen van ore Lineaire ifferentiaalvergelijkingen van ore Een ifferentiaalvergelijking van e vorm ay (t) + by (t) + cy(t) = 0 waarbij a, b en c willekeurige gegeven reële constanten zijn met a = 0, heet een lineaire ifferentiaalvergelijking van e tweee ore. Eigenlijk is e volleige term: lineaire homogene ifferentiaalvergelijking van e tweee ore met constante coëfficiënten maar wij zullen ie uitgebreie terminologie hier niet gebruiken en ook niet toelichten. Omat a = 0 is, kunnen we e vergelijking elen oor a, met anere wooren, we kunnen veronerstellen at a =. Met het oog op e vele toepassingen waarin a, b en c vaak een specifieke fysische betekenis hebben, zullen we it hier echter niet oen. We zullen in it hoofstuk een algemene oplossingsmethoe presenteren, at wil zeggen een methoe waarmee je een formule kunt vinen voor y(t) in termen van a, b en c en zekere startwaaren, ie hier e vorm hebben van y(0) = y 0 en y (0) = m 0. Met anere wooren, op het tijstip t = 0 zijn e functiewaare y(0) en e afgeleie y (0) gegeven. We zullen zien at aaroor e oplossingsfunctie y(t) volleig wort bepaal. Het iee is als volgt. We laten e startwaaren voorlopig even terzije, en concentreren ons op e ifferentiaalvergelijking zelf. Geïnspireer oor het continue eponentiële groeimoel proberen we of er oplossingsfuncties zijn van e vorm y(t) = e λt (λ is e Griekse letter lamba ). Invullen in e ifferentiaalvergelijking geeft an aλ e λt + bλe λt + ce λt = 0, oftewel, na elen oor e λt, aλ + bλ + c = 0 Dit is e karakteristieke vergelijking van e ifferentiaalvergelijking. Elke wortel λ geeft een oplossing e λt. Je ziet at in e karakteristieke vergelijking e variabele t niet meer voorkomt! Het is een zuiver algebraïsche vergelijking. De aar van e oplossingen wort bepaal oor het teken van e iscriminant D = b 4ac. Als D > 0 is, zijn e twee wortels reëel, als D = 0 zijn ze reëel en vallen ze samen, en als D < 0 zijn ze toegevoeg comple. We behanelen e rie gevallen D > 0, D = 0 en D < 0 aan e han van voorbeelen. Maar eerst merken we op at voor lineaire ifferentiaalvergelijkingen ook weer het superpositiebeginsel gelt: als y (t) en y (t) allebei oplossingsfuncties zijn, an is voor elke keuze van A en A ook e lineaire combinatie z(t) = A y (t) + A y (t) een oplossingsfunctie. Je kunt it zelf gemakkelijk nagaan. 57 bron: craats
5 5 Lineaire ifferentiaalvergelijkingen 5. Bepaal e oplossingsfunctie van elk van e volgene ifferentiaalvergelijkingen met e gegeven startwaaren. a. y (t) y (t) y(t) = 0, y(0) =, y (0) = b. y (t) + 3y (t) + y(t) = 0, y(0) =, y (0) = 0 c. y (t) + y (t) y(t) = 0, y(0) = 0, y (0) =. y (t) + 5y (t) + 6y(t) = 0, y(0) =, y (0) = e. 6y (t) + 5y (t) + y(t) = 0, y(0) = 0, y (0) = 5.3 Bepaal e oplossingsfunctie van elk van e volgene ifferentiaalvergelijkingen met e gegeven startwaaren. a. y (t) y (t) + 4 y(t) = 0, y(0) =, y (0) = b. y (t) + 6y (t) + 9y(t) = 0, y(0) =, y (0) = c. y (t) + y (t) + y(t) = 0, y(0) = 0, y (0) =. 4y (t) + 4y (t) + y(t) = 0, y(0) =, y (0) = e. y (t) y (t) + y(t) = 0, y(0) =, y (0) = In eze opgave leer je e achtergron van e op e tegenoverliggene blazije gegeven oplossingsmethoe voor het geval D = 0. Stel voor het gemak at e ifferentiaalvergelijking e volgene vorm heeft y (t) py (t) + p y(t) = 0 De karakteristieke vergelijking λ pλ + p = 0 heeft iscriminant D = 0. De enige wortel is λ = p. Stel nu z(t) = e pt y(t), met anere wooren, y(t) = e pt z(t). Dat lijkt een vreeme truc, maar we zullen laten zien at e oorspronkelijke ifferentiaalvergelijking voor e functie y(t) hieroor getransformeer wort in een zeer eenvouig oplosbare ifferentiaalvergelijking voor z(t). En hebben we z(t) gevonen, an hebben we ook y(t) te pakken! a. Bereken y (t) en y (t) oor ifferentiëren met e prouctregel en e kettingregel van y(t) = e pt z(t). b. Laat hiermee zien at y (t) py (t) + p y(t) = e pt z (t) c. Conclueer hieruit at z(t) voloet aan e ifferentiaalvergelijking z (t) = 0 (beenk at een e-macht nooit nul is!).. Lei hieruit af at z(t) = A + A t voor zekere constanten A en A. (Hint: twee maal integreren.) e. Conclueer hieruit at e algemene oplossingsfunctie van e oorspronkelijke ifferentiaalvergelijking gelijk is aan y(t) = (A + A t) e pt 58 Jan van e Craats: Complee getallen voor wiskune D
6 Positieve iscriminant Positieve iscriminant Als D = b 4ac > 0 is, zijn er twee verschillene reële oplossingen λ en λ van e karakteristieke vergelijking, en e algemene oplossing heeft an e geaante Merk op at y(t) = A e λ t + A e λ t y (t) = λ A e λ t + λ A e λ t en us gelt y(0) = A + A en y (0) = λ A + λ A. Neem bijvoorbeel e ifferentiaalvergelijking y (t) y (t) y(t) = 0 De wortels van e karakteristieke vergelijking λ λ = 0 zijn λ = en λ =. Wanneer hierbij e startwaaren y(0) = en y (0) = gegeven zijn, kun je A en A oplossen uit e vergelijkingen A + A = en A A =. De oplossing van it stelsel is A = 3 en A = 4 3. De oplossingsfunctie is us y(t) = 3 e t e t Discriminant nul Als D = b 4ac = 0 is, is er maar één oplossing, namelijk λ = b a. Naast e basisoplossingsfunctie y (t) = e λt is er an ook een basisoplossingsfunctie y (t) = te λt. De algemene oplossing is an y(t) = A e λt + A te λt = (A + ta ) e λt Neem bijvoorbeel e ifferentiaalvergelijking y (t) + 4y (t) + 4y(t) = 0 De enige oplossing van e karakteristieke vergelijking λ + 4λ + 4 = 0 is λ = en e algemene oplossingsfunctie is us y(t) = (A + ta ) e t Wanneer hierbij e startwaaren y(0) =, y (0) = 0 gegeven zijn, vinen we A = en A = (controleer!), us an is e gezochte oplossingsfunctie y(t) = ( t) e t 59 bron: craats
