Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen"

Transcriptie

1 WETENSCHAPPEN WISKUNDE Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen Bachelor Project I Shaun Bundervoet Promotor : Prof. Eric Jespers

2 Inhoudsopgave Voorwoord 1 1 Permuteerbaarheid Elementaire Begrippen Abelse Groepen Sylow Deelgroep ζ-permuteerbaarheid Commutator Deelgroep Veralgemeende Fitting Deelgroep Componenten Nilpotente Groepen Oplosbare Groepen Fitting Deelgroep Superoplosbaarheid Eigenschappen Hoofdstelling Bibliografie 34 Index 35 1

3 Voorwoord Eerst en vooral merken wij op dat alle groepen in dit project eindig zullen zijn. De laatste jaren is er een groeiende interesse ontstaan naar de structuur van simpele groepen, dit in de veronderstelling dat sommige simpele groepen van G goede eigenschappen hebben in G. De eindige simpele groepen kunnen namelijk aanzien worden als de bouwstenen van alle eindige groepen net zoals de priemgetallen de bouwstenen zijn van alle gehele getallen. Het is dan ook niet verwonderlijk dat men probeert al deze eindige simpele groepen te classificeren. Rond 1980 slaagde een groep wiskundigen onder leiding van Gorenstein erin een pagina s tellende bewijs te geven van De Classificactie Stelling van Eindige Simpele Groepen 1. Dit bewijs toonde dat er vier categoriën van simpele groepen zijn; de groepen van priem orde, een alternerende groepen, de groepen van Lie-type en de 26 sporadische groepen waaronder het monster en het baby monster. In dit project geven wij een bespreking van het artikel A Remark on ζ-permutability of Finite Groups van L. Wang en Y. Wang [12]. Dit artikel geeft een bewijs van volgende stelling. Stelling Zij ζ een complete verzameling van Sylow deelgroepen van een eindige groep G. Als alle cyclische deelgroepen van orde een oneven priemgetal of orde 4 van G p ζ- permuteerbaar zijn in G, voor elke G p ζ, dan is G superoplosbaar. Heliel, Li and Li gaven al eerder een bewijs van dit resultaat steunend op de classificatie van eindige simpele groepen. Als gevolg van de grote en complexiteit van de Classificatie Stelling ontstond al snel de vraag of er een bewijs bestond die hier geen gebruik van maakt. L. Wang en Y. Wang gaven een antwoord op deze vraag door een elementair bewijs te geven. Het is de bedoeling van dit project om dit elementair bewijs verder open te trekken en verstaanbaar te maken voor iedereen met een basiskennis van algebra. Tevens wordt er speciale aandacht besteed aan de permuteerbaarheid van deelgroepen en elementen. Kernwoorden ζ-permuteerbare deelgroepen, superoplosbare groepen, veralgemeende Fitting deelgroep 1 Bron : 2

4 Hoofdstuk 1 Permuteerbaarheid In dit eerste hoofdstuk herhalen wij enkele bekende definities en eigenschappen die bruikbaar zullen zijn in het verdere verloop van dit project. 1.1 Elementaire Begrippen Voor twee deelgroepen H en K en voor een element g van de groep G noteert men, HK = {hk h H, k K} en gh = {gh h H}. Deze laatste wordt de linkernevenklasse van g genoemd. Wij merken alvast op dat HK niet noodzakelijk een deelgroep hoeft te zijn. De rechternevenklasse gh is dan weer enkel een deelgroep als g H, namelijk dan is gh = H. Wij noteren H G als H een deelgroep is van G. Stelling (Stelling van Lagrange) Zij H een deelgroep van een eindige groep G. Dan is H een deler van G en het aantal linker (respectievelijk rechter) nevenklassen van H in G is gelijk aan G H. Bewijs. Zie [7, Stelling 4.2.1, p47]. Definitie (index) Het aantal linker nevenklassen van een deelgroep H in een groep G noemt men de index van H in G. Dit wordt gewoonlijk genoteerd als [G : H]. Eigenschap Zij G een eindige groep. Als H en K deelgroepen zijn van G met H K, dan: [G : H] = [G : K][K : H]. Bewijs. Zie [7, Eigenschap 4.2.3, p47]. In de volgende definitie bedoelen wij met x, voor een x in de groep G, de kleinste deelgroep van G waar x een element van is. Wij noemen dit ook de voorgebrachte deelgroep. 3

5 Bachelor Project I - Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen 4 Definitie Zij G een groep dan voor elke element g van G definieerd men de orde o(g) van g als g. Definitie (commuteren, permuteren) Zij G een groep. Wij zeggen dat 2 elementen h, k G in de groep commuteren als en slechts als hk = kh. Op analoge manier zeggen wij dat 2 deelgroepen H, K G permuteren als en slechts als HK = KH. Merk op dat als alle elementen van H en K commuteren, H en K zelf ook permuteren. De omgekeerde eigenschap is echter niet altijd waar. Eigenschap Zij G een groep en H en K twee deelgroepen, als HK = KH dan is HK een deelgroep van G. Bewijs. Duidelijk is 1 een element van HK. Zij nu h 1 k 1 en h 2 k 2 twee elementen in HK, dan is h 1 k 1 (h 2 k 2 ) 1 gelijk aan h 1 k 1 k2 1 h 1 2. Omdat K een deelgroep is en HK = KH bestaat er een element h 3 k 3 = k 1 k2 1 h 1 2. Wij zien nu dat h 1 h 3 k 3, met h 1 h 3 H en k 3 K, een element is van HK. Definitie (normaal, quasinormaal) Zij G een groep. Een deelgroep N G wordt een normale deelgroep van G (N G) genoemt als en slechts als gn = Ng voor alle g G. Op analoge manier wordt een deelgroep Q G een quasinormale deelgroep van G genoemd als en slechts als HQ = QH voor elke H deelgroep van G. Het is duidelijk dat elke normale deelgroep quasinormaal is. Herinner dat voor een deelgroep H in een groep G men de normalisator van H in G definiëert als de verzameling, N G (H) = {g G g 1 Hg = H}. Eigenschap Zij H een deelgroep van een groep G. Dan is N G (H) een deelgroep van G en het is de grootste deelgroep (voor de inclusie relatie) waarin H een normale deelgroep is. Bewijs. Zie [7, Eigenschap 6.2.3, p66]. Alvorens verder te gaan met het opfrissen van enkele welbekende stelingen en definities geven wij een bewijs van volgende eigenschap van (inverse) beelden van (deel)groepen onder een homomorfisme ϕ. Eigenschap Zij ϕ : G H een groepshomorfisme : Zij A G, N G, B H en M H. Dan (a) ϕ(a) is een deelgroep van H, (b) ϕ(n) is een normale deelgroep van ϕ(g) H, (c) ϕ 1 (B) is een deelgroep van G, met ϕ 1 (B) = {x G ϕ(x) A}, Hoofdstuk 1. Permuteerbaarheid 1.1. Elementaire Begrippen

6 Bachelor Project I - Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen 5 (d) ϕ 1 (M) is normaal in G. Bewijs. (a) Het is duidelijk dat ϕ(e G ) = e H ϕ(a). Zij dus nu ϕ(x), ϕ(y) ϕ(a), met x, y A dan is zowel xy als xy 1 een element van A. Er volgt nu dat ϕ(xy 1 ) ϕ(a) en dus wegens de homomofisme eigenschappen dat ϕ(x)ϕ(y) 1 ϕ(a). (b) Wij moeten bewijzen dat voor alle h ϕ(g) geldt dat h 1 ϕ(n)h ϕ(n) Wij nemen dus een h ϕ(g) en y ϕ(n) willekeurig. Neem nu een g G en x N zodat ϕ(g) = h en ϕ(x) = y. Dan geldt dat g 1 xg N en dus dat ϕ(g 1 xg) ϕ(n). Er volgt nu dat ϕ(g) 1 ϕ(x)ϕ(g) = h 1 yh ϕ(n). (c) Vermits ϕ(e G ) = e H B is dus e G ϕ 1 (B). Zij nu x, y ϕ 1 (B). Dan is ϕ(xy 1 ) B en dus xy 1 ϕ 1 (B). (d) Wij moeten opnieuw bewijzen dat voor alle g G : g 1 ϕ 1 (M)g ϕ 1 (M). Neem dus g G, x ϕ 1 (M) willekeurig. Dan geldt opnieuw dat ϕ(g 1 xg) = ϕ(g) 1 ϕ(x)ϕ(g) ϕ(g) 1 Mϕ(g) M. Dus g 1 xg ϕ 1 (M). De volgende drie stellingen staan in de literatuur algemeen bekend als de drie Isomorfismestellingen. Stelling (Eerste Isomorfismestelling) Zij ϕ : G H een groepshomorfisme. Dan, G/ ker(ϕ) = ϕ(g). Bewijs. Zie [7, Stelling 7.3.3, p66]. Stelling (Tweede Isomorfismestelling) Als H een deelgroep en N een normale deelgroep is van G. Dan (a) N een normale deelgroep van HN = H N = NH, (b) H N een normale deelgroep van H, (c) H/(H N) = HN/N, (d) als G ook eindig is dan HN = H N H N. Bewijs. Zie [7, Gevolg 7.3.5, p69]. Stelling (Derde Isomorfismestelling) Zij N en H normale deelgroepen van een groep G met N H, dan (a) H/N is een normale deelgroep van G/N, (b) (G/N)/(H/N) = G/H. Hoofdstuk 1. Permuteerbaarheid 1.1. Elementaire Begrippen

