Een algebraïsche ontknoping

Transcriptie

1 Een algebraïsche ontknoping Over knoopinvarianten en de Jones polynoom Kenny De Commer (VUB, Brussel) 17 november 2015

2 Outline Een beknopte knopentoer Met wiskunde uit de knoop? Verstrengelde lineaire algebra Subfactoren

3 Quipu s

4 Keltische knopen Book of Kells, 8ste - 9de eeuw AD

5 Zeemansknopen

6 Thomson s vortex-atomen-theorie

7 Tait and Maxwell P.G. Tait, On knots, Trans. R. Soc. Edinburgh 28 (1877), Clear your coil of kinkings Into perfect plaiting, Locking loops and linkings Interpenetrating. Why should a man benighted, Beduped, befooled, besotted, Call knotful knittings plighted, Not knotty but beknotted?

8 Wat is een knoop? Wat is een link? Klaverbladknoop Klaverbladknoopdiagram Definitie Knoop =inbeddingvans 1 in R 3 op ambiënte isotopie na. Knoopdiagram = projectie van een knoop in het vlak.

9 Wat is een knoop? Wat is een link? Borromeaanse ringen Borromeaans diagram Definitie Link =inbeddingvans 1 t...t S 1 in R 3 op ambiënte isotopie na. Linkdiagram = projectie van een link in het vlak.

10 Reidemeister bewegingen Reidemeister bewegingen Stelling (Reidemeister (1926)) Twee linkdiagrammen geven zelfde link, één vervormt tot ander via Reidemeister bewegingen.

11 Millett s culprit Deze knoop is niet verknoopt!

12 Millett s culprit Kau man s ontknoping

13 Het Perko paar De knopentabel van Rolfsen

14 Dehn groep Definitie Als K S 3,danDehn groep 1 (S 3 \ K). Voorbeeld Als K klaverbladknoop: 1 (S 3 \ K) =hx, y x 2 = y 3 i.

15 Alexander polynoom Definitie (Alexander polynoom (1928)) Knoop K ) homologie Laurent polynoom K(t) 2 Z[t, t 1 ]. Stelling (Alexander-Conway ontwarringsrelatie) O(t) =1, L + (t) L (t) =(t 1/2 t 1/2 ) L 0 (t). Georiënteerde link-invariant L(t) 2 Z[t ±1/2 ]... onderscheidt spiegelbeelden niet...

16 Voorbeeld: de klaverbladknoop

17 Voorbeeld: de klaverbladknoop

18 Voorbeeld: de klaverbladknoop

19 Voorbeeld: de klaverbladknoop

20 Ontwarringsrelaties voor de Jones polynoom Stelling Er bestaat een knopeninvariant V K (t) zodat V O (t) =1, t 1 V L+ (t) tv L (t) =(t 1/2 t 1/2 )V L0 (t). onderscheidt spiegelbeelden! onderscheidt knopen? Open probleem!

21 Voorbeeld: de klaverbladknoop

22 Voorbeeld: de klaverbladknoop

23 Voorbeeld: de klaverbladknoop

24 Voorbeeld: de klaverbladknoop

25 Alternerende knopen en gereduceerde diagramma

26 Tait s conjectuur Stelling (Eerste conjectuur van Tait (1877), bewezen door Kau man (1988), Thistlethwaite (1987) en Murasugi (1987)) Zij K alternerende knoop. I Elk gereduceerd alternerend diagram zelfde kruisingsgetal. I Minimale kruisingsgetal voor alle diagramma. Bewijs maakt essentieel gebruik van Jones polynoom!

27 Vlechten en knopen

28 Markov bewegingen Stelling (Markov) Twee vlechten zelfde link, verbonden via Markov bewegingen.

29 Vlechtgroepen

30 Presentatie van vlechtgroepen Stelling (Artin, 1926) Vlechtgroep B n is universeel voor 1. generatoren 1, 2,..., n en 2. relaties 8 < : i j = j i, i j 2, i i+1 i = i+1 i i+1, 1 apple i<n, i i 1 i = i 1 i i 1, 1 <iapple n.

31 Verstrengelde algebra Lemma (Basislemma) Zijn gegeven t 1/2 2 C \ {±i} en 1. unitale C-algebra s A 0 A 1 A functionalen n op A n, 3. elementen e i 2 A n voor 1 apple i apple n. zodat 1. i 7! e i is een presentatie van B n, 2. n(1) = 1, 3. n(ae i )= n (e i a) voor alle 1 apple i apple n en alle a 2 A n, 4. n+1(be n+1 t ±1 )= t n(b) voor alle b 2 A n. Dan K = ˆb n 7! t t 1 n 1 2 n(b n ) knopeninvariant.

