Ad(g) := (h ghg 1 ).

Transcriptie

1 Inleveropgave 7 (inleverdatum: 22 nov) Gegeven een groep G, zij de afbeelding Ad : G Aut(G) gegeven door Ad(g) := (h ghg 1 ) Laat zien dat Ad een homomorfisme is Laat zien dat ker(ad) gelijk is aan het centrum van G (zie blz 76 van het boek voor een definite) Een automorphisme ϕ Aut(G) dat in het beeld van Ad ligt heef inwendig De deelgroep van inwendige automorphismen wordt Inn(G) genoteerd Laat zien dat Inn(G) een normaal deelgroep van Aut(G) is De quotient groep Aut(G)/Inn(G) wordt Out(G) genoteerd en heet de groep van uitwendige automorphismen van G Zie automorphism group voor meer informatie Wij gaan nu deze abstracte concepten in het geval van de quaternion groep Q = {1, 1, i, i, j, j, k, k} uitwerken Laat zien, door de elementen {i, i, j, j, k, k} op de zijvlakken van een cubus te tekenen k j i i j k dat Aut(Q) gelijk is aan de groep van orientatie behoudende zymmetrieën van een cubus Indentificeer de deelgroep Inn(Q) < Aut(Q) Laat zien dat de orde van Out(Q) gelijk aan 6 is Inleveropgave 8 (inleverdatum: 29 nov) Hoeweel conjugatie classen zijn er in A 5? Hoeweel conjugatie classen zijn er in S 5? Laat zien dat A 5 precies twee normale deelgroepen heeft, namelijk {e} en A 5 Zij G een willekeurig groep Laat zien dat ieder homomorfisme A 5 G of injectief of triviaal is (triviaal = alles gaat naar e) Hoeveel normale deelgroepen zijn er in A 4? Zij G een willekeurig groep en zij f : S 5 G een homomorfisme Laat zien dat of f is injectief, of f is triviaal, of ker(f) = A 5 Geef een voorbeeld van een niet triviale homomorfisme f : S 5 G zo dat f niet injectief en niet surjectief is ik heb later niet triviale toegevoegd 1

2 Inleveropgave 9 (inleverdatum: 6 dec) Opgave 275 uit het boek: bewijs dat de homomorfisme x, y [x, y] Z 2, x (1, 0), y (0, 1) een isomorfisme is Inleveropgave 10 (inleverdatum: 13 dec) Zij p een priem getal, en n 2 een getal De groep SL n (p) is gedefineerd als a 11 a 12 a 1n a ij Z p, a 21 a 22 a 2n SL n (p) := A = det(a) = 1 a n1 a n2 a nn mod p De groep SL n (p) werkt op (Z p ) n door a 11 a 12 a 1n b 1 a1i b i mod p a 21 a 22 a 2n b 2 = a2i b i mod p a n1 a n2 a nn b n ani b i mod p Laat zien dat SL n (p) transitief op X := (Z p ) n \ {(0, 0,, 0)} werkt Daarvoor mag je gebruiken dat n Z p \ {0}, m Z p \ {0} : nm = 1 mod p Je zou het probleem in de volgende stappen kunnen delen: Zij a = (a 1,,a n ) X, met a i 0 Dan is a in de zelvde baan als (a i, a 2,,a i 1, a 1, a i+1,,a n ) Ieder element uit X is in dezelvde baan als een element van de vorm (1, a 2,,a n ) Ieder element uit X is in dezelvde baan als (1, 0, 0,, 0) Laat zien dat de stabilizator van (1, 0, 0,, 0) X gelijk is aan 1 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n a 22 a 2n det = 1 mod p 0 a n2 a nn a n2 a nn Concludeer dat SL n (p) = (p n 1) p n 1 SL n 1 (p) Wat is de order van SL n (p)? Wat is de orde van een p-sylow deelgroep van SL n (p)? Laat zien dat de groep van opgave 1712 (blz 96 van het boek) een p-sylow van SL 3 (p) is 2