7 5 Lineaire ifferentiaalvergelijkingen 5.5 Bepaal e oplossingsfunctie van elk van e volgene ifferentiaalvergelijkingen met e gegeven startwaaren. a. y (t) y (t) + 5y(t) = 0, y(0) =, y (0) = b. y (t) + y (t) + y(t) = 0, y(0) =, y (0) = 0 c. y (t) + 4y (t) + 5y(t) = 0, y(0) =, y (0) =. y (t) y (t) + 0y(t) = 0, y(0) =, y (0) = e. y (t) + 4y (t) + 8y(t) = 0, y(0) = 0, y (0) = 5.6 Schrijf alle oplossingsfuncties van e vorige opgave in e vorm y(t) = r e pt cos(qt + χ) 5.7 Op blazije 55 zijn voorbeelen gegeven van ifferentiaalvergelijkingen voor massaveersystemen en stroomkringen. Ga na at in het theoretische geval van wrijving nul ( = 0), respectievelijk weerstan nul (R = 0), alle oplossingsfuncties zuivere sinusoïen zijn ( harmonische trillingen ). Wat is e frequentie in termen van m en k, respectievelijk L en C? (Beenk at ie constanten positief zijn op fysische gronen). Hoe hangt e amplitue af van e beginwaaren u(0) en u (0), respectievelijk v(0) en v (0)? (Bij e stanaarsinusoïe A cos(qt + χ) met A > 0 en q > 0 heet A e amplitue, e frequentie en χ e fasehoek.) q π 5.8 Toon aan at lim t u(t) = 0 voor een massaveersysteem met een positieve wrijving en at lim t v(t) = 0 voor een stroomkring met een positieve weerstan R. Onerschei hierbij e gevallen D > 0, D = 0 en D < 0 maar gebruik wel at alle fysische constanten (m, en k, respectievelijk L, C en R) positief zijn. 60 Jan van e Craats: Complee getallen voor wiskune D
8 Negatieve iscriminant Negatieve iscriminant We beginnen met een voorbeel, namelijk e ifferentiaalvergelijking y (t) y (t) + 5y(t) = 0 Deze heeft als karakteristieke vergelijking λ λ + 5 = 0 met iscriminant D = 4 0 = 6 < 0. De twee wortels zijn λ = + i en λ = i, en e algemene oplossing van e ifferentiaalvergelijking is us (vergelijk ook paragraaf op blazije 43) y(t) = A e λt + A e λt = A e (+ i )t ( i )t + A e = e t ( A e i t + A e i t) = e t( (A + A ) cos t + i (A A ) sin t ) = e t (C cos t + C sin t) Kies je voor C en C reële constanten, an is e oplossingsfunctie ook reëel. In at geval is A = (C i C ) en A = (C + i C ) (vergelijk blazije 45) us an zijn A en A toegevoeg comple. De oplossingsfunctie y(t) kun je an ook schrijven als het prouct van een e- macht en een stanaarsinusoïe. Dat is voor e toepassingen, waarin uit e stanaarvorm van een sinusoïe belangrijke constanten zoals e amplitue en e fasehoek kunnen woren gehaal, vaak van groot belang. Schrijf aartoe A = r e i χ en A = r e i χ (χ is e Griekse letter chi ). Dan is ( y(t) = e t A e i t + A e i t) ( = e t r e i χ e i t + r e i χ i e t) = r e t ( e i (t+χ) + e i (t+χ)) = r e t cos(t + χ) Voor een willekeurige ifferentiaalvergelijking met een karakteristieke vergelijking met een negatieve iscriminant met wortels λ, = p ± i q kan e algemene reële oplossing geschreven woren als y(t) = e pt (C cos qt + C sin qt) = r e pt cos(qt + χ) waarbij C i C = A = r e i χ. Bij gegeven startwaaren y(0) en y (0) gelt y(0) = C en y (0) = pc + qc us C = p q y(0) + q y (0). 6 bron: craats
9 5 Lineaire ifferentiaalvergelijkingen Gemenge opgaven. 5.9 Bepaal e oplossingsfunctie van elk van e volgene ifferentiaalvergelijkingen met e gegeven startwaaren. a. y (t) + 4y (t) + 5y(t) = 0, y(0) =, y (0) = b. y (t) + y (t) + y(t) = 0, y(0) =, y (0) = 0 c. y (t) + 3y(t) = 0, y(0) =, y (0) = 3. y (t) y (t) y(t) = 0, y(0) = 0, y (0) = e. y (t) + 7y (t) + y(t) = 0, y(0) =, y (0) = 0 f. y (3) (t) y (t) = 0, y(0) =, y (0) =, y (0) = 0 g. y (3) (t) + 8y(t) = 0, y(0) = 0, y (0) = 0, y (0) = 6 Jan van e Craats: Complee getallen voor wiskune D
10 Lineaire ifferentiaalvergelijkingen van hogere ore Lineaire ifferentiaalvergelijkingen van hogere ore Wat we voor lineaire ifferentiaalvergelijkingen van e tweee ore hebben geaan, kunnen we ook voor lineaire ifferentiaalvergelijkingen van hogere ore oen. Zo n vergelijking heeft e vorm a n y (n) (t) + a n y (n ) (t) + + a y (t) + a y (t) + a 0 y(t) = 0 Een oplossingsfunctie y(t) wort vastgeleg oor n beginvoorwaaren y(0), y (0),..., y (n ) (0) en e karakteristieke vergelijking is nu van e graa n, namelijk a n λ n + a n λ n + + a λ + a 0 = 0 Wanneer eze vergelijking n verschillene (reële of complee) wortels heeft, leveren ie n basisoplossingsfuncties, waaruit oor lineaire combinaties e algemene oplossing kan woren gevorm. Wanneer een wortel λ multipliciteit m heeft met m >, an zijn e volgene m functies basisoplossingsfuncties: e λt, t e λt,..., t m e λt Op eze manier leveren e oplossingen van e karakteristieke vergelijking us in alle gevallen n basisoplossingen waarmee e algemene oplossing kan woren gevorm. Realistische moellen Wanneer een lineaire ifferentiaalvergelijking een wiskunig moel is van een proces waarin e evolutie in e tij van een groothei y gemoelleer wort als een ifferentieerbare functie y(t) ie op elk tijstip t aan e ifferentiaalvergelijking voloet, wort ie evolutie volleig bepaal oor e ifferentiaalvergelijking en e n beginvoorwaaren. In zulke situaties zal het systeem op en uur naar e ruststan terugkeren, at wil zeggen at lim t y(t) = 0. Dit is het geval als alle wortels λ van e karakteristieke vergelijking, reëel of comple, voloen aan Re(λ) < 0, met anere wooren, als ze in het linkerhalfvlak liggen. In realistische moellen zal it altij het geval zijn. Bij massa-veersystemen en bij stroomkringen met een weerstan, conensator en inuctiespoel is at altij het geval als e empingsfactor, respectievelijk e weerstan, positief is. In e geïealiseere toestan zoner emping of weerstan blijft het systeem eeuwig oscilleren volgens een sinusoïe (harmonische trilling). 63 bron: craats
