Module wiskunde D (h/v)

Transcriptie

1 Module wiskunde D (h/v) km/u 5 uitgewerkte voorbeelden van otimalisering met minimale contet en km maimale toegeaste analyse 5 km/u C D B km voor HVO en VWO wiskunde B en D huis ladder schutting (en de grafische rekenmachine alleen voor de illustraties) Henk Pfaltzgraff, januari 0 - -

2 5 modellen toegeaste analyse voor wiskunde B met uitgewerkte antwoorden, zonder grafische rekenmachine o te lossen in een gematigde contet. Een model beschrijft een situatie wiskundig (algebraïsch, analytisch) met de bedoeling daar conclusies uit te trekken of voorsellingen te doen. De grafische rekenmachine wordt hier alleen gebruikt als illustratiemateriaal. De contet moet een minimum aan 'ruis' (woorden) bevatten. Het is daarbij nodig, de werkelijkheid te vereenvoudigen tot een hanteerbaar geheel van unten, lijnstukken en goed gedefinieerde grootheden. Het olossen is dus toegeaste algebra en/of toegeaste analyse en verloot volgens een staenlan: - Geef de betrokken grootheden (variabelen) een naam. Gebruikelijk is de letter voor de variabele die vooralsnog onbekend is. Let o de randvoorwaarden: het domein (de grenzen) van de variabelen. - Druk het verband tussen de verschillende variabelen uit in een formule (functie). - Vul een aantal waarden in voor de verschillende variabelen (substitutie) om een idee te krijgen van de olossingen. ( dit is de oriëntatie fase) - Bij een algebraïsch model: stel een vergelijking o met die functie en los die vergelijking o. - Bij een otimaliseringsmodel: beaal de etreme waarde(n) van die functie via differentiëren. - Controleer het antwoord, bijvoorbeeld met een grafiekje o een grafische rekenmachine. Naar de aard van de in het leerlan wiskunde B voorkomende functies is een indeling gemaakt in tyen ogaven:. Tweede- (en -derde)graads functies B. Wortelfuncties C. Gebroken functies D. Gemengde functies (de met een * gemerkte ogaven zijn lastig) Verschillende asecten hiervan komen aan de orde in het volgende standaard voorbeeld. Voorbeeld. Een boer heeft een rechthoekig stuk land afgebakend met schrikdraad. an één kant grenst het land aan een sloot, daar is geen schrikdraad nodig. In de vragen d en e wordt een otimale oervlakte of lengte gezocht. Vraag a, b en c zijn ter voorbereiding. (a) Bereken de oervlakte van de rechthoek, als de breedte 5 m is en de totale lengte van het schrikdraad 00 m is. (b) Bereken de lengte van het schrikdraad, als de oervlakte 600 m is en de breedte 80 m is. (c) Bereken de breedte van de rechthoek, als de oervlakte 500 m is en de lengte van het schrikdraad 50 m is. (d) Wat is de maimale oervlakte die de boer kan afbakenen met 0 meter schrikdraad? (e) Hoeveel meter schrikdraad is minimaal nodig om een gebied van 00 m af te zetten? ntwoorden. Noem de breedte van de rechthoek, de oervlakte van het gebied O en de lengte van het schrikdraad L. De randvoorwaarden zijn: > 0, O > 0, L > 0 en < ½ L. Lengte = L O. = O sloot - -