3 Inleveropgave 11 (inleverdatum: : 20 dec) In deze opgave gaan we de 5-Sylow deelgroepen van de symmetrische groep S 25 onderzoeken Wat is de orde van een p-sylow in S p 2? Laat zien dat de deelgroep S := (1, 2, 3, 4, 5), een 5-Sylow is (1, 6, 11, 16, 21)(2, 7, 12, 17, 22)(3, 8, 13, 18, 23)(4, 9, 14, 19, 14)(5, 10, 15, 20, 25) [ ] =, [ ] S Nu gaan we het aantal 5-Sylows in S 25 onderzoeken Zij X de verzameling van alle 5-Sylow deelgroepen in S 25 De groep S 25 werkt op X door conjugatie De stabilizator van S is [ ] Stab(S) =, [ ], [ ] ( ), [ ] S (dat hoef je niet te bewijzen) Laat zien dat de elmenten [ ] en [ ] in de stabilizator van S zijn (zonder de informatie ( ) te gebruiken) Hoeveel elementen heeft deze stabilizator? Hoeveel 5-Sylows zijn er in S 25? [gebruik de orbit-stabilizer theorem] Bonus vraag: Hoeveel p-sylows zijn er in S p 2? 3

4 Oefenentamen Opgave 1 Bewijs de volgende bewering of zijn tegengestelde: Voor ieder groep G van orde 125, er bestaat en surjectief homomorfisme van G naar een groep van orde 25 G = 5 3 en 5 is priem, dus Z(G) {e} De orde van Z(G) deelt 125 en is dus ook een macht van 5 Kies g Z(G) van orde 5 De deelgroep g is normaal in G omdat hgh 1 = g h G Stel H := G/ g We hebben H = 25, en G H Opgave 2 Wat is de definitie van 2-Sylow deelgroep? Zij n 3 een natuurlijk getal Wat is de orde van een 2-Sylow deelgroep van D n? Geef een voorbeeld van een 2-Sylow deelgroep S D n Maak een lijst van alle 2-Sylow deelgroepen van D n Hoeveel 2-Sylow deelgroepen zijn er in D n? Een 2-Sylow is een deelgroep S G zodat S = 2 m en 2 G : S Voor n = 2 m k met k oneven, we hebben Dn = 2 m+1 k en dus S = 2 m+1 Een voorbeeld is S = r k, s Zij s 1 sn Dn de spiegelingen De lijst van 2-Sylows is r k, s 1,, r k, s k Er zijn dus k 2-Sylow deelgroepen in Dn Opgave 3 Bewijs de volgende bewering of zijn tegengestelde: Voor ieder groep G van orde 10, er is en surjectief homomorfisme van G naar een groep van orde 2 Hint: gebruik de Sylow stellingen Zij G van orde 10 en S G een 5-Sylow Zij X de verzameling van alle 5-Sylows X heeft een transitieve actie van G en dus X deelt 10 We hebben ook X = 1 mod 5 Dus X = 1 Dus S G Stel H := G/S We hebben H = 2, en G H Opgave 4 Wat is de definitie van een normaal deelgroep? Zij n < m twee natuurlijke getallen Laat zien dat als n m, dan is de dihedrale groep D n en deelgroep van D m Is dit een normaal deelgroep? [hint: het antwoord hangt van de keuze van n en m af] H G als ghg 1 = H g G Stel Dm := r, s r m, s 2, (rs) 2 en Dn := r, s < Dm voor r := r m:n en s := s We hebben (Dn Dm) (rr r 1 Dn; rs r 1 Dn; sr s 1 Dn; ss s 1 Dn) De elementen rr r 1 = r, sr s 1 = r 1 en ss s 1 = s zijn in Dn Maar rs r 1 = rsr 1 = r 2 s is niet in Dn behalve als m = 2n (het is dan gelijk aan r s ) Kortom, Dn Dm m = 2n Opgave 5 Laat zien dat als ieder niet triviale element van G orde twee heeft, dan G is abelsch Een niet triviale element g heeft orde twee dan en slechts dan als g = g 1 Stel x, y G Dan xy = (xy) 1 = y 1 x 1 = yx QED Opgave 6 Zij G een groep van orde 120 Door de stellingen van Sylow te gebruiken, laat zien dat het aantal homomorfismen Z 5 G door 5 deelbaar is Een homomorfisme Z 5 G is of triviaal of injectief De 5-Sylows van G zijn isomorph aan Z 5 Zij k het aantal 5-Sylows Ieder 5-Sylow S levert 4 homomorfismen Z 5 G want er zijn vier manieren om een voortbrenger van S te kiezen Het aantal injectieve homomorfismen Z 5 G is dus gelijk aan 4k, en het totale aantal homomorfismen is 4k + 1 Door de Sylow stelling weten we dat k = 5n + 1, dus 4(5n + 1) + 1 = 20n + 5 is deelbaar door 5 Opgave 7 [bijzonder moeijlijk] Gebruik de definitie Q := i, j i 2 = j 2 = (ij) 2 om de relatie i 4 = e te laten zien i 2 commuteert met i j 2 commuteert met j Het element z := i 2 = j 2 is dus centraal in Q We hebben (ij) 2 i 2 i 1 j 2 i (ji) 1 i 2 (ji) (iji) 1 j 2 (iji) i 1 (ij) 2 i = j 1 i 1 j 1 i 1 i 2 i 1 j 2 i i 1 j 1 i 2 ji(iji) 1 j 2 (iji)i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 i = jijii 1 j 1 i 1 j 1 = e Dus z 1 z i 1 zi (ji) 1 z(ji) (iji) 1 z(iji) i 1 z 1 i = z 1 zzzzz 1 = z 2 = e 4