7 Bachelor Project I - Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen 6 Bewijs. zie [7, Gevolg 7.3.5, p69]. Dankzij de isomorfisme stellingen kunnen wij nu eenvoudig een voorbeeld geven van een groep G met twee permuterende deelgroepen H en K, waarvan de individuele elementen h H en k K niet noodzakelijk commuteren. Ook geven wij een voorbeeld van een normale deelgroep N, met N Z(G). Voorbeeld Wij bekijken even de Diëdergroep van orde 8, D 8 = a, b a 4 = 1, b 2 = 1, ba = a 1 b. In deze groep bekijken wij de deelgroepen A = a en B = b. Wij merken op, vermits A van index 2 is in D 8, dat A normaal is in D 8 [7, Eigenschap 5.2.1, p52]. Er geldt dus dat en, voor all g D 8, AB = a b = D 8 = b a = BA, ga = g a = a g = Ag. Desondanks deze gelijkheden treedt toch volgend verschil op, ba = a 1 b = a 3 b ab. Definitie (minimaal) Een echte niet triviale deelgroep H van een groep G wordt minimaal genoemd (in G) als deze zelf geen echte deelgroepen omvat. Ofnog; zij K een deelgroep van G zodat {1} K H, met H een minimale deelgroep, dan K = H. Definitie (maximaal) Een echte deelgroep H van een groep G wordt maximaal genoemd (in G) als deze niet omvat is in een echte deelgroep. Ofnog; zij K een deelgroep van G zodat H K G, met H een maximale deelgroep, dan H = K. Volgende eigenschap toont ons hoe wij minimale deelgroepen makkelijk kunnen herkennen en terugvinden. Eigenschap Zij H een echte deelgroep van een groep G. Dan is H een minimale deelgroep als en slechts als H een priemgetal is. Bewijs. Het volgt onmiddelijk uit Stelling dat een groep van orde p, p een priemgetal, geen echte deelgroepen heeft. Omgekeerd, veronderstel dat H minimaal is. Wij tonen eerst aan dat H cyclisch moet zijn (H = g ). Zij namelijk 1 g een element van H. Dan brengt 1 g de deelgroep g voort in H. Omdat {1} g en H minimaal is volgt er dat H = g Omdat H nu cyclisch is moet H = p met p priem. Was dit niet zo dan bestond er een l p, met 1 l p, zodat g p/l een echte deelgroep is van H, en dit is in contradictie met de minimaliteit van H. Hoofdstuk 1. Permuteerbaarheid 1.1. Elementaire Begrippen

8 Bachelor Project I - Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen 7 Om een voorbeeld te geven nemen wij een kijkje bij een permutatiegroep P. Dit omdat P enkele goede eigenschappen bevat. Zo is elk priemgetal p P vertegenwoordigd in de priemontbinding van P. Tevens is de orde van een elementen s P makkelijk te bepalen. Als laatste merken wij op dat permutatiegroepen makkelijk te implimenteren zijn in GAP [3]. Voorbeeld Beschouw de groep S 8, de symmetrische groep van graad 8. Wij weten dat o((1, 3, 5, 7, 2, 4, 6)) = 7, zie [7, Eigenschap 8.2.4, p76]. Dit wil zeggen dat H = (1, 3, 5, 7, 2, 4, 6) = {1, (1, 3, 5, 7, 2, 4, 6), (1, 5, 2, 6, 3, 7, 4), (1, 7, 6, 5, 4, 3, 2), (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), (1, 4, 7, 3, 6, 2, 5), (1, 6, 4, 2, 7, 5, 3)} = 7 en dus is H minimaal. Tevens voor een willekeurige deelgroep K, om minimaal te zijn moet deze van orde een priem getal zijn (en dus cyclisch). Dit wil dus zeggen dat de groep K voortgebracht moet zijn door 1 element van orde p priem. Opnieuw geeft [7, Eigenschap 8.2.4, p76] ons dat K moet voortgebracht zijn door een p-cyclus, met p priem. Wij kunnen dus besluiten dat alle minimale deelgroepen in een permutatiegroep voortgebracht zijn door p-cylussen met p een priemgetal. 1.2 Abelse Groepen In het voorgaande hebben wij al kort vermeld wat een cyclische groep is. In deze sectie herhalen wij nog eens de definitie en gaan wij opzoek naar enkele overeenkomsten en verschillen tussen abelse- en cyclische groepen. Definitie (abels) Een groep G wordt abels genoemt als al zijn elementen paarsgewijs met elkaar commuteren. Definitie (cyclisch) Zij G een groep dan noemt men deze cyclisch als er een element g bestaat in G die de ganse groep voortbrengt. In het volgende kijken wij naar de delers van de orde van een eindige groep G. Wij kunnen ons afvragen of er altijd een deelgroep bestaat in G van orde d, met d een deler van G. Wij vragen ons dus af of de stelling van Lagrange omkeerbaar is. Eigenschap Zij G = g een eindige cyclische groep van orde n. Als d een deler is van n, dan heeft G precies 1 deelgroep van orde d namelijk g n/d. Bewijs. Zie [7, Eigenschap 3.3.6, p42] Ook bij abelse groepen geldt een gelijkaardige eigenschap. Hiervoor maken wij gebruik van de fundamentele stelling van eindige abelse groepen, en volgende definitie. Definitie (direct product) Men zegt dat een groep G het (inwendig) direct product is van normale deelgroepen G 1,..., G n als elk element g G op een unieke manier kan geschreven worden als g 1... g n met g i G i. Wij schrijven n G = i=1 G i Hoofdstuk 1. Permuteerbaarheid 1.2. Abelse Groepen

9 Bachelor Project I - Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen 8 Voor meer informatie in verband met directe producten verwijzen wij de lezer naar [8]. Stelling (Fundamentele Stelling van Eindige Abelse Groepen) Zij G een niet triviale eindige abelse groep. Dan is G isomorf met een direct product van cyclische groepen, elk van orde een macht van een priemgetal. De priemen die voorkomen zijn delers van de orde van G, en elke priemdeler van G komt voor in de ontbinding. Bovendien als p zo een priemgetal is, en als p t 1 p t 2... p tr de orden van de cyclische p-groepen zijn die voorkomen in deze ontbinding, dan zijn deze getallen uniek bepaald (men noemt deze de invarianten van G). Bewijs. Zie [7, Stelling 9.2.4, p84] Volgende eigenschap geeft ons een gelijkaardig verband tussen de delers van de orde van G en de orde van de deelgroepen G voor abelse groepen. Merk op dat in tegenstelling tot cyclische groepen de uniciteit verloren gaat bij abelse groepen. Eigenschap Zij G een eindige abels groep van orde n. Als d een deler is van n, dan heeft G een deelgroep van orde d. Bewijs. De Fundamentele Stelling toont ons dat G = r i=1 Z p t i, met p i een priemdeler i van de orde van G. Zij nu p een priemgetal uit de priemontbinding van d met grootste macht t. De Fundamentele stelling heeft ons opnieuw dat er factoren voorkomen van de vorm Z p t j. Eigenschap geeft ons dat wij een deelgroep D p van orde p t kunnen vinden in l j=1 Z p t j. Herhalen wij dit proces voor iedere p in de priemontbinding van d dan vormt het direct product van al deze gevonden deelgroepen D p een deelgroep van orde d. Wij kunnen nu een kijkje nemen naar de deelgroepen van een abelse (resp. cyclische) groep G en zien of deze aan enkele speciale eigenschappen voldoen. Wij zeggen dat H een karakteristieke deelgroep is van G als H invariant is voor het nemen van automorfismen, dat wil zeggen ϕ(h) = H voor elke ϕ Aut(G). Duidelijk is een karakteristieke deelgroep ook normaal. Eigenschap Zij G een abelse groep. Dan is, (a) elke deelgroep van G is normaal, en (b) als G bovendien cyclisch is, dan is elke deelgroep karakteristiek. Bewijs. (a) Zij N een deelgroep van G, dan is het resultaat duidelijk omdat voor elke n N en voor elke g G, g 1 ng = n. (b) Eerst en vooral merken wij op dat in het geval Z er maar twee autmorfismes zijn, nameljik die identieke afbeelding en ϕ : Z Z : z z. Duidelijk zijn alle deelgroepen van Z invariant voor beide automorfimes. Wij weten dat, wegens de stelling van Lagrange, als g een element is van G, de orde o(g) = d van g een Hoofdstuk 1. Permuteerbaarheid 1.2. Abelse Groepen

10 Bachelor Project I - Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen 9 deler van G. Dus is g een deelgroep van orde d en, wegens Eigenschap 1.2.3, tevens de enige deelgroep van die orde. Als een deelgroep H van G een element bevat van orde d, dan moet H dus alle elementen bevatten van die orde. Omdat nu automorfismes elementen van G afbeeld op elementen van G dezelfde orde is H karakteristiek in G. Eigenschap Zij G een groep. Als G een H normale deelgroep van orde q en index p heeft in G, met p, q priem en verschillend, dan is G cyclisch. Bewijs. Merk op dat G van orde pq is en H = h cyclisch is. Ook is de groep G/H = gh = g H van de linkernevenklassen van H in G cyclisch. Wij weten dat de (linker)nevenklassen van H een partitie vormen op G. Nemen wij nu het eenheids element in G. Dan is 1 = g p h q. Omdat (p, q) = 1 volgt nu dat 1 = (pg) pq met pq het kleinste element waarvoor dit mogelijk is. Vermits G van orde pq is G = gh ook cyclisch. Wij merken op dat als gevolg van de Stelling van Lagrange elke groep van orde een priemgetal cyclisch is. Tevens is deze groep simpel, zie hoofdstuk 2. Dankzij Eigenschap weten wij nu dat dit de enigste abelse groepen zijn, die tevens ook simpel zijn. Volgende eigenschap over deze cyclische groepen van orde p priem zal ons nog van pas komen in het bewijs van de Stelling van Zappa. Eigenschap Zij Z p de cyclische groep van orde p, met p priem. Dan is de orde van Aut(Z p ) gelijk aan p 1. Bewijs. Wij weten dat een endomorfisme elementen van G afbeeld op elementen van G van dezelfde orde. Ook wordt 1 altijd afgebeeld op 1. Willen zij nu een automorfisme ϕ contrueren van Z p = z dan hoeven wij enkel het beeld van zijn voortbrenger te bepalen. Dit komt omdat voor een zillekeurige z i, met 1 i < p moet voldaan zijn aan; ϕ(z i ) = ϕ(z) i. Omdat nu alle elementen verschillende van 1 dezelfde orde hebben in Z p geldt dat het aantal mogelijk automorfismes gelijk is aan p 1. Merk op dat wij z niet mogen afbeelden op 1 want dan is ϕ niet meer bijectief. 1.3 Sylow Deelgroep Reeds in 1872 leverde Peter Ludwig Mejdell Sylow [8, Section 2.2, p18] ons de drie Stellingen die vandaag de dag zijn naam dragen. Wij herhalen deze stellingen samen met de definitie van een Sylow deelgroep. Ook indroduceren wij het begrip S-quasinormaal. Herinner volgende definitie van een p-groep. Definitie (p-groep) Een groep waarin elke element van orde een macht van p is, met p priem, wordt een p-groep genoemt. Definitie (Sylow deelgroep) Zij G een eindige groep met G = p k m, (p k, m) = 1. Een deelgroep S van orde p k wordt een Sylow p-deelgroep genoemd. De verzameling van alle Sylow p-deelgroepen van G noteert men Syl p (G). Hoofdstuk 1. Permuteerbaarheid 1.3. Sylow Deelgroep

