04 Meetkunde. hoofdstuk. 4.1 Uitslagen

Transcriptie

1 hoofdstuk 0 eetkunde bladzijde 06 e schuine muren aan de benedenkant van de woning. e vloeren en de plafonds zijn regelmatige zeshoeken of regelmatige driehoeken. ovenaanzicht:. Uitslagen bladzijde 08 e figuren a, b en d kunnen de uitslag van een kubus zijn. e figuren a, b en d kunnen de uitslag van het prisma zijn. bladzijde

2 a is een vergroting van. Omdat = en = is de vergrotingsfactor =. us = met = + = +. itgeeft+ = ofwel = endus = 6. b

3

4 bladzijde 6 P = P = Q = Q = R = R = S = S = K met K is het midden van. PQ = QR = RS = SP =. R K R S S Q P S P Q 7 Van figuur b. e straal van de cirkels in figuur b is 0,8 cm en de omtrek is dus π 0,8 cm. it komt overeen met de lengte van de rechthoek. bladzijde 8 a Omtrekcirkel met R = cmisπ = 6π cm. Lengte cirkelboog is 90 6π =,π cm. 60 Omtrek grondcirkel is πr cm. us πr =,π r = 0,7 cm bomtrekcirkelmetr =, cm is π, = π cm. Lengte cirkelboog is 0 π = 60 π cm. Omtrek grondcirkel is πr cm. us πr = π r = cm, cm c Omtrekcirkel met R = cmisπ = π cm. Lengte cirkelboog is 00 0 π = 60 π cm. Omtrek grondcirkel is πr cm. us πr = 0 π r = cm,7 cm

5 bladzijde 9 Omtrek cirkel met straal R is πr. p Lengte cirkelboog is 60 πr = p 80 πr. Omtrek grondcirkel is πr. us πr = p 80 πr r = p 60 R 0 Stel de middelpuntshoek is p. p r geldt π = π 60 p 60 0 = 6 p 60 = 0,6 p = 0,6 60 = 6. us de middelpuntshoek is 6. a R = + = e middelpuntshoek van de uitslag van de mantel is 6 (zie opgave 0). 6

6 p b π = π 60 p 60 = 0,8 p = 0,8 60 = 88, dus de middelpuntshoek van de uitslag van de mantel is a e afmetingen zijn π = π cm en cm. b cm π cm c e stelling van Pythagoras geeft = (π) + 8,9, e lengte van het touwtje is ongeveer, cm. fstand is 6 = m. Op vier keer, dus per keer =, m. iameter mast is 9 cm, dus straal is, cm en omtrek is π, = 9π cm. Voor één winding krijg je us lengte één winding is + (9π) 8,6 cm. Lengte vlaggentouw is 8,6 cm. cm 9π cm

7 . Oppervlakte van vlakke figuren bladzijde 6 e oppervlakte van de gegeven figuur is gelijk aan de oppervlakte van een rechthoek van 7 bij cm. e oppervlakte is dus 7 = cm. bladzijde 8 a O (QP) = O (N) O (Q) = N = = is niet de helft van 7, dus PQ verdeelt de achthoek niet in twee stukken met gelijke oppervlakte. b O () = O (S) O (RS) O (R) = 9 9 S = = 8 us O () = 7 8 =. O () :O () = 8 : R = 7 : 09 P Q 6 a O () = O () = (a + b)h b O () = O () + O () = ah + bh = h(a + b) = (a + b)h a h b

8 7 a O = = cm b O = = = cm c O = + π = + π, cm = mm d e oppervlakte is gelijk aan de oppervlakte van het trapezium, dus O = ( + ) = 9cm. e e oppervlakte is gelijk aan de oppervlakte van een rechthoek met zijden van en cm plus de oppervlakte van een halve cirkel met straal cm, dus O = + π = 6 + π 7,7 cm = 77 mm

