I. DE FOURIERTRANSFORMATIE.

Transcriptie

1 I. DE FOUIETANSFOMATIE. Het komt regelmatig voor dat we oplossingen van differentiaalvergelijkingen kunnen uitdrukken als een integraal van de vorm y(x) = f(t)k(x, t)dt () C met C een kromme in C. Omdat in een algemeen geval er geen vaste methode bestaat om zo n integraal-uitdrukking te vinden, kunnen we een min of meer verwant idee toepassen, namelijk als y(x) de oplossing van een differentiaalvergelijking is, beschouw dan de getransformeerde functie f(t) = y(x)k(t, x)dx () C en transformeer de d.v. voor y in een vergelijking voor f. Bij geschikte keuze voor K en C is dan de vergelijking voor f simpeler op te lossen dan die voor y en bij geschikte keuze van K bestaat er een omkeerformule van type () waarmee we y kunnen terugvinden. Een formule van type () heet een integraaltransformatie en de functie K heet de integraalkern. Voorbeelden van integraaltransformaties zijn: De Fouriertransformatie K(t, x) = e itx C = (, ) De Laplacetransformatie K(t, x) = e tx C = [, ) De Hankeltransformatie K(t, x) = J (xt) C = [, ) De Mellintransformatie K(t, x) = x t C = [, ) We zullen in dit hoofdstuk de Fouriertransformatie nader bestuderen, en in een volgend hoofdstuk de Laplacetransformatie.. Definitie en algemene eigenschappen. Min of meer empirisch volgt de Fouriertransformatie als volgt uit de theorie van Fourierreeksen: Zij [ L, L]. Uit de theorie over Fourierreeksen volgt dat, voor f absoluut integreerbaar op [ L, L] de Fourierreeks van f gedefinieerd is als f(x) n Z c n e niπx/l waarbij c n = L L L f(t)e niπt/l dt. Onder zekere voorwaarden convergeert de Fourierreeks van f (puntsgewijs of in de norm, zie Analyse 3, hoofdstuk 6). Laat nu L, y := nπ/l, y = π/l. Dan is, met c nl π =: c(y), f(x) c(y) π L e ixy = c(y) e ixy y p.v. c(y)e ixy dy. (3)

2 en c(y) = f(t)e ity dt. (4) waarbij p.v. staat voor de hoofdwaarde (principal value) van de integraal: p.v. N f(x)dx = lim f(x)dx. N N ˆf(y) := c(y) noemen we de Fouriergetransformeerde van f. I.p.v. ˆf(y) schrijven we ook wel F(f)(y). (4) is dus de definitie van de Fouriergetransformeerde ˆf(y) en (3) vormt de bijbehorende omkeerformule. We leiden nu een voorwaarde af waaronder (3) een identiteit wordt. Definitie: Een functie f : [a, b] C heet absoluut integreerbaar op [a, b] als b a f(t) dt convergeert. De verzameling van absoluut integreerbare functies op [a, b] geven we aan met L([a, b]). In het geval dat a =, b = schrijven we ook L(). L([a, b]) vormt een vectorruimte met een seminorm f = b f(t) dt. (een seminorm heeft dezelfde eigenschappen als een norm behalve dat f = niet noodzakelijk f = impliceert. Een functie a f L([a, b]) met f = noemen we bijna overal nul. Een functie van twee variabelen f : heet absoluut integreerbaar als de integraal f(x, y) d(x, y) convergeert. Zonder bewijs noemen we het volgende resultaat (zie bijvoorbeeld Strichartz, The way of Analysis, hfd.5): Stelling: Als f : C absoluut integreerbaar is dan is f(x, y) d(x, y) = f(x, y) dxdy = f(x, y) dydx. Verder is f absoluut integreerbaar als een van de herhaalde integralen f(x, y) dxdy of f(x, y) dydx convergeert. De bovenstaande stelling staat wel bekend als de stelling van Fubini. Eigenlijk heeft de stelling van Fubini betrekking op de Lebesgue-integraal. De Lebesgue-integraal is een soort uitbreiding van het iemann-integraalbegrip (vergelijk de opmerking hierover in het Analyse 3-dictaat op blz. 7). Definitie: Voor f, g L() is de convolutie gedefinieerd als f g(x) = f(t)g(x t) dt. Er geldt: f g L() en f g = g f. Verder is het convolutieproduct associatief en f g f g. Het bewijs verloopt analoog aan dat voor het convolutieproduct op een begrensd interval, zie het dictaat Analyse 3, 6.3. Analoog aan Lemma 6. geldt ook op L() het