11 Bachelor Project I - Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen 10 Stelling (Sylow Stellingen) Zij G een eindige groep met G = p k m, (p k, m) = 1. De volgende eigenschappen gelden. 1. Er bestaat een Sylow p-deelgroep van G. 2. Als P een p-deelgroep is van G en S Syl p (G), dan bestaat er een g G met P gsg 1. (I.h.b zijn alle Sylow p-deelgroepen elkaars geconjugeerden en is dus elke p-deelgroep bevat in een Sylow p-deelgroep). 3. Zij n p (G) = Syl p (G). Dan is n p (G) 1 (mod p). Men noteert dit ook n p (G) = p 1. Bewijs. Zie [8, Stelling 2.2.2, p18]. Gevolg Zij P een deelgroep van G, en p priem. Dan, P is een p-groep als en slechts als P = p k voor een k N Er volgt ook dat elke minimale deelgroep van een groep G bevat is in een Sylow-deelgroep van G. Wij bewijzen nu het volgende Lemma. Voor een origineel van het bewijs verwijzen wij u naar [5, Eigenschap 11.14, p103]. Lemma Zij G een eindige groep. Als S een Sylow p-deelgroep is van G en N een normale deelgroep van S dan gelden de volgende eigenschappen. (a) S N is een Sylow p-deelgroep van N. (b) SN/N is een Sylow p-deelgroep van G/N. Bewijs. Eerst en vooral merken wij op dat om te bewijzen dat een deelgroep H een Sylow p-deelgroep is van G wij moeten aantonen dat H een p-deelgroep is en dat de index [G : H] van H in G niet deelbaar is door p. (a) Vermits N normaal is in G weten wij uit Stelling dat S N = SN = NS. Tevens omdat S N een deelgroep is van S, is S N een macht van p en is dus N is S N een p-deelgroep. Er blijft enkel te bewijzen dat p. Alweer weten S N wij dankzijk Stelling dat Stelling vertelt ons dat N S N = SN S. G S = G SN SN S. Zodat SN G G. Omdat p, niet deelt volgt er dat p SN, zodat S N een S S S S p-deelgroep is van N met index niet deelbaar door p. Hoofdstuk 1. Permuteerbaarheid 1.3. Sylow Deelgroep

12 Bachelor Project I - Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen 11 (b) Uit Stelling volgt, vermits SN/N = S/(S N), dat SN/N een p-deelgroep van G/N. Net zoals in 1. geldt p [G : SN] en dus is SN/N een Sylow p-deelgroep van G/N Definitie (S-quasinormaal) Een deelgroep Q van een groep G wordt S- quasinormaal genoemd als en slecht als Q permuteert met elke Sylow deelgroep van G Als laatste onderdeel van deze sectie definiëren wij het concept van een complete verzameling van Sylow deelgroepen. Dit wordt later gebruikt om de eigenschap ζ- permuteerbaarheid te definiëren. Dit idee werd voor het eerst geïndroduceerd door Asaad en Heliel in [1]. Definitie Zij G een eindige groep, en P de verzameling van alle positieve priemgetallen. Dan definieert men π(g) = {p P p deelt G }. Definitie (complete verzameling) Een verzameling ζ wordt een complete verzameling van Sylow deelgroepen van G genoemd als en slechts ζ precies één Sylow p- deelgroep bevat voor elke p π(g) Wij geven nog de volgende notaties mee alvorens het laatste lemma van deze sectie te bewijzen. Notatie Zij ζ een complete verzameling van Sylow deelgroepen, en N een normale deelgroep van G. Stel (1) ζn = {G p N G p ζ}, (2) ζn/n = {G p N/N G p ζ} en (3) ζ N = {G p N G p ζ}. Lemma Zij ζ een complete verzameling van Sylow deelgroepen van G, en N een normale deelgroep van G. Dan gelden de volgende eigenschqppen. (a) ζ N is een complete verzameling van Sylow deelgroepen van N. (b) ζn/n is een complete verzameling van Sylow deelgroepen van G/N. Bewijs. Beide punten volgen onmiddelijk uit Lemma Opmerking Merk op dat voor een priemgetal p π(g) waarvoor geldt dat p / π(n) dat G p N = {1}. Dit impliceert dat {1} ζ N. Vermits 1 met alle elementen commuteert en dus {1} met alle deelgroepen permuteert zal het geen invloed hebben op komende definities om ook {1} op te nemen als element van ζ in de definitie van een complete verzameling. Dit zodat ζ N inderdaad een complete verzameling is. Hoofdstuk 1. Permuteerbaarheid 1.3. Sylow Deelgroep

13 Bachelor Project I - Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen ζ-permuteerbaarheid Volgende definitie is een afzwakking van het S-quasinormaal zijn gedefinieerd in voorgaande sectie. In deze sectie onderzoeken wij enkele eigenschappen van de afzwakking en zoeken wij uit of er geen gevallen zijn waar beide definities toch equivalent zijn. Ook deze definitie dook voor het eerst op in een artikel [1] van Asaad en Heliel. Definitie (ζ-permuteerbaarheid) Zij ζ een complete verzameling van Sylow deelgroepen van een eindige groep G. Men zegt dat een deelgroep Z van G een ζ- permuteerbare deelgroep is als en slechts als Z permuteert met iedere deelgroep G p die tot ζ behoort. Het is duidelijk dat voor een deelgroep N van G aan de volgende implicaties voldaan is: normaal quasinormaal S-quasinormaal ζ-permuteerbaar Volgend voorbeeld toont dat in het algemeen voor een deelgroep H van G, ζ-permuteerbaarheid van H in G, voor een complete verzameling van Sylowdeelgroepen ζ, niet impliceert dat H S-quasinormaal is in G. Voorbeeld Beshouw de symmetrische groep S 3, van graad 3. De orde van deze groep is S 3 = 3! = 6. Deze groep telt 4 echte deelgroepen, namelijk (D 1 ) = {(), (12)}, (D 2 ) = {(), (13)}, (D 3 ) = {(), (23)} en (D 4 ) = {(), (123), (132)}. Duidelijk zijn dit ook allemaal Sylow deelgroepen van S 3. Wij nemen ζ = {1, D 1, D 4 }, dan is ζ een complete verzameling en is D 1 duidelijk een ζ-permuteerbare deelgroep van D 3. Maar vermits D 1 D 2 D 2 D 1 en D 1 D 3 D 3 D 2 volgt dat D 1 niet S-quasinormaal is in S 3 (en dus ook niet quasinormaal of normaal is in S 3 ). Zij N een normale deelgroep van G, U een deelgroep van G en g G. Voor de eenvoud van notatie noteren wij UN/N als U en gn als g. Lemma Als ζ een complete verzameling van Sylow deelgroepen van de eindige groep G is, Z een ζ-permuteerbare deelgroep van G en N een normale deelgroep van G, dan gelden de volgende eigenschappen, (a) Als Z N, dan is Z een ζ N-permuteerbare deelgroep van N. (b) Z = ZN/N is een ζn/n-permuteerbare deelgroep van G = G/N. Bewijs. Zij G p een element van ζ. Voor een willekeurige ζ-permuteerbare deelgroep Z van G weten dat ZG p = G p Z. Hoofdstuk 1. Permuteerbaarheid 1.4. ζ-permuteerbaarheid

14 Bachelor Project I - Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen 13 (a) Wij moeten bewijzen dat Z(G p N) = (G p N)Z. Neem een zs Z(G p N), met z Z en s G p N. Wegens de ζ-permuteerbaarheid van Z weten we dat zs = s z met s G p en z Z N. Vermits zs een element is van N is het duidelijk dat ook zsz 1 = s N, en dus dat s z (G p N)Z. Dit bewijst Z(G p N) (G p N)Z. Het bewijzen van de omgekeerde inlcusie verloopt volledig analoog. (b) Hier moeten wij bewijzen dat Z G P = G p Z. Beschouw het natuurlijk epimorfisme: ψ : G G/N : g gn = g Neem een willekeurige z Z en s G p. Dan is z s = zs = ψ(zs). Opnieuw weten we dat er een s G p en een z Z bestaan zodat zs = s z. Dus ψ(zs) = ψ(s z ) = s z = s z met s G p en z Z. Dus z s G p Z. Bijgevolg Z(G p N) (G p N)Z. De omgekeerde inclusie geldt wegens de symmetrie. Bijgevolg Z(G p N) = (G p N)Z. In het volgend lemma tonen wij aan dat in sommige gevallen ζ-permuteerbaaheid ook S-quasinormaliteit impliceert. Lemma Zij N G en ζ een complete verzameling van Sylow deelgroepen van de eindige groep G. Als elke minimale deelgroep (of deelgroep van orde 4) van N een ζ-permuteerbare deelgroep is in G, dan is elke minimale deelgroep (of deelgroep van orde 4)van N S-quasinormaal in G. Bewijs. Zij H een minimale deelgroep (of een deelgroep van orde 4) van N. Omdat H een ζ-permuteerbare deelgroep is geldt dat HG q = G q H voor elke Sylow deelgroep G q ζ. Zij P een willekeurige Sylow p-deelgroep van G. Dan bestaat er, wegens de 2de Sylow Stelling, een Sylow p-deelgroep in G p ζ en een g G zodat P = g 1 G p g. Vermits dat N normaal is in G is ghg 1 N en ghg 1 is nog steeds een minimale deelgroep (of deelgroep van orde 4) van N. Wegens de veronderstelling is (ghg 1 )G p = G p (ghg 1 ) en dus HP = P H. Dan is H S-quasinormaal in G. 1.5 Commutator Deelgroep Eerst en vooral frissen wij ons geheugen op met de volgende notatie voor geconjugeerde van een element x door het element y in een willekeurige groep G. Wij noteren x y = y 1 xy. Zij G een groep, U G en X G. Men zegt dat U X-invariant is als, voor alle x X, U x = {u x u U} = U. Merk op dat een deelgroep H van een groep G normaal is in G als en slechts als H een G-invariante deelgroep is. Hoofdstuk 1. Permuteerbaarheid 1.5. Commutator Deelgroep

