Groepen- en Galoistheorie

Transcriptie

1 Groepen- en Galoistheorie E. Jespers Departement Wiskunde Vrije Universiteit Brussel Faculteit Wetenschappen webstek: efjesper HOC+WPO: woensdag 9-12 uur, F.5.210

2 Inhoudsopgave 1 Groepentheorie Acties van groepen Sylow stellingen p-groepen Permutatiegroepen Directe producten van groepen Eindige nilpotente groepen Groepsuitbreidingen Oplosbare groepen Nilpotente groepen Stelling van Jordan-Hölder Vrije groepen Veldentheorie Definities Eenvoudige uitbreidingen Isomorfismen Algebraïsche sluiting Galoistheorie Galois-uitbreidingen Normale uitbreidingen Separabele uitbreidingen Karakerisatie van Galois-uitbreidingen Orde van de Galois groep Fundamentele Stelling i

3 ii INHOUDSOPGAVE 4 Toepassingen Cyclotome Uitbreidingen Geometrische Constructies Wortels, radikalen en reele getallen Oefeningen 97 Index 106

4 Hoofdstuk 1 Groepentheorie In deze cursus schrijven wij meestal (x)f voor het beeld van een element x onder een functie f. Bijgevolg spreken wij ook af dat de samenstelling van functies f g betekent eerst f en dan g. 1.1 Acties van groepen Uit de theorie van de groeprepresentaties weten wij dat er een nauw verband is tussen representaties van een groep G over een lichaam K en de modulen M over de groepalgebra KG. Het scalaire product M G M(m, α) m α wordt bepaald door een lineaire uitbreiding van M G M : (m, g) m g. In de volgende definitie formaliseren wij dit princiepe. Een andere reden voor het invoeren van de volgende definitie is om terug een willekeurige groep in verband te brengen met een permutatiegroep. Deze laatste is soms een handig middel om een algemenere groep te bestuderen. Definitie Zij G een groep (met eenheidselement 1) en X een niet-lege verzameling. Veronderstel dat X G X : (x, g) x g een afbeelding is die voldoet aan de volgende eigenschappen, voor alle x X en g, h G, (1) x 1 = x, 1

5 2 HOOFDSTUK 1. GROEPENTHEORIE (2) (x g) h = x (gh). Dan zeggen wij dat een actie is van G op X. De kern van de actie is de deelgroep H van G bestaande uit de elementen g G zodat x g = x voor alle x X. De stablisator van x in G is de deelgroep G x = {g G x g = x}. Dus via acties en stabilisatoren construëert men deelgroepen van een gegeven groep. Deze zijn echter niet noodakelijk normale deelgroepen. Voorbeeld TRIVIALE ACTIE: X G X : (x, g) x. 2. PERMUTATIE ACTIE: zij X een niet lege verzameling en veronderstel dat G een deelgroep is van de symmetrische groep Sym(X). Dan is X G X : (x, f) (x)f een actie van G op X. 3. REGULIERE ACTIE van een groep G: G G G : (h, g) hg. Dat dit een actie is volgt onmiddellijk uit de associativiteit van de groepbewerking en het feit dat 1 het eenheidselement is van G. Merk op dat dit nauw in verband staat met de reguliere actie van de groepalgebra KG (en dus met de natuurlijke rechter moduulstructuur van KG). 4. CONJUGATIE ACTIE in een groep G: G G G : (x, g) x g = g 1 xg. De stabilsator van een element x G is de centralisator C G (x) = {g G gx = xg}. 5. een VECTORRUIMTE V over een lichaam K: V K K : (v, k) vk. Indien wij acties zouden definiëren voor een semigroep G op een verzameling X, dan geeft elk rechter moduul M over een ring R een voorbeeld van een actie van G = R op X = M.

6 1.1. ACTIES VAN GROEPEN 3 6. Veronderstel dat X G X een actie is van G op X. Dan verkrijgen wij een actie van G op de verzameling D(G) van alle deelverzamelingen van de groep G: D(G) G D(G) : (X, g) X g = {x g x X}. In het geval van de conjugatie actie in een groep G is de stabilsator van X G de deelgroep N G (X), de normalisator van X in G. Beschouw de reguliere actie van de groep G op G. Dan verkrijgen wij een actie van G op D(G) en dus ook een actie op de verzameling rechter nevenklassen van een deelgroep H: {Hg g G} G {Hg g G} : (Hg, x) H(gx). 7. actie van GL n (D) op D n : D n GL n (D) D n : (X, A) XA, met X D n en XA de matrixvermenigvuldiging. Eigenschap Een groep G voert een actie uit op een verzameling X als en slechts als R : G Sym(X) : g R g, met R g : X X : x x g, een groephomomorfisme is. Bovendien, is ker(r) precies de kern van de actie. Bijgevolg, ker(r) is een normale deelgroep van G en G/ker(R) is isomorf met een deelgroep van Sym(X). Bewijs. Veronderstel dat X G G een actie is. Zoals in het bewijs van de stelling van Lagrange bewijst men dan dat elke R g een permutatie is van X (en dus R g Sym(X)) en dat R een groephomomorfisme is (let op de afspraak voor de notatie voor samenstelling van functies). Nu, ker(r) = {g G R g = 1 X } = {g G x g = x, voor alle x X}, en dit is precies de kern van de actie. Wegens de isomorfismestelling is het dan duidelijk dat G/ ker(r) isomorf is met een deelgroep van Sym(X).

7 4 HOOFDSTUK 1. GROEPENTHEORIE Omgekeerd, zij R : G Sym(X) : g R g een groephomomorfisme. Dan is het eenvoudig na te gaan dat een actie definiëert. X G X : (x, g) (x)r g Een belangrijke klasse van groepen zijn de eenvoudige groepen. Dus is het belangrijk om te kunnen nagaan wanneer een groep al dan niet eenvoudig is. Bijgevolg is het nuttig om niet triviale normale deelgroepen te kunnen construëren, en aldus aan te tonen dat de betrokken groep niet eenvoudig is. Eigenschap Zij H een deelgroep van G van eindige index [G : H] = n. Dan bestaat een normale deelgroep N van G zodat N H en [G : N] n!. I.h.b. elke deelgroep van eindige index bevat een normale deelgroep van eindige index. Er volgt dat G niet eenvoudig is als n > 1 en G n!. Als bovendien G eindig is en n het kleinse priemgetal is dat G deelt, dan is H een normale deelgroep van G. Bewijs. Beschouw de actie van G op X = {Hg g G} (via rechtervermenigvuldiging). Wegens Eigenschap?? is de kern N van deze actie een normale deelgroep van G en G/N isomorf met een deelgroep van Sym(X). Dus [G : N] = G/N n! = Sym(X). Het is duidelijk dat N H. Dus bevat H een normale deelgroep van eindige index. Wij bewijzen nu het tweede gedeelte van de stelling. Nu, [G : N] = G/H [H : N] = n[h : N]. Omdat [G : N] n! volgt er [H : N] (n 1)!. Dus als p een priemdeler is van [H : N] dan p n 1. Nu is [H : N], en dus ook p, een deler van G. Dit is in contradictie met de veronderstelling op n. Dus bestaat er geen priemdeler van [H : N], m.a.w., H = N G. Eigenschap Zij H een deelgroep van G en zij N de kern van de actie van G op de rechter nevenklassen van H (door rechtervermenigvuldiging). Dan

8 1.1. ACTIES VAN GROEPEN 5 1. N = g G H g, met H g = g 1 Hg, en 2. als M een normale deelgroep is van G en M H, dan M N. Dus N is de grootste normale deelgroep van G bevat in H. Men noemt dit de kern van H in G, en men schrijft N = core G (H). Bewijs. Het eerste gedeelte van de eigenschap volgt uit het volgende: N = {g G (Hx)g = Hx voor alle x G} = {g G g x 1 Hx = H x voor alle x G} = g G H g, met H g = g 1 Hg. Veronderstel dat M G en M H, dan M x = M voor alle x G. Dus M = x G M x x G H x = N. De orbieten (of, banen) van een actie van een groep G op een verzameling X zijn de deelverzamelingen {x g g G}, met x X. Het is eenvoudig na te gaan dat de orbieten een partitie vormen van X. Indien er slechts één orbiet is, dan noemen wij de actie transitief. In het geval van de conjugatie actie in een groep G worden de orbieten conjugatieklassen genoemd; de conjugatieklasse van x noteren wij cl(x). Merk op dat een conjugatieklasse van een element x G precies één element bevat als en slechts als x Z(G), het centrum van G. De volgende eigenschap geeft een verband tussen de nevenklassen van een stabilsator en een orbiet. Eigenschap Veronderstel de groep G een actie uitvoert op de verzameling X. Voor elke x X is er een bijectie x G {G x g g G}. I.h.b. x G = [G : G x ]; als, bovendien G eindig is, dan x G = G / G x. Dus, in dit geval is x G een deler van G, i.h.b. is cl(x) een deler van G en [G : N G (X)] is precies het aantal G-geconjugeerden van X in G.