9 bladzijde 9 8 O () = O () = = = 6 = 8 e gevraagde oppervlakte is π 8 = 9π 8 0,7 9 a In is = 60 = 60 6 b = en = 60, dus is gelijkzijdig en dus is = = =. In N is N + N = + N = N = 6 =, dus N = O ( ) = 6,9 c O () = 6 O ( ) = 6 6,9,6 N OS VOORKNNIS a cos = 7 = 7 cos,7 sin = 7 = 7 sin,0 btan Q = 6 Q bladzijde 0 0 = 60 = 7, dus N = 6. tan 6 =, N N =, tan 6,09 O () =,09,0 6, N, = 60 8 cos, = N 6 N = 6 cos,,8 =, dus N =,. sin, = N 6 N = 6 sin,,96 dus,9 O () = 8,9,8 0,8 6, N

10 In is tan 70 = 0 = 0 tan 70,697 In is tan 0 = 0 = 0 tan 0,97 us = + =,697 +,97=,7 O () = =,7 0 77, bladzijde a 70 8 bin is sin 70 = = sin 70,70 O () = = 8,70 8,8 c In is sin = b = b sin O () = b = c b sin = bc sin c a ebruik de formule van opgave c. it geeft O ( ) = sin = 0 0 sin 80 9, b O (segment) = O (sector) O ( ) = π 0 9, 0,7 e hoeken bij zijn allemaal 60. O () = O ( ) + O (sector ) = sin π 7,7

11 bladzijde 6 In N is sin N = N 6,87 us 7,7 Ook 7,7 en 7,7, dus voor de cirkelsectoren blijft over 60 7,7 8,78. O () = O ( ) + O (cirkelsectoren) 8,78 = sin 7, π 66, N 7 P 6 R N 6 Q sin PR = PR 8,68, dus PQ 77,6 sin PNR = 6 PNR,6, dus PNQ 9, O (gebied) = O (sector PQ) O( PQ) + O (sector PNQ) O ( PQN) = 77,6 60 π 9, sin 77, π sin 9,,8

12 . Oppervlakte van ruimtefiguren bladzijde 8 O (cilinder) = O (grondcirkel) + O (cirkelmantel) = π + π = 8π + π = π cm 9 a Stel de middelpuntshoek is p. p R = + = r geldt π = π 60 p 60 0 = 6 p 60 = 0,6 p = 0,6 60 = 6 us de middelpuntshoek is 6. b O (kegelmantel) = 6 60 π 7, cm 7 cm c O (kegel) = O (grondvlak) + O (kegelmantel) π + 7, 7 cm bladzijde 0 sin, = 7 R 7 R = sin, 8,9 O kegel = πr + πrr π 7 + π 7 8,9 6, cm R, 7 O grondcirkel = 00 cm O grondvlak = πr } πr = 00 r = 00 π r,6 cm R = 0 + (,6) R,8 cm O kegelmantel = πrr π,6,8 0, cm R 0,6

13 } O grondcirkel = 0 cm O grondcirkel = πr πr = 0 r = 0 π r,99 cm O kegelmantel = 7 cm O kegelmantel = πrr π,99 R sin =,99,98,9 us tophoek = 8. } π,99 R = 7 R = 7,99π R,98 cm,98,99 a N N = N x x x + 6 = N x = (x + 6) x = x + x = 6 x = b O kegelmantel = πrrmet r = enr = + R = + 0, dus R = O kegelmantel = π 7,6 c Van de kegel met top en straal grondcirkel N is O kegelmantel = πrrmet r = enr = N + N R = +, dus R = 0 O kegelmantel = π 0 8,0 us de oppervlakte van de mantel van de afgeknotte kegel is 7,6 8,0 = 7,. d O afgeknotte kegel = π + π + 7, 8,6 N N = N x x x + = 0 0x = (x + ) 0x = x + 6x = N x = 7 cm = N + N = + (7 ) 8, cm = + = 0 + (8 ) 0,88 cm O (kapje) = π π N cm π 0 0,88 π 8, cm cm 0 cm