3 (a) O uitdrukken in L en : O = (L ) = 5(00 0) = 5 70 = 050 (m ) (b) L uitdrukken in O en : O 600 L (m) 80 (c) uitdrukken in O en L: O ( L ) dus, geeft L O 0 L L 8O, met twee olossingen: = 50 en = 5 (m). Beide olossingen voldoen. do (d) Uit (a) volgt O (0 ) dus 0 d ; do d 0 levert = 0 en O ma = 0 60 = 800 (m ) De maimale oervlakte die met 0 meter schrikdraad kan worden afgebakend is dus 800 m. De grafiek van O tegen (links hieronder) is niet meer dan een illustratie, een laatje, en seelt bij de olossing verder geen rol. (e) Uit (b) volgt 00 L dus dl d 00 ; 0 d levert = 600 en = 0 dus L min = 60 (m) dl De minimaal nodige hoeveelheid schrikdraad is 60 m. Grafiekjes: O 800 O 0 L 00 L De uitgewerkte antwoorden van de volgende ogaven staan o agina 0 en verder. - -

4 Een variant o vraag 0 van het eamen vwo wiskunde B 0-I ('vierkanten') 6. Zie de figuur hiernaast. De drie gearceerde vierkanten, B en C liggen aaneengesloten binnen een vierkant van 6 bij 6. (a) Bereken de oervlakte van B als de oervlakten van B en D gelijk zijn. (b) Bereken de maimale oervlakte van het resterende deel (D) van het grote vierkant. B D 6 C Maimale oervlakte van een arallellogram binnen een rechthoek. Gegeven is rechthoek BCD met B = 8 en BC =. O de zijden van deze rechthoek liggen de unten P, Q, R en S zo dat P = S en CQ = CR. Bereken de maimale oervlakte van arallellogram PQRS. S D 8 R C Q P B. O de lijn y 0 0, 5 en in het eerste kwadrant ligt unt P. Bereken de minimale afstand van P tot de oorsrong O. y= 0 0,5 P(, 0 0,5) a O Minimale afstand tussen scheen. Schi zit o tijdsti t = 0 (t in uren gemeten) 00 km ten Noorden van de oorsrong van een assenstelsel en vaart in zuidelijke richting met een snelheid van 6 km er uur. Schi B zit o t = 0 00 km ten oosten van de oorsrong en vaart met een snelheid van 8 km/u naar het westen. O welk tijdsti is de afstand B tussen de scheen (hemelsbreed) minimaal? Bereken de minimale afstand in km. Wat zijn de coördinaten van de scheen o dat tijdsti? (0,00) 6 km/u 8 km/u B(00,0) - -

5 Een derdegraads model: maak van een netwerk een doosje 5. Van een rechthoekig stuk karton van 80 bij 50 cm wordt aan de hoeken vier keer een vierkantje met zijde afgeknit. Bereken de maimale inhoud van het doosje (zonder deksel) dat daarvan gevouwen kan worden Drie dimensies 6. Deze ogave gaat over een staeling van kubusvormige dozen. Doos I wordt in de hoek van een kamer geschoven, de dozen II, III en IV daartegenaan (ook tegen de muren aangeschoven). De kubussen II, III en IV zijn even groot. Deze vier dozen assen recies binnen een denkbeeldige kubus met een ribbe van (meter). Bereken de minimale inhoud in liters van de dozen I+II+III+IV samen. IV II I III B. Een gasij moet worden aangelegd, loend van een boortoren km uit de kust naar een centrale, 0 km verdero langs een rechte kustlijn. De kosten voor aanleg in de zee zijn miljoen er kilometer; de kosten over land zijn miljoen er kilometer. Leg een -as langs de kustlijn en geef de boortoren de coördinaten B(0,) en de centrale C(0,0). (a) Stel dat de totale kosten o 6 miljoen euro uitkomen. De ij komt in het unt P aan land. Bereken in dat geval de ositie van P. (b) Bereken de minimale aanlegkosten. B(0,) miljoen er km zee miljoen er km O P(,0) C(0,0) kust variant o het havo eamen 0-I vraag 0- Kortste route C(0, 7) B. Gevraagd wordt de lengte van de kortste route van (0, 5) naar C(0, 7), via een unt P o de -as. (0, 5) P(, 0) - 5 -