9 6 HOOFDSTUK 1. GROEPENTHEORIE Bewijs. Definiëer de volgende afbeelding f : x G {G x g g G} : xg G x g, where g G. Nu, voor g, h G, G x g = G x h als en slechts als hg 1 G x. Dus en bijgevolg G x g = G x h als en slechts als xhg 1 = x G x g = G x h als en slechts als xh = xg. Dus is de afbeelding injectief. Aangezien f surjectief is volgt het resultaat. Stelling (Landau) Zij n > 0 een natuurlijk getal. Dan bestaat een getal B(n) zodat voor elke eindige groep met n conjugatieklassen G B(n). Als n = 2, dan B(2) = 2. Bewijs. Veronderstel dat een groep G precies n conjugatieklassen heeft, en dat de orde van deze klassen de volgende getallen geeft: c 1, c 2,, c n. Schrijf G = c i d i met d i N. Aangezien de conjugatieklassen een partitie vormen verkrijgen wij de klassevergelijking: G = c c n, en bijgevolg 1 = 1 d d n. Wij bewijzen nu per inductie op n, en voor elk positief getal m, dat er slechts eindig veel oplossingen zijn voor d i N zodat m = 1 d n. Uiteraard mogen wij veronderstellen dat d n het kleinste is van alle d 1,, d n. Dus n d n 1 d d n = m, en bijgevolg 1 d n n/m. Dus zijn er slechts eindig veel oplossingen voor d n. Als n = 1, dan is de bewering dus bewezen. Veronderstel dus

10 1.1. ACTIES VAN GROEPEN 7 dat n > 1. Voor elke waarde van d n volgt uit de inductiehypothese dat er slechts eindig veel oplossingen bestaan voor d 1,, d n 1 zodat = m 1. d 1 d n 1 d n Dus bestaan er inderdaad slechts eindig veel oplossingen voor d 1,, d n. Wegens het vorige bestaat er dus een positief geheel getal B(n) zodat d i B(n). Omdat 1 cl(1) is één van de c i s gelijk aan 1. Zeg c 1 = 1. Dus d 1 = G. Bijgevolg G B(n). Ten slotte bewijzen wij de laatste bewering. Veronderstel dus dat elke twee niet triviale elementen geconjugeerd zijn, d.w.z. {1} en G\{1} zijn de enige conjugatieklassen. Dan ( G 1) G. Bijgevolg 2( G 1) G. Er volgt dat G 2. Gevolg Zij H, K G eindige deelgroepen. Dan HK = H K / H K. Bewijs. De groep K voert een actie uit op de rechternevenklassen X = {Hg g G} (door rechtervermenigvuldiging). Dus H g = Hg. Er volgt HK = {hk h H, k K} = k K H k, de orbiet van het element x = H X. Dus HK = {x k k K}. Ook G x = K H. Dus zijn er precies K / H K elementen in een orbiet. Omdat Hk = H volgt er HK = ( K / H K ) H. Ook het totaal aantal orbieten kan geteld worden als volgt. voeren daarom eerst de volgende definitie in. Wij Definitie Zij X een eindige verzameling en G een groep die een actie voert op X. Het geassociëerde permutatiekarakter is de functie χ : G N : g {x X xg = x}.

11 8 HOOFDSTUK 1. GROEPENTHEORIE Voor de reguliere actie van een eindige groep G hebben wij χ(1) = G en χ(g) = 0 als g 1. Voor de conjugatieactie op een eindige groep hebben wij χ(g) = C G (g). Stelling (Cauchy-Frobenius) Veronderstel dat de eindige groep G een actie uitvoert op de eindige verzameling X. Zij χ het geassociëerde permutatiekarakter. Dan is het aantal orbieten gegeven door de formule 1 χ(g). G Bewijs. Stel g G S = {(x, g) X G xg = x}. Nu, voor elke x X zijn er precies G x elementen zodat (x, g) S met g G. Dus S = G x. x X Wegens de definitie van het permuatiekarakter verkrijgen wij dus S = g G χ(g) = x X G x = x X De term G x G komt precies x G keer voor. Dus χ(g) = n G, g G met n het aantal orbieten. G x G. Gevolg Veronderstel dat een eindige groep G een transitieve actie uitvoert op een verzameling X met X > 1. Dan bestaat er een g G zonder fixpunten in X, d.w.z. g G x voor alle x X. Bewijs. Omdat er slechts een orbiet is verkrijgen wij dat 1 = 1 G g G χ(g). Omdat χ(1) = X > 1 bestaat er dus g G met χ(g) < 1 en dus χ(g) = 0.

12 1.1. ACTIES VAN GROEPEN 9 Gevolg Zij G een eindige groep en H een deelgroep van G. Als G = g G H g dan H = G. Bewijs. Veronderstel dat H G. Stel X = {Hg g G}. Dan X > 1. Aangezien G een transitieve actie uitvoert op X verkrijgen wij dat er een g G bestaat zodat Hg 1 g Hg 1, voor alle g 1 G; d.w.z. g H g 1 voor alle g 1 G 1. Dus g g1 GH g 1. Men kan meer bewijzen dan vermeld in het gevolg. Men kan aantonen dat er een element van priem orde is in G dat niet geconjugeerd is met een element van H. Dit bewijs is veel moeilijker aangezien het gebruik maakt van de classificatie van de eenvoudige eindige groepen. Wij geven nog een andere toepassing van de Cauchy-Frobenius stelling. Wij berekenen het aantal mogelijke kleuringen van de zijden van een vierkant; dit onder de veronderstelling dat wij n kleuren ter beschikking hebben. Wij zijn slechts geïnteresseerd in essentieel verschillende kleuringen. De diëdergroep D 8 voert een natuurlijk actie op alle gekleurde vierkanten. Een gekleurd vierkant wordt door die actie omgezet in een vierkant dat essentieel hetzelfde is. Het antwoord op de vraag is dus het aantal orbieten onder deze actie. Dus het resultaat wordt gegeven door 1 χ(g). 8 g D 8 Het is gemakkelijk na te gaan dat χ(1) = n 4, χ(a 2 ) = n 2, χ(a 3 ) = n, χ(a) = n, Dus het antwoord is χ(b) = n 3, χ(ab) = n 2, χ(a 2 b) = n 3, χ(a 3 b) = n (n4 + 2n 3 + 3n 2 + 2n).