5 QUIZ 8 Name: Student number: 1 If H < G and G is abelian, then H G 2 If H < G and H is abelian, then H G 3 SL n (R) is a normal subgroup of GL n (R) 4 The set of all diagonal n n matrices with non-zero determinant is a normal subgroup of GL n (R) 5 If G has finite order and K < H < G, then [G : H][H : K] = [G : K] 6 The quotient D n / r is isomorphic to Z 2 7 H = {e, (123), (213)} has n! 3! left cosets in S n 8 H = {e, (123), (213)} has n! 3! right cosets in A n 9 If H is a subgroup of G such that [G : H] = 2, then a / H, b / H ab H 10 If every cyclic subgroup of a group G is normal, then every subgroup of G is normal Write your answers in the table below (True/False): Question Answer 5

6 QUIZ 9 Name: Student number: 6

7 QUIZ 10 Name: Student number: 1 The group A 4 is a simple group 2 If the order of a group G is a prime number, then G is simple 3 Let G be a group of order 125 Then there is an element x G, x e, such that xy = yx for all y G 4 If G is a group such that G = p n, with p prime and n 2, then G is not simple 5 Let G be a group of order 18 Then G contains a normal subgroup of order 9 6 Let G be a group such that for every homomorphism φ : G H to another group H, we have that either φ is injective or φ is trivial (meaning that φ(g) = e for all g G) Then G is simple 7 Let (G, +) be a finite abelian group and H < G, N G If H + N N = H, then H N = {e} 8 For any positive integers m and n such that n divides m, we have that (Z/mZ) (nz/mz) = Z m n 9 Let G be a finite group acting on a finite set X If there is an element x X such that X G x = G, then the action is transitive 10 For each edge of a cube there are 6 symmetries of the cube that fix it (Hint: the cube has 48 symmetries) Write your answers in the table below (True/False): Question Answer 7

8 QUIZ 11 Name: Student number: 1 Z n has exactly one p-sylow subgroup for each prime p which divides n 2 D 4 has exactly five 2-Sylow subgroups 3 Let P be a normal p-sylow subgroup of a finite group G Then for every group automorphism Φ : G G, we have that Φ(P) = P 4 There is a group with 10 elements which has two distinct subgroups of order 5 5 Let G be a group of order 65 Then there is a group H and a homomorphism Φ : G H, such that the Ker(Φ) = 5 6 Let G be a group of order 12 and H < G a subgroup with 3 elements which is not normal There exists an element g G\H such that ghg 1 = H 7 Let G 1 and G 2 be finite groups If P 1 < G 1 and P 2 < G 2 are p-sylow subgroups, then P 1 P 2 is a p-sylow subgroup of G 1 G 2 8 Not every p-sylow subgroup of G 1 G 2 is of the form P 1 P 2, for P 1 < G 1 and P 2 < G 2 9 For p > 2, every p-sylow subgroup of D n is cyclic 10 A 2-Sylow subgroup of D 2k (2m+1) is isomorphic to D 2 k (where D 1 denotes Z 2 and D 2 denotes Z 2 Z 2 ) Write your answers in the table below (True/False): Question Answer 8