14 O cilinder = π + π 0 = π + 80π = π O cilinder = π + π h = 8π + πh r geldt 8π + πh = π πh = 0π h = 0 h = 6 bladzijde 6 6 e rechthoek is ( ) bij 6 m, dus 6 bij 6 m. e twee kwart cilinders vormen samen een halve cilinder met r = menh = 6m. O (skatebaan) = π 6 = 6 + 8π 9, m. ateriaalkosten = 9, O (mantel in figuur.b) = π 0 08 cm, dus O (mantel in figuur.a) 08 = 7 cm. bladzijde 8 8 O bol met straal r = πr = 8πr O bol met straal = π = 00π r geldt 8πr = 00π r =, r, } 9 omtrek aarde = km omtrek aarde = πr πr = r 666 km O aarde = π km us O (oceanen) = 0, km. 0 a e straal van een bal is cm, dus O bal = π = 6π cm. O cilindermantel = πrh = π = 7π cm. r geldt 6π = 7π, dus Linda heeft gelijk. b Zie de figuur. In OP is sin 60 = r r 0,866 = r r r = 0,866( r) r =,98 0,866r,866r =,98 r,9 cm c ls de knikkers recht boven elkaar worden gelegd, dan is de benodigde hoogte 8,9 =, cm en dit is minder dan cm. d O (twaalf knikkers) = π,9 9 cm e O (twee ballen) = 7π 6 cm, dus O (twaalf knikkers) = 9 O (twee ballen) 6,9O (twee ballen) O r 60 P r r

15 . Inhoud van ruimtefiguren bladzijde 0 a I kegel = I cilinder = πr h b I bol = I kegel = πr r = πr bladzijde h = r Stel de straal van een tennisbal is r. e inhoud van de doos is dan πr 6r = 6πr. e inhoud van de tennisballen is πr = πr. et percentage is dus πr 6πr 00% = 6 00% 66,7% a + = + = 6 = 7,96 I ( ) = 6,96 8,7 6 6 b KN + N = K + N = N = N = I (L K) = 0 9 = 80 K N c P + = P + = =,6 I kegel = π,6, P

16 bladzijde Zie het ruimtelijk plaatje van de piramide. In PS is P = cmenps = cm (opmeten in de uitslag). us PS + S = P geeft + S = S = S,7 cm O (PQ) = = =, cm P S Q I piramide =,,7,0 cm J K L 6 8 I 8 P Q I (woning) = I ( ) I (IJ PK) I (QK L) I (K PQ) = = = 88 m 6 m m 6 m m m m I ( ) = = 8m I (huis) = I (onder voor) + I (onder achter) + I (dak voor) + I (dak achter) + I ( ) = = = 8 m

17 bladzijde 7 et grondvlak is een regelmatige zeshoek met zijden van, = 7, cm. e hoogte van het doosje is,7 =,7 cm. O ( ) = 7, 7, sin 60,6 cm us O (zeshoek) = 6,6 6, cm en I (doosje) = 6,,7 009 cm 60 7, cm 7, cm 8 r bol = cm, dus I bol = π,6 cm I cilinder = πr 0 = 0πr us 0πr =,6 r =,6 0π r, cm, dus r cilinder mm 7, cm I kegel = πr 0 = 0 πr us 0 πr =,6 r =,6 0 π r 7, cm, dus r grondcirkel kegel 7 mm 9 Stel de straal van de cilinder is r. an is de hoogte van de cilinder (en van de kegel) r. I kegel = πr r = πr I bol = πr I cilinder = πr r = πr us I kegel : I bol : I cilinder = πr : πr :πr = : : = ::6 = :: bladzijde 0 a I (systeem) = I (balk) + I (buizen) = 00 + π 7, (00 0) 0 8 cm b Stel de lengte van het extra stuk buis is l cm. an geldt π 7, l = l = 6 cm π 7,

18 a Zie de figuur. is het midden van de omgeschreven bol en is de straal. = + = + = = + = + = 8 us = 8 en r = = 8,6 I bol = π,6 7, cm I bol I kubus 7, = 0, cm. cm cm cm bebruikr bol,6 cm. Zie de figuur hiernaast. a Zie de figuur met het kiepkarretje op de kop. Omdat = en = heb je te maken met een afgeknotte piramide. e hoogte van de hele piramide is m. b I (kar) = I ( ) I ( ) =, = 8 = 7m, m m m m