13 10 HOOFDSTUK 1. GROEPENTHEORIE 1.2 Sylow stellingen In deze sectie bewijzen wij dat de stelling van Lagrange een gedeeltelijke omgekeerde stelling heeft. Zij p een priemgetal. Een groep G noemt men een p-groep als elk element eindige orde p a heeft (a is afhankelijk van het element). Voorbeelden zijn directe producten van cyclische groepen van orde p, en ook (Z (p) /Z, +) met Z (p) = {n/p k n Z k N}. Lemma Zij n = p k m, met p een priemgetal en 0 k N. Dan ( ) n m mod p. p k Bewijs. Voor elke 1 i p 1 weten wij dat ( p i) Z. Er volgt dan gemakkelijk dat p ( p i). Door inductie bewijst men ook eenvoudig dat Dus (X + 1) pk = X pk + 1 Z p [X]. (X + 1) n = (X pk + 1) m Z p [X]. Door coëfficiënten in beide polynomen te vergelijken verkrijgen wij ( ) n p k ( ) m = m mod p. 1 Stelling Zij G een eindige groep en p een priemgetal. G = p k m, met (p, m) = 1. De volgende eigenschappen gelden: Schrijf 1. G heeft een deelgroep van orde p k, dit wordt een Sylow p-deelgroep genoemd. De verzameling van alle Sylow p-deelgroepen noteren wij Syl p (G). (Er volgt dat een eindige groep H een p-groep is als en slechts als H = pk voor een k 0.) 2. als P een p-deelgroep is van G en S Syl p (G), dan bestaat g G met P S g. I.h.b. zijn alle Sylow p-deelgroepen geconjugeerd en is elke p-deelgroep bevat in een Sylow p-deelgroep.

14 1.2. SYLOW STELLINGEN Zij n p (G) = Syl p (G). Dan n p (G) 1 mod p e als p e [S : S T ] voor alle S, T Syl p (G) met S T. In dit laatste geval kunnen wij e = 1 nemen. Bewijs. (1) Zij X de verzameling van alle deelverzamelingen van G van orde p k. Dan X = ( ) G p m p mod p. Door rechtervermenigvuldiging voert G een actie uit op X. Omdat p X, bestaat er een orbiet k D G zodat p D G, met D X. Nu D G = G / G D. Bijgevolg p k G D en dus p k G D. Nu, DG D D en dus G D D = p k. Dus G D = p k. (2) Zij S Syl p (G) en zij X = {Sg g G}. Rechtervermenigvuldiging definiëert een actie van P op X. Nu X = [G : S] en dit is niet deelbaar door p (omdat S een Sylow p-deelgroep is). Er volgt dus dat er een orbiet bestaat waarvan het aantal elementen niet deelbaar is door p. Doch omdat de orde van P een macht is van p, moet zo een orbiet precies 1 element bevatten. Dus P stabiseert Sg voor een g G, m.a.w., voor alle h P, of equivalent Sgh = Sg, S g = S g h. Bijgevolg h S g. Dus P S g. (3) Zij P Syl(G). Door conjugatie voert P een actie uit op Syl p (G). Dan is {P } een orbiet voor deze actie. Om te bewijzen dat n p (G) 1 mod p e, is het dus voldoende om aan te tonen dat de orde van elke andere orbiet deelbaar is door p e. Verondertel daarom dat S Syl p (G) en dat S P. Zij M de orbiet van S. Dus M = [P : N P (S)]. Nu is SN P (S) een deelgroep van G, en S is een normale deelgroep van SN P (S). Omdat P een p-groep is, volgt er dat SN P (S)/S een p-groep is. Dus SN P (S) een p-groep van G. Omdat S een maximale p- deelgroep is, verkrijgen wij SN P (S) = S. Dus N P (S) S, en bijgevolg N P (S) = P S. Er volgt M = [P : P S]. Wegens de veronderstelling p e [P : P S]. Omdat deze index een macht is van p, verkrijgen wij p e [P : P S]. Dus volgt de bewering. Omdat P S geldt P S. Dus [P : P S] > 1 en dus [P : P S] p. M.a.w. wij kunnen e = 1 nemen. Dus n p (G) 1 mod p.

15 12 HOOFDSTUK 1. GROEPENTHEORIE Gevolg Zij G een eindige groep en P Syl p (G). Dan n p (G) = Syl p (G) = [G : N G (P )]. Bewijs. Wegens vorige stelling is dit evident. Gevolg Zij G een eindige groep en P Syl p (G). Dan zijn equivalent: 1. P is een normale deelgroep; 2. P is de enige Sylow p-deelgroep; 3. elke p-deelgroep is bevat in P ; 4. P is karakteristiek in G, d.w.z. P is invariant onder groepsautomorfismen van G. Bewijs. (1) (2). Veronderstel (1). Dan N G (P ) = G en dus Syl p (G) = [G : N G (P )] = 1. Dus volgt (2). (2) (3). Dit is duidelijk wegens vorige stelling. (3) (4). Als σ een automorfisme is van G, dan is σ(p ) terug een p-groep. Dus wegens (3), σ(p ) P. Omdat σ(p ) = P volgt er σ(p ) = P. (4) (1). Dit is evident. Wij geven enkele toepassingen. Eigenschap Zij G een eindige groep van orde pq, met p > q twee priemgetallen. Dan bevat G een normale Sylow p-deelgroep. Als, bovendien G niet abels is, dan q (p 1) en G heeft precies p Sylow q-deelgroepen. Bewijs. Wegens Gevolg?? weten wij dat n p (G) = 1 of q, en wegens Stelling??, n p (G) 1 mod p. Nu is q 1 mod p omdat 1 < q < p. Bijgevolg n p (G) = 1. Dus heeft G een normale Sylow p-deelgroep P. Omdat de groep G/P van priem orde q is volgt er dat G/P een cyclische groep is. I.h.b. is G/P abels en dus G P. Analoog, als G een normale deelgroep Q heeft van orde q (dus n q (G) = 1) dan G Q. In dit geval, G Q P. Nu is Q P een deelgroep van orde een deler van p en q. Bijgevolg Q P = {1}. Er volgt dat G = {1}, d.w.z. G is abels.

16 1.2. SYLOW STELLINGEN 13 Als dus G niet abels is dan is n q (G) > 1. Aangezien n q (G) p volgt er dat n q (G) = p. Bovendien verkrijgen wij dan p = n q (G) 1 mod q. Dus q (p 1). Wij merken op dat er steeds een abelse groep van orde pq bestaat voor priemgetallen p > q. Inderdaad Z p Z q = Zpq is zo een groep (dit is de enige abelse groep van orde pq). Er bestaan echter ook niet abelse deelgroepen van orde pq, dit op voorwaarde dat ook q (p 1). Construeer een groep met deze voorwaarden. De vorige eigenschap kan als volgt veralgemeend worden. Eigenschap Zij G een eindige groep van orde p 2 q, met p, q priemgetallen. Dan bevat G een normale Sylow p-deelgroep of een normale Sylow q-deelgroep. Eigenschap Zij G een eindige groep van orde p 3 q, met p, q priemgetallen. Dan bevat G ofwel een normale Sylow p-deelgroep of een normale Sylow q-deelgroep, of p = 2, q = 3 en G = 24 (bijvoorbeeld S 4 ). De Sylow stellingen kunnen ook gebruikt worden om aan te tonen dat zekere eindige groepen niet eenvoudig zijn (d.w.z. er bestaat een echte normale deelgroep). Lemma Zij G een eindige groep van orde p a m met a > 0, m > 1, p een priemgetal zodat (p, m) = 1. Als G eenvoudig is, 1. n = n p (G) m, 2. n p (G) 1 mod p, 3. G n!. Bewijs. De eerste twee gedeelten volgen uit Stelling?? en Gevolg??. Zij nu S Syl p (G) en H = N G (S). Wegens Gevolg?? [G : H] = n p (G). Omdat G eenvoudig is en S een echte en niet triviale deelgroep is van G, weten wij dat n p (G) > 1. Wegens Eigenschap?? volgt er dat G n!. Eigenschap De groepen van orde = , 2376 = of 8000 = zijn niet eenvoudig.