6 B. Iemand wil een zo groot mogelijk gebied, grenzend aan een brede sloot, afschermen met twee rechte stukken schrikdraad, elk van 60 meter lengte. Wat is de maimale oervlakte van het afgebakende land? 60 sloot 60 B. Iemand wil een gelijkbenig traezium maken met drie gelijke zijden, elk 0 meter, grenzend aan een sloot. Wat is de maimaal af te bakenen oervlakte? sloot B5. Een ersoon o een woonschi o km van het dichtstbijzijnde unt B o een rechte wal, roeit iedere ochtend met een snelheid van km/u naar de wal, o weg naar een café C dat o een afstand van km van B ligt. Het laatste stuk DC wandelt hij eventueel (met een snelheid van 5 km/u). We laten even in het midden wat deze ersoon daar elke ochtend te zoeken heeft. Hoe dan ook, interessant is het te weten, wat de kortste reistijd is van via D naar C. C 5 km/u km/u D B km km B6. Wat is de uitkomst van de vorige ogave, als de afstand van B naar C gelijk is aan kilometer? km/u km 5 km/u C D km B - 6 -

7 C. Een blikfabriek maakt onder andere cilindervormige blikken voor de conservenindustrie. Er is veel vraag naar blikken met een inhoud van liter. Voor de fabrikant is het belangrijk dat daar zo min mogelijk blik voor nodig is, dan blijven zijn kosten laag. Welke afmetingen zal hij zijn literblikken geven? Neem aan dat elk blik zuiver cilindrisch is en dat de benodigde hoeveelheid blik gelijk r is aan de totale oervlakte van het blik. De twee bealende variabelen zijn dan de straal van (het grondvlak van) het blik r en de hoogte h, neem beide in cm. Het gegeven betreft de inhoud van een blik ( liter = 000 cm ), de eis betreft de oervlakte die liter minimaal moet zijn. Voor het volume V van een cilinder geldt: V = πr h. Voor de oervlakte van een cilinder geldt: = πrh + πr. (a) Druk h uit in r. (b) Druk uit in r. (c) Bereken de otimale afmetingen (d.w.z. met de minimale hoeveelheid blik voor liter inhoud). h Gunstigste afmeting van een agina C. Een agina uit een boek heeft een oervlakte van 50 cm. De marges zijn cm links/rechts en cm boven/onder. Bereken de otimale lengte en breedte van het aier, waarbij er zoveel mogelijk tekst o iedere agina komt. Zo weinig mogelijk grond koen C. Een tuinder wil zijn kas uitbreiden tot een rechthoek met een oervlakte van 800 m. Hiervoor moet grond gekocht worden. Rondom de kas moeten aden van en 9 meter vrijgehouden worden. Zie de tekening. o. kas = 800 m Bij welke afmetingen van de kas hoeft hij zo weinig mogelijk grond te koen? 9 Zo goedkoo mogelijk behangen y C. Een vakantiehuisje met kamers en een vloeroervlakte van 50 m moet worden gebouwd. De breedte ( meter) en de lengte (y meter) liggen nog niet vast. De muren moeten worden behangen (niet boven de deuren van meter breed). De kosten daarvan zijn k euro er m en moeten minimaal zijn. De hoogte van het lafond is h meter. Welke afmetingen en y leveren de minste kosten o? - 7 -