15 Bachelor Project I - Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen 14 Definitie (commutator) Zij G een groep, x, y, z G (1) [x, y] = x 1 y 1 xy. noemt men de commutator van x en y. (2) Met [x, y, z] noteert men het element [[x, y], z]. Volgende eigenschap is eenvoudig na te gaan. Eigenschap Zij ϕ een endormorfisme van G en x, y G. Dan geldt, ϕ([x, y]) = [ϕ(x), ϕ(y)]. Bewijs. Neem een x en y in G willekeurig, dan geldt ϕ([x, y]) = ϕ(x 1 y 1 x, y) = ϕ(x 1 )ϕ(y 1 )ϕ(x)ϕ(y) = ϕ(x) 1 ϕ(y) 1 ϕ(x)ϕ(y) = [ϕ(x), ϕ(y)] Ook de volgende gelijkheden zijn makkelijk na te gaan. Eigenschap Zij G een groep, x, y, z G. De volgende gelijkheden gelden. (a) [x, yz] = [x, z][x, y] z, (b) [xz, y] = [x, y] z [z, y]. Bewijs. Wij bewijzen (a): [x, z][x, y] z = x 1 z 1 xz(z 1 (x 1 y 1 xy)z) = x 1 z 1 y 1 xyz = x 1 (yz) 1 xyz = [x, yz] Het bewijs van (b) verloopt analoog. Definitie Voor deelverzamelingen X, Y, Z G noteert men, (1) [X, Y ] = [x, y] x X, y Y, (2) [X, Y, Z] = [[X, Y ], Z]. Merk op dat [X, Y ] voorgebracht wordt door de commutatoren met eerste element in X en tweede element in Y. Het kan zijn dat het product van 2 commutatoren zelf geen commutator is en dus is het niet noodzakelijk mogelijk om een element in [X, Y ] te schrijven als een commutator. Ook is voorgaande definitie gegeven voor willekeurige deelverzamelingen van G (dus die hoeven niet noodzakelijk deelgroepen te zijn). Toch geldt in het geval van een (invariante) deelgroep een nuttige eigenschap. Hoofdstuk 1. Permuteerbaarheid 1.5. Commutator Deelgroep

16 Bachelor Project I - Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen 15 Eigenschap Zij G een groep, X, Y G en H, K G. Dan gelden volgende eigenschappen. (a) [X, Y ] = 1 als en slechts als xy = yx, voor alle x X, y Y. (b) [K, H] H als en slechts als H is K-invariant. Bewijs. (a) Omdat xy = yx als en slechts als [x, y] = x 1 y 1 xy = 1, volgt (a) onmiddelijk. (b) Veronderstel [K, H] H. Zij h H en k K. Als [k, h 1 ] = k 1 hkh 1 = h H en dus k 1 hk = h h H. Vermits nu h en k willekeurig gekozen zijn kunnen wij besluiten dat H k = H, voor alle k K). Omgekeerd, veronderstel dat H een K-invariante deelgroep is. Vermits [K, H] gedefinieerd wordt als de groep voorgebracht door alle element [h, k], met h H en k K, moeten wij enkel bewijzen dat zo een element in H zit. Maar dat is evident omdat [k, h] = k 1 h 1 kh = (h 1 ) k h HH H. Wij verkrijgen dus onmiddelijk het volgende. Gevolg Zij N en M normale deelgroepen van G. Dan [N, M] N M. Ook merken wij volgende permutatie eigenschap op voor 2 deelverzamelingen van een groep G. Eigenschap Zij X en Y deelgroepen van een groep G. Dan geldt Bewijs. Zij x X, y Y, dan geldt [X, Y ] = [Y, X]. [X, Y ] [x, y] 1 = (x 1 y 1 xy) 1 = (xy) 1 (x 1 y 1 ) 1 = y 1 x 1 yx = [y, x] [Y, X] Definitie (commutator deelgroep) De commutator deelgroep van een groep G is [G, G] = [g, h] g, h G. Hoofdstuk 1. Permuteerbaarheid 1.5. Commutator Deelgroep

17 Bachelor Project I - Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen 16 Wij zeggen nu dat een groep G perfect is als G = [G, G]. Wegens Eigenschap weten wij dat, als ϕ een endomorfisme is van G, dat dan ϕ([g, G]) = [ϕ(g), ϕ(g)]. Duidelijk is [G, G] invariant voor het nemen van automorfismen ϕ Aut(G). Dus is [G, G] ook invariant voor het nemen van inwendige automorfismen. Er volgt onmiddelijk dat de commutator deelgroep [G, G] normaal is in G. Eigenschap Zij G een groep. De volgende eigenschappen gelden voor H, K G (a) [H, K] H K, (b) G is abels als en slechts als [G, G] = {1}. Bewijs. (a) Zij h H en k K willekeurig. Het is voldoende om aan te tonen dat [H, K] h [H, K] en [H, K] k [H, K]. Zij nu [h, k] een element in [H, K]. Door gebruik te maken van Eigenschap (b) geldt [h, k] h = [hh, k][h, k] 1 [H, K]. Tevens geldt wegens Eigenschap (a) dat Dus volgt het gewenste. [h, k] k = [h, k ] 1 [h, kk ] [H, K]. (b) Volgt onmiddelijk uit Eigenschap (b). Uit puntje (a) volgt opnieuw dat [G, G] normaal is in G. Volgende stelling toont ons, net zoals puntje (b) van de vorige eigenschap, dat voor de studie van het commuteren van elementen wij het liefst hebben dat de commutator deelgroep van een groep G zo klein mogelijk is. Ook vermijden wij liever dat de groep veel perfecte deelgroepen bevat. Voor meer informatie omtrent commutatoren zie [10, p58-61]. Stelling Zij G een groep dan is de commutator deelgroep [G, G] de unieke kleinste normale deelgroep zodat de quotient groep abels is. Bewijs. Zij K een normale deelgroep van G dan is G/K abels als en slechts als (xk)(yk) = (yk)(xk) voor alle x, y G. Dus moet gelden dat xyk = yxk of equivalent x 1 y 1 xyk = K. Dit laatste geldt als en slechts als [x, y] K voor alle x, y G. Dus is G/K abels als en slechts als [G, G] K. Het laatste lemma van deze sectie wordt bewezen door gebruik te maken van een handig gevonden gelijkheid. Voor meer informatie verwijzen wij naar de bibliografie [9, Stelling 1.5.6, p26]. Hoofdstuk 1. Permuteerbaarheid 1.5. Commutator Deelgroep

18 Bachelor Project I - Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen 17 Lemma (Drie-Deelgroepen Lemma) Zij X, Y, Z deelgroepen van een groep G. Veronderstel dat [X, Y, Z] = [Y, Z, X] = {1} dan is ook [Z, X, Y ] = {1}. Bewijs. Neem x X, y Y, z Z willekeurig. Dan P = [x, y 1, z] y [y, z 1, x] z [z, x 1, y] x = [[x, y 1 ], z] y [[y, z 1 ], x] z [[z, x 1 ], y] x = [x 1 yxy 1, z] y [y 1 zyz 1, x] z [z 1 xzx 1, y] x = (y 1 yx 1 y 1 xz 1 x 1 yxy 1 zy)(z 1 zy 1 z 1 yx 1 y 1 zyz 1 xz) (x 1 xz 1 x 1 zy 1 z 1 xzx 1 yx) = (y 1 y)(x 1 (y 1 (x(z 1 (x 1 (y(x(y 1 (z(y(z 1 z)y 1 )z 1 )y)x 1 )y 1 ) (z(y(z 1 (x(z(x 1 x)z 1 )x 1 )z)y 1 )z 1 )x)z)x 1 )y)x) = (x 1 (y 1 (x(z 1 (x 1 x)z)x 1 )y)x) = 1 Uit voorgaande gelijkheid weten wij nu dat, als [X, Y, Z] = [Y, Z, X] = 1 dan geldt er voor x X, y Y en z Z dat P = 1.1.[z, x 1, y] x = 1. Er volgt dat [z, x 1, y] = xx 1 = 1 en dus dat [z, x 1, y] = 1. Bijgevolg is [Z, X, Y ] = {1}. Hoofdstuk 1. Permuteerbaarheid 1.5. Commutator Deelgroep

19 Hoofdstuk 2 Veralgemeende Fitting Deelgroep Het is de bedoeling om in dit hoofdstuk tot de definitie te komen van de veralgemeende Fitting deelgroep. Deze deelgroep zal een belangerijke rol spelen in het bewijs van onze hoofdstelling. 2.1 Componenten In deze sectie geven wij een korte bespreking van de componenten van een groep. Het begrip component is vooral belangerijk voor de classificatie van eindige simpele groepen. Wij zullen het begrip component vooral gebruiken om de layer van een groep te definiëren. Voor meer informatie over componenten en de layer van een groep, zie [4]. Definitie (simpel) Een groep {1} G wordt simpel genoemd als en slechts als G geen echte normale deelgroepen bevat. Het is duidelijk dat minimale (deel)groepen simpel zijn. Definitie (quasisimpel) Een groep {1} = G wordt quasisimpel genoemd als en slechts als G perfect is en G/Z(G) simpel is. Zoals de naamgeving al doet vermoeden kunnen wij volgende eigenschap afleiden. Eigenschap Een niet abelse simpele groep is quasisimpel. Bewijs. Zij G simpel en niet abels. Dan volgt dat Z(G) = {1} en dus moet [G, G] minstens één element verschillend van 1 bevatten. Omdat G simpel is volgt nu dat [G, G] = G. Duidelijk is G perfect en is G/Z(G) = G simpel. Dus is G quasisimpel. Wij hebben eerder het normaal zijn van een deelgroep veralgmeend naar quasinormaal zijn. Wij zullen nu een andere veralgemening geven. Herinner dat in het algemeen A N G niet impliceerd dat A G. Definitie (subnormaal) Zij G een groep en N een deelgroep van G, dan heet N subnormaal in G als er deelgroepen N 1,..., N d bestaan zodat S : N = N 1 N 2... N d 1 N d = G. Wij noteren dit als N G en noemen S een subnormale rij van N tot G. 18