3 Lemma van iemann-lebesgue: Als f L() en µ dan f(x)e ixµ dx als µ. We definiëren nu voor f L() s(f, a)(x) = a a ˆf(y)e ixy dy voor a, a >. Dan geldt het volgende resultaat: Stelling (de omkeerformule): Als f absoluut ( integreerbaar op ) en als voor zekere x s := f(x+)+f(x ) gedefinieerd is en t f(x+t)+f(x t) s is integreerbaar in een omgeving van t = dan convergeert s(f, a)(x) naar s als a. Bewijs: s(f, a)(x) = a f(t)e i(x t)y dtdy = a f(t) e i(x t)y dydt a a met D a (x) = = sin ax πx. Dus f(t) ei(x t) a e i(x t)a dt = f(t)d a (x t)dt i(x t) s(f, a)(x) = f D a (x) = D a f(x) = Nu lim a s(f, a)(x) = lim a π π f(x t)d a(t)dt, daar lim a t π f(x t) t f(x t)d a (t)dt. sin at f(x t) πt dt volgens het lemma van iemann-lebesgue (immers absoluut integreerbaar op (, π] [π, )). Verder is π sin at lim s(f, a)(x) = lim f(x t) dt = lim a a π π t a π Nu is π sin at t dt = aπ sin u u du π als a dus π π ( ) f(x t) + f(x + t) lim s(f, a)(x) s = lim s a a π volgens het lemma van iemann-lebesgue. Dit voltooit het bewijs. 3 (f(x t) + f(x + t)) sin at dt = t sin at dt. t

4 Gevolg: Als f +(x +), f (x ) bestaan voor zekere x, en f absoluut integreerbaar op, dan lim t { f(x +t)+f(x t) f(x +)+f(x ) } t bestaat. Dus is aan de voorwaarden van de omkeerformule gedaan en geldt f(x +) + f(x ) = p.v. ˆf(y)e ix y dy. (5) Deze voorwaarde komt overeen met een soortgelijke voorwaarde voor convergentie van Fourierreeksen. Gevolg (de Fourierintegraal): Onder de voorwaarden van de omkeerstelling geldt: f(x +) + f(x ) N = lim f(t)e i(x t)y dt dy. (6) N N I.h.a. kan de integratievolgorde niet zonder meer worden verwisseld. Voorbeeld: Zij f(x) = e α x met α >. Duidelijk is e α x dx < en overal is f +(x +), f (x ) gedefinieerd - ook in x =. Nu ˆf(x) = e α x ixy dx = = ( α + iy + α iy ) = Volgens de omkeerformule is nu voor x e α x = e (α+iy)x dx + α α + y eixy dy. α α + y. e (α iy)x dx = Omdat α α +y even is in y is e α x = α α + y (cos xy + i sin xy)dy = π = π α α cos xydy. + y α α cos xydy = + y Zo komen we - analoog aan Fouriercosinus- en -sinusreeksen aan het begrip van Fouriercosinus- en -sinusgetransformeerden. 4

5 . De Fouriercosinustransformatie. Zij f L([, )). Zet nu f tot een even functie voort op. De Fouriergetransformeerde van de voortgezette functie is: ˆf(y) = = f(x)e ixy dx = f(x) cos xydx = f(x)(cos xy i sin xy)dx = f(x) cos xydx. π Deze laatste integraal noemen we de Fourier-cosinusgetransformeerde van f. We noteren deze als F c (f)(y). Onder de voorwaarden van de omkeerstelling geldt nu: f(x +) + f(x ) = F c (f)(y) cos x ydy, (x > ). (7) π Bewijs: Zet f voort tot een even functie op. Dan F c (f) = F(f). Volgens de omkeerformule (5) is nu, voor x [, ) en f(x ) = f(x +)+f(x ) f(x ) = ( f(x ) + f( x )) = Nu is ˆf(y) = ˆf( y) dus p.v. : ˆf(y)(e ix y + e ix y )dy. f(x ) = p.v. ˆf(y) cos x ydy = π F c (f)(y) cos x ydy. 3. De Fouriersinustransformatie. Analoog aan de Fourier-cosinusgetransformeerde definiëren we de Fourier-sinusgetransformeerde F s (f) voor f absoluut integreerbaar op [, ) als F s (f)(y) = f(x) sin xydx. π Het verband met de gewone Fouriergetransformeerde ˆf(y) is als volgt: Breid f uit tot een oneven functie op (z.b.d.a. kunnen we f() = stellen; dit heeft geen invloed op de integralen). Dan is ˆf(y) = f(x)(cos xy i sin xy)dx == i 5 f(x) sin xydx =

