De Zwarte Kunst van het Primitiveren
|
|
- Brigitta Smeets
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 De Zwarte Kunst van het Primitiveren Universiteit Utrecht P. v. Mouche Versie.093 Herfst 005
2 Dit typoscriptje gaat over primitiveren. Het eoogt de lezer snel de kunst van het primitiveren ij te rengen. Het maken van de daartoe gerichte opgaven is daarij wel van elang. Fijne opmerkingen, die de minder theoretisch geïnteresseerde lezer over kan slaan, staan in de voetnoten. Kunnen differentiëren is ononteerlijk om te kunnen primitiveren. De auteur gaat er gewoon vanuit dat de lezer deze vaardigheid eheerst. Ook gaat hij ervan uit dat de lezer vertrouwd is met de notie van (riemann-)integraal. Maar zo dadelijk roepen we een en ander nog even in herinnering. Uiteraard houdt de auteur zich aanevolen voor op- en aanmerkingen die kunnen leiden tot een verdere veretering van het typoscript. 3 Het is goed te weten dat er uitgereide taellen estaan met primitieven en dat computeralgerapakketten zoals MAPLE en MATHEMATICA heel wat primitieven epalen kunnen. Tot lezers die daarmee al gelukkig zijn, richt dit typoscript zich niet. Wel richt het zich tot lezers die ekwame primitiveerders willen worden. Deze voetnoten zorgen er ook voor dat au fond dit typoscript mathematisch rigoureus is. 3 Eventueel via het internet: pvmouche@gm.net of (indien die nog gelden).
3 TER HERINNERING: 4 sin() = sin cos, cos() = sin = cos. sin + cos =. arcsin + arccos = π. sin (arctan ) = +. sinh = e + e, cosh = e e. arcsinh() = ln( + + ), arccosh() = ln( + ). (a ) = ln a a, (e ) = e. (ln ) = /. (sin ) = cos, (cos ) = sin, (tan ) = cos. (sinh ) = cosh, (cosh) = sinh. (arcsin ) =, (arccos ) =, (arctan ) = +. (arcsinh) = +, (arccosh) =. AFSPRAAK: Alle functies in het typoscript zijn reëelwaardig. TERMINOLOGIE: Onder een niet-ontaard interval van R verstaan we elk interval van R dat uit meer dan één punt (en daarmee uit oneindig veel punten) estaat. 4 Misschien is ter herinnering ietsjes overdreven. Maar om een ekwame primitiveerder te worden loont het zich de moeite om al deze formules te kunnen dromen.
4 Notie We vallen met de deur in huis: Definitie Gegeven een functie f gedefinieerd op een niet-ontaard interval I van R, heet een functie F op I een primitieve van f als F = f, i.e. als F differentieeraar is met afgeleide gelijk aan f. 5 De verzameling estaande uit alle primitieven duiden we aan met f() d. In de analyse toont men aan dat als f continu is, f een primitieve heeft, en wel als a een willekeurig punt uit het domein van f is, is F () := a f(s) ds wel-gedefinieerd en een primitieve. (Dit resultaat staat wel ekend als de Hoofdstelling van de integraalrekening, en sommigen noemen dit zelfs de Hoofdstelling van de analyse.) Merken we op dat als F een primitieve van f is, dat dan F + c (waar c een constante is) dat ook is. Dus als er een primitieve van f estaat, dan estaan er oneindig veel. Verder als zowel F als F primitieven van f zijn, dan verschillen deze een constante. 6 Dus als we een of andere primitieve van f epaald heen, dan heen we ze allemaal te pakken. We geruiken in dat verand ook wel de notatie f() d = F + C. 7 Hier noemen we f() nog de integrand. Zwarte kunst Primitiveren is veelal een ingewikkeldere ezigheid dan differentiëren. Immers, gegeven een functie kunnen we deze met de rekenregels voor afgeleiden differentiëren (alhoewel dat wel eens veel werk kan zijn). Zo kunnen we in principe ook altijd nagaan of een gegeven functie F wel de primitieve van f is. Maar om zo n F te epalen is een andere zaak, dat is juist de kunst en daar gaan we hieronder dus licht op laten schijnen. 8 U zult zien dat het er straks vaak wild aan toe zal gaan: we geruiken dingen zoals df() = f () d die est wel zin heen maar waarvan we het geruik niet rechtvaardigen zullen. Voor cos y schrijven we sin y als ons dat uitkomt (zonder ons om een eventueel minteken te ekommeren), voor arctan tan schrijven we,.... In principe is alles geoorloofd om een uitkomst te vinden. Vandaar dat we van zwarte kunst spreken. Eenmaal een antwoord heend, controlere men wel steeds of dat voldoet. Maar dan wel een controle volgens de regels van de (wis)kunst, want anders kan er nog van alles mis zijn. Bij het praktische rekenwerk om primitieven te epalen maakt men geruik van wat men al weet (de kijkmethode voor standaardprimitieven), van rekenregels en van speciale methoden voor epaalde klassen van functies, zoals reuksplitsen voor rationale functies. De standaardprimitieven ekijken we in 3, de rekenregels in 4 en de speciale methoden in de daarop volgende paragrafen. 