20 Bachelor Project I - Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen 19 Wij geven nu een voorbeeld om aan te tonen dat subnormaliteit daadwerkelijk verschillend is van normaliteit. Voorbeeld Beschouw opnieuw de symmetrische groep S 3, van graad 3, en definieer G = S 3 S 3. Wij weten al dat S 3 een deelgroep heeft van index 2, namelijk D = {(), (123), (132)} = Z 3. Nemen wij nu H = D D G dan kunnen wij eenvoudig verifieren dat H G. Vermits H nu abels is, is elke deelgroep van H normaal in H. Neem nu K = {((), ()), ((123), (123)), ((132), (132))}. Duidelijk is K H G maar K G. Om dit te bewijzen merken wij op dat ((12), 1) 1 ((123), (123))((12), 1) = ((12)(123)(12), (123)) Voor meer informatie over dit voorbeeld, zie [10, 3.14] = ((132), (123)) / K. Eigenschap Zij G een groep, N een normale deelgroep van G en A een karakteristieke deelgroep van N. Dan, (a) A normaal in G, (b) Als N karakterstiek is in G, dan is ook A karakteristiek in G. Bewijs. (a) Zij g een element van G en ϕ g een inwendig automorfisme van G. Vermits N normaal is in G is de beperking van ϕ g tot N een automorfisme van N. Omdat nu A een karakteristieke deelgroep is van N is A invariant onder ϕ g voor alle g G. Wij verkrijgen dus dqt A normaal is G. (b) Omdat nu N karakteristiek in G kan men ϕ g in voorgaande argument vergangen door een willekeurig automorfisme in G. Duidelijk gelden volgende implicaties voor een deelgroep N van een groep G, N karakteristriek in G N normaal in G N subnormaal in G. Opvallend is dat voorgaande eigenschap aantoont dat karakteristiek zijn en subnormaal zijn twee transitieve eigenschappen zijn terwijl normaal zijn dat niet noodzakelijk is. Eigenschap Zij A, B G en U G. Dan gelden de volgende eigenschappen. (a) U A U. (b) A B G. (c) Zij ϕ : G G een endomorfisme. Het beeld (resp. inverse beeld) van een subnormale deelgroep van G (resp. ϕ(g)) is subnormaal in ϕ(g) (resp. G). Hoofdstuk 2. Veralgemeende Fitting Deelgroep 2.1. Componenten

21 Bachelor Project I - Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen 20 Bewijs. (a) Zij S een subnormale rij van A tot G, dan is U S : U A = U A 1 U A 2... U A d 1 U A d = U G = U een subnormale rij van U A tot U. (b) Dit volgt omdat A B B G. (c) Dit volgt onmiddelijk uit Eigenschap Eigenschap Zij N een subnormale deelgroep van een quasisimpele groep K dan geldt N Z(K) of N = K. Bewijs. Beschouw het natuurlijk epimorfisme ϕ : K K/Z(K). Omdat K/Z(K) simpel is geldt voor elke normale deelgroep N in K/Z(K) dat N = {1} = Z(K) of dat N = K/Z(K). Dus wegens Eigenschap is elke normale deelgroep N van K bevat in Z(K) of gelijk aan K. Een deelgroep K van een groep G wordt een component van G genoemd als K quasisimpel is en subnormaal is in G. De eerst eigenschap is een inwendige eigenschap van K, terwijl het subnormaal zijn een ingebedde eigenschap is van K in G. Eigenschap Zij K G: (a) Als K U G met K een component van G dan is K een component van U. (b) Als K een component is van U G dan is K een component van G. Bewijs. Daar quasisimpel een inwendige eigenschap is volgt het resultaat uit Eigenschap Stelling Zij K een component van G en U een subnormale deelgroep van G. Dan K U of [U, K] = {1}. Bewijs. (1) Als U = G dan is duidelijk dat K U. (2) Als K = G dan weten wij uit Eigenschap dat U = K of [U, K] = {1}. (3) Veronderstel dus dat U < G en K < G. Wij mogen dus aannemen dat er echte normale deelgroepen N en M bestaan zodat K N G en U M G. Zij U 1 = [U, K]. Wegens Gevolg verkrijgen wij dat U 1 = [U, K] [M, N] N M. Stel G 1 = N N (U 1 ) dan K G 1 (zie Eigenschap 1.5.9). Dus, volgens Eigenschap is K een component van G 1 en U 1 is (sub)normaal in G 1. Wij herhalen nu het vorige op Hoofdstuk 2. Veralgemeende Fitting Deelgroep 2.1. Componenten

22 Bachelor Project I - Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen 21 de groep G 1 en zijn deelgroepen U 1 en G 2. Recusief verkrijgen wij dus groepen G n 1 en deelgroepen U n = [U n 1, K] en G n = N N (U n ). Stel dat wij na eindig keer toepassen van deze stappen in geval (1) of geval (2) terecht komen. Merk op dat dit moet gebeuren daar G eindig is. Dan geldt voor een U n dat [U n, K] = {1} of K U n Als [U n, K] = 1 = [K, U n ] dan wegens het Drie-Deelgroepen Lemma dat [U, K] = 1 = [K, U] : [U n, K] = {1} [[U n 1, K], K] = [[K, U n 1 ], K] = {1} [U n 1, K, K] = [K, U n 1, K] = {1} [K, K, U n 1 ] = [[K, K], U n 1 ] = [K, U n 1 ] = {1} Dus door inductie verkrijgen wij dat [U, K] = {1} = [K, U], zoals gewenst. Als K U n dan geldt K M. Wij kunnen dan als groep onze M nemen en geval (3) herhalen tot wij weer in geval (1) of geval (2) terecht komen. Gevolg Zij H en K twee componenten van een groep G. Dan is ofwel K = H ofwel [K, H] = {1}. Bewijs. In het geval dat [K, H] {1} toont vorige stelling dat K H, en dus wegens de symmetrie ook dat H K. Dit gevolg toont ons dat twee (verschillende) componenten H en K in een groep G permuteren en dus dat hun product HK een deelgroep is van G. Wij definiëren op deze manier de layer E(G) van een groep G als zijnde het product van alle componenten van G. Voor de volledigheid nemen wij {1} op in dit product. Het interessante aan deze deelgroep is dat het alle deelgroepen bevat die slecht zijn voor de studie van de commuteerbaarheid van elementen in de groep. Als men kan tonen dat E(G) = {1} weet men alvast dat de groep G geen slechte deelgroepen bevat. Net zoals in het begin van deze sectie verwijzen wij naar [4]. Eigenschap Zij ϕ : G H een epimorfisme. Dan worden componenten van G afgebeeld op componenten van H. Bewijs. Zij K een component van G. Omdat K = [K, K] voldt uit Eigenschap dat ϕ(k) = [ϕ(k), ϕ(k)]. Eigenschap geeft ons dat ϕ(k)/z(ϕ(k)) simpel is en ϕ(h) subnormaal in H. Er volgt voor een groep G, dat zijn automorfismes componenten op componenten afbeeld. Dus is de layer E(G) van G een karakteristieke deelgroep van G. In het bijzonder is E(G) normaal in G. Hoofdstuk 2. Veralgemeende Fitting Deelgroep 2.1. Componenten

23 Bachelor Project I - Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen Nilpotente Groepen In dit deel geven wij een algemeen gebruikte definitie voor wat een nilpotente groep is. Vermits wij ons in dit project beperken tot eindige groepen geven wij als eigenschap enkele andere karakterisaties terug voor het eindige geval. Één van deze alternatieve karakterisaties nemen wij als definitie voor eindig nilpotente groep, een definitie die ons later nog van pas zal komen. Definitie (nilpotent) Een (willekeurige) groep G is nilpotent als er normale deelgroepen G i G, met i {0,..., n}, bestaan zodat : (1) {1} = G 0 G 1 G 2... G n = G, (2) G i+1 /G i Z(G/G i ) voor i {0,..., n 1}. Wij noemen de deelgroepen rij in vorige definitie een centrale rij. Stelling Zij G een eindige groep. De volgende voorwaarden zijn equivalent: (a) G is nilpotent, (b) H < N G (H), voor alle echte deelgroepen H van G, (c) elke maximale deelgroep van G is normaal, (d) elke Sylow deelgroep van G is normaal, (e) G is het direct product van p-deelgroepen, met elke p een priemgetal. Bewijs. Zie [8, Stelling 2.9.5, p42]. Dit stelt ons nu in staat om op een eenvoudige manier een voorbeeld te geven van een klasse van nilpotente groepen. Voorbeeld Zij P een p-groep. Dankzij Gevolg weten wij dat P van orde een macht van p is. Dus heeft P maar één Sylow deelgroep S p en tevens geldt dat S p = P. Duidelijk is S p normaal in P. In het bijzonder is elke Sylow deelgroep normaal in P en dus geeft Stelling ons dat P nilpotent is. Wij zullen in het bewijs van de hoofdstelling vaak gebruik maken van het feit dat elke p-groep nilpotent is. Ook zien wij dus dat een Sylow deelgroep enkel nilpotente deelgroepen bevat. Definitie (eindig nilpotent) Zij G een eindig groep. Men zegt dat G eindig nilpotent is als H G, voor alle deelgroepen H van G. Hoofdstuk 2. Veralgemeende Fitting Deelgroep 2.2. Nilpotente Groepen

24 Bachelor Project I - Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen 23 Het is duidelijk dat dankzij Stelling (b) in het eindige geval, een groep G nilpotent is als en slechts als G eindig nilpotent is. Wij zullen voortaan geen onderscheid meer maken tussen beide definities en met nilpotent ons vooral bazeren op de definitie van eindig nilpotent. Om deze sectie af te sluiten geven wij nog volgend resultaat mee zonder bewijs. Ook dit bewijs is onmisbaar voor het bewijs van de hoofdstelling daar de stappen van het bewijs bedoelt zijn om aan te tonen dat voldaan is de hypothese van volgende stelling. Stelling (Itô) Zij G een eindige groep. Als elke cyclische groep van oneven priemorde of orde 4 in het centrum Z(G) ligt van G, dan is G nilpotent. Bewijs. Zie [6] Hoofstuk 3, Stelling 5.3, p283 en Hoofstuk 4, Stelling 5.5, p Oplosbare Groepen Bij oplosbare groepen gaan wij op een klein beetje anders te werk. Wij geven nu eerst de definitie van een oplosbare groep en van wat men een eindig oplosbare groep noemt en tonen daarna opnieuw aan dat deze beide definities equivalent zijn voor eindige groepen. Ook deze keer zullen wij de definitie van een eindig oplosbare groep verkiezen boven die van een oplosbare daar dit handelbaarder is voor het verder verloop van dit project. Definitie (oplosbaar) Een (willekeurige) groep G is oplosbaar als er normale deelgroepen G i G (met i {0,..., n}) bestaan zodat (1) {1} = G 0 G 1 G 2... G n = G, (2) G i+1 /G i is abels voor i {0,..., n 1}. Voorbeelden van oplosbare groepen zijn duidelijk de abelse groepen en de nilpotente groepen. Dus p-groepen zijn ook oplosbaar. Wij geven nu een voorbeeld van een groep die oplosbaar is maar niet nilpotent. Voorbeeld Beschouwen wij terug de symmetrische groep S 3 van graad drie, dan weten wij dat een deelgroep heeft van index 2 namelijk D = {(), (123), (132)} = Z 3. Duidelijk geldt dat 1 D G en wij zien ook dat alle factoren abels zijn. Toch is S 3 niet nilpotent daar Z(S 3 ) = 1 en S 3 dus geen centrale rij kan bezitten. Definitie (eindig oplosbaar) Zij G een eindige groep. Men zegt dat G eindig oplosbaar is als [H, H] < Hvoor elke niet triviale deelgroep H van G. Wij geven enkele eigenschappen mee van eindig oplosbare groepen die cruciaal zullen zijn om de equivalentie tussen voorgaande definities te bewijzen in het eindige geval. Dit is de voornaamste reden waarom een werkwijze zoals bij nilpotente groepen nu moeilijk hanteerbaar is. Hoofdstuk 2. Veralgemeende Fitting Deelgroep 2.3. Oplosbare Groepen