6 = i f(x) sin xydx = if s (f)(y). π Onder de voorwaarden voor de omkeerformule geldt voor x > : f(x +) + f(x ) = F s (f)(y) sin x ydy, (7 ) π Het bewijs verloopt analoog aan dat voor de cosinusgetransformeerde. Voorbeeld: Laat f(x) = e αx, α >, dan f absoluut integreerbaar op [, ). F c (f)(y) = π e αx ixy dx = π α + iy = π α α + y. F c (f)(y) is de Fouriergetransformeerde van e α x op omdat e α x even is. F s (f)(y) = I π e αx ixy dx = π y α + y. Met behulp van de formules (7) en (7 ) vinden we nu (ga na dat de voorwaarden voor de omkeerstelling vervuld zijn): voor x >. e αx = π α α + y cos xydy = π y α sin xydy + y Opgave: Wat zal in (7) en (7 ) de waarde van de integraal zijn in het geval dat x =? 4. Fouriertransformatie en differentiaalvergelijkingen. In deze paragraaf zullen we aan de hand van een aantal voorbeelden laten zien hoe de Fouriertransformatie kan worden toegepast op het oplossen van randwaardenproblemen. We hebben eerst een aantal rekenregels nodig:. Als zowel f als f absoluut integreerbaar zijn op dan f(x) als x en F(f )(y) = iyf(f)(y). Analoog geldt voor cosinus- en sinusgetransformeerde: F c (f )(y) = yf s (f)(y) /πf(+); F s (f )(y) = yf c (f)(y). Bewijs: F(f )(y) = f (x)e ixy dx = 6

7 = f(x)e ixy x x + iy F c (f )(y) = F s (f ) gaat geheel analoog. f(x)e ixy dx = + iyf(f)(y). f (x) cos xydx = π π f(x) cos xy x + yf x s (f)(y).. Uit () volgt direct voor de tweede afgeleiden: F c (f )(y) = y F c (f)(y) /πf (+); F s (f )(y) = y F s (f)(y) + /πf(+)y. 3. Als f(x) en xf(x) absoluut integreerbaar op dan is d dy (F(f))(y) = d dy f(x)e ixy dx = i xf(x)e ixy dx = if(xf)(y). 4. Als f L(), h(x) = f(ax) voor a >, dan F(f)(y) = af(h)(ay), immers is f(x)e ixy dx = a h( x a )e i(x/a)ya d(x/a). 5. (Convolutie.) Als f, g L() dan geldt voor de Fouriergetransformeerde van het convolutieproduct F(f g) = F(f)F(g). Bewijs: Zoals we weten is f g L() en verder is = F(f g)(y) = f(t)g(x t)e ixy dtdx = ( g(x t)e i(x t)y dx)e ity f(t)dt = ĝ(y)e ity f(t)dt = ĝ(y) ˆf(y). Merk op dat verwisseling van integratievolgorde is toegestaan omdat f(t)g(x) absoluut integreerbaar op : f(t) g(x t) dxdt = f(t) dt g(x) dx en het rechterlid is eindig. Opmerking: Uit het Lemma van iemann-lebesgue volgt dat ˆf(y) = f(x)e ixy dx, als y. 7