11 5 Lineaire ifferentiaalvergelijkingen Samenvatting Een homogene lineaire ifferentiaalvergelijking van e tweee ore met constante (reële) coëfficiënten a, b en c (waarbij a = 0) voor een functie y(t) kan geschreven woren als ay (t) + by (t) + cy(t) = 0 Karakteristieke vergelijking: aλ + bλ + c = 0. Oplossingen via e abc-formule: Discriminant D = b 4ac. Drie gevallen: λ, = b ± b 4ac. a. D > 0. Dan heeft e karakteristieke vergelijking twee verschillene reële oplossingen λ en λ. Basisoplossingen van e ifferentiaalvergelijking zijn an e λ t en e λ t. De algemene oplossing is y(t) = A e λ t + A e λ t Bij gegeven startwaaren y(0) en y (0) kun je A en A vinen met behulp van e afgeleie y (t) = A λ e λ t + A λ e λ t oor t = 0 in te vullen in e uitrukkingen voor y(t) en y (t). Dit geeft twee vergelijkingen voor e twee onbekenen A en A en aaruit kun je A en A oplossen.. D = 0. Dan heeft e karakteristieke vergelijking één oplossing λ = b a. Basisoplossingen van e ifferentiaalvergelijking zijn an e λt en t e λt. De algemene oplossing is y(t) = A e λt + A t e λt Bij gegeven startwaaren y(0) en y (0) kun je A en A vinen met behulp van e afgeleie oor t = 0 in te vullen in y(t) en y (t). Dit geeft twee vergelijkingen voor e twee onbekenen A en A en aaruit kun je A en A oplossen. 3. D < 0. Dan heeft e karakteristieke vergelijking twee toegevoeg complee oplossingen λ = p + i q en λ = p i q. Basisoplossingen van e ifferentiaalvergelijking zijn e λ t = e pt e i qt en e λ t = e pt e i qt. De algemene oplossing kan an met behulp van e formules van Euler woren geschreven als y(t) = e pt (C cos qt + C sin qt) = r e pt cos(qt + χ) Bij gegeven startwaaren y(0) en y (0) kun je C en C vinen met behulp van e afgeleie oor t = 0 in te vullen in y(t) en y (t). Dit geeft twee vergelijkingen voor e twee onbekenen C en C. Desgewenst kun je aarna ook r en χ berekenen via e betrekking C i C = r e i χ. 64 Jan van e Craats: Complee getallen voor wiskune D
12 Voorkennis Hoekmeting Hoeken meten we in graen of in raialen. Hiernaast zie je e eenheiscirkel in het vlak (e cirkel met straal en e oorsprong O als mielpunt) waarop e beie verelingen zijn aangegeven. Een volleige rongang telt 360 graen, oftewel π raialen. Ook raaiingshoeken kunnen we in graen of in raialen meten. De raaiingsrichting is an wel van belang: volgens afspraak geven we raaiingen in het vlak tegen e klok in met een plusteken aan, en raaiingen met e klok mee met een minteken. 50 o 80 o 0 o 90 o O 60 o 30 o 0 o 360 o Bij raaiingen kan e raaiingshoek natuurlijk ook groter an 360 zijn. Voor het resultaat maakt het niets uit of je er gehele veelvouen van 360 (of π raialen) bij optelt of van aftrekt. 0 o π 40 o π 3π 70 o 300 o 0 π 330 o De term raiaal komt van raius, hetgeen straal betekent. Wanneer je op een cirkel met straal r een boog tekent ie vanuit het mielpunt oner een hoek van α raialen wort gezien, is e lengte van ie boog α r. De hoekmaat in raialen geeft us e verhouing tussen e booglengte en e straal, vanaar e naam raiaal. Een hoek van raiaal is iets kleiner an 60 graen, namelijk, in acht ecimalen nauwkeurig, graen. De eacte waare is 360/(π). r α raialen r α r Bij een cirkel met straal r = is e booglengte precies gelijk aan e mielpuntshoek α in raialen. Bij een volleige rongang langs een cirkel hoort een raaiingshoek van π raialen. De omtrek van e eenheiscirkel is us ook gelijk aan π. De omtrek van een cirkel met een straal r is πr. 65 bron: craats
13 Voorkennis De sinus, e cosinus en e tangens y Bij elke raaiingshoek α hoort een raaiing in het vlak om e oorsprong over ie hoek. Een positieve raaiingshoek corresponeert met een raaiing tegen e klok in, een negatieve hoek hoort bij een raaiing met e klok mee. We kunnen zo n raaiing aangeven via een boog van e eenheiscirkel ie in (, 0) begint en mielpuntshoek α heeft. De coörinaten (, y) van het einpunt zijn an respectievelijk e cosinus en e sinus van α, us = cos α en y = sin α. sin α O α (cos α, sin α) cos α (,0) Omat (, y) op e eenheiscirkel ligt, gelt + y =, us cos α + sin α = Let hierbij op e notatie: cos α betekent (cos α) en sin α betekent (sin α). Deze notatievormen zijn algemeen gebruikelijk. De tangens van α is het quotiënt van e sinus en e cosinus, in formule: tan α = sin α cos α Er zijn enige hoeken α met bijzonere waaren voor e sinus, e cosinus en e tangens. Voor 0 α π (in raialen) geven we ze in e vorm van een tabel. Uit e beie tekeningen kun je ie waaren afleien. Beenk aarbij at e linkerriehoek e vorm heeft van een georiehoek met een schuine zije van lengte en rechthoekszijen van lengte (stelling van Pythagoras). De rechterriehoek is gelijkzijig met zijen van lengte. De verticale lijn vanuit e top eelt e basis mienoor, en volgens Pythagoras is e lengte ervan us gelijk aan y ( ) = 3 4 = 3. y α 0 6 π 4 π 3 π π sin α O π 4 cos α 3 0 tan α O π 3 66 Jan van e Craats: Complee getallen voor wiskune D