5 De definitie zou wat algemener kunnen. Immers ze lijft zinvol als het domein van F een deelverzameling van R is waarvoor de notie van afgeleide van F zin heeft. De verzamelingen in kwestie etreffen in elk geval daarom ook nog eindige verenigingen van niet-ontaarde intervallen. 6 Dit resultaat maakt geruik van het feit dat het domein van f een niet-ontaard interval is. Inderdaad: dan is voor h := F F, h = 0 waaruit, omdat het domein een niet-ontaard interval is, volgt h = c en dus F = F + c. Als het domein van f geen niet-ontaard { interval zou zijn, is het{ resultaat niet waar: zowel de functie F als ln ( < 0) ln + 3 ( < 0) F gedefinieerd door F () := als F ln + 5 ( > 0) () := zijn primitieven van de ln ( > 0) functie /, maar F F is niet constant. 7 En edoelen daarmee dus de verzameling functies {F + c c R}. 8 Een kanttekening. Met een primitieve van f epalen edoelen we hieroven het vinden van een F in termen van elementaire functies. Elementaire functies zijn in dit verand de ekende dingen als veeltermen, de wortelfunctie, de eponentiële functie, sin en ln. In die zin zal het u niet lukken om een primitieve van f() = e te epalen. Toch estaat deze zoals we al gezien heen. 3
5 3 Standaardprimitieven Men doet er goed aan de hieronder staande tael met standaardprimitieven van uiten te kennen. 9 Dat deze tael correct is, controlere men dus door de functie in de tweede kolom te differentiëren. 0 p d p+ p+ (waar p ) d ln() e d e d arcsin d arcsinh + d arccosh + d arctan sin d cos cos d sin sinh d cosh cosh d sinh Ietwat ingewikkeldere functies zoals e a staan niet in de tael omdat deze, eenmaal deze tael heend, gemakkelijk daarmee epaald kunnen worden. Dat kan met een eetje gevoel voor wat men aan het doen is met de kijkmethode (i.e. men ziet de primitieve meteen zitten) of op een mechanischere manier met ehulp van de dadelijk te ehandelen sustitutiemethode. Vooreeld Bepaal e a d. Oplossing met de kijkmethode (zie ook Vooreeld 5): wetende (uit de tael) dat (e ) = e, proeert men e a en ziet dat (e a ) = ae a en daaruit dus dat a ea + C als gezocht is. De volgende tael van primitieven evat primitieven die we als wat minder standaard eschouwen (in de zin van dat men zich meer moge afvragen hoe komen we eraan ), maar die wel handig zijn om ij de hand te heen. ln d ln d + { arcsin arcsinh ± d ± ± arccosh d ln + tan d ln ( cos ) cot d ln ( sin ) arcsin d arcsin + arctan d arctan ln( + ) sin d ln tan cos d ln tan( + π 4 ) cos d tan sin d cot cosh d tanh sinh d coth Zie Vooreelden, 3, 7, en 3 waar we enkele van deze primitieven op een constructieve manier afleiden. 9 Over wat wel en wat niet in deze tael hoort, valt te redetwisten. Met de gegeven tael komt men een heel eind. 0 Voor het gemak heen we +C in de tweede kolom steeds weggelaten. Ook is het de edoeling dat elke te primitiveren functie op een niet-ontaard interval gedefinieerd is. Wat dat interval is, doet er niet toe, als het maar zin heeft. Zo kan p met p = / in de eerste regel van de tael ijvooreeld gedefinieerd zijn op (, 0). 4
6 4 Rekenregels Met ehulp van de rekenregels voor afgeleiden ewijst men (met λ een reëel getal aanduidend) de volgende rekenregels voor primitieven:. λf() d = λ f() d.. (f() + g()) d = f()d + g() d. 3. f()g () d = f()g() f ()g() d. (Regel der partiële integratie.) 4. f(φ())φ () d = F (φ()) + C. (Sustitutieregel.) (De regel der partiële integratie volgt uit de productregel en de sustitutieregel uit de kettingregel.) De regel der partiële integratie past men soms met succes toe, als de primitieve van een product van twee functies gezocht wordt en de primitieve van een der factoren ekend is en de afgeleide van de andere factor gemakkelijk is. Vooreeld Bepaal ln d. Oplossing. Met de regel der partiële integratie volgt ln d = ln d = ln d = ln d = ln + C. Vooreeld 3 Bepaal arcsin d. Oplossing. Met de regel der partiële integratie volgt arcsin d = arcsin d = arcsin d = arcsin + + C. Partiële integratie stelt vaak in staat om recurrente etrekkingen te vinden, waardoor men alle primitieven in kwestie kan epalen. Soms kan men zo n etrekking nog epliciet oplossen ook. Vooreeld 4 Bepaal een recurrente etrekking voor F n := d ( n +) d (n ) en epaal daarmee F. Oplossing. F n = ( + ) n d = ( + ) n + n = ( + ) n + ( +) n+ n( + ) = ( + ) n + n(f ( +) n+ (+ ) n+ n F n+ ). Daaruit volgt de formule F n+ = n ( +) + n n n F n. Omdat F ekend is, namelijk F = arctan + C, levert deze formule een manier om de primitieven in kwestie recursief te epalen. Zo is ijvooreeld d d = F ( +) = ( +) + arctan + C. In de praktijk geruikt men de sustitutieregel door zich te edienen van de volgende notaties: d(f + g) = df + dg, d(λf) = λ df, df() = f () d en door voor ingewikkeldere uitdrukkingen iets eenvoudiger zoals y te sustitueren of door voor een eenvoudige uitdrukking iets ingewikkelders zoals sin(y) te sustitueren. (vooreelden komen eraan). Dat heet dan sustitutiemethode. Bovenstaande notaties heen niet zonder meer zin. Dat er iets zinvols zit aan ovenstaande notaties kan men inzien door ermee om te gaan als met getallen: df() = f () d is dan df() d = f () hetgeen wel zin heeft. We gaan hier maar niet proeren dit rigoureus te maken. Vooreeld 5 Bepaal e a d. Oplossing: zet y = a. Dan dy = a d en daarmee e a d = e y a dy = a e y dy = a ey + C = a ea + C. Deze regels zijn waar als de functies in kwestie net genoeg zijn; ijvooreeld continue differentieerare f, g voldoen aan de Regel der partiële integratie. 5