8 Dus F(f)(y) = o(/y) als f één keer differentieerbaar en f, f L(). Als f m keer differentieerbaar en f,..., f (m) L(), dan is op dezelfde wijze in te zien dat F(f)(y) = o(y m ) ( y ). We zien dus dat ˆf = Ff sneller naar gaat voor grote y naarmate f gladder is. We gaan nu de Fouriertransformatie toepassen op een aantal randwaardenproblemen.. De eendimensionale warmtevergelijking op een oneindig lange staaf. u t = k u, voor u = u(x, t), t >, x. x Hierbij stelt u(x, t) de temperatuur in een oneindig lange geleidende staaf voor. Neem aan dat u(x, +) = u (x) voorgeschreven en u absoluut integreerbaar op. Verder nemen we aan dat u, u x, u xx bestaan en stuksgewijs continu op zijn. We passen Fouriertransformatie naar de variabele x toe (en nemen daarmee aan dat de Fouriergetransformeerde van u en zijn afgeleiden goed gedefinieerd is): en F( u t F(u) )(y, t) = (y, t) t F( u x )(y, t) = y F(u)(y, t), volgens rekenregel. De partiële differentiaalvergelijking wordt zo een gewone eerste orde differentiaalvergelijking in F(u) : F(u) t = ky F(u), met F(u)(y, +) = F(u )(y). Oplossen geeft: F(u)(y, t) = F(u)(y, )e kyt = F(u )(y)e kyt. Om u terug te vinden, gebruiken we convolutie samen met het feit dat F(e ax ) = /4a a e y (zie hieronder). Nu is dus voor a = 4kt en F(e x /4kt kt ) = e ky t F(u) = F(u ) F( πkt e x Volgens rekenregel 5 is dan u = πkt u e x /4kt, dus u(x, t) = πkt /4kt ). u (x ξ)e ξ /4kt dξ. 8

9 Als u (x) = δ(x) dan u(x, t) = πkt e x /4kt. u is de kansdichtheid van de normale verdeling met gemiddelde µ = en standaardafwijking σ = kt. De spreiding van de temperatuur is dus evenredig met t. De oppervlakte onder de kromme y = u(x, t) blijft voor alle t gelijk. Immers u(x, t)dx = F(u)(, t) = F(u )(). Fysisch betekent dit dat de warmte-inhoud in totaal contant blijft, maar de warmte zich over de lengte van de staaf verdeelt. We berekenen nog de Fouriergetransformeerde van e ax : = F(e ax )(y) = e ax ixy dx = e a(x+iy/a) e y /4a dx = +iy/a e y /4a +iy/a e az dz. De laatste integraal is gelijk aan dz = e az a e ( az) d az = π a zoals we zien met behulp van contourintegratie over de rechthoek met hoekpunten z =,, + iy/a, + iy/a. Volgens de Stelling van Cauchy is = Nu is voor groot γ +γ +γ 3 +γ 4 e az dz = γ + + γ 4 y/a e az dz e a( +it t ) dt e a γ en analoog voor γ 4, en dus is e az dz = +iy/a e az dz +iy/a +iy/a +iy/a e az dz. y a ey /a, als, e az dz.. Als voorbeeld van de Fouriersinustransformatie behandelen we de warmtevergelijking op een halfoneindige staaf: u t = k u, voor u = u(x, t), t >, x >. x Verder nemen we weer aan dat u(x, ) = u (x) met u L([, )). Voor u hebben we een randvoorwaarde nodig in x =, bijv. u(, t) = f(t) of u x (, t) = g(t). We passen nu Fouriersinus- of cosinustransformatie toe (waarbij we weer aannemen dat deze goed gedefinieerd zijn voor u en zijn afgeleiden). Welke van beide we kiezen hangt af van de 9