14 Voorkennis Grafieken van goniometrische functies π π 0 - sin π π 3 tan cos π π 0 - π π π π 0 - π π - -3 Hierboven zijn e grafieken geteken van e functies sin, cos en tan, met in raialen. Die functies zijn perioiek: e sinus en e cosinus met perioe π, e tangens met perioe π. De tangens heeft verticale asymptoten voor = π + kπ met k geheel, want voor ie waaren van is e cosinus nul, en an is tan = (sin )/(cos ) us niet geefinieer. Uit e efinitie van e sinus, e cosinus en e tangens met behulp van e eenheiscirkel (zie blazije 66) volgen irect e volgene eigenschappen, ie je ook in e grafieken terugziet: sin( ) = sin, cos( ) = cos, tan( ) = tan Optelformules en ubbele-hoekformules Naast e basisformule sin α + cos α = en e symmetrieformules van hierboven zijn er nog twee belangrijke gonioformules: cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β Als je in eze optelformules β vervangt oor β krijg je cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β sin(α β) = sin α cos β cos α sin β Als je in e optelformules α = β neemt, krijg je e ubbele-hoekformules: cos α = cos α sin α sin α = sin α cos α Met behulp van cos α + sin α = kun je e formule voor cos α uitbreien tot cos α = cos α sin α = cos α = sin α 67 bron: craats
15 Voorkennis Eponentiële functies en e e-macht Functies van e vorm f() = a voor a > 0 heten eponentiële functies. Hieroner is voor enige waaren van a e grafiek van a geteken. Al ie grafieken gaan oor het punt (0, ) want voor elke a gelt a 0 =. Zo n grafiek is stijgen als a >, en alen als 0 < a <. Voor a = is e grafiek e horizontale lijn y = want = voor elke waare van. De grafieken van a en (/a) zijn elkaars spiegelbeel in e y-as. Er gelt namelijk ( (/a) = a ) = a y = (/3) y = (5/6) y = (/) -3 - y = (/4) y 4-3 y = 4 y = O 3 y = (3/) y = (6/5) y = De belangrijkste eigenschappen van eponentiële functies zijn a a y = a +y a : a y = a y (a ) y = a y (a b) = a b (a : b) = a : b De grafieken van e eponentiële functies van e vorm f() = a met a > 0 snijen e y-as allemaal in het punt (0, ). Alle grafieken hebben in at punt een raaklijn. Al ie raaklijnen zijn verschillen, en allemaal hebben ze een vergelijking van e vorm y = + m voor een zekere m. Er is precies één waare van a waarvoor gelt m =, at wil zeggen y y = e at e lijn y = + e raaklijn is aan e grafiek van f() = a 4 in (0, ). Dat getal wort e genoem, 3 en e bijbehorene functie f() = y = + e speelt een belangrijke rol in e ifferentiaal- en integraalrekening. 45 o y = Hiernaast is e grafiek ervan geteken. Men kan bewijzen at het getal e, net als het getal π of het getal O 3, een irrationaal getal is. Er gelt e = Voor kleine waaren van vallen e grafiek van f() = e en e raaklijn y = + vrijwel samen, us voor kleine gelt e +. Zelfs gelt at e voor 0, of, nog preciezer uitgerukt met behulp van een limiet e lim = 0 68 Jan van e Craats: Complee getallen voor wiskune D
16 Voorkennis Raaklijn en afgeleie (De voorkennis in eze paragraaf wort alleen in hoofstuk 5 gebruikt.) De grafieken van veel functies hebben in alle of bijna alle punten een gla verloop: als je stees sterker op zo n punt inzoomt, gaat e grafiek stees meer op een rechte lijn lijken. Die lijn is e raaklijn aan e grafiek in at punt. Hiernaast is e grafiek van zo n functie f() geteken, met aarbij ook e raaklijn in het punt (a, f(a)). Vlak in e buurt van at punt zijn grafiek en raaklijn ineraa nauwelijks van elkaar te onerscheien. Als e raaklijn niet verticaal is, kan e vergelijking ervan geschreven woren als y = f(a) + m( a) voor een zekere m, e richtingscoëfficiënt van e raaklijn. f(a) O y y = f(a) + m( - a) a y = f() Die richtingscoëfficiënt m kan an oor miel van een limiet in termen van e functie f() en het punt a woren uitgerukt: m = lim a f() f(a) a Men noemt m e afgeleie van f() in a, en gebruikt aarvoor e notatie f (a). Als eze limiet bestaat (als einig getal), heet e functie f() ifferentieerbaar in a. Wanneer een functie f() ifferentieerbaar is in alle punten van een interval, is e afgeleie us in elk punt van at interval geefinieer, en aarmee is e afgeleie op at interval zelf een functie geworen, e afgeleie functie. Veel gebruikte notaties voor e afgeleie functie van f() zijn f () en f(). De afgeleie functies van enige veel gebruikte functies zijn: (p ) = p p voor elke p (e ) = e (cos ) = sin (sin ) = cos De e-machtfunctie is us gelijk aan zijn eigen afgeleie! Let ook op e tekens bij e afgeleien van e sinus en e cosinus. Wanneer een functie f() ifferentieerbaar is in alle punten van een interval, kan e afgeleie functie ook weer een ifferentieerbare functie zijn. De afgeleie van e afgeleie heet an e tweee afgeleie. Notatie: f () of f(). Zo kun je oorgaan en e n-e afgeleie efiniëren voor elke n >. Gebruikelijke notaties zijn in at geval f (n) () (let op n e haakjes om e n) of n f(). 69 bron: craats