8 D*. Iemand wil een ladder koen om zijn dakgoten schoon te maken. Vlak naast zijn huis o m van de muur staat echter een schutting van m hoog. Hoe lang moet een ladder minstens zijn om over de schutting tegen de muur van het huis te komen? ladder schutting huis Een variant o som -5 eamen wisk B vwo 0-I B D*. Zie de tekening. Een lank B met een lengte van meter steunt o de laats S o een muurtje ST van meter hoogte. Punt beweegt over de grond in de richting van het muurtje. B ' is de rojectie van B o de grond. De vraag is, hoe groot de maimale uitwijking TB ' is. S T y B ' D*. Een gebied met een oervlakte van 800 m, grenzend aan een rechte sloot, wordt afgebakend door twee rechte, gelijke stukken schrikdraad. Bereken de minimale lengte van het schrikdraad. 800 sloot D. Punt P beweegt over de grafiek van f ( ) 8 met 0 P,5. O is de oorsrong. Q en R zijn de rojecties van P o de y-as en de -as. ls P naar rechts gaat, wordt OR groter en RP kleiner. Daarbij verandert rechthoek ORPQ. (a) Bereken de maimale oervlakte van ORPQ. (b) Bereken de coördinaten van P als PO = 5. (c) Bereken de minimale afstand van P tot O. (d) Bereken de maimale afstand van P tot O. Q y-as O P R -as D5*. Een lange, onbuigbare staaf met lengte L moet om een rechte hoek getransorteerd worden, tussen twee gangen van en meter breed. Zie het laatje. Onderzoek bij welke waarden van L dat transort mogelijk is. anwijzing: druk L = L + L uit in hoek. L L - 8 -

9 D6*. Een gebied met een oervlakte van 800 m, grenzend aan een rechte sloot, wordt afgebakend door drie even lange, rechte stukken schrikdraad. Bereken de minimale lengte van het schrikdraad. 800 m sloot anwijzing. Noem de zijden van het traezium, de lengte van het schrikdraad is dan L =, en druk de oervlakte O uit in en hoek α. h sin α dus h sin α en cosα dus cosα h α 800 m α - 9 -

10 NTWOORDEN. (a) Stel dat de zijde van vierkant B is. Dan geldt voor de oervlakte van vierkant D: D() = 6 (6 ) = met de olossing = en o. B = 9. (b) D () = 6 ( + (6 ) ) dus ( + (6 ) ) moet minimaal zijn. Differentiëren: + ( 6) = 0 dus = en D () = o. D =. Om. Voor < overlaen en C elkaar. D (). Stel P =, dan komt er voor de oervlakte: (8 )( ) = (6 ) Differentiëren en nul stellen geeft = met als maimale oervlakte 8.. (,0 P ). De afstand OP = a ( 0 ). Merk o, dat als a minimaal is, dat dan ook a (0 ) minimaal is. da ( (0 )) 0 dus = en a () = d is de minimale afstand van P tot O. y= 0 0,5 P(, 0 0,5) a O. (0, 00 6t) en B (00 8t, 0). Stel d (t) is de afstand tussen en B. ls d (t) minimaal is, is d (t) dat ook. Je kunt dus verder werken met d ( t) (00 6t) (00 8t). Differentiëren geeft -(00 6t) 6(00 8t) = 0 uitgewerkt tot t = 0 en d (0) = De minimale afstand is dus 00 km en de scheen zijn dan o de coördinaten: (0, 80) en B (-60, 0). 5. Inhoud = (80 ) (50 ) De afgeleide nul stellen levert: = 0 olossingen: = 0 en (deze vervalt) Maimale inhoud: 8000 (cm ) (80 ) (50 ) 0 6. Stel dat de ribbe van doos I gelijk is aan (meter). Randvoorwaarde is, dat < < moet zijn. De dozen II, III en IV hebben dan een ribbe van ( ). De inhoud van I+II+III+IV is gelijk aan f () = + ( ). De minimale inhoud daarvan vinden we na differentiëren en nul stellen: f '() = + 9 ( ) = 9( ) = 0 dus = 9( ) met de olossingen:, = ± (de olossing + vervalt vanwege de voorwaarde < ). IV II I III - 0 -