10 randvoorwaarden. Uit rekenregel zien we dat het handiger is om de Fouriercosinustransformatie toe te passen als als u x (, t) is voorgeschreven en de sinustransformatie als u(, t) is voorgeschreven. We nemen nu aan dat u(, t) = f(t) voor t >. Fouriersinustransformatie naar x toepassen levert nu, met v := F s (u) v t (y, t) = ky v(y, t) + π yf(t). Dit is een inhomogene eerste-orde d.v. in v. In principe kunnen we deze integreren, maar voor de eenvoud nemen we aan dat f(t) = wat betekent dat de temperatuur in x = constant wordt gehouden. De oplossing wordt dan v(y, t) = C(y)e kyt waarbij C(y) = v(y, ) = F s (u )(y). De omkeerformule toepassen geeft nu de oplossing u(x, t) = F s (u )(y)e kyt sin xy dy = e kyt u (ξ) sin ξy sin xydξdy. π π De dubbele integraal kunnen we als volgt omschrijven tot een enkele integraal: in de eerste plaats is u(x, t) = π e kyt u (ξ) sin ξy sin xydξdy = π e kyt u (ξ) sin ξy sin xydydξ omdat de integrand even is en omdat we de integratievolgorde kunnen omwisselen, aangezien e kyt u (ξ) sin ξy sin xy dydξ Verder is sin xy sin ξy = cos(x + ξ)y + cos(x ξ)y en dus is e kyt u (ξ) dydξ <. u(x, t) = u (ξ)(e kyt+i(ξ x)y e kyt+i(ξ+x)y )dydξ en na enige berekeningen vinden we dat de laatste integraal gelijk is aan u(x, t) = 4πkt u (ξ) ( e (ξ x) /4kt e (ξ+x) /4kt ) dξ. Merk op dat we de laatste integraal ook kunnen schrijven als 4πkt u (ξ)e (ξ x) /4kt dξ waarbij u tot een oneven functie op is voortgezet. Net als bij Fourierreeksen van functies op een begrensd interval bestaat er ook een theorie van de Fouriergetransformeerde voor kwadratisch integreerbare functies. Het analogon

11 voor de identiteit van Parseval voor Fouriergetransformeerden is de zogenaamde stelling van Plancherel. Dit college is niet de plaats om de L -theorie voor Fouriergetransformeerden te behandelen en we zullen alleen voor het eenvoudigste geval de identiteit van Parseval behandelen: Identiteit van Parseval: Laat f, g, f, g L(). Dan ˆf, ĝ L() en f(x)g(x)dx = ˆf(y)ĝ(y)dy. (8) We bewijzen niet dat ˆf en ĝ integreerbaar zijn op maar we gaan alleen de identiteit (8) bewijzen voor het eenvoudige geval dat f en g stuksgewijs continu zijn en de omkeerformule (5) geldt. Merk op dat we in dit geval in de integraal de gemiddelde waarde van f in een discontinuïteitspunt x mogen vervangen door f(x ). = ˆf(y)ĝ(y)dy = g(x) ( ˆf(y) ) ˆf(y)e ixy dy dx = Tenslotte een tweetal simpele voorbeelden:. f(x) = e α x (α > ). Dan ˆf(y) = π α α + y. Dus ˆf = π g(x)e ixy dxdy = g(x)f(x)dx. α (α + y ) dy = f = e α x dx = α.. f(x) = { e α x als x > ; e α x als x <.. Dan ˆf(y) = π iy α + y dus ˆf = π y (α + y ) dy = f = e α x dx = α. 5. De meerdimensionale Fouriertransformatie. Voor functies f : n C zodat f absoluut integreerbaar op n, d.w.z. dat de integraal f(x n,..., x n ) dx... dx n convergeert, definiëren we de Fouriergetransformeerde als de herhaalde Fouriergetransformeerde naar de variabelen x,..., x n : Ff(y,..., y n ) = () n/ n f(x,..., x n )e i(x y +...+x n y n ) dx... dx n.