17 Gonio gemakkelijk gemaakt Eulers gemakkelijk te onthouen formule e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ maakt het makkelijk alle gonioformules te onthouen, of snel af te leien als je ze vergeten bent. Bijvoorbeel e somformules van blazije 67: Beenk hiervoor at e i (α+β) = e i α e i β us cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) + i sin(α + β) = e i (α+β) = e i α e i β = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β) = (cos α cos β sin α sin β) + i (sin α cos β + cos α sin β) Gelijkstellen van e reële elen levert e somformule voor e cosinus, en gelijkstellen van e imaginaire elen e somformule voor e sinus. Deze formules gelen overigens niet alleen maar voor e reële cosinus- en sinusfuncties, maar net zo goe voor e op blazije geefinieere complee uitbreiingen van eze functies: cos(z + z ) = cos z cos z sin z sin z sin(z + z ) = sin z cos z + cos z sin z Probeer zelf maar eens een bewijs te geven! Ook e formules voor e afgeleien van e sinus- en cosinusfuncties zijn gemakkelijk snel af te leien via e complee e-machtfunctie, ie, net als e reële e-machtfunctie, gelijk is aan zijn eigen afgeleie. Beenk aarvoor at op gron van e kettingregel gelt at e i = i e i, en us is (cos + i sin ) = e i = i e i = i (cos + i sin ) = sin + i cos Gelijkstellen van reële elen geeft elen geeft sin = cos. cos = sin en gelijkstellen van e imaginaire 70 Jan van e Craats: Complee getallen voor wiskune D
Voorkennis. Hoekmeting
Hoekmeting Hoeken meten we in graen of in raialen. Hiernaast zie je e eenheiscirkel in het vlak (e cirkel met straal en e oorsprong als mielpunt) waarop e beie verelingen zijn aangegeven. Een volleige
Nadere informatie5 Lineaire differentiaalvergelijkingen
5 Lineaire differentiaalvergelijkingen In veel toepassingen in de techniek en de exacte wetenschappen wordt gewerkt met differentiaalvergelijkingen om continue processen te modelleren. Het gaat dan meestal
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Zomercursus Wiskune Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rekenregels voor het berekenen van afgeleien (versie 27 juni 2008) Inleiing De afgeleie van een functie f in een punt R is e helling (richtingscoëfficiënt)
Nadere informatieHoofdstuk 1: Inleiding
Hoofstuk 1: Inleiing 1.1. Richtingsvelen. Zie Stewart, 9.2. 1.2. Oplossingen van enkele ifferentiaalvergelijkingen. Zelf oorlezen. 1.3. Classificatie van ifferentiaalvergelijkingen. Differentiaalvergelijkingen
Nadere informatieAntwoorden. 1. Rekenen met complexe getallen
1. Rekenen met complexe getallen 1.1 a. 9 b. 9 c. 16 d. i e. 1 1. a. 1 b. 3 c. 1 d. 4 3 e. 3 4 1.3 a. 3 i b. 3 i c. i d. 5 i e. 15 i 1.4 a. 33 i b. 7 i c. 4 3 i d. 3 5 i e. 5 3 i 1.5 a. 1 ± i b. ± i c.
Nadere informatieVoorkennis + lijst met standaardintegralen
Scheien van variabelen een oplosmethoe voor eerste ore-ifferentiaalvergelijkingen WISNET-HBO NHL upate mei 2009 Inleiing Het met pen en papier berekenen van e analytische oplossing van een eerste ore ifferentiaalverglijking
Nadere informatieCalculus I, 20/10/2014
Calculus I, 20/0/20. Gegeven e kromme yx waarvoor arctan y x = 2 lnx2 + y 2 a Bereken e afgeleie y voor een punt x,y at voloet aan het functievoorschrift. b Gebruik e gevonen uitrukking voor e afgeleie
Nadere informatieWISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT3 - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 03 1.doc 1/11
VAK: WISKUNDE - HWTK Set Proeftoets AT WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 0.oc / DIT EERST LEZEN EN VOORZIEN VAN NAAM EN LEERLINGNUMMER! Beschikbare tij: 00 minuten Uw naam:...
Nadere informatie1.4 Differentiëren van machtsfuncties
. Differentiëren van machtsfuncties De inmiels bekene regel voor het ifferentiëren van machtsfuncties luit: n n [ ] n (n,,, ) Deze regel kun je vrij gemakkelijk herontekken met behulp van e (uitgebreie)
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-II
Reistij figuur 1 rivier Een boot vaart op een rivier van naar en terug. De afstan tussen en is 10 km. De boot vaart altij met een snelhei van 20 km/u ten opzichte van het water. De rivier stroomt in e
Nadere informatieOefeningenexamen Projectieve Meetkunde: oplossingen
Oefeningenexamen Projectieve Meetkune: oplossingen 2e bachelor Wiskune acaemiejaar 2011-2012 1 Eerste zittij Oefening 1.1. Een {, m}-boog in PG(2, q) is een verzameling van m 1 punten zoat ieere rechte
Nadere informatieWiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 4 les 1
Wiskune D Online uitwerking 4 VWO blok 4 les aragraaf. Opgave a et e stelling van thagoras volgt at (, ) ( ) + ( ) ( 3 ) + ( ) + 3 3 b De roosterpunten met afstan 3 tot liggen op e cirkel met als mielpunt
Nadere informatieBlok 3 - Vaardigheden
Blok - Vaarigheen lazije 6 a Je moet e vergelijking ( )( ) oplossen. Je ziet nu meteen wat e oplossingen zijn. ( )( ) of of Je moet nu e vergelijking ( )( ) oplossen. e De methoe van onereel gelt alleen
Nadere informatieExacte waarden bij sinus en cosinus
Exacte waaren ij sinus en cosinus In enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus exact oplossen. Welke gevallen zijn at? Hieroven zie je grafieken van f(x) = sin x en g(x) = cos x. a Hoe
Nadere informatie1.3 De produktregel. Laat zien dat bijvoorbeeld [ x x. ] niet gelijk is aan 2x
.3 De prouktregel Eerer heb je geleer at je e som van twee (of meer) functies kunt ifferentiëren, oor termsgewijs te ifferentiëren. Bijvoorbeel: 3 [ x + x ] = x + 3 x.7 Een ergelijke mooie regel gelt niet
Nadere informatieAfgeleiden berekenen met DERIVE
/09/007 Afgeleien met DERIVE.fw 18:48:0 Afgeleien berekenen met DERIVE In DERIVE zijn alle regels ingebouw waarmee je ook op papier afgeleien berekent: lineariteit, prouct- en quotiëntregel, kettingregel.