25 Bachelor Project I - Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen 24 Eigenschap Zij G een groep, Als G eindig oplosbaar is dan zijn ook deelgroepen en homomorfe beelden eindig oplosbaar. Bewijs. Voor deelgroepen volgt dit onmiddellijk uit de definitie. Zij nu ϕ : G G een epimorfisme. Zij {1} V ϕ(g) = G. Dan bestaat er een U G zodat ϕ(u) = V. Neem nu zo een U van minimale orde. Eigenschap geeft ϕ[u, U] = [V, V ]. Omdat [U, U] < U volgt uit de minimaliteit van U dat [V, V ] < V. Wij kunnen bewijzen dat voorgaande eigenschap ook blijft gelden voor oplosbare groepen. Het bewijs van deze bewering laten wij echter over aan de lezer. Eigenschap Zij G een eindige groep. G is eindig oplosbaar als en slechts als er een normale deelgroep N bestaat zodat N eindig oplosbaar is en G/N eindig oplosbaar is. Bewijs. De voorwaarden zijn duidelijk noodzakelijk. Omgekeerd, zij N een normale deelgroep van G zodat N en G/N eindig oplosbaar zijn. Zij {1} U G. Als U N dan geldt wegens de eindig oplosbaarheid van N dat [U, U] < U, zoals gewenst. Als [Geval2] U N dan is V = UN/N een niet triviale deelgroep van de eindig oplosbare groep G/N en dus, wegens Eigenschap 2.3.4, [U, U]N/N = [V, V ] < V = UN/N. Dus ook in dit geval [U, U] < U, zoals gewenst. In Definitie vermeldden wij al het begrijp subnormale rij. definitie van enkele andere rijen van deelgroepen. Er volgt nu een Definitie Zij {1} = G een eindige groep. Zij G i G, met i {0,..., n} dan bekijken wij de volgende deelgroepen rij; met lengte n. Men zegt dat S : {1} = G 1 G 2... G n 1 G n = G (1) S een normale rij is als G i G, voor alle G i G, (2) S een subnormale rij. is als G i 1 G i, voor alle G i G, (3) een normale rij S een hoofd rij os als elke G/G i 1 simpel is. (4) Een subnormale rij S een compositie rij is als elke G i /G i 1 simpel is. Opmerking Zij G een eindige groep. Men kan altijd en compositie rij neerwaarts construeren startend van G. Kies een normale deelgroep N van G i en zoek dan een maximale normale deelgroep G i 1 van G i die N bevat. Ook kunnen wij een normale rij (resp. subnormale rij) op deze manier verfijnen tot een hoofd rij (resp. compositie rij). Hoofdstuk 2. Veralgemeende Fitting Deelgroep 2.3. Oplosbare Groepen

26 Bachelor Project I - Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen 25 In een groep G wordt de commutator rij gedefinieerd als zijnde : G (0) = G G (1) = [G, G] G (2) = [G (1), G (1) ]... G (n+1) = [G (n), G (n) ]... Stelling Zij G een eindige groep dan zijn de volgende eigenschappen equivalent : (a) G is eindig oplosbaar, (b) G (l) = {1}, voor een l N, (c) G is oplosbaar, (d) G bezit een compostie rij van welk alle factoren van priem orde zijn. Bewijs. (a) (b) Vermits G eindig oplosbaar is volgt dit onmiddelijk uit de definitie. (b) (c) Wij weten dat voor elke i {2,... l} geldt dat G (i 1) /G (i) abels is, en dus is de commutator rij zelf een normale rij van welk de factoren allemaal abels zijn. (c) (d) Opmerking toont ons hoe wij een (sub)normale rij kunnen verfijnen naar een compositie rij. Vermits de factoren van de normale rij abels zijn, zullen de factoren van de verfijnde compositie rij niet alleen simpel maar zelfs minimaal zijn ( en dus van orde priem). Wij merken op dat de compositie rij niet noodzakelijk een hoofdrij hoeft te zijn. (d) (a) Zij S = (G i ) i {0,...,n} de compositie rij gegeven in (d). Dan weten wij dat G n 1 G met G/G n 1 cylisch (en dus eindig oplosbaar). Nu bezit G n 1 zelf ook een compositie rij namelijk (G i ) i {0,...,n 1}. Door inductie kunnen wij met behulp van Eigenschap vastleggen dat N eindig oplosbaar is en dus dat (alweer door Eigenschap 2.3.5) G n 1 eindig oplosbaar is. Voorgaande Stelling toonde dus aan dat in het eindige geval een groep G oplosbaar is als en slechts als G eindige oplosbaar is. Wij zullen voortaan geen onderscheid meer maken tussen beide begrippen, voor eindige groepen. Ook is duidelijk dat de commutator deelgroep [G, G] een oplosbare deelgroep is van G. Eigenschap Zij G 1,..., G n deelgroepen van de eindige groep G. Als alle deelgroepen paarsgewijs met elkaar permuterenm en als elke G i nilpotent is, met 1 i n. dan is hun product G 1 G 2... G n oplosbaar. Bewijs. Zie [6, Hoofdstuk 4 Sectie 4, p674]. 2.4 Fitting Deelgroep In de laatste sectie van dit hoofstuk geven wij een veralgemening van de Fitting deelgroep van en groep G. Stelling Zij N 1 en N 2 normale deelgroepen van een groep G. Als N 1 en N 2 eindig en nilpotent zijn, dan is N 1 N 2 een nilpotente deelgroep. Hoofdstuk 2. Veralgemeende Fitting Deelgroep 2.4. Fitting Deelgroep

27 Bachelor Project I - Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen 26 Bewijs. zie [8, Eigenschap 2.9.6, p43]. Gevolg Zij G een eindige groep, dan bestaat er een unieke maximale normale nilpotende deelgroep N van G. Bewijs. Zij N 1 een maximale normale nilpotente deelgroep. Veronderstel dat nu,n 2 een andere maximale normale nilpotende deelgroep is. Maar dan is N 1 N 2 = N 1 N 2 een groter maximale normale nilpotente deelgroep die N 1 en N 2 bevat en dat is in tegenspraak met de veronderstelling N 2 maximaal is. De uniciteit van Gevolg geeft ons de mogelijkheid om het beest een naam te geven. Definitie (Fitting deelgroep) Zij G een eindige groep. De unieke maximale normale nilpotente deelgroep van G wordt de Fitting deelgroep van G genoemt. Men noteert deze als F (G) Wij kunnen aantonen dat F (G) niet enkel normaal is in G, maar zelf een karakteristieke deelgroep is van G. Om dit te bewijzen moeten wij enkel opmerken dat automorfismes van G normale deelgroepen op normale deelgroepen afbeeld en nilpotente deelgroepen op nilpotente deelgroepen. Definitie (Veralgemeende Fitting Deelgroep) Zij G een eindige groep, dan is F (G) = F (G)E(G) de veralgemeende Fitting deelgroep van G. Wij merken op dat voorgaande definitie niet de oorspronkelijke definitie is gegeven door Huppert in [6], maar een eigenschap in Huppert s werk. In modernere werken wordt echter deze eigenschap als definitie genomen omdat deze eenvoudiger en handelbaarder is dan het originele van Huppert. Lemma Zij G een groep en H G, dan gelden volgende eigenshappen. (a) Als H G dan is F (H) F (G). (b) Als F (G) oplosbaar is dan is F (G) = F (G). (c) [E(G), F (G)] = {1} = [F (G), E(G)]. Bewijs. (a) Omdat H subnormaal is in G zijn alle componten van H ook componenten van G, zie Eigenschap Hieruit volgt dat E(H) E(G). Duidelijk is ook F (H) F (G). (b) Eerst en vooral volgt uit de definitie dat F (G) alle componten van G bevat. Als nu F (G) oplosbaar is, dan bezit F (G) geen deelgroepen die perfect zijn, en dus ook geen echte deelgroepen die componenten zijn. En dus moet E(G) = {1}. Hieruit volgt het resultaat F (G) = F (G){1}. Hoofdstuk 2. Veralgemeende Fitting Deelgroep 2.4. Fitting Deelgroep

Deelgroepen en normaaldelers

Deelgroepen en normaaldelers Hoofdstuk 2 Deelgroepen en normaaldelers 2.1 Wat is een deelgroep? Definitie 2.1. Een deelverzameling H van een groep G, is een deelgroep van G als en slechts als H niet leeg is en H, zelf een groep is.

Nadere informatie

Definitie 8.1. De groep van alle permutaties van een gegeven verzameling X is de symmetriegroep op n elementen, genoteerd als Sym(X).

Definitie 8.1. De groep van alle permutaties van een gegeven verzameling X is de symmetriegroep op n elementen, genoteerd als Sym(X). Hoofdstuk 8 Werking van een groep 8.1 Permutatiegroepen Een permutatie van een verzameling X is een bijectie van die verzameling op zichzelf. Een verzameling X met n elementen heeft juist n! permutaties.

Nadere informatie

1 Groepen van orde 24.

1 Groepen van orde 24. 1 1 Groepen van orde 24. Als G een groep van orde 24 is, dan zeggen de stellingen van Sylov: Het aantal 2-Sylow-groepen van G is 1 modulo 2 en bovendien een deler van 24, dus bedraagt 1 of 3. Het aantal

Nadere informatie

Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element.

Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element. Hoofdstuk 5 Cyclische groepen 5.1 Definitie Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element. Als G wordt voortgebracht door a en a n = e, dan noteren we de groep als C n = a.