12 De integraal is goed gedefinieerd en de waarde hangt niet van de integratievolgorde af volgens de stelling van Fubini. Voor f continu en links-en rechts partieel differentieerbaar naar x,..., x n geldt de omkeerformule: f(x,..., x n ) = () n/ n Ff(y,..., y n )e i(x y +...+x n y n ) dy... dy n. De rekenregels voor het -dimensionale geval zijn ook hier van toepassing. Zo is voor f tweemaal partieel differentieerbaar de Laplaciaan gedefinieerd als f = f x x +...+f xn x n en de Fouriergetransformeerde is gelijk aan F( f)(y,..., y n ) = (y y n)f(f)(y,..., y n ) zoals in te zien is door rekenregel voor het eendimensionale geval herhaald toe te passen. De convolutie van twee functies f, g L( n ) is gedefinieerd als f g(r) = f(r )g(r r )dr. Nu is f g = g f en F(f g) = () n/ Ff Fg. Het bewijs n van deze resultaten gaat analoog aan het geval n =. Als toepassing lossen we de vergelijking van Poisson in 3 op: u = ρ, u(r) als r, (9) waarbij r de vector (x, x, x 3 ) voorstelt. We nemen aan dat ρ(r) klein is als r groot, i.h.b. ρ L( 3 ). We passen Fouriertransfomatie toe op (9); als we schrijven v = Fu en σ = Fρ, dan is (y + y + y3)v σ = σ dus v = y + y +. y 3 Terugtransformeren geeft dan dat u = ρ t waarbij Ft = () 3/ (y + y + y 3 ). We bepalen de functie t. Volgens de omkeerformule is t(x, x, x 3 ) = () 3 y 3 + y + y 3 e i(x y +x y +x 3 y 3 ) dy dy dy 3. Voor het uitwerken van de integraal maken we gebruik van bolcoördinaten (r, θ, φ) waarbij r = y + y + y 3 en we de z-as leggen in de richting van (x, x, x 3 ) zodat x y + x y + x 3 y 3 = r x cos θ. Dan is dus De oplossing u is dus t(x, x, x 3 ) = π () 3 = e ir x e ir x () dr = ir x u(x, x, x 3 ) = ρ r eir x cos θ r sin θdφdθdr = 4π x = 4π 3 sin r x r x dr = 4π x. ρ(r) x r dr.

13 We moeten nog nagaan dat de gevonden u inderdaad een oplossing is: voor voldoende snel dalende ρ(x) is dit inderdaad het geval, maar we zullen hier nu verder niet op ingaan. Verder kunnen we aantonen dat u uniek is: als er twee oplossingen u, u zijn, dan is u u een op 3 harmonische functie die naar gaat voor x. M.b.v. het maximumprincipe voor harmonische functies (vergelijk Analyse 3, 6.5) volgt dan dat u u = op 3. Merk tenslotte nog op dat de Fouriergetransformeerde van u niet gedefinieerd is omdat u niet absoluut integreerbaar. De methode van de Fouriergetransformeerde levert desondanks de goede oplossing. 6. De deltafunctie. Neem aan dat f L() en f continu. Onder de voorwaarden van de omkeerstelling geldt de Fourierintegraalformule N f(x ) = lim f(t)e i(x t)y dt dy = lim f(t)δ N ( x +t) dt = (f δ N )(x ) N N N waarbij de functies δ N gedefinieerd zijn als δ N (x) = N e ±ixy dy. N De rij functies {δ N } N= convergeert niet, maar we kunnen wel formeel schrijven f(x ) = met δ de symbolische limiet f(t)δ( x + t) dt = (f δ)(x ) N δ(x) = lim δ N(x) = lim e ±ixy dy. N N N De Dirac-deltafunctie δ(x) treedt zo op als (symbolische) kern van een integraaloperator waarbijvoor f continu in x I x I x (f) = f(x)δ(x x )dx = f(x)δ(x x)dx = f(x ). δ(x) is geen echte functie, maar heeft wel functie-eigenschappen: δ(x) = voor x, x en δ() is niet gedefinieerd, maar δ(x)dx =. We noemen δ(x) een distributie of gegeneraliseerde functie. Er zijn meer mogelijkheden om δ(x) als limiet van een rij functies te verkrijgen: Propositie (over deltarijen): Laat een rij continue functies {δ N : } N= gegeven zijn met de volgende eigenschappen: 3

14 . δ N (x).. δ N (x) uniform voor x ɛ waarbij ɛ >. 3. δ N(x)dx =. 4. lim N x ɛ δ N (x)dx = als ɛ >. Voor f : continu in x en f absoluut integreerbaar of begrensd op geldt dan: f(x)δ N (x x )dx = f(x ). () lim N Bewijs: Kies ζ > vast en laat N zo groot en ɛ > zo klein dat f(x) f(x ) < ζ voor x x < ɛ en δ N (x) < ζ, x ɛ δ N(x)dx < ζ voor x > ɛ. Dan ɛ = ɛ ɛ f(x)δ N (x x )dx = f(x + x )δ N (x)dx + De eerste term in het rechterlid is ɛ (f(x ) + ɛ(x))δ N (x)dx = f(x )( f(x + x )δ N (x)dx = x ɛ x ɛ f(x + x )δ N (x)dx. () δ N (x)dx) + ɛ ɛ ɛ(x)δ N (x)dx. De linkerterm in het rechterlid gaat naar f(x ) als N en voor de tweede term geldt ɛ ɛ ɛ ɛ(x)δ N (x)dx ζ δ N (x)dx ζ. Voor de tweede term in het rechterlid van () geldt x ɛ als f(x) M op resp. x ɛ ɛ f(x + x )δ N (x)dx sup f(x) f(x + x )δ N (x)dx sup x ɛ x ɛ als f L(). Daar ζ > willekeurig is het bewijs geleverd. δ N (x)dx ζm δ N (x) f(x) dx ζ f(x) dx Voorbeeld: Een voorbeeld van zo n delta-rij {δ n } n= wordt gegeven door δ n (x) = { n als x /n als x > /n. 4