7 Met Opgave (die misschien wat teveel van hetzelfde is) kunt u nog wat verder oefenen met het epalen van standaardprimitieven die ietsjes minder standaard zijn. Vooreeld 6 Te epalen: y +y e +e d. Oplossing: sustitueer e = y, dan de = e d, dus dy = y d en daarmee y dy = +y dy = ln + y + C = ln( + e ) + C. e +e d = Vooreeld 7 Te epalen: d. Oplossing : Sustitueer = sin y, dan d = d sin y = cos y dy = sin y dy en daarmee d = sin y y dy = ( sin y) dy = cos y dy = (+cos(y)) dy = y + 4 sin(y) + C = arcsin + sin y cos y + C = arcsin + + C. Oplossing : d = d = + d = + ( + ) d = d + d. Daaruit ; d = + d en dus d = + arcsin + C. 5 Primitiveren van rationale functies In ovenstaande twee taellen heen we al gezien hoe de eenvoudige rationale functies (dat wil zeggen quotiënten van veeltermen) n, + en te primitiveren. De methode van reuksplitsen, die we hier gaan espreken, is te geruiken als men een primitieve van een willekeurige rationale functie wil epalen. Doel van die methode is een rationale functie te herschrijven als een som van rationale functies waarvan men de primitieve kent. Naast ovenstaande rationale functies (of daaraan direct verwante functies) heen we daarij nog ( n +) op het oog (zie Vooreeld 4). We gaan nu recepten geven hoe primitieven van rationale functies te geven met de methode van het reuksplitsen. Dat doen we in een paar stappen van steeds grotere algemeenheid. Dat die recepten inderdaad werken, daarover kan men een hele theorie opzetten; deze theorie kan men nalezen in oeken over algera. Als f g een te primitiveren rationale functie is, mogen we ons eperken tot de rest van f gedeeld door g. Bijvooreeld 3 + = + 3 en slechts de primitieve 3 van de rest kan een proleem opleveren. We mogen dus veronderstellen, en dat zullen we nu ook doen, dat voor de graden van f en g geldt: deg(f) < deg(g). Voor het vervolg zijn de nulpunten van g van elang. We zijn echter niet altijd in staat de nulpunten van g ook echt te erekenen. In dat geval zullen we dan meestal ook geen primitieve kunnen erekenen. We ekijken eerst het geval waar g() louter enkelvoudige reële nulpunten heeft, zeg a,..., a m. In dat geval kan men (zoals de theorie leert) als volgt reuksplitsen: f() g() = A + + A m. a a m (We edoelen hiermee dat er constanten A,..., A m zijn zodanig dat ovenstaande identiteit voor alle (eventueel afgezien voor gelijk aan een der a i ) geldt.) Vooreeld 8 Te epalen d. Oplossing: we ontinden de noemer: = ( + 4)( ). We stellen nu A +4 + A =. Dat komt neer op 6 = A ( ) + A ( + 4) voor alle. = invullen levert A = en = 4 invullen levert A =. Daarmee d = +4 d = ln ( + 4) ln + C. Ietsjes ingewikkelder is het geval waar g() louter reële (dus geen echt complee) nulpunten heeft die niet per sé enkelvoudig zijn. Zeg a,..., a m zijn de nulpunten en r,..., r m zijn respectievelijk hun multipliciteiten. In dat geval kan men als volgt reuksplitsen: f() g() = A ( a ) + A ( a ) + + A r ( a ) r + + 6
8 Vooreeld 9 Te epalen + A m ( a m ) + A m ( a m ) + + A mr m ( a m ) rm. ( )(+) d. Oplossing: reuksplitsen levert op: ( )(+) = ( )(+) d = ( + ) + 4 ln + 4 (+) ( ) = (+) ln + C.. Daaruit Bekijken we tenslotte het algemene geval waar we ook complee nulpunten toelaten. Merken we even op dat als z een nulpunt van de noemer van p is, het comple geconjugeerde getal z dat ook is en wel met dezelfde multipliciteit als die van z. p() is als volgt te schrijven: p() = m r i i= r= A ir ( a i ) r + s t j j= r= u jr + v jr (( j )( j )) r, waar a,..., a m de reële nulpunten van de noemer van p zijn met multipliciteiten respectievelijk r,..., r m,,..., s de comple geconjugeerde nulpunten met positief imaginair gedeelte zijn van de noemer van p met multipliciteiten respectievelijk t,..., t s zijn. De primitieve van elk der A ir ( a levert geen enkel proleem en die der u jr+v jr = u jr+v jr i) zijn ook wel te r (( j)( j)) r (R j)+ j a+d ehapstukken door te edenken dat ( ++c) met n 4ac gelijk is aan a + a ( n ++c) + (d ) ( ++c) = a + a n ( n ++c) + (d ) en te edenken dat we Vooreeld 4 heen. Vooreeld 0 Te epalen Oplossing. We stellen