11 Dus,68 m en de minimale inhoud is f (,68) = 5000 cm = 5 dm (liter). Ogemerkt kan nog worden dat voor = alle vier de kubussen gelijk zijn en de totale inhoud 000 liter is. En voor = wordt de kubus totaal gevuld door kubus I (8 m ). + ( ),7 B. (a) OP = ; PC = 0 en BP 9. De totale kosten K (in miljoenen Euro) zijn: ogelost is: dus (0 ) 9 en de vergelijking die moet worden K De olossing hiervan volgt uit: = 0 dus = (km) en P(, 0). 9 6 wat na kwadrateren geeft: ( + 9) = (b) De afgeleide nul stellen geeft: dk 0 d 9 9 wat na kwadrateren de olossing =,7 km olevert. De kosten zijn dan 5, (miljoen euro). dus K (0 ) 9 Merk o, dat aan de randen van het domein (bij = 0 en = 0) de kosten hoger uitkomen. ls P samenvalt met O, krijg je K = 6 (miljoen euro), als P samenvalt met C, krijg je K = 0,9 (miljoen euro). 0,7 0 B. L ( 5) ((0 ) 9 0 L (( 0) + 9)) = (0 ) ( + 5) 9 = 5 (0 ) 9 = [ of: 7 = ± 5(0 ) ] = 0 [ Terzijde (hiernaast). Kan ook via gelijkvormigheid D = 700 ogelost worden: , geeft = enz. ] B. Stel dat de basis van de gelijkbenige driehoek is. De hoogte van die driehoek is dan h 600 en de oervlakte is: O( ) 600. Na differentiatie met de roductregel volgt O( ) Nulstellen van de afgeleide en kruislings vermenigvuldigen leidt tot 600 met de olossing = 800 en de maimale oervlakte is Oma = 800 (m ). - -

12 B. ( 0) De oervlaktefunctie is O( ) ( 0) 600 met O( ) Hieruit volgt 600 = + 0 met de olossing = 0; de maimale oervlakte is m. B5. De gunstigste (otimale) ositie van het unt D moet beaald worden. Stel: DB = (de eenheid is km). Volgens de stelling van Pythagoras is nu D = + dus D = en DC =. De tijd is de weg gedeeld door de snelheid, dus is de totale tijd T gelijk aan: T D DC T 5 C 5 km/u km/u D B km 5 met olossing en een reistijd van 56 minuten. km B6. ls BC = (odracht B5) krijg je T neem 0 ; 5 ls BC = (odracht B6) krijg je de functie T met 0. De grafieken daarvan zijn: 5 0 0,5,5,5 0 0,5 BC = BC = Minimum bij =,5 Randminimum bij = In het laatste geval is rechtstreeks roeien van naar C (niet loen) de otimale, snelste route; de olossing =,5 valt dan buiten het domein 0 (en is daardoor dus geen olossing meer). C. (a) Met V = 000 vind je 000 = πr 000 h en dus: h. πr (b) ls je nu in de formule voor deze uitdrukking invult voor h, dan vind je: π rh+πr π r +πr πr πr r. d (c) De afgeleide nul stellen geeft: 000 π r 0 dr r met de olossing 000 r 59,5 dus π / 59,5 59 (cm) r 5, en h 0,8 (cm). Hiernaast de grafiek om te laten zien dat het inderdaad om een minimum gaat. 55 = πrh + πr 5, r - -

13 C. Noem de breedte van het aier (cm), de lengte is dan 50 (cm). 50 De oervlaktefunctie voor het tekstgedeelte is O( ) ( )( 6). do ( 50 6) ( ) ( 50 ) 0 geeft: d ( ) = 0 met de olossing = 60 = 6 0 9,0. 50 O( ) ( )( 6) Het aier heeft in dat geval het formaat 9,0 bij 8, cm. 9 C. Stel de lengte en breedte van de kas o en 800 (meter). De benodigde grondoervlakte is dan: O. ( )(6 ) De afgeleide nul stellen geeft: 6 0 met = 60. De kas zal 60 bij 0 meter zijn. 800 ( )(6 ) 60 C Oervlakte y 50 dus y en K ( ) kh ( ). 00 Differentiëren geeft 0 met = 5 en otimale afmeting 5 bij 0 meter. D*. Noem de lengte van de ladder L (meter). De voet van de ladder staat o afstand van de schutting. Uit de gelijkvormigheid van driehoeken volgt: 9 L dus ( ) 9 L ( ). L ladder schutting huis De (teller van de) afgeleide hiervan moet nul zijn: { ( 9) ( ) } ( ) ( 9) 0 ( 9) ( ) 9 L ( ) De olossing hiervan is 9,08 en de minimale lengte is L(,08) 5, (meter). - -