15 Opmerking: De vier voorwaarden in de bovenstaande propositie zijn wel voldoende maar niet noodzakelijk opdat () geldt. Zo kan voorwaarde worden weggelaten als f begrensd is. Voor sommige delta-rijen {δ n } n= geldt () voor een kleinere klasse van functies. Zo is voor de rij {δ N (x) = N e ±ixy dy} N= () niet voor alle continue f L() een N identiteit, maar alleen voor die f waarvoor de omkeerformule (5) geldt. Bij het substitueren van δ(x) = e±ixy dy moet dus enige voorzichtigheid worden in acht genomen. Bij een Fourierintegraaluitdrukking als (6) is het beter om de omkeerformule toe te passen of in elk geval zorgvuldig na te gaan of de voorwaarden voor f opdat (6) geldt wel vervuld zijn. Opmerking: Voor de identiteit van Parseval kan ook als volgt een deltafunctie-bewijs worden gegeven: ˆf(y)ĝ(y)dy = f(x)e ixy g(t)e ity dx dt dy = = f(x)g(t)e i(x t)y dx dt dy = f(x)g(t)δ(x t)dx dt = = f(x)g(x)dx. Om dezelfde reden als boven is ook in dit geval voorzichtigheid geboden; of er werkelijk een identiteit geldt hangt af van de functies f en g. 5

16 Opgaven:. Bepaal de Fouriergetransformeerde van de volgende functies: a. u(t) = +t. b. u(t) = e t. { voor t < β c. (u(t) = voor t > β. { t/a als t < a d. u(t) = als t > a.. Op [, ) is gegeven de functie h door: h(x) = a. Bepaal de Fouriercosinusgetransformeerde van h. b. Bepaal de Fouriersinusgetransformeerde van h. { als < x < a. als x > a 3. Bepaal m.b.v. de omkeerformule de volgende integralen voor a > (gebruik opgave of ): a. b. sin ay cos y dy. y ( cos ay) sin y dy. y c. Bereken de integraal bij (a) ook rechtstreeks. Je kunt gebruiken dat sin x x = π. 4. Op college is aangetoond m.b.v. de omkeerformule dat voor a > e a x = π Bereken deze integraal ook m.b.v. contourintegratie. a a cos xydy. + y 5. Bepaal een functie g zodat ( + y de Fouriergetransformeerde van g is. Je kunt de ) omkeerformule gebruiken en de integraal m.b.v. contourintegratie inverse Fouriertransformatie gebruiken en de integraal als in opgave 4 rechtstreeks uitrekenen of (sneller) convolutie gebruiken, samen met het resultaat dat de Fouriergetransformeerde π + y is van e x. 6

17 6. Toon aan m.b.v. de identiteit van Parseval dat resultaat van opgave. sin t t = π. Gebruik hiervoor het 7. Laat zien m.b.v. de identiteit van Parseval dat e iaω e ibω dω = b a ω en leid af dat sin aω sin bω π ω dω = min(a, b), (a, b > ). 8. Laat zien dat de volgende deltarijen aan de voorwaarden van de Propositie over deltarijen voldoen: n a. {δ n } n= met δ n (x) = π e nx. b. {δ n } n= met δ n (x) = n π( + n x ). 9. Los m.b.v. Fouriertransformatie het volgende Dirichletprobleem op de strook S = {(x, y) : < x < ; < y < } op: u xx + u yy = op S. u(x, ) = e x, u(x, ) =, u(x, y) uniform in y, als x.. Laat {δ n } n= een deltarij zijn en f L(). Toon aan m.b.v. () dat i. lim n f δ n (x) = f(x) voor alle x. ii. lim n F(δ n ) = /. iii. lim n F(f δ n ) = F(f). 7