d. (+) ( +) = (+) ( +) a + (+) + + c+d +. ((+ ) + Dat komt neer op = a( + ) + ( + )( + ) + (c + d)(( + ) ). = invullen geeft a =. Daaruit ( + ) = ( + )( + ) + (c + d)(( + ) ), i.e. ( + ) = ( + )( + ) + (c + d)(( + ) ). Weer = invullen geeft = 0. Daaruit = c + d, waaruit c =, d = 0. Dus d = ( + (+) ( +) (+) + ) d = + + ln ( + ) + C. 6 Primitiveren van rationale functies in sin en cos We zullen hier wat eknopter uiteenzetten dan voorheen. Bekijken we eerst het geval van sin m cos n d met gehele m en n. Als m of n even is, kunnen we de integrand herschrijven tot een rationale functie: als m dat is, dan geldt, met y = cos, sin m cos n d = (sin ) (m )/ cos n sin d = ( y ) (m )/ y n dy. En als n het is, levert y = sin het gewenste. Als m en n eide even zijn, dan leidt ovenstaande methode tot wortels in de integrand en is daarom meestal niet ruikaar. Wel tot een resultaat voert nu de sustitutie = arctan y. Wegens de formules cos = +tan en sin = tan +tan vinden we sin k cos l d = y k. Maar soms kan het makkelijker: (+y ) k+l+ Vooreeld sin d = ( cos ) d = 4 sin d + C. En volgens ovenstaande methode, met ehulp van Vooreeld 4: sin d = y dy = ( (+y ) +y ) dy = arctan y y (+y ) y + arctan y + C = arctan(tan ) tan tan + + C = f sin cos + C = 4 sin + C (en controleren van deze oplossing leert dat hij voldoet). We moeten hier oppassen: de te primitiveren functie heeft domein (, ). De sustitutiefunctie = arctan y heeft als ereik echter ( π, π). Dus de gevonden primitieve is in orde op dat interval. Zie ook Opgave 4. c 4 n ) 7
9 Rationele functies in sin en cos die in feite rationale functies zijn in sin en cos, zoals 3 sin 4 +cos +7 cos 4, kunnen met ovengenoemde sustitutie = arctan y altijd in een rationale functie in y worden overgevoerd en zijn daardoor in principe (maar meestal wel ten koste van veel rekenwerk) te primitiveren. Nog meer rekenwerk vergen willekeurige rationale functies in cos en sin. Ook deze kunnen door een geschikte sustitutie, namelijk = arctan y, in gewone rationale functies worden overgevoerd. Bedenk immers dat cos = y +y en sin = y +y. De sustitutie = arctan y werkt ook wel eens voor totaal andere gevallen: Vooreeld Te epalen + d. Oplossing (met ehulp van de sustitutiemethode en reuksplitsen). Denkend aan de formule + tan t = cos t, sustitueren we = tan t. Dan d = cos t dt en daarmee + d = cos 3 t dt = dt ( sin t) cos t. Sustitueren we nu z = sin t, dan is dz = cos t dt en krijgen we dz. ( z ) Omdat = ( z ) ( z) +z, vinden we na een korte erekening + d = 4 ( z z + ln +z z ). Hierin moet nog z = sin t = sin(arctan ) gesustitueerd worden. Met sin t = tan t is z = z +tan t +. Na wat rekenwerk vinden we = + en = /4 + /4 (+z) ( z) z + /4 + /4 (+z) z +z z = ( + + ). Daaruit tenslotte + d = + + ln ( + + ) + C. (Oef!) Vooreeld 3 Te epalen d. Oplossing. Dat gaat analoog aan Vooreeld. Men vindt d = ln +. 7 Opgaven Opgave Bepaal de volgende primitieven (waar 0 en a, c > 0 is): a. ( + r) p d (waar p ).. +d d. c. e a d. d. a d. e. a d. f. ± a d. g. d. a c h. d. +a i. a +c d. j. a d. k. sin() d. l. cos() d. m. tan() d. n. cot() d. 8
10 o. sinh() d. p. cosh() d. q. sin() d. r. cos() d s. cos () d. t. sin () d. u. cosh () d. v. sinh () d. Opgave Bepaal de volgende primitieven met ehulp van de Regel der partiële integratie: a. n ln d.. e d. c. sinh d. d. cos(a) d (waar a 0 is). e. cos(a) d (waar a 0 is). f. e a cos() d (waar a + 0 is). Bepaal de volgende primitieven met ehulp van de sustitutiemethode: g. d. h. e d. i. 3 d. j. sin cos 6 d. Bepaal de volgende primitieven met ehulp van reuksplitsen: k. 4 ( ) (+) d l. 4+ d. m ( 3)( +). n d. Opgave 3 Bepaal een recurrente etrekking voor F n := n e d en los deze epliciet op. Opgave 4 Bepaal de volgende primitieven: a. sin d.. ++ d. c. +5 d. d. +5 d. 9
11 e d. f d. g d. h d. i. d +3 sin. j. cos(ln ) d. k. ln d. l. ln(+ ) d. m. ln(a + ) (a 0). n. 4 d. o. /3 d. 0
12 8 Oplossingen Oplossing a. ( + (p+) r)p+ + C.. ln + d + C. c. a ea + C. d. ln a a + C. e. a + a arcsin { + C. a arcsinh f. ± a ± a a arccosh + C. a g. arcsin( c ) + C. c a h. arcsinh + C. a i. arctan ( c ) + C. ac a a j. ln + C. a +a k. cos() + C. l. sin() + C. m. ln cos() + C. n. ln sin() + C. o. cosh() + C. p. sinh() + C. q. ln tan( ) + C. r. ln tan( + π ) + C. 4 s. tan() + C. t. cot() + C. u. tanh() + C. v. coth() + C. Oplossing a. n+ n+ ln n+ + C. (n+). e e + e + C. c. cosh sinh + C. cos(a) d. sin(a) + + C.. a a a e. sin a + cos a sin a + C. a a 3 ae f. a cos +e a sin + C. a + g. + C. h. e + C. i. ( 3 3)3/ + C. j. 7 cos7 + C. + k. + ln + C. l. ( ) + C. 7 m = = ( 3)( +) 3 + ( +) 3 + Daaruit halen we 5 ln 3 + ln ( + ) ( + ) + 5( + arctan ) + C. + n. + arctan ln( + ) + C. + ( +) 5 ( +). Oplossing 3 F n = n e n n e d = n e np n. Uit P 0 = e volgt uit die etrekking dat P = ( )e, P = ( + )e en zo doorgaand zien we dat P n = ( n n n + n(n ) n + ( ) n n)e. Oplossing 4 a. sin + C. 4. = d = ( + + ) c. ln( ) + C. d. 5 arctan ( 5) + C. d (+ 4 ) = 8 7 ( 4 d 7 ) (+ 4 ) + d = e. = + + d = ln( + + 3) + 4 arctan ( 5 5 ( + ) + C. f. = d = arccosh( + 3) + C. (+3) 4 7 arctan( ) + C. 7(+ 4 ) d (+ ) = = 4 ln( + + 3) +