Nadere informatieNotatieafspraken bovenbouw, wiskunde B
Notatieafspraken bovenbouw, wiskune B Bewaar it ocument zorgvulig Het wort slechts éénmaal verstrekt Dit ocument bevat afspraken voor e correcte notatie volgens e gehele sectie wiskune van het Steelijk
Nadere informatieBestaat er dan toch een wortel uit 1?
Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn
Nadere informatieHoofdstuk 5 - Verbanden herkennen
V-a V-a Hoofstuk - Veranen herkennen Hoofstuk - Veranen herkennen Voorkennis O A B De grafiek ij tael A is een rehte lijn, want telkens als in e tael met toeneemt neemt met toe. Het startgetal is en het
Nadere informatie13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0.
Gegeven is de functie.0 Voorkennis Deze functie bestaat niet bij een van. Invullen van = geeft een deling door 0. De functie g() = heeft als domein R en is een ononderbroken kromme. Deze functie is continu
Nadere informatieHoofdstuk 4 - Integreren
Hoofstuk - Integreren Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel Voorkennis: Oppervlakten lazije 98 V-a BC Oppervlakte ABC Driehoek ABC is gelijkvormig met riehoek ADB us AC AB waaruit volgt at BC BD us BD BD c
Nadere informatieSamenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van
Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =
Nadere informatieHoofdstuk 6 - Differentiëren
Havo D eel Uitwerkingen Moerne wiskune Hoofstuk - Differentiëren Blazije a Het water steeg het harst op e tijstippen waarij e grafiek het steilst loopt. Dat is om ongeveer 7 uur s ohtens en om 7 uur s
Nadere informatie1 Functies die aan verandering onderhevig zijn
Veraneringsprocessen in e tij (eerste ore) upate april 2009 copyright WISNET-NHL Lees eerst aanachtig e inleiing 0 Inleiing In eze les, ie niet beslist van begin tot ein oorgewerkt hoeft te woren, vin
Nadere informatie10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden
10.0 Voorkennis 5 1 6 6 cos( ) = -cos( ) = -½ 3 [cos is x-coördinaat] 5 1 3 3 sin( ) = -sin( ) = -½ 3 [sin is y-coördinaat] 1 Voorbeeld 1: Getekend is de lijn k: y = ½x 1. De richtingshoek α van de lijn
Nadere informatieAntwoorden Eindtoets 8NC00 12 april 2017
Antwooren Eintoets 8NC 12 april 217 1.1. Onwaar, een fase-contrast microscoop brengt e verschillen in brekingsinex in beel. Er wort geen gepolariseer licht gebruikt us het is niet mogelijk ubbelbrekene
Nadere informatie8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3
8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar
Nadere informatiewiskunde B pilot vwo 2017-II
Twee machten van maimumscore 5 f' ( ) = ln() + ln() Uit f' ( ) = volgt dat = Dus + = ( = ) Hieruit volgt = a+ a, met a =, moet minimaal zijn De vergelijking a = moet worden opgelost Dit geeft Hieruit volgt
Nadere informatieParagraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken
Hoofdstuk 7 Lijnen en cirkels (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier y =
Nadere informatie16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i
16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =
Nadere informatieDe maximale waarderingscijfers van de opgaven verhouden zich als 30:30:20:20 deel cijfer=score./10
Universiteit Twente, Werktuigbouwkune Vak : Programmeren en Moelleren Datum : 0 oktober 20 Tij : 08.45-0.5 uur TOETS Deze eeltoets bestaat uit 4 opgaven. Geef niet alleen e antwooren maar toon ook e geane
Nadere informatieWiskunde AEO V. Afdeling Kwantitatieve Economie. Uitwerking tentamen 6 januari 2010
Afeling Kwantitatieve Economie Wiskune AEO V Uitwerking tentamen 6 januari 00 Een stelling ( punten) Laat c een ifferentieerbare kromme zijn, ie op een niveauverzameling van een ifferentieerbare functie
Nadere informatieHoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen
Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen De inhoud van hoofdstuk 3 zou grotendeels bekende stof moeten zijn. Deze stof is terug te vinden in Stewart, hoofdstuk 17. Daar staat alles
Nadere informatiestap voor stap; zonder GR-functies; tussen- en eindantwoorden mogen benaderd worden genoteerd (wel doorrekenen met exacte antwoorden).
Samenvatting door Sterre 1437 woorden 5 mei 2018 7.8 3 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde B Getal en ruimte Vocabulair Algebraïsch stap voor stap; zonder GR-functies; tussen- en eindantwoorden mogen
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
V-1a / V-2a e Voorkennis Zie e figuur hieroner. Zie e figuur hieroner. De lijn n en het punt P kunnen ook aan e anere kant van lijn l liggen. Zie e figuur hieroner. P Zie e figuur hieroven. In vierhoek
Nadere informatieLineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006
Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen 6 juni 6 i ii Inhoudsopgave Stelsels differentiaalvergelijkingen Opgaven Stelsels differentiaalvergelijkingen In deze paragraaf passen we onze kennis
Nadere informatie1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE
E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Uiterste inleverdatum dinsdag oktober, voor het begin van het college N.B. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je moet het huiswerk
Nadere informatie8 a. x K (in euro s) x K (in euro s)
Hoofstuk 6 RECHTE LIJNEN 6.0 INTRO b, =, km c k = l a km kost,0: =,0 b rankje kost : =,0, us e entree is,0,0 = 0,-. Nee, als je bij e onerste lijn 8 naar rechts gaat ga je omhoog, us als je naar rechts
Nadere informatieVoorbereidende sessie toelatingsexamen
1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar
Nadere informatieHoofdstuk 1 - Lijnen en cirkels
Lijn en vlak lazije a Die kun je aflezen van e oëffiiënten van x en y Dus is een normaalvetor 7 x invullen in e vergelijking van l geeft y en aarmee vin je (, ) y invullen in e vergelijking van l geeft
Nadere informatie12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0.