17 14 HOOFDSTUK 1. GROEPENTHEORIE Bewijs. Wij passen Lemma?? toe voor p = 5. De enige delers n van 2 6 die ook congruent zijn met 1 mod 5 zijn de getallen 1 en 16. Doch G deelt niet 1! noch 16!. Dus volgt het resultaat. Burnside toonde aan dat een groep van orde p a q b (met p en q priemgetallen en a 0, b 0) nooit een eenvoudige groep is. 1.3 p-groepen Aangezien eindige groepen steeds p-deelgroepen bevatten is het nuttig om enkele eigenschappen van deze groepen te bestuderen. Merk op dat wegens de Sylow stelling, de orde van een eindige p- groep (met p een priemgetal) een macht van p is. Lemma Veronderstel X P X een actie is van een eindige p-groep op X. Zij X f = {x X x p = x voor alle p P }, de fixpunten. Dan X X f mod p. Bewijs. Merk op dat x X f als en slechts als x P = 1. Dus is X \ X f de vereniging van de niet-triviale orbieten. Nu is de orde van elke niet triviale orbiet een deler van P, en dus is de orde van zo een orbiet deelbaar door p. Het resultaat volgt dus. Eigenschap Zij P een eindige p-groep (p een priemgetal). Als N een niet-triviale normale deelgroep is van P, dan N Z(P ) {1}. I.h.b., elke p-groep heeft een niet triviaal centrum. Bewijs. Via conjugatie voert P een actie uit op de normale deelgroep N. Duidelijk is de verzameling fixpunten N f = N Z(P ). Wegens het vorige lemma verkrijgen wij N Z(P ) N mod p. Omdat N een niet triviale deelgroep is van een p-groep weten wij ook dat N 0 mod p. Dus p N Z(P ). Het resultaat volgt. Gevolg Zij p een priemgetal. 1. elke eindige eenvoudige p-groep is isomorf met Z p. 2. Zij G een eindige groep en p a een deler van G, dan bevat G een deelgroep van orde p a.

18 1.4. PERMUTATIEGROEPEN 15 Bewijs. (1) Zij P een eindige eenvoudige p-groep. Wegens Eigenschap??, Z(P ) P en Z(P ) > 1. Dus, Z(P ) = P, d.w.z. P is abels. Het resultaat is dan welbekend. (2) Om dit te bewijzen is het voldoende om aan te tonen dat elke niet-triviale eindige p-groep P een deelgroep van index p bevat. Zij P zo een groep en zij N een maximale normale deelgroep van P, m.a.w. P/N is een eenvoudige groep. Wegens deel (1), P/N = p. Dus volgt het resultaat. Eigenschap Zij p een priemgetal en P een eindige p-groep. Als H een echte deelgroep is van P dan is H een echte deelgroep van N P (H). Bovendien heeft elke maximale deelgroep in P index p. Bewijs. Zij P een eindige p-groep en H een echte deelgroep van P. Als Z(P ) H dan H N P (H) (omdat Z(P ) N P (H)). Veronderstel dus dat Z(P ) H. Bijgevolg is H/Z(P ) een echte deelgroep van P/Z(P ). Door gebruik te maken van een inductiebewijs verkrijgen wij dus dat H/Z(P ) N P/Z(P ) (H/Z(P )). Nu is N P/Z(P ) (H/Z(P )) = H 1 /Z(P ) voor een deelgroep H 1 zodat Z(P ) H 1 P. Omdat H/Z(P ) H 1 /Z(P ) verkrijgen wij ook H H 1. Dus H H 1 N P (H). Dit bewijst het eerste gedeelte van het resultaat. Voor het tweede gedeelte, zij H een maximale deelgroep van P. Wegens het eerste gedeelte H N P (H), en dus N P (H) = P. Bijgevolg H P en H/P is een eenvoudige p-groep. Dus wegens Gevolg?? [H : P ] = p. 1.4 Permutatiegroepen De permutatiegroep op een verzameling X noteren wij Sym(X). Als X een eindige verzameling is met n elementen dan noteren wij deze groep gewoonlijk door S n. Het is welbekend dat elke permutatie f Sym(X) op een unieke manier (op volgorde na) kan geschreven worden als het product van disjuncte cycels en dat de orde van f het kleinste gemeen veelvoud is van de lengte van deze disjuncte cycels. Bovendien weten wij wanneer twee permutaties geconjugeerd zijn.

19 16 HOOFDSTUK 1. GROEPENTHEORIE Eigenschap Twee elementen in Sym(X) zijn geconjugeerd precies als zij dezelfde cycelstructuur hebben. Bovendien Z(S n ) = {1} als n 3. Bewijs. Zij g = (x 1, x 2,, x m ) een m-cycel in Sym(X) en h Sym(X). Dan zijn alle x 1 h,, x m h verschillend. Bovendien, omdat hg h = gh volgt er dat (x i h)g h = x i+1 h voor 1 i < m en Verder is (x m h)g h = x 1 h. yg h = y als y {x 1 h,, x m h}. Er volgt dat g h = (x 1 h,, x m h), en dus is ook g h een m-cycel. Zij nu g Sym(X) een willekeurig niet-triviaal element. Schrijf g = c, een product van disjuncte niet-triviale cycels. Als h Sym(X) dan g h = c h. Wegens het eerste gedeelte van het bewijs is dit een product van disjuncte cycels. Aangezien c h en c dezelfde lengte hebben, hebben g en g h dezelfe cycelstructuur. Omgekeerd, veronderstel dat g, h Sym(X) dezeldfe cycelstructuur hebben. Schrijf dan g = n c i en h = i=1 n d i, i=1 disjuncte producten van cycels, met c i en d i cycels van dezelfde lengte. Er is dan een bijectie tussen de elementen in c i en deze in d i. Bovendien is er een bijectie tussen de fixpunten van g en deze van h. Men verkrijgt aldus op een eenvoudige manier een bijectie f Sym(X) zodat g f = h.

20 1.4. PERMUTATIEGROEPEN 17 Voor de laatste bewering. Als n 3 en 1 f Sym n dan (door een eventuele hernummering) kan f in disjuncte cycelvorm geschreven worden als f = (1, 2, ). Bijgevolg en dus f Z(S n ). f (2,3) = (1, 3, ) f, Een permutatie wordt even (respectievelijk oneven) genoemd als deze kan geschreven worden als het product van een even (respectievelijk oneven) aantal transposities. Merk op dat een permutatie niet tegelijkertijd even en oneven kan zijn. De deelgroep van de even permutaties op een verzameling X noemt men de alternerende groep op X. Indien X = {1, 2,..., n} dan noteert men deze groep gewoonlijk door Alt n (X), of eenvoudig door A n. Merk ook op dat A n de kern is van het volgende groepshomomorfisme: { f 1 als f even is S n Z 2 : f 0 als f oneven is Eigenschap Zij G een eindige groep van orde 2m, met m een oneven getal. Dan bevat G een normale deelgroep van orde m. I.h.b. G is niet eenvoudig. Bewijs. Omdat 2 G bevat G een element g of orde 2. Beschouw nu de reguliere actie van G. Omdat g van orde 2 is, kan g geschreven worden als een product van disjuncte transposities en cycels van lengte 1. Doch, omdat g 1 heeft g geen fixpunten (voor de reguliere actie). Dus is g het product van m disjuncte cycels. Wegens de veronderstelling is m oneven, en dus is g Alt(G). Zij f : G Sym(G) het natuurlijk homomorfisme geassociëerd met de reguliere actie. Dan, (g)f Alt(G). Stellen wij f samen met het natuurlijke homomorfisme Sym(G) Sym(G)/Alt(G) dan verkrijgen wij een epimorfisme ψ : G Sym(G)/Alt(G) met g ker(ψ). Bijgevolg is ker(ψ) G en ker(ψ) = m. Dus volgt het resultaat. De groep Alt 3 is een cyclische groep van orde 3. De groep Alt 4 heeft als normale deelgroep de verzameling bestaande uit de identiteit en de