18 . Los het volgende Dirichletprobleem op: v xx + v yy = (x >, < y < ) v y (x, ) =, v x (, y) =, v(x, ) = e x, v(x, y) begrensd. Schrijf de oplossing als een enkelvoudige integraal.. Los op: u t (x, t) u xx (x, t) + u(x, t) = (x >, t > ). u x (, t) = f(t) u(x, ) = u(x, t) begrensd. voor f een gegeven functie. Schrijf de oplossing als een enkelvoudige integraal. 3. Los op: u xx (x, y) + u yy (x, y) = (x >, < y < ). u x (, y) = y( y) u(x, ) = u(x, ) = u(x, t) uniform in y (x ) Schrijf de oplossing als een enkelvoudige integraal. 8

19 7. De deltafunctie en inhomogene differentiaalvergelijkingen. We kijken nog eens naar de oplossing van de warmtevergelijking van blz.8: { ut (x, t) = ku xx (x, t), (x, t > ) u(x, ) = u (x), u(x, t) als x. () Deze is te schrijven als u(x, t) = u D t (x) = waarbij D t gedefinieerd is als D t (x) = πkt u (x ξ)e ξ /4kt dξ 4πkt e x /4kt. Merk op dat D t (x) = δ D t (x) de oplossing van () is voor het geval dat u (x) = δ(x). Op een soortgelijke manier kunnen we de oplossing van een inhomogene lineaire d.v. of een lineaire d.v. met inhomogene randvoorwaarden krijgen d.m.v. convolutie krijgen uit de oplossing voor het geval dat de inhomogene term gelijk is aan een deltafunctie. Voor de vergelijking () gaat het bewijs als volgt: Het is eenvoudig na te gaan dat D t (x) voldoet aan de warmtevergelijking (D t ) t = k(d t ) xx. Verder is D t absoluut integreerbaar op en voor t > t >... is de rij {D tn } n= een deltarij. Voor u(., t) stuksgewijs continu en absoluut integreerbaar is het convolutieproduct u = u D t gedefinieerd en absoluut integreerbaar op en t (u D t )(x) = t u (ξ)d t (x ξ)dξ = u (ξ) D t t (x ξ) = u D t t (x). Net zo is x (u D t ) = u D t x en dus voldoet u(x, t) = u D t (x) aan de warmtevergelijking (). Verder volgt uit de Propositie over deltarijen dat lim u(x, t) = lim u D t (x) = u (x). t t Dus is u inderdaad een oplossing van () waarbij met u(x, ) eigenlijk lim t u(x, t) wordt bedoeld. Zo zien we ook hoe d.m.v. deltarijen het gebruiki van de deltafunctie gerechtvaardigd wordt. Vanwege de centrale plaats van de oplossing D t noemen we D t (x) een fundamentele oplossing van (). Als tweede voorbeeld lossen we zo de vergelijking van Poisson in 3 op: u = ρ, u(r) als r (3) waarbij ρ L( 3 ), d.w.z. ρ(r) d 3 r convergeert. We zoeken eerst een fundamentele 3 oplossing, d.w.z. een oplossing voor het geval dat ρ = δ (de deltafunctie laat zich rechtstreeks naar 3 generaliseren: in feite is δ(r r ) = δ(x x )δ(y y )δ(z z )). Voor r zoeken we een oplossing van u =. Het ligt voor de hand een bolsymmetrische oplossing te zoeken. Voor u = u(r) (waarbij r = r ) is u = u rr + r u r = ( r r u ). r r 9

20 u(r) = voor r levert dan u(r) = C r (divergentie)stelling van Gauss r d3 r = 3 r ɛ r d3 r = r=ɛ r voor C een constante. Verder levert de dσ = ɛ r=ɛ r dσ = 4π. r Dus geldt r = 4πδ(r) en de gezochte fundamentele oplossing is. De oplossing van 4πr (3) voor algemene ρ wordt nu gegeven door u(r) = 4πr ρ(r) = ρ(r ) 4π r r d3 r. 3 Dit is dezelfde oplossing als we vonden m.b.v. de meerdimensionale Fouriertransformatie in 5.