14 D*. T = ; TB '= y; S. Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken TS en B 'B volgt: y dus y Differentiëren en nul stellen geeft: Uitwerken tot ( ) ( ) ( ) dus ( ) 0 dus ( ) 6 met ( ). ( ) 6 6,5 dus,5 en y 0,9 D*. 800 Olossing. De hoogte van de driehoek is 800/ dus de lengte is L( ) Differentieer met de kettingregel: L( ) ( ) Dit geeft 0000 en De minimale lengte is L(00 ) = 0(meter). D. (a) O. ORPQ = 8 differentiëren: geeft 8 = dus ma. = 6. (b) PO 8 5 geeft - + = 0 met twee antwoorden: P(, ) en P(, 6). (c) fstand = 8 differentiëren: ( ) 0 8 8,5 geeft = dus min. = Merk o, dat je ook kunt werken met het kwadraat van de afstand (zonder kettingregel dus), want als PO minimaal is, dan is PO dat ook. (d) De maimale afstand is OP ma =,5 (randmaimum, zie de grafiek). Er zijn twee randmaima: bij = 0 is OP = 8, (en bij =,5 is OP =,5 en,5 > 8). 0,5 D5*. cos sin L L 0 cos sin sin cos sin cos tan met tan α = 0.75 / en α = tan (0.75) dus 0, 775 en L ma 9, 866 m. L 0,7 α - -

15 D6*. Stel de lengte van de drie gelijke zijden is. Er geldt: h sin α dus h sin α en cosα dus cosα De oervlakte is O () = h+h = cosα sinα sinα sin αcosα sin α sin α( cosα) 800 dus de lengte van het schrikdraad L(α) maimaal is. Differentiëren en nul stellen hiervan geeft: 800 sin α( cos α) Met de stelling van Pythagoras kan dit geschreven worden als. Dit is minimaal, als de noemer sin ( cos ) cos α( cos α) sin α sin α cos α sin α cos α 0 cos α ( cos α) cos α cos α cos α 0 waarna de abc-formule de olossing geeft. Dit invullen en er komt voor de minimale lengte: 800 MIN ( ) 800, 7 (meter). Deze uitkomst is iets gunstiger dan de 0 meter bij odracht L B en de voorbeeldogave aan het begin van deze module. We hebben drie varianten (a, b, c) bekeken met minimale omtrek en maimale oervlakte, zie de ogaven B, B en D. Telkens gaf hierbij de variant met het gelijkbenige traezium een gunstiger resultaat dan de andere twee varianten. 0 De otimale hoekwaarden ( 0 5, 60 ) geven aan, dat het hier gaat om een half vierkant (bij variant a en b) en een halve regelmatige zeshoek (variant c). Figuren met veel symmetrie kunnen veel oervlakte "omvatten" met een gegeven omtrek. ndersom gezegd, een gegeven oervlakte wordt bij een symmetrische figuur door een minimale omtrek omsannen. De figuur met de meeste symmetrie, de (halve) cirkel, is hiervan het beste voorbeeld: bij een oervlakte van een halve cirkel van 800 m hoort schrikdraad van 60 06, m (bij het vierkant 0); half-cirkelvormig schrikdraad van 0 m omvat een oervlakte van ongeveer 9 m (bij het vierkant 800). α h 800 m α 5 o 60 o a b c d - 5 -