21 18 HOOFDSTUK 1. GROEPENTHEORIE elementen die een product zijn van disjuncte transposities. Voor Alt n met n 5 bewijzen wij dat deze groep steeds eenvoudig is. Hiervoor is het volgende lemma nuttig. Lemma Veronderstel dat X G X een transitieve actie is van de groep G op X. Dan zijn alle stabilsatoren G x (met x X) geconjugeerd in G. Bewijs. Wij bewijzen dat voor x X en g G, Inderdaad, voor G x g = (G x ) g. h G x g (x g) h = x g Stelling Als n 5 dan geldt 1. A n is eenvoudig. (x g) hg 1 = x ghg 1 G x h G g x. 2. {1} en A n zijn de enige normale deelgroepen van S n. Bewijs. (1) Een bewijs door inductie herleidt de bewering tot Alt 5. Inderdaad, veronderstel dat n 6 en het resultaat geldt voor Alt 5 en voor alle Altn n met n 6. Zij N Alt n een echte deelgroep van Alt n = Alt({x 1,, x n }. Zij H de stabilisator van een x {x 1,, x n }. Dan H = Alt n 1 en dus is Alt n 1 eenvoudig. Omdat N H H verkrijgen wij dat ofwel N H = {1} ofwel N H = H. Als N H = H, dan H N en dus H g N g = N voor elke g Alt n. Wegens Lemma?? is H g de stabilsator van x g. Dus bevat N elk element van Alt n dat een fixpunt heeft in {x 1,, x n }. Bijgevolg bevat N elk product van twee transposities, en dus Alt n = N, een contradictie. Dus hebben wij bewezen dat de identiteit het enige element is in N dat een fixpunt heeft. Veronderstel dat 1 f N. Ofwel is f een product van disjuncte transposities, ofwel heeft f een cycelstructuur met

22 1.4. PERMUTATIEGROEPEN 19 ten minste één cycel van lengt m 3. Door eventueel een hernummering in te voeren mogen wij veronderstellen dat f de volgende vorm aanneemt als product van disjuncte cycels: Zij g = f (3,5,6) N. Dan (1, 2)(3, 4) of (1, 2, 3, ) g = (1, 2)(5, 4) of g = (1, 2, 5, ). In beide gevallen f g maar 1(fg 1 ) = 1. Dus heeft het element fg 1 N een fixpunt, een contradictie. Wij hebben dus inderdaad aangetoond dat het voldoende is om aan te tonen dat Alt 5 eenvoudig is. Wij bewijzen dus nu dat Alt 5 eenvoudig is. Eerst merken wij op dat er in Alt 5 precies 20 elementen zijn van orde 3 en precies 24 elementen van orde 5. Zij N een echte normale deelgroep van Alt 5. Veronderstel eerst dat 3 N. Dan bevat N een Sylow 3-deelgroep van Alt 5. Wegens de Stelling van Sylow bevat N dan alle Sylow 3- deelgroepen. Dus N bevat alle 20 elementen van orde 3. Dus N > 20. Omdat N 60 volgt er dat N = 30. Analoog, als 5 N, dan bevat N alle 24 elementen van orde 5 en dus ook N = 30. Wegens het voorgaande, als N deelbaar is door 3 of 5, dan bevat N alle 20 elementen van orde 3 of alle 24 elementen van orde 5, en N = 30, een contradictie. Dus is N een 2-group. Als N = 4, dan omdat N Alt 5, verkrijgen wij dat N de enige Sylow 2-deelgroep is van Alt 5. Dus bevat N alle 15 elementen van orde 2, een contradctie. Als N = {1, x} met 1 x, dan heeft x een fixpunt in de verzameling {1,, 5}. Omdat N Alt 5 volgt er dan uit Lemma?? dat N bevat is in elke stabilisator. Dit is duidelijk onmogelijk omdat x N niet alle elementen van {1,, 5} als fixpunt heeft. Er volgt dus dat N = 1, zoals gewenst. (2) Zij N Sym n. Dan N Alt n Alt n. Dus wegens (1), Alt n N of Alt n N = {1}. In het eerste geval, N = Alt n of N = Sym n. Er blijft dus te bewijzen dat als Alt n N = {1}, dan N = {1}. In dit geval, N [Sym n : Alt n ] = 2. Als N = 2, dan is N Z(S n ) = {1}, een contradictie. Wij beschouwen nu automorfismen van S n. Stelling Zij n een natuurlijk getal.

23 20 HOOFDSTUK 1. GROEPENTHEORIE 1. Als n 6, dan is elk automorfisme van S n inwendig. 2. S 6 heeft een automorfisme dat niet inwendig is. Bovendien [Aut(S 6 ) : Inn(S 6 )] = 2. Bewijs. (1) Duidelijk mogen wij veronderstellen dat n 2. Zij t Sym n een element van orde 2. Dus is t een product van k disjuncte transposities en t heeft n 2k fixpunten, met 1 k n. Wij berekenen 2 nu de orde cl(t) van de conjugatieklasse van t. Dit is precies alle mogelijkheden om k disjuncte transposities te kiezen (onafhankelijk van hun orde). Er zijn n(n 1) mogelijkheden om de eerste transpositie te 2 kiezen. Er zijn (n 2)(n 3) mogelijkheden om de tweede transpositie te 2 kiezen. Wij zien dus dat er n! 2 k (n 2k)! mogelijkheden zijn om geordende verzamelingen van k disjuncte transposities in Sym n te kiezen. Dus cl(t) = n! 2 k (n 2k)k!. Als k = 1 (dus t is een transpositie), dan cl(t) = n! 2(n 2)!. Wij tonen nu aan dat transposities de enige elementen t van orde 2 zijn zodat cl(t) = n!!. Hiervoor moeten wij bewijzen dat 2(n 2) 2 k (n 2k)!k! 2(n 2)! voor 1 < k n. (Merk op dat als k = 3 en n = 6 de gewenste 2 ongelijkheid vals is. Maar per veronderstelling is n 6.) Als k = 2 dan is de ongelijkheid duidelijk waar. Veronderstel nu dat k 3 en dus n > 6. Wij bewijzen de ongelijkheid door aan te tonen dat 2 k 1 (n 2k)!k! < (n 2)!.

24 1.5. DIRECTE PRODUCTEN VAN GROEPEN 21 Omdat verkrijgen we ( ) n k 1 = k (n k)! k!(n 2k)!, 2 k 1 (n 2k)!k! 2 k 1 (n k)!. Het is dus voldoende om aan te tonen dat 2 k 1 < (n 2)(n 3) (n k + 1). Maar deze ongelijkheid is correct omdat de rechterkant k 2 factoren heeft die elk groter zijn dan 4; dus is de rechterkant groter dan 4 k 2 = 2 2(k 2) 2 k 1. Zij nu f een automorfisme van Sym n. Omdat conjugatieklassen gepermuteerd worden door f, volgt er uit de vorige berekeningen dat f de transposities van f permuteert. Zij s i = (i, i+1) met 1 i n 1 en t i = (s i )f. Schrijf t 1 = (x 1, x 2 ). Omdat s 1 en s 2 niet commuteren volgt er dat ook t 1 en t 2 ook niet commuteren. Bovendien zijn t 1 en t 2 niet disjunct. Daarom mogen wij veronderstellen dat t 2 = (x 2, x 3 ) met x 3 x 1. Omdat t 3 niet commuteert met t 2 moet x 2 of x 3 voorkomen in t 3. Nu. s 1 commuteert met s 3 en dus t 3 commuteert met t 1. Dus t 3 = (x 3, x 4 ) met x 4 {x 1, x 2, x 3 }. Analoog, t 4 is niet disjunct van t 3, maar is disjunct van t 1 en t 2. Dus t 4 = (x 4, x 5 ) met x 5 {x 1, x 2, x 3, x 4 }. Herhalen wij deze redenering dan bekomen wij dat t i = (x i, x i+1 ) waarbij de elemenen x 1,, x n alle verschillend zijn. En dus {x 1,, x n } = {1, 2,, n}. Zij g Sym n gedefiniëerd door (i)g = x i. Dan (s i ) g = t i. Dus als α de conjugatie door g voorstelt op Sym n, dan (s i )fα 1 = s i. Omdat Sym n voortgebracht is door transposities volgt er dat (s)fα 1 = s voor alle s Sym n. Dus fα 1 = 1, zodat f = α. (2) Dit gedeelte bewijzen wij niet. 1.5 Directe producten van groepen Men zegt dat een groep G het (inwendig) direct product is van normale deelgroepen G 1,..., G n als elk element g G op een unieke manier kan geschreven worden als g 1 g n met g i G i. Wij schrijven n G = G i. i=1