9 Deeltentamen Groepentheorie (WISB221) A Henriques, Jan 2012 Geef niet alleen anwoorden, maar bewijs al je beweringen Opgave 8 Wat is de definitie van een normale deelgroep? Maak een lijst van alle deelgroepen van de quaternionengroep Q Laat zien dat alle deelgroepen van Q normaal zijn [3pt] Oplossing: H G als H een vereniging van G-conjugatie classen is De deelgroepen van Q zijn {e}, i, j, k, 1, Q en de conjugatie classen van Q zijn {e}, { 1}, {±i}, {±j}, {±k} Ieder deelgroep is een vereniging van conjugatie classen, en dus normaal Opgave 9 Bewijs de volgende bewering of zijn tegengestelde: [3pt] Ieder groep van orde 24 heeft een transitieve actie op een verzameling van cardinaliteit 8 Oplossing: Stel G = en 3 is priem g G van orde 3 De quotientverzaleming G/ g heeft cardinaliteit 8, en heeft een transitieve actie van G Opgave 10 Wat is de definitie van een p-sylow deelgroep? Stel nu p = 11 Wat is de orde van een 11-Sylow deelgroep van de symmetrische groep S 100? Geef een voorbeeld van zo een 11-Sylow deelgroep Is deze deelgroep abels? Zijn alle 11-Sylow deelgroepen van S 100 abels (en waarom)? [4pt] Oplossing: Een p-sylow deelgroep is een deelgroep S G zodat S = p m en p G : S S 100 = 100! = (iets niet deelbaar door 11) = 11 9 (iets niet deelbaar door 11) De orde van en 11-Sylow is dus 11 9 De groep (1,2,, 11), (12,, 22),, (89, 99) = Z 9 11 is een 11-Sylow, en is abelsch Alle p-sylows zijn isomorf alle zijn abelsch Opgave 11 Wat is de definitie van een semidirect product? Zij ϕ : G Aut(H) een homomorfisme, en zij H G het bijhorende semidirecte product Laat zien dat als H G abels is, dan is ϕ triviaal [2pt] Oplossing: Als verzameling H G := H G De groep-vermenigvuldiging is (h 1, g 1)(h 2, g 2) := (h 1ϕ(g 1)(h 2), g 1g 2) H G abelsch h 1ϕ(g 1)(h 2) = h 2ϕ(g 2)(h 1) g 1, g 2 G, h 1, h 2 H Stel h 1 = e Dan ϕ(g 1)(h 2) = h 2 g 1 G, h 2 H Dat is, ϕ(g 1) = Id H Dit voor ieder g 1 G, dus ϕ is triviaal Opgave 12 Zij F 2 := x,y de vrije groep met twee voortbrengers en zij G := x,y (xy) 3 Dan is G = F 2/N voor een bepaalde deelgroep N Leg uit hoe N is gedefiniëerd Laat zien dat x 2 yxyxyx 2 y 1 x 1 y 1 x 1 y 1 N Laat zien dat de twee voortbrengers x, y van G aan de relatie yxy = x 1 y 1 x 1 voldoen Oplossing: N is de deelgroep voortgebracht door alle elementen van de vorm w(xy) 3 w 1 voor w F 2 x 2 yxyxyx 2 y 1 x 1 y 1 x 1 y 1 = x(xy) 3 x 1 (x 1 (xy) 3 x) 1 N yxy = x 1 y 1 x 1 (x 1 y 1 x 1 ) 1 yxy = e, maar (x 1 y 1 x 1 ) 1 yxy = xyxyxy is in N en dus triviaal in G Opgave 13 Zij p q twee priemgetallen en G, H twee groepen zodanig dat G = p n en H = q m Bewijs dat G H precies één p-sylow deelgroep heeft Oplossing: S := G {e} is p-sylow in G H De orde van (g, h) G H is ord(g)ord(h) De enige elementen waarvan de orde een p-macht is zijn dus de elementen van S Ieder p-sylow is een deelverzameling van S, en dus gelijk aan S [3pt] [3pt] 9