12.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0. Dit is in de punten (1,0) en (-1,0) (1,0) heeft draaiingshoek 0 (-1,0) heeft
Nadere informatiede Wageningse Methode Antwoorden H26 RECHTE LIJNEN HAVO 1
H6 RECHTE LIJNEN HAVO 6.0 INTRO a km kost,0: =,0 b rankje kost : =,0, us e entree is,0,0 = 0,-. Nee, als je bij e onerste lijn naar rechts gaat ga je omhoog, us als je naar rechts zou gaan, zou je omhoog
Nadere informatieHoofdstuk 12B - Breuken en functies
Hoofstuk B - Breuken en funties Voorkennis V-a g V-a h 0 0 i 9 j 0 0 0 9 0 9 e k 0 f l 9 9 Elk stukje wort : 0 0, meter. a 0 0 0 00 L 0, 0, 0,0 0,0 0,0 De lengte van elk stukje wort an twee keer zo klein.
Nadere informatiewiskunde A vwo 2017-I
Zonnepanelen maximumscore 3 Na t jaar is e prijs met een factor, 05 t vermenigvulig De vergelijking, 05 = moet woren opgelost 5 (jaar) ( 4 (jaar)) ( nauwkeuriger) maximumscore 4 De opbrengst per jaar is
Nadere informatie2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax
00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten
Nadere informatieTrillingen en geluid wiskundig
Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Radialen 3 Uitwijking van een harmonische trilling 4 Macht en logaritme 5 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Sinus van een hoek
Nadere informatie4.2.6 I. Betreft opgave 4.2.2: a. B f = {a, b } d. B f = {a, b, c } = C f II. Betreft opgave 4.2.4: e. B f e = IR + 0 = IR. f. B f f. g.
g. x=2y+1 2y = x - 1 y = 1 2 x- 1 2 Duielijk zal zijn at bij elke x-waare precies één y-waare hoort, ofwel: bij elk origineel hoort precies één beel. Het is us een functie. (N.B.: als het coomein geen
Nadere informatieProefToelatingstoets Wiskunde B
Uitwerking ProefToelatingstoets Wiskunde B Hulpmiddelen :tentamenpapier,kladpapier, een eenvoudige rekenmachine (dus geen grafische of programmeerbare rekenmachine) De te bepalen punten per opgave staan
Nadere informatieK.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren:
K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( ) a f '( ) 0 n f ( ) a f '( ) na n f ( ) c g( ) f '( ) c g'( ) f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) ( som regel) p( ) f ( ) g( ) p'( ) f '( )
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatie14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:
14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64
Nadere informatieP is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).
Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie
Nadere informatieHoofdstuk 1: Inleiding
Hoofdstuk 1: Inleiding 1.1. Richtingsvelden. Zie Stewart, 9.2. 1.2. Oplossingen van enkele differentiaalvergelijkingen. Zelf doorlezen. 1.3. Classificatie van differentiaalvergelijkingen. Differentiaalvergelijkingen
Nadere informatieHoofdstuk 4 De afgeleide
Havo B eel Uitwerkingen Moerne wiskune Hoofstuk De afgeleie lazije 9 V-a 8 8 8 kg Lengte in m Gewiht in kg 8 7 8 9 8 gewiht 8 8 lengte m weegt 8 kg us m weegt 8 : 8 kg. e 8 m 8 8 is het startgetal en 8
Nadere informatieHoofdstuk 4 De afgeleide
Hoofstuk De afgeleie lazije 9 V-a 8 8 8 kg lengte in m gewiht in kg 8 7 8 9 8 gewiht 8 8 lengte m weegt 8 kg us m weegt 8 : 8 kg. e 8 m 8 8 is het startgetal en 8 is het hellingsgetal. V-a ();(); ();(
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Hoofstuk De afgeleie lazije 9 V-a, 8, 8 8 kg lengte in m gewiht in kg,8,, 7, 8 9,,8 gewiht 8 8 lengte m weegt 8 kg us m weegt 8 : 8, kg. e, 8,, m 8,,8 is het startgetal en,8 is het hellingsgetal. V-a (,);(,);
Nadere informatieSamenvatting wiskunde B
Samenvatting wiskunde B Dit is een samenvatting van het tweede deel van Getal en Ruimte VWO wiskunde B. In deze samenvatting worden hoofdstuk 5, 6 en 7 behandeld. Ik hoop dat deze samenvatting je zal helpen!
Nadere informatieUITWERKINGEN VOOR HET VWO
UITWERKINGEN VOOR ET VWO AB DEEL oofstuk 5 GONIOMETRISCE FUNCTIES KERN PERIODIEKE VERSCIJNSELEN a) seconen van seconen een kwart van o is 9 o b) riekwart c) 5 van o is 5 a) o o o van o is 7 o o f 9 o o
Nadere informatieStandaardfuncties. x c
Standaards Constante Parameter We geven in dit document een overzicht van een aantal veelvoorkomende s. We geven steeds het voorschrift en de grafiek. (Ter herinnering: het domein vermelden we niet, het
Nadere informatieIndicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Indicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat niet alleen voorkennis in de zin dat moet u al gehad hebben en kennen, maar ook in de
Nadere informatieHoofdstuk 7: Stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen
Hoofdstuk 7: Stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen Bij het vak Lineaire Algebra hebben we reeds kennis gemaakt met stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen We hebben
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 3 november 0 Normering voor pt vragen andere vragen naar rato): pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatie) translatie over naar rechts
Hoofdstuk opmerkingen/adviezen Leer deze grafieken precies! Zorg dat je de volgende formules ziet in de grafieken: Periode sinus, cosinus en tangens: resp,, sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) cos( ) c a k a k
Nadere informatieTussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde.
Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde. Dinsdag 9 maart 2010, 9.00-11.00. Het gebruik van een rekenmachine is toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een berekening of redenering.