25 22 HOOFDSTUK 1. GROEPENTHEORIE Stelling Zij G een groep en G 1,..., G n normale deelgroepen zodat G = G 1 G n. Dan zijn equivalent: 1. G is het inwendig direct product van G 1,, G n. 2. G i (G 1 G i 1 G i+1 G n ) = {1}, voor elke 1 i n, 3. G i (G 1 G i 1 ) = {1}, voor elke 2 i n. Indien deze voorwaarden gelden, dan G = G 1 G n, d.w.z. G = {(g 1,, g n ) g i G i voor 1 i n}. Bewijs. Wij tonen slechts aan dat als de voorwaarden (1)-(3) voldaan zijn, dan is G isomorf met G 1 G n. Inderdaad definiëer als volgt ψ : G 1 G n G ψ(g 1,, g n ) = g 1 g n. Dan is duidelijk ψ een bijectie. Wij tonen nu aan dat ψ een homomorfisme is. Hiervoor merken wij eerst op dat als i j en g i G i en g j G j, dan g i g j g 1 i g 1 j G i G j = {1} (omdat G i en G j normale deelgroepen zijn van G). Dus g i g j = g j g i. Het is nu eenvoudig na te gaan dat ψ een homomorfisme is. Stelling Zij N een eindige minimale normale deelgroep van een groep G. Dan bestaan er deelgroepen N i van N zodat 1. N is het intern direct product van N 1,, N n, 2. elke N i is eenvoudig, 3. alle N i zijn geconjugeerd. Als bovendien Nniet abels is, dan vormen de N i een volledige G-conjugatieklasse van deelgroepen.

26 1.5. DIRECTE PRODUCTEN VAN GROEPEN 23 Bewijs. Zij S een minimale normale deelgroep van N. Omdat N G volgt er dat S g N, voor elke g G. Dus is S g een minimale normale deelgroep van N. Er volgt dat S g g G (dit is de kleinste deelgroep van G voortegebracht door alle S g ) een normale deelgroep is van G die bevat is in N. Wegens de minimaliteit van N verkrijgen wij dat N = S g g G. Omdat N eindig is bestaan er eindig veel geconjugeerden S 1,, S n van S zodat N = S 1,, S n en zodat niet minder dan deze verzamelingen N voortbrengen. Omdat S i N volgt er dat S i S j = S j S i en dus N = S 1 S n. Om aan te tonen dat N het intern direct product is van S 1,, S n is het voldoende te bewijzen dat D = S i j i S j = {1}. Nu is D N en D S i. Omdat S i minimaal normaal is in N volgt er dat D = {1} of D = S i. In het tweede geval, S i = D j i S j en dus j i S j = j S j = N, en dit is in contradictie met de keuze van de S 1,, S n. Dus is inderdaad D = {1}. Er blijft dus te bewijzen dat elke S i eenvoudig is. Zij daarom M S i en M {1}. Omdat S i S j = {1} volgt er dat S j C G (S i ) N G (M). Omdat S i N G (M) verkrijgen wij dus dat N = S i N G (M). Dus is M N. Omdat S i minimaal normaal is in N volgt er dat M = S i, zoals gewenst. Ten slotte, veronderstel dat N niet abels is. Omdat Z(N) G en N minimaal normaal is in G en N niet abels is, volgt er dat Z(N) = {1}.

27 24 HOOFDSTUK 1. GROEPENTHEORIE Zij nu T een G-geconjugeerde van S. Dan is T minimaal normaal in N. Dus, als T S i, dan T S i = {1}. Bijgevolg voor elke t T en s i S i, [t, s i ] T S i = {1}. M.aw. S i C G (T ). Als dus T {S 1,, S n }, dan N = S 1 S n C G (T ). Dus T Z(N) = {1}, een contradictie. Merk op dat Z(G 1 G n ) = Z(G 1 ) Z(G n ). Ook merken wij op dat als G = G 1 G 2 = G 1 G 3, beide inwendige direct producten, dan is G 2 = G/G1 = G 1 G 2 /G 1 = G 1 G 3 /G 1 = G3. Dus wij hebben een vereenvoudigingseigenschap voor interne directe producten. Doch men moet voorzichtig zijn aangezien R {0} = R = R R, een isomorfisme van additieve groepen. De isomorfismen volgen uit de lineaire algebra (aangezien R en R R vectorruimten zijn met dezelfde Q-dimensie en dus isomorf zijn als vectorruimten en dus ook als groepen.) Men kan echter wel de volgende eigenschap bewijzen. Eigenschap Zij G, H, K eindige groepen. Als G H = G K, dan H = K. 1.6 Eindige nilpotente groepen Een eindige groep G noemt men nilpotent als voor elk priemgetal p de groep G een normale Sylow p-deelgroep bevat. Voorbeelden zijn uiteraard eindige abelse groepen eindige p-groepen. Stelling Als G een eindige nilpotente groep is dan G = p S p, het direct product van de Sylow p-deelgroepen S p (met p een priemdeler van G ).

28 1.6. EINDIGE NILPOTENTE GROEPEN 25 Bewijs. Omdat S p G volgt er dat p S p een deelgroep is van G. Bovendien G = p S p. Dus G = p S p. Verder is p q S p een deler van p q S p. Dus is p q S p niet deelbaar door q. Bijgevolg, S q p q S p = {1}. Het resultaat volgt dan. Wij kunnen deze stelling uiteraard toepassen op eindige abelse groepen, en verkrijgen aldus dat elke eindige abelse groep het direct product is van p-groepen. Deze laatste kan men dan nog verder ontbinden als een direct product van cyclische p-groepen. Dit volgt onmiddellijk uit de volgende eigenschap. Lemma Zij G een eindige abelse p-groep (p een priemgetal). Als g G een element is van maximale orde, dan voor een deelgroep H van G. G = g H Bewijs. Dit werd reeds bewezen in andere cursussen. Wij verkrijgen aldus de volgende welbekende stelling. Stelling Elke eindige abelse groep is isomorf met een direct product van cyclische p-groepen. Bovendien als n 1,..., n k en m 1,..., m l niet-triviale machten zijn van priemgetallen zodat Z n1 Z nk = Z m1 Z ml, dan k = l, en n i = m i (na eventueel te hernummeren). Als toepassing kunnen wij de groep van de complexe representaties van een eindige abelse groep berekenen. Dus zij A een eindige abelse groep en zij  de groep van alle homomorfismen van A in de multiplicatieve groep C \ {0}. Men noemt  de duale groep van A. Stelling Als A een eindig abelse groep is, dan  = A. Bewijs. Schrijf A = C 1 C n, met elke C i een cyclische groep. Definiëer een groephomomorfisme f :  Ĉ1 Ĉn