Nadere informatie

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal

Nadere informatie

Definitie 4.1. Als H en K normaaldelers zijn van een groep G en H K = {e} en HK = G dan noemt men G het direct product van

Definitie 4.1. Als H en K normaaldelers zijn van een groep G en H K = {e} en HK = G dan noemt men G het direct product van Hoofdstuk 4 Groepsconstructies 4.1 Direct product We gaan nu bestuderen hoe we van 2 groepen een nieuwe groep kunnen maken of hoe we een groep kunnen schrijven als een product van 2 groepen met kleinere

Nadere informatie

Hoofdstuk 6. Dihedrale groepen. 6.1 Definitie

Hoofdstuk 6. Dihedrale groepen. 6.1 Definitie Hoofdstuk 6 Dihedrale groepen 6.1 Definitie Definitie 6.1. De dihaeder groep is de symmetriegroep van een regelmatige n-hoek. Dit is de verzameling van alle transformaties in het vlak die de regelmatige

Nadere informatie

Groepen- en Galoistheorie

Groepen- en Galoistheorie Groepen- en Galoistheorie E. Jespers Departement Wiskunde Vrije Universiteit Brussel Faculteit Wetenschappen 2007 2008 webstek: http://homepages.vub.ac.be/ efjesper HOC+WPO: woensdag 9-12 uur, F.5.210

Nadere informatie

Tentamen algebra 1. 8 juni 2005, , zaal A.404

Tentamen algebra 1. 8 juni 2005, , zaal A.404 Tentamen algebra 1 8 juni 2005, 13.30 16.30, zaal A.404 Schrijf je naam en collegekaartnummer of het werk dat je inlevert. Het tentamen bestaat uit 5 opgaven. Beargumenteer telkens je antwoord. Veel succes!

Nadere informatie

HOOFDSTUK 0. = α g1 α g2

HOOFDSTUK 0. = α g1 α g2 HOOFDSTUK 0 Acties van groepen 0.1 Groep-actie Uit de cursus Meetkunde en Lineaire Algebra van 1ste jaar Bachelor Wiskunde ([KI] in de referentielijst) weten we reeds wat een permutatiegroep G op een verzameling

Nadere informatie

Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015

Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015 Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen

Nadere informatie

Definitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat:

Definitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat: Hoofdstuk 1 Eerste begrippen 1.1 Wat is een groep? Definitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat: 1. a, b G : a b G 2. a, b, c G : a (b c) = (a b) c = a

Nadere informatie

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

5 Inleiding tot de groepentheorie

5 Inleiding tot de groepentheorie 5 Inleiding tot de groepentheorie Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze groep de viergroep van Klein bezit als deelgroep van index 2. Oplossing

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 2017, 14:00 17:00

Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 2017, 14:00 17:00 Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 207, 4:00 7:00 Je mocht zoals gezegd niet zonder uitleg naar opgaven verwijzen. Sommige berekeningen zijn hier weggelaten. Die moest je op je tentamen wel laten zien.

Nadere informatie

Perfecte getallen en Leinster groepen

Perfecte getallen en Leinster groepen Faculteit Wetenschappen Departement Wiskunde Perfecte getallen en Leinster groepen Bachelorproef 1 Lukas Boelens Promotor: Dr. Andreas Bächle 29 januari 2015 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Perfecte getallen

Nadere informatie

This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License. To view a copy of this license,

This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License. To view a copy of this license, Inhoudsopgave 1 Groepen 1 1.1 Definitie en voorbeelden..................... 1 1.2 Deelgroepen en de stelling van Lagrange............ 5 1.3 Morfismen, kern, normaaldelers................. 13 1.4 Cyclische

Nadere informatie

1 Nilpotente en oplosbare groepen Groepen bouwen De correspondentiestelling Nilpotente en oplosbare groepen...

1 Nilpotente en oplosbare groepen Groepen bouwen De correspondentiestelling Nilpotente en oplosbare groepen... Inhoudsopgave 1 Nilpotente en oplosbare groepen 1 1.1 Groepen bouwen......................... 1 1.2 De correspondentiestelling.................... 7 1.3 Nilpotente en oplosbare groepen.................

Nadere informatie

Eenheden in groepsringen

Eenheden in groepsringen Eenheden in groepsringen 2 Hoofdstuk 1 Bicyclische eenheden 1.1 Definitie Veronderstel dat R een willekeurige ring is met eenheidselement. Een belangrijk onderzoeksproject is het zoeken naar eenheden.

Nadere informatie

This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License. To view a copy of this license,

This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License. To view a copy of this license, Inhoudsopgave 1 Groepen 1 1.1 Groepen, deelgroepen en voorbeelden.............. 1 1.2 Verdere definities en eigenschappen............... 8 1.3 Groepsmorfismen......................... 15 1.4 Cyclische

Nadere informatie

7.1 Het aantal inverteerbare restklassen

7.1 Het aantal inverteerbare restklassen Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo

Nadere informatie

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde

Nadere informatie

Ringen en Galoistheorie, 1e deel, 19 april 2012

Ringen en Galoistheorie, 1e deel, 19 april 2012 Ringen en Galoistheorie, 1e deel, 19 april 2012 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider. Laat bij elke opgave zien hoe je aan je

Nadere informatie

Mogelijke Onderwerpen Projectwerk Bachelor 3 Wiskunde

Mogelijke Onderwerpen Projectwerk Bachelor 3 Wiskunde Mogelijke Onderwerpen Projectwerk Bachelor 3 Wiskunde E. Jespers Departement of Mathematics Vrije Universiteit Brussel 2 Voorbeelden van algebra s van kleine dimensie Een theorie steunt steeds op het goed

Nadere informatie

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002 RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven

Nadere informatie

Eigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element.

Eigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element. Hoofdstuk 2 De regels van het spel 2.1 De gehele getallen Grof gezegd kunnen we de (elementaire) getaltheorie omschrijven als de wiskunde van de getallen 1, 2, 3, 4,... die we ook de natuurlijke getallen

Nadere informatie

Gehelen van Gauss. Hector Mommaerts

Gehelen van Gauss. Hector Mommaerts Gehelen van Gauss Hector Mommaerts 2 Hoofdstuk 1 Definities Gehelen van Gauss zijn complexe getallen van de vorm a + bi waarbij a, b Z. De verzameling van alle gehelen van Gauss noteren we met Z(i). Dus

Nadere informatie

Ad(g) := (h ghg 1 ).

Ad(g) := (h ghg 1 ). Inleveropgave 7 (inleverdatum: 22 nov) Gegeven een groep G, zij de afbeelding Ad : G Aut(G) gegeven door Ad(g) := (h ghg 1 ) Laat zien dat Ad een homomorfisme is Laat zien dat ker(ad) gelijk is aan het

Nadere informatie

Opgave 1 Bepaal welke van de volgende beweringen juist zijn: = Z2 Z 6 (R >0, ) = (R, +) (Z, +) = (Q, +)

Opgave 1 Bepaal welke van de volgende beweringen juist zijn: = Z2 Z 6 (R >0, ) = (R, +) (Z, +) = (Q, +) Deeltentamen Groepentheorie (WISB221). A. Henriques, Nov 2012. Geef niet alleen anwoorden, maar bewijs al je beweringen. Opgave 1 Bepaal welke van de volgende beweringen juist zijn: [5pt] Z 5 = Z 4, Z

Nadere informatie

Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde

Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde Magali Victoor Promotor: Prof. dr. Hendrik Van Maldeghem Masterproef ingediend tot het behalen van de academische

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets) Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N

Nadere informatie

Hoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen

Hoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen Hoofdstuk 3 Equivalentierelaties SCHAUM 2.8: Equivalence Relations Twee belangrijke voorbeelden van equivalentierelaties in de informatica: resten (modulo rekenen) en cardinaliteit (aftelbaarheid). 3.1

Nadere informatie

Bijzondere kettingbreuken

Bijzondere kettingbreuken Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar

Nadere informatie

Bewijs door inductie

Bewijs door inductie Bewijs door inductie 1 Bewijs door inductie Vaak bestaat een probleem erin aan te tonen dat een bepaalde eigenschap geldt voor elk natuurlijk getal. Als je wilt weten of iets waar is voor alle natuurlijke

Nadere informatie

Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking

Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking 10 december 2013, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is

Nadere informatie

III.2 De ordening op R en ongelijkheden

III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

Geadjungeerde en normaliteit

Geadjungeerde en normaliteit Hoofdstuk 12 Geadjungeerde en normaliteit In het vorige hoofdstuk werd bewezen dat het voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voldoende is dat T Hermites is (11.17) of

Nadere informatie

Getallen, 2e druk, extra opgaven

Getallen, 2e druk, extra opgaven Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in

Nadere informatie

Enkele valkuilen om te vermijden

Enkele valkuilen om te vermijden Enkele valkuilen om te vermijden Dit document is bedoeld om per onderwerp enkele nuttige strategieën voor opgaven te geven. Ook wordt er op een aantal veelgemaakte fouten gewezen. Het is géén volledige

Nadere informatie

Pijlenklokken. 1 Inleiding

Pijlenklokken. 1 Inleiding Pijlenklokken 1 Inleiding In bovenstaande tekening zie je 1 rode punten. Er staan blauwe pijlen van elk rood punt naar een ander rood punt 4 plaatsen verder op de cirkel. Een dergelijke afbeelding noemen

Nadere informatie

Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen

Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen Opmerking TI1300 Redeneren en Logica College 2: Bewijstechnieken Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor alle duidelijkheid: Het is verre van triviaal om definities te leren hanteren, beweringen op te lossen,

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

Examen G0U13 - Bewijzen en Redeneren,

Examen G0U13 - Bewijzen en Redeneren, Examen G0U13 - Bewijzen en Redeneren, 2010-2011 bachelor in de Wisunde, bachelor in de Fysica, bachelor in de Economische Wetenschappen en bachelor in de Wijsbegeerte Vrijdag 4 februari 2011, 8u30 Naam:

Nadere informatie

Congruentie deelgroepen

Congruentie deelgroepen Congruentie deelgroepen 2 Definities Congruentie deelgroepen zijn deelgroepen van matrixgroepen met gehele elementen die bepaald worden door congruentie relaties. De eenvoudigste omgeving om die congruentie

Nadere informatie

KU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove

KU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove KU Leuven Algebra Notities Tom Sydney Kerckhove Gestart 23 september 2014 Gecompileerd 28 oktober 2014 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 3 1.1 Basisbegrippen....................................... 3 1.2 De

Nadere informatie

EERSTE DEELTENTAMEN ANALYSE C

EERSTE DEELTENTAMEN ANALYSE C EERSTE DEELTENTAMEN ANALYSE C 0 november 990 9.30.30 uur Zet uw naam op elk blad dat u inlevert en uw naam en adres op de enveloppe. De verschillende onderdelen van de vraagstukken zijn zoveel als mogelijk

Nadere informatie

Samenvatting. Algebra 1 - Collegejaar Dictaat algebra 1. Disclaimer

Samenvatting. Algebra 1 - Collegejaar Dictaat algebra 1. Disclaimer Samenvatting Algebra 1 - Collegejaar 2011-2012 Dictaat algebra 1 Disclaimer De informatie in dit document is afkomstig van derden. W.I.S.V. Christiaan Huygens betracht de grootst mogelijke zorgvuldigheid

Nadere informatie

V.2 Limieten van functies

V.2 Limieten van functies V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de

Nadere informatie

Inleiding tot groepentheorie

Inleiding tot groepentheorie Hoofdstuk Inleiding tot groepentheorie 1 Basisdefinities Een algebraïsche structuur bestaat meestal uit een verzameling waarop één of meerdere bewerkingen gedefinieerd zijn. Definitie Een inwendige bewerking

Nadere informatie

OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π

OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. In deze nota buigen we ons over de vraag of een macht van π een irrationaal getal is. De aangereikte opbouw en bewijsmethoden zijn

Nadere informatie

Universiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr.

Universiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr. Universiteit Gent Academiejaar 2001 2002 Discrete Wiskunde 1ste kandidatuur Informatica Collegenota s Prof. Dr. Frank De Clerck Herhalingsoefeningen 1. Bepaal het quotiënt en de rest van de deling van

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 2017

IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 2017 IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Gegeven is cirkel ω met middellijn AK. Punt M ligt binnen de cirkel, niet op lijn AK. De lijn AM snijdt

Nadere informatie

VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN

VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN Het begrip verzameling kennen we uit het dagelijks leven: een bibliotheek bevat een verzameling van boeken, een museum een verzameling van kunstvoorwerpen. We kennen verzamelingen

Nadere informatie

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1) Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde

Tentamen Discrete Wiskunde Discrete Wiskunde (WB011C) 22 januari 2016 Tentamen Discrete Wiskunde Schrijf op ieder ingeleverd blad duidelijk leesbaar je naam en studentnummer. De opgaven 1 t/m 6 tellen alle even zwaar. Je hoeft slechts

Nadere informatie

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4: Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel

Nadere informatie

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Trainingsweek juni 2008 Inleiding Voor a relatief priem met m hebben we de orde van a modulo m gedefinieerd als ord m (a) = min { n Z + a n 1 (mod m) }. De verzameling

Nadere informatie

Algebra and discrete wiskunde

Algebra and discrete wiskunde Algebra and discrete wiskunde dr. G.R. Pellikaan Studiewijzer voor het studiejaar 2015/2016 College 2WF50 Contents 1 Algemeen 2 2 Inhoud van het vak 2 3 Leerdoelen 3 4 Berekening tijdsplanning 3 5 Onderwijs-

Nadere informatie

cyclotomische polynomen

cyclotomische polynomen Coëfficiënten van cyclotomische polynomen Joris Luijsterburg Studentnummer: 0314137 Maart 2009 Bachelorscriptie Onder begeleiding van Dr. W. Bosma Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07

Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07 Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30 Auditorium L.00.07 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.

Nadere informatie

Radboud Universiteit Nijmegen

Radboud Universiteit Nijmegen Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica L(,1)-labeling van grafen Naam: Studentnummer: Studie: Begeleider: Myrte klein Brink 4166140 Bachelor Wiskunde Dr.

Nadere informatie

Lights Out. 1 Inleiding

Lights Out. 1 Inleiding Lights Out 1 Inleiding Het spel Lights Out is een elektronisch spel dat gelanceerd werd in 1995 door Tiger Electronics. Het originele spel heeft een bord met 25 lampjes in een rooster van 5 rijen en 5

Nadere informatie

INLEIDING GROEPENTHEORIE

INLEIDING GROEPENTHEORIE INLEIDING GROEPENTHEORIE 2013-2014 webstek: http://homepages.vub.ac.be/ efjesper HOC: woensdag 8-10 uur, sem 2 WPO: donderdag 13-15 uur, sem 2 E. Jespers Vakgroep Wiskunde Vrije Universiteit Brussel Faculteit

Nadere informatie

I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.

I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules. I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk

Nadere informatie

Wanneer zijn veelvouden van proniks proniks?

Wanneer zijn veelvouden van proniks proniks? 1 Uitwerking puzzel 92-1 Wanneer zijn veelvouden van proniks proniks? Harm Bakker noemde het: pro-niks voor-niks De puzzel was voor een groot deel afkomstig van Frits Göbel. Een pronik is een getal dat

Nadere informatie

Priemontbinding en ggd s

Priemontbinding en ggd s Hoofdstuk 3 Priemontbinding en ggd s 3.1 Priemgetallen Een getal > 1 dat alleen 1 en zichzelf als positieve deler heeft noemen we een priemgetal. De rij priemgetallen begint als volgt, 2, 3, 5, 7, 11,

Nadere informatie

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2 Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van

Nadere informatie

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave.

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Opgave 6 Lesbrief, opgave 4.5 De getallen m en n zijn verschillende positieve gehele getallen zo, dat de laatste drie cijfers van 1978 m en 1978 n overeenstemmen.

Nadere informatie

6 Ringen, lichamen, velden

6 Ringen, lichamen, velden 6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x 2 + 2x + 2 irreducibel is in Z 3 [x]. Oplossing 6.1 Aangezien de veelterm van graad 3 is,

Nadere informatie

Volledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen.

Volledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen. Hoofdstuk 7 Volledige inductie Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen we het volgende: (i) 0 V (ii) k N k V k + 1 V Dan is V = N. Men ziet dit als

Nadere informatie

Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie

Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Jan De Beule, Tom De Medts en Jeroen Demeyer Voorwoord 1 Voorwoord Beste leerling, Deze nota s zijn bedoeld als begeleiding bij 6 lesuren Opgeloste

Nadere informatie

Het karakteristieke polynoom

Het karakteristieke polynoom Hoofdstuk 6 Het karakteristieke polynoom We herhalen eerst kort de definities van eigenwaarde en eigenvector, nu in een algemene vectorruimte Definitie 6 Een eigenvector voor een lineaire transformatie

Nadere informatie

(Isomorfie en) RELATIES

(Isomorfie en) RELATIES Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 15 maart 2009 (Isomorfie en) RELATIES. Paragrafen 10.5,11.1,11.2,11.4,11.5 Discrete

Nadere informatie

1 Kettingbreuken van rationale getallen

1 Kettingbreuken van rationale getallen Kettingbreuken van rationale getallen Laten we eens starten met een breuk bijvoorbeeld 37/3 Laten we hier ons kettingbreuk algoritme op los, We concluderen hieruit dat 37 3 3 + 3 + + 37 3 + + + hetgeen

Nadere informatie

RINGEN EN LICHAMEN. Aanvullende opgaven met uitwerkingen

RINGEN EN LICHAMEN. Aanvullende opgaven met uitwerkingen RINGEN EN LICHAMEN Aanvullende opgaven met uitwerkingen Hierna volgen een aantal aanvullende opgaven die gaan over kernbegrippen uit de eerste hoofdstukken van Ringen en Lichamen. Probeer deze opgaven

Nadere informatie

Mathieu-groepen en hun meetkunden

Mathieu-groepen en hun meetkunden Faculteit Wetenschappen Departement Wiskunde Mathieu-groepen en hun meetkunden Bachelorproef Doryan Temmerman Promotor: Prof. Philippe Cara 1e Semester 2012-2013 Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 2 Designs 1

Nadere informatie

Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde. vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30

Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde. vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30 Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30 Naam: Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 15 februari 2009 RELATIES & GRAFEN Discrete Structuren Week 2: Relaties en Grafen

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie week 4.8, maandag Faculteit EWI TU Delft Delft, 6 juni, 2016 1 / 33 Outline 1 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz 2 2 / 33 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz Maximum-modulusprincipe Stelling

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten

Nadere informatie

Algebra and discrete wiskunde

Algebra and discrete wiskunde Algebra and discrete wiskunde dr. G.R. Pellikaan Studiewijzer voor het studiejaar 2016/2017 College 2WF50 Contents 1 Algemeen 2 2 Inhoud van het vak 2 3 Leerdoelen 3 4 Berekening tijdsplanning 3 5 Onderwijs-

Nadere informatie

boek Getallen 2009, errata (8 oktober 2011)

boek Getallen 2009, errata (8 oktober 2011) boek Getallen 009, errata (8 oktober 0) De toren van Hanoi 6 0 van a naar b } van a naar b }. 8 6 en x / B } en x / B }. - zonodig zo nodig De natuurlijke getallen 3 - vermenigvuldigeing vermenigvuldiging

Nadere informatie

1 Rekenen in eindige precisie

1 Rekenen in eindige precisie Rekenen in eindige precisie Een computer rekent per definitie met een eindige deelverzameling van getallen. In dit hoofdstuk bekijken we hoe dit binnen een computer is ingericht, en wat daarvan de gevolgen

Nadere informatie

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit

Nadere informatie

Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen

Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 38 Outline 1 Rekenregels 2 K. P. Hart TW2040: Complexe

Nadere informatie

Uitwerkingen toets 12 juni 2010

Uitwerkingen toets 12 juni 2010 Uitwerkingen toets 12 juni 2010 Opgave 1. Bekijk rijen a 1, a 2, a 3,... van positieve gehele getallen. Bepaal de kleinst mogelijke waarde van a 2010 als gegeven is: (i) a n < a n+1 voor alle n 1, (ii)

Nadere informatie

De WrapSlide-puzzel algebraïsch bekeken. Dimitri Geelhoed en Lotte Meester 2013

De WrapSlide-puzzel algebraïsch bekeken. Dimitri Geelhoed en Lotte Meester 2013 De WrapSlide-puzzel algebraïsch bekeken Dimitri Geelhoed en Lotte Meester 2013 1 Inleiding Al snel nadat we besloten om onderzoek te doen naar een wiskundig vraagstuk, kregen we het idee om een puzzel

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

Eenheden van orders van getallenvelden

Eenheden van orders van getallenvelden Eenheden van orders van getallenvelden Hoofdstuk 1 Orders 1.1 Definities Definitie 1.1. Een order is een subring O van een ring A zodat 1. A is een ring die een eindig dimensionele algebra is over Q..

Nadere informatie