19 e emmer heeft de vorm van een afgeknotte kegel. Zie de figuur. = dus x x + = 0 x = 0(x + ) x = 0x + 0 x = 0 x = 0 cm cm I (emmer) = π 7 π 0 0 cm, liter 0 cm. oorsneden bladzijde 6 x zeshoek en driehoek

20 bladzijde 7 a f b g c h c d i e i

21 6 a riehoeken, vierhoeken en zeshoeken. b riehoeken, vierhoeken en zeshoeken. c riehoeken en vierhoeken. bladzijde 9 7 a Q b Q P P R

22 bladzijde 0 8 P 9 60 R P Q

23 6 K L bladzijde 6 Stapeling van cilinders, elk met hoogte cm. Opmeten geeft diameters,,, en, cm. us de stralen (schaal : ) zijn,,, en, cm. Inhoud vaas = π + π + π, + π, = π( + +, +, ) 96 cm 6 a Op de foto is de hoogte van de bolder ongeveer, cm, dus de schaal van de foto is ongeveer : 000. Opmeten geeft diameter eerste verdieping ongeveer 8 m. us de oppervlakte is π 60 m. b Opmeten geeft diameter vijfde verdieping ongeveer m. us oppervlakte is π 0 m. c Vat het onderste gedeelte op als een cilinder met r = m en h = 0 m. otale inhoud = π m. bladzijde 6 Inhoud koffiefilter (, + π ) + (,8 + π, ) + (6,8 + π, ) + (0,8 + π ) + π 6, 7,9 + 7,6 + 7,0 +, + 7, 700 cm

24 iagnostische toets bladzijde 6 a = = + = b

25 a R = 6 + = 0 6, cm Stel de middelpuntshoek is p. p r geldt 60 π 0 = π p 60 = 0 p = 60 0 b us de middelpuntshoek van de uitslag is. 6, cm a oppervlakte = π = 6 π 9,86 cm = 986 mm b oppervlakte = + + π = π 9,7 cm = 97 mm a = =, dus = en 8 = = 80 =. b Stel de straal van de omgeschreven cirkel is r. r geldt πr = 0π r = sin, = N N = sin, us = 0 sin, en omtrek achthoek = 8 0 sin, 0,6 oppervlakte = sin, dus oppervlakte achthoek = 8 sin 70,7, N sin N = N 6,9 us 7,7. oppervlakte segment = 7,7 60 π sin 7,7,09 N

26 bladzijde 7 6 a R = + 0 = Oppervlakte kegel = π + π,. b PQ PQ = P, dus PQ = 6 0 PQ = 0 0 = us Q = + 6 =. Oppervlakte mantel afgeknotte kegel = π π, 6 P Q 7 a O bol = π = 6π O cilinder = π + π 8 = π + 6π = 96π O cilinder O bol = 96π 6π = π us O cilinder is π 6π 00% = 0% groter dan O bol. b O bol = πr O cilinder = πr + π r r = πr + πr = 6πr O cilinder O bol = 6πr πr = πr πr 00% = 0% is onafhankelijk van r. πr 8 a Van de cilinder is r = cmenh = 0 cm. I cilinder = π 0 78 cm b Van de bol is r = cm. I bol = π cm 9 a et grondvlak is driehoek. = 6 = 7 O ( ) = 6 7 = 7 I piramide = 7 0, b et bovenvlak van de afgeknotte piramide is een gelijkzijdige R driehoek met zijden van =,6. RS =,6,8 = 9,7 O ( PQR) =,6 9,7 =,8 9,7 us inhoud afgeknotte piramide = 7 0,8 9,7 6 0,7.,6,6 P,8 S,8 Q c In is cos 0 = = cos 0,6 us I kegel = π,6 0,66. e inhoud van het deel van de kegel dat buiten de piramide ligt is,66,96 7,70. 0

27 0 a P K L b S K L Inhoud = π 0 + π π π 0 + π 0 = ( ) 0π 0 80 cm liter