13 g. Met f hieroven vinden we = +3 d d = arccosh(+3)+C h. d = 4+3 d. De sustitutie u = + leidt uiteindelijk tot het resultaat ++ (+) + ln ( + + ) arctan( + ) + C. i. Door de sustitutie = arctan y vindt men arctan( tan ) + C.3 j. (cos(ln ) + sin(ln )) + C. k. ln(ln ) + C. l. ln( + ) arctan + C. m. ln(a + ) + a arctan + C. a n. 6 (4 ) (4 ) 4 + C. 3 5 o. 3 3 ln 3 + ln arctan( ) + C. 3 We moeten hier, zoals we ook al eerder vermeldden, oppassen: de te primitiveren functie +3 sin heeft domein (, ). De sustitutiefunctie = arctan y heeft als ereik echter ( π, π). Dus de gevonden primitieve is in orde op dat interval, maar is niet een primitieve zoals gezocht. Interessant verder is het volgende (details laten we aan de lezer over): men controlere dat de gevonden primitieve ook op de intervallen (( + k)π, ( + k)π) een primitieve is. Als we nu ook de natuurlijke, waarden voor de tangensfunctie in de punten ( + k)π toelaten en de arctangensfunctie ook in, definiëren, dan is de gevonden primitieve zelfs op de hele R geldig. Maar in de punten ( + k)π is deze niet continu: de sprong van arctan( tan ) in zo n punt is gelijk aan π. Om dit te verhelpen kiezen we constanten c k zodat de functie f gedefinieerd door f() = arctan( tan ) + c k voor (( + k)π, ( + k)π) in de punten ( + k)π continu wordt: c k = kπ voldoet. Nu is f niet alleen continu, maar zelfs differentieeraar en daarmee een primitieve zoals gezocht.
Algemene informatie. Inhoudelijke informatie
Informatie over Colloquium doctum Wiskunde niveau 2 voor Bedrijfskunde, Economie, Fiscale Economie en Mr.-Drs. Programma Economie en Recht ERASMUS UNIVERSITEIT ROTTERDAM Algemene informatie Tijdsduur:
Nadere informatieParagraaf K.1 : Substitutiemethode
Hoofdstuk K Voortgezette Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina van 8 Paragraaf K. : Substitutiemethode Stappenplan voor de substitutiemethode : () Neem y = formule (bij kettingregel noem je deze formule
Nadere informatieK.1 De substitutiemethode [1]
K. De substitutiemethode [] Voorbeeld : Differentieer de functie f() = ( + ) 5 Voor het differentiëren van deze functie gebruik je de kettingregel: Stap : Schrijf de functie f() als volgt: y = u 5 met
Nadere informatieK.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren:
K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( ) a f '( ) 0 n f ( ) a f '( ) na n f ( ) c g( ) f '( ) c g'( ) f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) ( som regel) p( ) f ( ) g( ) p'( ) f '( )
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 3 november 0 Normering voor pt vragen andere vragen naar rato): pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus C (2WCB1) op zaterdag 25 januari 2014, 9:00 12:00 uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Calculus C (WCB) op zaterdag 5 januari 04, 9:00 :00 uur Maak dit vel los van de rest van het tentamen. Vul uw naam etc. in op
Nadere informatieStudiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009
Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009 Inleiding In de cursus Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) wordt gebruikt het boek Calculus, Early Transcendental Functions Robert T. Smith,
Nadere informatieInfi A oefententamen ψ
Infi A oefententamen ψ Aanwijzingen Motiveer alle antwoorden. Werk rustig, netjes en duidelijk. Zorg dat je uitwerking maar één interpretatie toelaat. Alle informatie op dit opgavenblad mag bij alle (deel)opgaven
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 1 oktober 2008, uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Basiswiskunde, DL3, woensdag oktober 8, 9.. uur. Geef op het eerste vel met uitwerkingen aan welk programma (Schakelprogramma
Nadere informatiecollege 2: partiële integratie
39 college 2: partiële integratie Zoals de substitutieregel voor integratie de inverse van de kettingregel voor differentiatie genoemd zou kunnen worden, zo is partiële integratie de inverse van de productregel:
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde B
Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen
Nadere informatieIntegratietechnieken: substitutie en partiële integratie
Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie Inleiding In dit pakket wordt zeer kort de definitie van onbepaalde integralen herhaald evenals het verband tussen bepaalde en onbepaalde integralen.