29 26 HOOFDSTUK 1. GROEPENTHEORIE als volgt α (α C1,, α Cn ). Als α ker f, dan α Ci = 1 en dus C i ker α. Omdat A = C 1 C n volgt er dat A ker α en dus is α = 1. Bijgevolg is f injectief. Wij tonen nu aan dat f surjectief is. Zij daarom α i Ĉi. Definiëer als volgt α : Â C \ {0} c 1 c n α 1 (c 1 ) α n (c n ). Dan is duidelijk (α)f = (α 1,, α n ). Dit bewijst de surjectiviteit. Er blijft dus te bewijzen dat Ĉ = C, voor een cyclische groep C = g. Veronderstel dat C = n. Zij E de n-de eenheidswortels van C. Dan E = e 2πi/n, een cyclische groep van orde n. Dus is α : C E : g k e 2πik/n een isomorfisme van groepen. Bovendien is α Ĉ en is de orde van α in deze groep ook n. Het is dus voldoende om aan te tonen dat Ĉ = α. Zij dus β Ĉ. Omdat ((g)β)n = (g n )β = (1)β = 1, volgt er dat (g)β E. Dus (g)β = ((g)α) m voor een m. Dus (g)β = (g)α m en bijgevolg β = α m α. 1.7 Groepsuitbreidingen Zij N en H groepen. Men noemt een groep G een uitbreiding van N door H als G een normale deelgroep M bevat zodat M = N en G/M = H. Het uitbreidingsprobleem is om alle uitbreidingen (op isomorfisme na) van N door H te klassificeren. Uiteraard is het (uitwendig) direct product N H zo een groep. Wij geven een meer algemene constructie. Men noemt een groep G een gesplitste uitbreiding van N door H als voldaan is aan de volgende eigenschappen: 1. er bestaat M G zodat M = N en G/M = H, 2. er bestaat een deelgroep K van G zodat KM = G en K M = {1}.

30 1.7. GROEPSUITBREIDINGEN 27 Men zegt dat M gecomplementeerd is door K in G. Merk op dat in de voorgaande definitie M een normaal complement K heeft als en slechts als G = N K. In het algemeen voert K een actie uit op M (door conjugatie). Deze actie is triviaal als en slechts als K C G (M); in dit geval is dan M C G (K) N G (K) en dus is K G. Wij zeggen dat een groep H een actie via automorfismen uivoert op een groep N als, voor elke n 1, n 2 N en h H, (n 1 n 2 ) h = (n 1 h)(n 2 h). D.w.z. de actie van elk element van H geeft een groepautomomorpfisme. Stelling Veronderstel dat een groep H een actie via automorfismen uitvoert op een groep N. Dan bestaat een groep G met deelgroepen N 1 en H 1 zodat 1. N = f N 1 en H = ψ H 1, 2. N 1 H 1 = G, 3. N 1 H 1 = {1}, 4. N 1 G, 5. ψ(h) 1 f(n)ψ(h) = f(n h). Men noemt G het semidirect product van N door H, en men noteert deze groep N H. Bewijs. Het gebruikelijke bewijs construëert G als een groep van geordende paren. Wij construëren G als een deelgroep van Sym(X) met X = H N. Definiëer een actie van N en H op X als volgt en (k, m) h = (kh, m h) (k, m) n = (k, mn), voor k, h H en m, n N. Geen enkel niet-triviaal element van N of H voert een triviale actie uit. Er volgt dus dat er isomorfismen zijn van

31 28 HOOFDSTUK 1. GROEPENTHEORIE H en N in Sym(X). Hun beelden noteren wij H 1 en N 1. Dus N = f N 1 en H = ψ H 1. Nu ((k, m)) (ψ(h) 1 f(n)ψ(h)) = (( (k, m) h 1) n ) h = ( k, ( m h 1) n) h ) Omdat dit een actie via automorfismen is volgt er Bijgevolg ((k, m)) (ψ(h) 1 f(n)ψ(h)) = (k, m(n h)) = ((k, m)) f(n h) ψ(h 1 )f(n)ψ(h) = f(n h). Er volgt dat ψ(h) N(f(N)), de normalisator van f(n), en dus is G = ψ(h) f(n) een groep. Het resultaat volgt als wij bovendien bewijzen dat ψ(h) f(n) = {1}. Om dit aan te tonen, veronderstel dat x = ψ(h) = f(n). Dan (kh, m h) = (k, m)x = (k, mn). Er volgt dat h = 1 en dus x = ψ(h) = Oplosbare groepen In deze sectie behandelen wij (eindige) groepen die geconstruëerd worden uit de (cyclische) abelse groepen. Definitie Een groep G is oplosbaar als er normale deelgroepen G 0, G 1,, G n van G bestaan zodat 1. {1} = G 0 G 1 G n = G,

32 1.8. OPLOSBARE GROEPEN G i+1 /G i is abels voor 0 i < n. Voorbeelden zijn de abelse groepen, S 3, D 8, alle eindige groepen van oneven orde (een resultaat van Feit en Thompson). Eenvoudige niet-abelse groepen zijn niet oplosbaar (b.v. A 5 ). Herinner dat de afgeleide groep G de deelgroep is van G die voortgebracht wordt door de commutatoren [g, h] = g 1 h 1 gh, met g, h G. Deze groep is de kleinste normale deelgroep van G zodat de corresponderende quotiëntgroep abels is. Definiëer G (0) = G en, voor n 1, Dan noemen wij G (n) = ( G (n 1)). G = G (0) G (1) G (2) de afgeleide reeks (Eng. derived series) van G. Stelling Een groep G is oplosbaar als en slechts als G (n) = {1} voor een n. De kleinste n zodat G (n) = {1} noemt men de afgeleide lengte (Eng. derived length) van G, dit wordt genoteerd dl(g). Bewijs. Veronderstel dat G oplosbaar is. Dus zijn er normale deelgroepen G i van G zodat {1} = G 0 G 1 G n = G en is abels voor 0 i < n. Dus, G i+1 /G i (G i+1 ) G i voor alle i. Bijgevolg G G n 1

33 30 HOOFDSTUK 1. GROEPENTHEORIE en Er volgt voor 0 k < n. Bijgevolg Omgekeerd, als G (n) = {1} dan G (2) = (G ) (G n 1 ) G n 2. G (k) G n k G (n) G 0 = {1}. {1} = G (n) G (n 1) G (1) G (0) = G. Bovendien is voor elk automorfisme f van G f(g (k) ) = (f(g)) (k), i.h.b., elke G (k) is een invariante deelgroep van G en dus een normale deelgroep van G. Dus is G een oplosbare groep. Eigenschap Deelgroepen en quotientgroepen van een oplosbare groep zijn terug oplosbaar. Als N G en N en G/N oplosbaar zijn, dan is ook G oplosbaar. Bovendien dl(g) dl(n) + dl(g/n). Bewijs De eerste bewering is eenvoudig te verifiëren. Wij bewijzen het tweede gedeelte. Zij dus N G en veronderstel dat N en G/N oplosbaar zijn. Zij dl(n) = n en dl(g/n) = m. Omdat (G/N) (m) = {1} volgt er dat G (m) N. Dus Dus volgt het resultaat. G (m+n) = (G (m) ) (n) N (n) = {1}. Zij G een groep. Een compositierij van G is een rij deelgroepen {1} = G 0 G 1 G 2 G n 1 G n = G, zodat G i G i+1, voor 0 i n 1,

34 1.9. NILPOTENTE GROEPEN 31 en elke G i+1 /G i is een eenvoudige groep. Elke eindige groep G heeft een compositierij. Later zullen wij aantonen dat de compositiefactoren éénduidig bepaald zijn (op isomorfisme en orde na) en dat zij onafhankelijk zijn van de compositierij. Gevolg Zij {1} = G 0 G 1 G n = G een compositierij van G. Dan, G is oplosbaar als en slechts als elke G i+1 /G i een groep is van orde een priemgetal. Als bovendien alle G i normaal zijn in G, dan noemt men G superoplosbaar. Bewijs. Veronderstel dat alle compositiefactoren priem orde hebben. Dan G G n 1 en dus G G n 2. Herhaal dit en er volgt dat G (n) = {1}. Dus is G oplosbaar. Omgekeerd, veronderstel dat G oplosbaar is. Wegens Eigenschap?? is dan elke factor G i+1 /G i oplosbaar. Er blijft te bewijzen dat een oplosbare eenvoudige groep H van priem orde is. Dit is evident, inderdaad is H een echte normale deelgroep van H en dus H = {1} (omdat H eenvoudig is). Dus is H abels en eenvoudig. Bijgevolg is H van priem orde. Voor oplosbare groepen kan men het volgende resultaat bewijzen. Stelling (P. Hall) Zij G een eindige en oplosbare groep en π een verzameling van priemgetallen. Dan bestaat er een deelgroep H van G zodat elke priemdeler van H tot π behoort en elke priemdeler van [G : H] niet tot π behoort. 1.9 Nilpotente groepen Wij definiëren nu willekeurige nilpotente groepen. In het geval van eindige nilpotente groepen tonen wij aan dat dit overeenstemt met de vroegere definitie (d.w.z, alle Sylow deelgroepen zijn normaal). Definitie Een groep G is nilpotent als er normale deelgroepen G 0, G 1,..., G n van G bestaan zodat