32 Verstrengelde algebra II Algebra s A n : 1. Vectorruimte C 2 :basise +,e. 2. Vectorruimte n C 2 :basise µ1,...,µ n. i=1 n 3. A n = B C 2 met i=1 A n,! A n+1, X 7! X 1.

33 Verstrengelde algebra II Representatie: 1. Zij R : C 2 C 2! C 2 C 2 met Re ++ = t 1 2 e ++, Re = t 1 2 e, Re + = te +, Re + = (t 1 2 t 3 2 )e + + te Zij e i = R i,i+1 met R i,i+1 : C 2... C 2 {z C } 2... C 2! C 2... C 2 {z C } 2... C 2. i,i+1 i,i+1 3. Dan e i e i±1 e i = e i±1 e i e i±1!

34 Verstrengelde algebra II Functionalen: 1. Zij Ke + = t 1 2 e + en Ke = t 1 2 e. 2. Zij K n = K K... K. 3. Zij n(x) =(t t 1 2 ) n Tr(XK n ). Deze data voldoen aan alle condities van het basislemma... Deze data geeft de Jones knopenpolynoom!

35 Voorbeelden

36 Operatoren op Hilbert ruimtes Hilbert ruimte H = {,,...}, h, i 2C. Voorbeeld: l 2 (N, C) en hf,gi = X f(n)g(n). n2n Definitie B(H): afbeeldingen T : H! H zodat 9T : H! H, 8, 2 H, h,t i = ht, i. B(H) is unitale -algebra van begrensde, lineaire operatoren.

37 Commutatie Definitie Operatoren S, T 2 B(H) commuteren: ST = TS. Definitie (Commutant) Zij S B(H). Dan S 0 = {T 2 B(H) TS = ST, 8S 2 S }. Definitie (Projectie-operatoren) e = e = e 2 2 B(H), G = eh H.

38 von Neumann algebra s Definitie (von Neumann algebra) von Neumann algebra: unitale -algebra M B(H) zodat M = M 00.

39 Factoren Definitie (Factor) Factor: von Neumann algebra M met M \ M 0 = C. II 1 -factor: (1-dim.) factor met een positief spoor : M! C, lineair, (1) = 1, (a a) 0, (ab) = (ba), 8a, b 2 M.

40 Groepsfactoren Voorbeeld een groep: g : l 2 ( )! l 2 ( ), ( g f)(h) =f(g 1 h). Dan 1. L( )={ g g 2 } 00 von Neumann algebra, 2. spoor: ( g )= g,e = h e, g ei. 3. Als oneindige conjugatieklassen: factor van type II 1! Open probleem: L(F 2 )=L(F 3 )? L( ) ) : S. Vaes (KU Leuven) Francqui-prijs 2015!

41 Continue dimensie Definitie (Dimensiefunctie) II 1 -factor M B(H): dim M (H) 2 (0, 1]. Definitie II 1 -factor M: HilbertruimteL 2 (M) via ha, bi = (a b). Dan voor m 2 M: m : L 2 (M)! L 2 (M), m 0 : L 2 (M)! L 2 (M), n 7! mn, n 7! nm. e 2 P(M) ) dim M (e) :=dim M (L 2 (M)e).

42 Voorbeeld: oneindig tensor product Voorbeeld M = M 2 (C) M 2 (C) M 2 (C)..., =tr tr tr... met a b tr = 1 (a + d). c d dim M B C A = 1 2 {z } n. n

43 Subfactoren Definitie Subfactor: (unitale)inclusien M van type II 1 -factoren. Definitie (Index) N M eindige index als [M : N] :=dim N (L 2 (M)) < 1. N M eindige index ) N 0 \ M eindigdimensionale algebra.

44 Een hint van het mysterie Stelling (Jones, 1983) Zij N M een subfactor. Dan [M : N] 2 {4 cos n =3, 4, 5,...} [ [4, +1]. n

45 De Jones constructie Definitie N M subfactor: M 1 = {n 0 n 2 N} 0 B(L 2 (M)). Lemma 1. N M subfactor ) M M 1 subfactor. 2. [M : N] =[M 1 : M].

46 De Jones toren Definitie N M subfactor: Jones toren N = M 1 M = M 0 M 1 M 2...

47 Jones projecties Definitie N M subfactor: Jones projectie e n : L 2 (M n 1 )! L 2 (M n 2 ) L 2 (M n 1 ). Lemma N M subfactor met [M : N] < 1. I e n e n±1 e n =[M : N] 1 e n. I (xe n )=[M : N] 1 (x) voor x 2 M n 1.

48 De cirkel is rond N M subfactor met [M : N] < 1. I Neem t 2 C zodat 1 t (1 + t)2 =[M : N]. I Stel A n = M n. I Spoor : M n! C. I Representatie i 7! e i = p t(te i (1 e i )). ) Dit voldoet aan al de condities van het basislemma!