Nadere informatie4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i
COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche
Nadere informatieHoofdstuk 1 Grafieken en vergelijkingen
Opstap Veranen O- Grafiek A hoort ij kaars. Grafiek B hoort ij kaars. Grafiek C hoort ij kaars. O-a O-a u in uren Bij u, is l 7 want, 7. Zie opraht O-. Na vier uur ranen zijn e kaarsen even lang. Bij eie
Nadere informatieBasiswiskunde Een Samenvatting
Bsiswiskune Een Smenvtting Verzmelingen N: ntuurlijke getllen, nl.,, 3,... Z: gehele getllen, nl....,,, 0,,,... Q: rtionle getllen,.w.z. breuken vn gehele getllen R: reële getllen, us lle getllen op e
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieuitwendig magnetisch veld F daarvoor een externe elektrische stroom nodig is, wordt een permanente magneet genoemd. Z N
5 Elektromagnetisme 5.1 Magnetisme Tussen twee magneten zijn er krachten aanwezig ie ervoor zorgen at ze elkaar aantrekken of afstoten. Deze krachten zijn het resultaat van magnetische velen ie op atomair
Nadere informatieTentamen Natuurkunde I 09.00 uur - 12.00 uur woensdag 7 januari 2009 docent drs.j.b. Vrijdaghs
Tentamen Natuurkune 9. uur -. uur woensag 7 januari 9 ocent rs.j.. Vrijaghs Aanwijzingen: Dit tentamen omvat 5 opgaven met totaal 5 eelvragen Maak elke opgave op een apart vel voorzien van naam, nummer
Nadere informatiee x x 2 cos 2 (sin t) cos(t) dt
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP3B 5 november, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boeken) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering
Nadere informatie15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x))
5.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( x) a f '( x) 0 n f ( x) ax f '( x) nax n f ( x) c g( x) f '( x) c g'( x) f ( x) g( x) h( x) f '( x) g'( x) h'( x) p( x) f ( x) g( x) p'( x)
Nadere informatieUitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde B Profi
Wiskunde B Profi Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Donderdag 25 mei 3.30 6.30 uur 20 00 Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een
Nadere informatieParagraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier
Nadere informatieHoofdstuk 1 Grafieken en vergelijkingen
Hoofstuk 1 Grafieken en vergelijkingen Opstap Formule, grafiek en vergelijking O-1a Om uur staat het water 6 6 mm hoog in e regenmeter. aantal uren h... h 6 hoogte water aantal uren v :... v 6 hoogte water
Nadere informatiex 1 (t) = ve rt = (a + ib) e (λ+iµ)t = (a + ib) e λt (cos µt + i sin µt) x 2 (t) = ve rt = e λt (a cos µt b sin µt) ie λt (a sin µt + b cos µt).
76 Complexe eigenwaarden Ook dit hebben we reeds gezien bij Lineaire Algebra Zie: Lay, 57 Als xt ve rt een oplossing is van de homogene differentiaalvergelijking x t Axt, dan moet r een eigenwaarde van
Nadere informatiewiskunde B havo 2015-II
Veilig vliegen De minimale en de maximale snelheid waarmee een vliegtuig veilig kan vliegen, zijn onder andere afhankelijk van de vlieghoogte. Deze hoogte wordt vaak weergegeven in de Amerikaanse eenheid
Nadere informatieComplexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
Nadere informatie1. Orthogonale Hyperbolen
. Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies
Nadere informatieZMC is een van de grootste Europese producenten op het gebied van transportkettingen. Het bedrijf is opgericht in 1955.
ZMC Transportketting ZMC is een van e grootste Europese proucenten op het gebie van transportkettingen. Het berijf is opgericht in 1955. ZMC prouceert genormaliseere transportkettingen volgens DIN 8181,
Nadere informatieCombinatoriek groep 1 & 2: Recursie
Combinatoriek groep 1 & : Recursie Trainingsweek juni 008 Inleiding Bij een recursieve definitie van een rij wordt elke volgende term berekend uit de vorige. Een voorbeeld van zo n recursieve definitie
Nadere informatieVraag Antwoord Scores. Het verschil is (0,0017 uur, dat is) 6 seconden (of nauwkeuriger) 1
Gevaar op zee maximumscore Na, 7, (,7 ) uur komt de UK bij punt S Na,8 6,5 (,697 ) uur komt de Kaliakra bij punt S Het verschil is (,7 uur, dat is) 6 seconden ( nauwkeuriger) Opmerking Als minder nauwkeurige
Nadere informatieTentamen Signalen en Systemen 2: 3BB32, 10 maart 2009
Tentamen Signalen en Systemen : 3BB3, 10 maart 009 Omerkingen ij het tentamen - O het tentamen mag een (grafisch) rekenaaraat geruikt woren - Geruik van aner materiaal zoals oeken, aantekeningen of lato
Nadere informatieCopyright 2017 Gertjan Laan Versie 3.1. uitgeverij czarina
G E R T J A N L A A N A N A LY S E B O E K U I T G E V E R I J C Z A R I N A Copright 07 Gertjan Laan Versie. uitgeverij czarina www.uitgeverijczarina.nl www.gertjanlaan.nl tufte-late.github.io/tufte-late
Nadere informatie6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1
WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij
Nadere informatieUitwerkingen van de opgaven uit Pi
Uitwerkingen van de opgaven uit Pi Frits Beukers January 3, 2006 Opgave 2.3. Bedoeling van deze opgave is dat we alleen een schatting geven op grond van de gevonden tabel. Er worden geen bewijzen of precieze
Nadere informatieOver de construeerbaarheid van gehele hoeken
Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:
Nadere informatieHertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur
Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele
Nadere informatieCombinatoriek groep 1
Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Getallenrijen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een directe formule geeft a n in
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde B
Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen
Nadere informatieDifferentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft
Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek WbMT2048 Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen WbMT2048 1 / 1 Het vinden van een particuliere oplossing Voor een
Nadere informatieInhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen
Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt
Nadere informatieAanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen
Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk
Nadere informatiedt dy dt b. Teken het lijnelementenveld voor de roosterpunten met 0 t 3 en 0 y 2.
Aantekening VWO 6 Wis D Hfst 5 : Continue Dynamische Modellen Les Dynamische modellen opstellen Paragraaf overslaan. Les 3 Differentiaalvergelijking VB. Gegeven is de differentiaalvergelijking t + y +
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken Voorkennis V-a Van lijn k is het hellingsgetal en het startgetal en e formule is = +. Van lijn l is het hellingsgetal en het startgetal en e
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatieJe moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.
6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel
Nadere informatie10.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
10.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0, b) y = -4x + 8 kan
Nadere informatie