35 32 HOOFDSTUK 1. GROEPENTHEORIE 1. {1} = G 0 G 1 G n = G, en 2. G i+1 /G i Z(G/G i ), voor 0 i < n. Voorbeelden zijn abelse groepen en D 8. Een niet-nilpotente groep is S 3. Uiteraard zijn nilpotente groepen oplosbaar. Eigenschap Zij G een eindige groep. 1. Als Z(G/M) {1} voor elke echte normale deelgroep M van G, dan is G is nilpotent. 2. Als G een eindige p-groep is, dan is G nilpotent. Bewijs. Voor elke n N definiëren wij een deelgroep Z n = Z n (G) van G (het n-de centrum als volgt: Z 0 = {1} en, voor n > 0, Z n is de deelgroep van G zodat Z n 1 Z n en Z n /Z n 1 = Z(G/Z n 1 ). Merk op dat elke Z n een invariante, en dus een normale deelgroep is van G. (1) Wegens de veronderstelling is Z n 1 Z n als Z n 1 G. Omdat G eindig is volgt er dat Z n = G voor een n N. Dus is G nilpotent. (2) Wegens Eigenschap?? heeft elke eindige niet-triviale p-groep een niet triviaal centrum. De bewering (2) volgt dan onmiddellijk uit (1). Een rij G 0 G 1 G n van normale deelgroepen van een groep G noemt men een centrale rij (Eng. central series) als G i+1 /G i Z(G/G i ) voor 0 i < n. Definiëer Z 0 (G) = {1} en, voor i > 0, zij Z i (G) de deelgroep van G gedefiniëerd door Z i (G)/Z i 1 (G) = Z(G/Z i 1 (G)).

36 1.9. NILPOTENTE GROEPEN 33 De rij {Z i (G) i 0} noemt men de stijgende (of hoogste) centrale rij (Eng. upper central series) van G. Uiteraard is G nilpotent als Z n = G voor een n G. Wij zullen aantonen dat het omgekeerde ook geldt. Voor deelverzameligen H, K van een groep G noteren wij met [H, K] de deelgroep voortgebracht door alle [h, k] met h H en k K. Men noemt dit de commutator van H en K. Voor een groep G definiëer G 1 = G en, voor n 2, G n = [G n 1, G]. Dan is elke G n een karaktersitieke deelgroep van G (en dus normaal). Er volgt dat G = G 1 G 2 G 3 een centrale rij is. Men noemt dit de dalende (of laagste) centrale rij (Eng. lower central series) van G. Stelling Zij G een groep en n 1. Dan zijn equivalent 1. G is nilpotent, 2. G n+1 = {1}, 3. Z n (G) = G. Indien G nilpotent is, dan noemt men het kleinste natuurlijk getal n zodat Z n = G de nilpotentieklasse van G Bewijs. (1) (2). Veronderstel dat G nilpotent is. Zij een centrale rij van G. Omdat {1} = G 0 G 1 G n = G G i+1 /G i Z(G/G i ) verkrijgen wij dat Bijgevolg [G i+1, G] G i. G i G n i+1

37 34 HOOFDSTUK 1. GROEPENTHEORIE en dus G n+1 = {1}, zoals gewenst. (2) (3). Veronderstel dat G n+1 = {1}. Dan G = G 1 G 2 G n+1 = {1}. Omdat G n+1 = [G n, G] = 1 is het duidelijk dat G n Z(G) = Z 1. Omdat G n = [G n 1, G] Z 1 volgt er dat G n 1 Z 2 en dus G n 2 Z 3. Door inductie volgt er G (n+1) i Z i. Bijgevolg G = G 1 = G (n+1) n Z n, m.a.w. G = Z n. (3) (1) Dit is reeds eerder vermeld. Gevolg Deelgroepen en quotientgroepen van een nilpotente groep zijn terug nilpotent. Bewijs. Zij G een nilpotente groep en N een deelgroep. Omdat H n G n volgt er uit Stelling?? dat ook N nilpotent is. Als bovendien N een normale deelgroep is, zij dan f : G G/N het natuurlijk epimorfisme. Dan f(g n ) (G/N) n. Als G n = {1} dan volgt er dat (G/N) n = {1}. Dus is ook G/N nilpotent. Stelling Zij G een eindige groep. De volgende voorwaarden zijn equivalent: 1. G is nilpotent, 2. H N G (H) voor elke deelgroep H van G met H G, 3. elke maximale deelgroep van G is normaal, 4. elke Sylow deelgroep van G is normaal, 5. G is het direct product van p-deelgroepen, met elke p een priemgetal. Bewijs. (1) (2). Zij G een nilpotente groep en {1} = G 0 G 1 G n = G een centrale rij (wij mogen veronderstellen dat G i G i+1 ). Veronderstel bovendien dat H een echte deelgroep is van G. Zij dan k het grootste

38 1.9. NILPOTENTE GROEPEN 35 natuurlijk getal zodat G k H. Merk op dat k < n. Nu is [H, G k+1 ] G k en bijgevolg is G k+1 N G (H). Dus volgt (2). (2) (3). Zij H een maximale deelgroep van G. Wegens (2), H N G (H). Omdat H maximaal is volgt er dat N G (H) = G. Dus is H normaal in G. (3) (4). Zij P Syl p (G), met p een priemgetal. Wij moeten bewijzen dat N G (P ) = G. Veronderstel dat N G (P ) G. Zij dan M een maximale deelgroep van G zodat N G (P ) M. Wegens de veronderstelling (3) is M een normale deelgroep van G. Wij beweren dat G = M; en dit is duidelijk een contradictie. Inderdaad zij g G. Dan P g M g = M. Omdat P = P g volgt er dat P Syl p (M). Dus bestaat een m M zodat P gm = P. M.a.w., gm N G (P ) M. Dus g M, en bijgevolg G = M. (4) (5). Dit weten wij reeds. (5) (1). Dit bewijst men eenvoudig door aan te tonen dat het eindig direct product van nilpotente groepen zelf nilpotent is. Stelling Zij N 1 en N 2 normale deelgroepen van een groep G. Als N 1 en N 2 eindig en nilpotent zijn, dan is N 1 N 2 een nilpotente groep. Bewijs. Zij p een priemgetal. Zij P Syl p (N 1 ) en Q Syl p (N 2 ). Omdat N 1 en N 2 eindige nilpotente groepen zijn, weten wij dat P N 1 en Q N 2. Dus is P een karakteristieke deelgroep van N 1 en Q een karakteristieke deelgroep van N 2. Omdat N 1 en N 2 normale deelgroepen zijn van G volgt er dat P en Q ook normale deelgroepen zijn van G. Wegens Gevolg??, P Q P Q = P Q, en dus is P Q zelf een p-groep. Er volgt dat P Q een normale p-deelgroep is van N 1 N 2. Het is nu nog voldoende om aan te tonen dat P Q een Sylow p- deelgroep is van H = N 1 N 2. Wij noteren met n p de maximale macht van p die het getal n deelt. H p = ( N1 N 2 N 1 N 2 ) p