Nadere informatieCALCULUS 2. najaar Wieb Bosma (naar aantekeningen van Arno van den Essen) Radboud Universiteit Nijmegen
0 CALCULUS 2 najaar 2008 Wieb Bosma (naar aantekeningen van Arno van den Essen) Radboud Universiteit Nijmegen college 1: integratie Centrale vraag: hoe bereken je de bepaalde integraal Algemeen idee: b
Nadere informatie== Hertentamen Analyse 1 == Dinsdag 25 maart 2008, u
== Hertentamen Analyse == Dinsdag 5 maart 8, 4-7u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent (S Hille, O van Gaans) en je studierichting Geef niet alleen antwoorden, leg elke
Nadere informatieStudiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006
Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006 Inleiding In de cursus Wiskunde 1 voor B (2DB00) wordt gebruikt het boek Calculus, Robert T. Smith, Roland B. Minton, second edition, Mc Graw
Nadere informatieFuncties van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 191512600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Bekijken we de volgende vergelijking: x 2 C Œf.x/
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieONLY FOR PERSONAL USE. This digital version of the DictaatRekenvaardigheden - Algebraic Skills is for personal use because of copyright.
ONLY FOR PERSONAL USE This digital version of the DictaatRekenvaardigheden - Algebraic Skills is for personal use because of copyright. c Dictaat Rekenvaardigheden Faculteit Wiskunde en Informatica 0 mei
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 3 oktober 2007.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Algemeen deel. Bij het vermenigvuldigen met van de ongelijkheid moet u rekening houden met twee gevallen, te weten > 0 en < 0 en u moet
Nadere informatie== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u
== en Tentamen Analyse, WI6 == Maandag januari, 4.-7.u Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI. Gegeven is de functie + e + e arctan,, f = +, >. a Beargumenteer dat f continu is op R. b Bepaal de
Nadere informatieIn dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies.
03 college 5: meer technieken In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. Opmerking over de notatie. Net als in het
Nadere informatieAanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen
Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op ,
1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op 25-11-1998, 9.00-12.00 uur Opgave 1 1. Formuleer de Cauchy-Riemann-vergelijkingen.
Nadere informatie6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1
WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We
Nadere informatieBasisvormen (algebraische denkeenheden) van algebraische expressies/functies
Basisvormen (algeraische denkeenheden) van algeraische epressies/functies,,,..,,, g g, log( ), sin(), cos() polynoomfuncties gerokenfuncties, vermenigvuldigingsfunctie Soort functies Standaardvormen met
Nadere informatiee x x 2 cos 2 (sin t) cos(t) dt
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP3B 5 november, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boeken) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering
Nadere informatieTentamen Wiskundige Technieken 1 Ma 6 nov 2017 Uitwerkingen
Tentamen Wiskundige Technieken Ma 6 nov 207 Uitwerkingen Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
Nadere informatiePrimitiveren. Omgekeerd differentiëren (primitieve bepalen)
Primitiveren WISNET-HBO update april 2006 Inleiding Soms moet je juist de functie bepalen waarvan de afgeleide bekend is. Dit omgekeerd differentiëren (de primitieve bepalen) heet in het Engels de antiderivative.
Nadere informatieTENTAMEN ANALYSE 1. dinsdag 3 april 2007,
TENTAMEN ANALYSE. dinsdag april 2007, 4.00-7.00. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste vijf opgaven gaan over de stof van het eerste gedeelte van het college. De laatste vijf opgaven gaan
Nadere informatie2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling
TU/e technische universiteit eindhoven Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk
Nadere informatie4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i
COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche
Nadere informatieH1 Haakjes wegwerken, ontbinden in factoren
H1 Haakjes wegwerken, ontinden in factoren 1.1 Haakjes wegwerken In wiskundige uitdrukkingen komen vaak haakjes voor. In deze paragraaf komen de rekenregels aan de orde met etrekking tot het wegwerken
Nadere informatieVoorwoord Rekenvaardigheden
Voorwoord In het middelbaar onderwijs hebben zich de laatste jaren grote veranderingen voltrokken: de tweede fase met de daaraan verbonden profielkeuze en het studiehuis zijn ingevoerd. In sommige opzichten
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, 9.00-12.00 uur. Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven. De uitwerkingen van deze opgaven dienen
Nadere informatieDictaat Rekenvaardigheden. Faculteit Wiskunde en Informatica
Dictaat Rekenvaardigheden Faculteit Wiskunde en Informatica 7 mei 007 Voorwoord Voorwoord In het middelbaar onderwijs hebben zich de laatste jaren grote veranderingen voltrokken: de tweede fase met de
Nadere informatieEERSTE AFGELEIDE TWEEDE AFGELEIDE
Lesrief EERSTE AFGELEIDE etreme waarden raaklijn normaal TWEEDE AFGELEIDE uigpunten 6/7Np GGHM03 Inleiding Met ehulp van de grafische rekenmachine kun je snel zien of de grafiek daalt of stijgt. Het horizontaal
Nadere informatieStudiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) cursus 2011/2012
Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) cursus 2011/2012 Inleiding In de cursus Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) wordt gebruikt het boek Calculus, Early T ranscendental F unctions, Robert T. Smith,
Nadere informatieHertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur
Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatieComplexe e-macht en complexe polynomen
Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatie(iii) intervallen, bijvoorbeeld afgesloten intervallen zoals D = [0, 1] := {x en halfopen intervallen zoals D = (0, 1] := {x R 0 < x 1},
Hoofdstuk II Calculus Les Differentiatie van functies Waarscijnlijk eeft iedereen wel een idee ervan wat een functie is, maar voor de duidelijkeid zal et andig zijn om de meest belangrijke begrippen na
Nadere informatie4051CALC1Y Calculus 1
4051CALC1Y Calculus 1 College 1 2 september 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/
Nadere informatieStudiewijzer Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde (2DB03) cursus 2015/2016
Studiewijzer Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde (2DB03) cursus 2015/2016 Inleiding In de cursus Calculus voor het schakelprogramma van Bouwkunde (2DB03) wordt het volgende gebruikt het boek:
Nadere informatieBestaat er dan toch een wortel uit 1?
Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (15126) op dinsdag 4 januari 211, 8.45 11.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieVoorbeeldtoets. Het gebruik van een rekenmachine of een formulekaart is niet toegestaan.
Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Voorbeeldtoets Lees zorgvuldig onderstaande punten door Deze toets is bedoeld om een idee te krijgen van
Nadere informatieHoofdstuk 11: Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie
Hoofdstuk : Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie.. Tweepunts randwaardeproblemen. Bij het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen met behulp van de methode van scheiden van variabelen
Nadere informatieTentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30
Tentamen WISN11 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov 16 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
Nadere informatieFuncties van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde
Nadere informatieInhoud college 6 Basiswiskunde
Inhoud college 6 Basiswiskunde 4.0 Taylorpolynomen (slot) Zie college 5: Vanaf 4.0 Voorbeeld 4 3. Inverse functies 3.2 Exponentiële en logaritmische functies 3.3 De natuurlijke logaritme en de exponentiële
Nadere informatieHoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine
Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine Voorkennis: Funties ladzijde V-a De formule is T = + 00, d Je moet oplossen + 00, d = dus dan geldt 00, d = en dan is d = : 00, 77 m V-a f( ) = = 0en f( ) = ( ) (
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking Proeftentamen 3 Functies van één veranderlijke (15126 De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieGenererende Functies K. P. Hart
genererende_functies.te 27--205 Z Hoe kun je een rij getallen zo efficiënt mogelijk coderen? Met behulp van functies. Genererende Functies K. P. Hart Je kunt rijen getallen op diverse manieren weergeven
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Definitie Betekenis van de afgeleide 1 2 Standaardafgeleiden
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 13 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 41 Outline III.6 The Residue Theorem 1 III.6 The
Nadere informatieV.2 Limieten van functies
V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 21 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 32 Outline 1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatieCalculus.nb 1. Werk dit Mathematica notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes!
Calculus.nb Calculus Andr Heck 00 AMSTEL Instituut, Universiteit van Amsterdam Werk dit Mathematica notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes! Å
Nadere informatie15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x))
5.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( x) a f '( x) 0 n f ( x) ax f '( x) nax n f ( x) c g( x) f '( x) c g'( x) f ( x) g( x) h( x) f '( x) g'( x) h'( x) p( x) f ( x) g( x) p'( x)
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.3, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 34 Outline 1 Conforme afbeeldingen 2 K. P. Hart TW2040:
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieAnalyse 1 Handout limieten en continuïteit
Analyse Handout ieten en continuïteit Rogier Bos Inhoudsopgave Limieten 2. Intuïtief ieten bepalen........................ 2.2 Rekenen aan ieten........................... 4.3 Limieten als spel.............................
Nadere informatieSpeciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 Les Speciale functies We ebben in de vorige les een aantal elementaire functies bekeken en iervoor gezien oe we deze functies kunnen afleiden. In wezen waren
Nadere informatieInhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen
Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 4 november 2013
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 4 november 0 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato): 4pt pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
8 Voorkennis: Sinusfuncties ladzijde 9 V- Uit 8 radialen volgt 8 radialen Je krijgt dan de volgende tael: V-a V-a 8 graden 6 9 8 radialen O 6 6 7 8 9 Aflezen:,,,, c Aflezen:, d Aflezen:, e Aflezen: O Aflezen:,,,
Nadere informatieHuiswerk Hints&Tips Analyse 2, College 26
Huiswerk Hints&Tips Analyse, College 6 [K..]. Tip : Toon aan dat er punten (x, y ) en (x, y ) en scalars m, M R bestaan zo dat m = f(x, y ) f(x, y) f(x, y ) = M. Laat dan zien dat m(b a)(d c) = m f M =
Nadere informatieTentamen Analyse 4 (wi2602) 17 juni 2011, uur. ) (1 gratis)) Deel 2: opgaven 2b, 4ab, 5, 6 (normering: 2 + (
TU Delft Mekelweg 4 Faculteit EWI, DIAM 68 CD Delft Tentamen Analyse 4 (wi6) 7 juni, 4-7 uur Het tentamen bestaat uit twee delen: Deel : opgaven, a, 3ab, 4c (normering: + + ( + ) + + ( gratis)) Deel :
Nadere informatie1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE
E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Uiterste inleverdatum dinsdag oktober, voor het begin van het college N.B. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je moet het huiswerk
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij
Nadere informatieReëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken
Reëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken Functie en scalaire functie Relatie van A naar B A B = {(, ) A & B} Een relatie van A naar B is functie als verschillende beelden zelfde origineel
Nadere informatieKorte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde
Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde voor B. 1 Eenvoudige operaties en functies. 1. De bewerkingen optellen aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen worden
Nadere informatieInfi A tentamen 8 nov :30 16:30
Infi A tentamen 8 nov 28 3:3 6:3 Aanwijzingen Motiveer alle antwoorden. Werk rustig, netjes en duidelijk. Zorg dat je uitwerking maar één interpretatie toelaat. Alle informatie op dit opgavenblad mag bij
Nadere informatieOEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE 1 (COLLEGE NAJAAR 2006). (z + 2i) 4 = 16. y 4y + 5y = 0 y(0) = 1, y (0) = 2. { 1 + xc 1 voor x > 0.
OEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE (COLLEGE NAJAAR 6).. Bepaal alle oplossingen van de vergelijking (z + i) 4 = 6 in het complee vlak. a. Schrijf het getal i in poolcoördinaten. b. Bereken de rechthoekige
Nadere informatie1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en
Nadere informatieTentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
Nadere informatieTraining integreren WISNET-HBO. update aug 2013
Training integreren WISNET-HBO update aug 2013 Primitiveren De primitieve bepalen betekent in feite de functie bepalen waarvoor geldt dat Anders geschreven: Links en rechts maal dx: df = f dx De betekenis
Nadere informatieReeksnr.: Naam: t 2. arcsin x f(t) = 2 dx. 1 x
Calculus, 4//4. Gegeven de reële functie ft) met als voorschrift t arcsin x ft) = dx x a) Geef het domein van de functie ft). Op dit domein, bespreek waar de functie stijgt, daalt en bepaal de lokale extrema.
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 2 oktober 200, 3.45 6.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieAntwoordmodel VWO wb I. Boottocht. Maximumscore 5. een correcte tekening van het punt. Maximumscore 6. dus MFS = 90 een correcte tekening
Antwoordmodel VWO w 00-I Boottocht Het gezochte punt is het snijpunt van en de middelloodlijn van het lijnstuk van het punt P aximumscore 6 = =, met het midden van dus = 90 Het punt ligt op de middelloodlijn
Nadere informatieStandaardafgeleiden. Wisnet-HBO. update maart 2011
Standaardafgeleiden Wisnet-HBO update maart 2011 1 Inleiding Als je nog niets over differentiëren weet, kun je beter eerst naar de les Wat is Differentiëren gaan in Wisnet Verder zijn er Maplets om de
Nadere informatieDictaat Rekenvaardigheden. Loek van Reij
Dictaat Rekenvaardigheden Loek van Reij 0 maart 006 i ii Voorwoord In het middelbaar onderwijs hebben zich de laatste jaren grote veranderingen voltrokken: de tweede fase met de daaraan verbonden profielkeuze
Nadere informatieIndicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Indicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat niet alleen voorkennis in de zin dat moet u al gehad hebben en kennen, maar ook in de
Nadere informatieCijfer = totaal punten/10 met minimum 1
VOORBLAD SCHRIFTELIJKE TOETSEN OPLEIDING TOETSCODE GROEP Me MeWIS1-T1 MeP1 TOETSDATUM 7 november 011 TIJD 13.00 14.30 uur AANTAL PAGINA S (incl. dit voorblad) 6 DEZE TOETS BESTAAT UIT (aantal) GEBRUIK
Nadere informatiedx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π
Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)
Nadere informatieWortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)
1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Donderdag 8 juli 4. Tijd: 14. 17. uur. Plaats: MA 1.44/1.46 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je
Nadere informatieEenvoudige breuken. update juli 2007 WISNET-HBO
Eenvoudige reuken update juli 2007 WISNET-HBO De edoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met reuken. Steeds wordt ij geruik van letters verondersteld dat de noemers van
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.10, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 23 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline 1 2 3 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2
Nadere informatieOpgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Nadere informatieOver de functies arcsin, arccos en arctan
Over de functies arcsin, arccos en arctan Booglengte figuur figuur De grafiek van een functie f tussen twee punten P (met a) en Q (met b) kan worden opgedeeld in stukjes die kunnen worden opgevat als lijnstukken,
Nadere informatieExamen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica
Examen GO7E Wiskunde II (3sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Auditorium De Molen: A D Auditorium MTM3: E-Se Auditorium MTM39: Sh-Z Naam: Studierichting: Naam assistent:
Nadere informatie6. Toon aan dat voor alle 2]0; ß [ geldt dat sin <<tan Onderstel dat de functie f afleidbaar in ]a; +1[ is en dat Toon aan dat!+1 f ) = A.!+1 f
Afleiden en primitiveren Oefeningen Wiskundige Analyse I 1. Toon aan dat de functie f gedefinieerd op [ß; 3ß 2 ] door 1 p 1 + sin2 ) een inverse ffi bezit. Wat kan men besluiten omtrent de monotoniteit,
Nadere informatien 2 + 2n + 4 3n 2 n + 4n n + 2n + 12 n=1
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 2 NWI-NP004B 6 april 205, 8.00 2.00 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten
Nadere informatie